Bài giảng này giành cho sinh viên các trường đại học kỹ thuật có thể chia ra thành các phần: Tĩnh học, động học, động lực học và các nguyên lý cơ học. Tĩnh học nghiên cứu các quy luật cân bằng của vật thể dưới tác dụng của lực.Động học chỉ nghiên cứu các quy luật chuyển động của vật thể đơn thuần về mặt hình học. Động lực học nghiên cứu các quy luật chuyển động của hệ dưới tác dụng của lực. Các nguyên lý cơ học là nội dung cơ bản nhất của cơ học giải tích. Cơ học giải tích chính là phần động lực học được trình bày theo hướng giải tích hóa.
Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com Bách Khoa Online: hutonline.net Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com Bách Khoa Online: hutonline.net -1- Tỡm kim & download ebook: bookilook.com phần mở đầu Cơ học nghiên cứu quy luật cân chuyển động vật thể dới tác dụng lực Cân hay chuyển động học trạng thái đứng yên hay dời chỗ vật thể không gian theo thời gian so với vật thể khác đợc làm chuẩn gọi hệ quy chiếu Không gian thời gian độc lập với Vật thể học xây dựng dới dạng mô hình chất điểm, hệ vật rắn Cơ học đợc xây dựng sở hệ tiên đề Niu tơn đa tác phẩm tiếng " Cơ sở toán học triết học tự nhiên" năm 1687 - học đợc gọi học Niu tơn Cơ học khảo sát vật thể có kích thớc hữu hạn chuyển động với vận tốc nhỏ vận tốc ánh sáng Các vật thể có kích thớc vĩ mô, chuyển động có vận tốc gần với vận tốc ánh sáng đợc khảo sát giáo trình học tơng đối Anhxtanh Trong trờng đại học kỹ thuật, học làm tảng cho môn học kỹ thuật sở kỹ thuật chuyên ngành nh sức bền vật liệu, nguyên lý máy, động lực học máy, động lực học công trình, lý thuyết tính toán máy nông nghiệp, lý thuyết ô tô máy kéo v.v Cơ học có lịch sử lâu đời với trình phát triển khoa học tự nhiên, thời kỳ phục hng sau đợc phát triển hoàn thiện dần Các khảo sát có tầm quan trọng đặc biệt làm tảng cho phát triển học công trình nhà bác học ngời ý Galilê (1564- 1642) Galilê đa định luật chuyển động vật thể dới tác dụng lực, đặc biệt định luật quán tính Đến thời kỳ Niutơn (1643- 1727) ông hoàn tất sở thống mở rộng học Galilê, xây dựng hệ thống định luật mang tên ông - định luật Niutơn Tiếp theo Niutơn Đalămbe (1717- 1783), ơle ( 1707 - 1783) có nhiều đóng góp cho học đại ngày Bỏch Khoa Online: hutonline.net -2- Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com ơle ngời đặt móng cho việc hình thành môn học giải tích mà sau Lagơrăng, Hamintơn, Jaccobi, Gaoxơ hoàn thiện thêm Căn vào nội dung đặc điểm toán khảo sát, chơng trình học giảng cho trờng đại học kỹ thuật chia thành phần: Tĩnh học, động học, động lực học nguyên lý học Tĩnh học nghiên cứu quy luật cân vật thể dới tác dụng lực Động học nghiên cứu quy luật chuyển động vật thể đơn mặt hình học Động lực học nghiên cứu quy luật chuyển động vật thể dới tác dụng lực Các nguyên lý học nội dung học giải tích Cơ học giải tích phần động lực học hệ đợc trình bày theo hớng giải tích hoá Cơ học khoa học có tính hệ thống đợc trình bày chặt chẽ Khi nghiên cứu môn học đòi hỏi phải nắm vững khái niệm hệ tiên đề, vận dụng thành thạo công cụ toán học nh hình giải tích, phép tính vi phân, tích phân, phơng trình vi phân để thiết lập chứng minh định lý đợc trình bày môn học Ngoài ngời học cần phải thờng xuyên giải tËp ®Ĩ cđng cè kiÕn thøc ®ång thêi rÌn lun kỹ áp dụng lý thuyết học giải toán kỹ thuật Bỏch Khoa Online: hutonline.net -3- Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com PhÇn I TÜnh Häc Chơng Các khái niệm hệ tiên ®Ị cđa tÜnh häc lý thut vỊ m« men lùc ngẫu lực 1.1 khái niệm Tĩnh học nghiên cứu quy luật cân vật rắn tuyệt đối dới tác dụng lực Trong tĩnh học có hai khái niệm vật rắn tuyệt đối lực 1.1.1 Vật rắn tuyệt đối Vật rắn tuyệt đối vật thể có hình dạng bất biến nghĩa khoảng cách hai phần tử luôn không đổi Vật thể có hình dạng biến đổi gọi vật biến dạng Trong tĩnh học khảo sát vật thể rắn tuyệt đối thờng gọi tắt vật rắn Thực tế cho thấy hầu hết vật thể vật biến dạng Song tính chất biến dạng không ảnh hởng đến độ xác cần có toán xem nh vật rắn tuyệt đối mô hình tính toán 1.1.2 Lực định nghĩa lực Lực đại lợng đo tác dụng học vật thể với Lực đợc biểu diễn đại lợng véc tơ có ba yếu tố đặc trng: độ lớn (còn gọi cờng độ), phơng chiều điểm đặt Thiếu ba yếu tố tác dụng lực không đợc xác định Ta thờng dùng chữ có dấu véc tơ để ký hiệu r r r véc tơ lùc ThÝ dơ c¸c lùc P , F1 , N Với ký hiệu phải hiểu chữ dấu véc tơ ký hiệu độ lớn Thí dụ độ lín r r r cđa c¸c lùc P , F N P, F, N Độ lớn lực có thứ nguyên Niu tơn hay bội số Kilô Niu tơn viết tắt (N hay kN) Sau giới thiệu số định nghĩa: Bỏch Khoa Online: hutonline.net -4- Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com HƯ lùc: Hệ lực tập hợp nhiều lực tác dụng lên vật rắn Lực tơng đơng: Hai lực tơng đơng hay hai hệ lực tơng đơng hai lực hay hai hệ lực có tác động học nh Để biểu diễn hai lực tơng đơng hay hai hệ lực tơng đơng ta dùng dấu tơng đơng nh to¸n häc r r r r r r r r Thí dụ hai lực F P tơng đơng ta viÕt F ∼ P Hai hÖ lùc ( F1 , F2 , Fn ) vµ ( P1 , r r r r r r r r P2 , Pm ) tơng đơng ta viết ( F1 , F2 Fn ) ∼ ( P1 , P2 , Pm ) Hợp lực: Hợp lực hệ lực lực tơng đơng với hệ lực cho Thí r r r r r r r r dô nÕu cã R ∼ ( F1 , F2 , Fn ) th× R đợc gọi hợp lực hệ lực ( F1 , F2 , Fn ) HƯ lùc c©n b»ng: HƯ lực cân hệ lực tơng đơng với không (hợp r r r lực không) Thí dơ: hƯ lùc ( F1 , F2 Fn ) lµ c©n b»ng r r r ( F1 , F2 Fn ) 1.2 Hệ tiên đề tĩnh học Tĩnh học đợc xây dựng sở sáu tiền đề sau đây: Tiên đề 1: (Hệ hai lực cân bằng) Điều kiện cần đủ để hai lực cân hai lực có độ lớn, r r r r phơng, ngợc chiều đặt lên vật rắn Ta có ( F1 , F2 ) ∼ F1 = - F2 Tiên đề : ( Thêm bớt hệ lực cân bằng) Tác dụng hệ lực lên vật rắn không đổi ta thêm vào bớt hệ lực cân Tiên đề 3: ( Hợp lực theo nguyên tắc hình r F2 r R bình hành) Hai lực đặt vào điểm vật rắn có hợp lực đợc biểu diễn đờng chéo hình bình hành mà hai cạnh hai lực cho Bỏch Khoa Online: hutonline.net r F1 Hình 1.1 -5- Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com r r Hình vẽ 1.1 Biểu diễn hợp lực hai lực F1 , F2 VỊ ph−¬ng diƯn vÐc t¬ cã thÓ viÕt: r r r R = F1 + F2 Tiên đề 4: ( Lực tác dụng tơng hỗ) Lực tác dụng tơng hỗ hai vật rắn có độ lớn, phơng nhng ngợc chiều Tiên đề 5: (Tiên đề hoá rắn) Một vật không tuyệt đối rắn trạng thái cân hoá rắn giữ nguyên trạng thái cân ban đầu Tiên đề 6: ( Giải phóng liên kết) Trớc phát biểu tiên đề cần đa số khái niệm về: Vật rắn tự do, vật rắn không tự do, liên kết phản lực liên kết Vật rắn tự vật rắn có khả di chuyển theo phía quanh vị trí xét Nếu vật rắn bị ngăn cản hay nhiều chiều di chuyển đợc gọi vật rắn không tự Những điều kiện ràng buộc di chuyển vật rắn khảo sát gọi liên kết Trong tĩnh học xét liên kết tiếp xúc vật rắn với (liên kết hình học) Theo tiên đề vật khảo sát vật liên kết xuất lực tác dụng tơng hỗ Ngời ta gọi lực tác dụng tơng hỗ vật liên kết lên vật khảo sát phản lực liên kết Để khảo sát vật rắn không tự ta phải dựa vào tiên đề giải phóng liên kết sau đây: Tiên đề:Vật rắn không tự xem nh vật rắn tự giải phóng liên kết thay vào phản lực liên kết tơng ứng Xác định phản lực liên kết lên vật rắn nội dung toán tĩnh học Sau giới thiệu số liên kết phẳng thờng gặp tính chất phản lực Liên kết tựa (vật khảo sát tựa lên vật liên kết): Trong dạng phản Bách Khoa Online: hutonline.net -6- Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com lực liên kết có phơng theo pháp tuyến chung hai mặt tiếp xúc Trờng hợp đặc biệt tiếp xúc điểm nhọn tựa lên mặt hay ngợc lại phản lực liên kết có phơng pháp tuyến với mặt điểm tiếp xúc ( Hình vÏ 1.2, 1.3, 1.4) r NC N r N C r NB r NA A B H×nh 1.2 H×nh 1.3 Hình 1.4 Liên kết khớp lề: Khớp lề di động ( hình 1.5) hạn chế chuyển động vật khảo sát theo chiều vuồng góc với mặt phẳng trợt phản lực liên kết có phơng vuông góc với mặt trợt Khớp lề cố định ( hình 1.6) cho phép vật khảo sát quay quanh trục lề hạn chế chuyển động vuông góc với trục quay lề Trong trờng hợp phản lực có hai thành phần vuông góc với trục lề ( hình 1.6) r R r N Y Yo X H×nh 1.5 O Xo Hình 1.6 Liên kết dây mềm hay cứng: (hình 1.7 hình 1.8) Các liên kết dạng hạn chế chuyển động vật thể theo chiều dây Phơng phản lực liên kết phơng dọc theo dây Bỏch Khoa Online: hutonline.net -7- Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com r T1 r T r T2 r s r sA r sB A B Hình 1.7 Hình 1.8 Liên kết ngàm (hình 1.9) Vật khảo sát bị hạn chế di chuyển theo phơng mà hạn chế chuyển động quay Trong trờng hợp phản lực liên kết có lực mô men phản lực ( Khái niệm mô men lực đợc nói tới phần sau) Liên kết gót trục: ( hình 1.10) Vật khảo sát bị hạn chế chiều chuyển động theo phơng ngang, phơng thẳng đứng chuyển động quay quanh trục X Y phản lực liên kết có thành phần nh hình vẽ z YA ZA mA A XA mX mY YA y XA x H×nh 1.9 Hình 1.10 Các hệ suy từ hệ tiên đề tĩnh học Hệ 1: ( Định lý trợt lực) Tác dụng lực lên vật rắn A không đổi ta trợt lực dọc theo r FA r F 'B B r FB ®−êng tác dụng đến đặt điểm khác r Thật vậy: Cho lực F đặt A r vật rắn ( FA ) Ta đặt vào điểm B r đờng r r Hình 1.11 tác dụng F cặp lực cân ( FB , FB ) (hình 1.11) Theo tiên đề hai có Bỏch Khoa Online: hutonline.net -8- Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com thĨ viÕt: r r r r FA ∼ ( FA , FB , FB ) số A, B theo lực để điểm đặt lực đó, lực có độ lớn phơng r r Mặt khác theo tiên đề hai lực ( FA , FB ) cặp lực cân theo tiên đề hai bớt cặp lực vật, nghĩa là: r r r r r FA ∼ ( FA , FB , FB ) FB r Nh ta trợt lực F ban đầu đặt A dọc theo đờng tác dụng đặt B mà tác dụng học lên vật rắn không đổi Hệ 2: Hệ lực cân lực hệ lấy theo chiều ngợc lại hợp lực lực r r r Chứng minh: Cho hƯ lùc c©n b»ng ( F1 , F2 , Fn ) Gi¶ sư ta lÊy ë hệ r lực Fi đổi chiều sau cho tác dụng lên vật rắn Xét vật rắn chịu tác dung r lực - Fi Theo tiên đề thêm vào vật rắn hệ lực cân cho, tác dụng lên vật rắn không ®ỉi, nghÜa lµ: r r r r r r - Fi ∼ (- Fi , F1 , F2 Fi Fn ) r r Trong hÖ (n+1) lùc ë vế phải có hai lực cân ( Fi , - Fi ) theo tiên đề r r ta bớt Fi , - Fi nghÜa lµ: r r r r r r - Fi ∼ ( F1 , F2 , Fi −1 Fi +1 Fn ) r r BiĨu thøc nµy chøng tỏ - Fi hợp lực hệ lực cho kh«ng cã Fi 1.3 Lý thut vỊ mô men lực ngẫu lực 1.3.1 Mô men lực tâm trục 1.3.1.1 Mô men lực tâm r r r Mô men lực F tâm O đại lợng véc tơ, ký hiệu m o (F) cã: Bách Khoa Online: hutonline.net -9- Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com r - §é lín b»ng tÝch sè: F.d, với F độ lớn lực F d khoảng cách từ r tâm O tới đờng tác dụng F gọi cánh tay đòn - Phơng vuông góc với mặt phẳng chứa tâm O lực F (mặt phẳng tác dụng) r r - Chiều hớng phía cho nhìn từ đỉnh véc tơ m o (F) xuống r mặt phẳng tác dụng thấy véc tơ lực F chuyển động theo chiều mũi tên vòng quanh O theo ngợc chiều kim đồng hồ (hình 1.12) r r Dạ vào hình vẽ dễ dàng thấy độ lớn véc tơ m o (F) hai lần r diện tích tam giác OAB ( tam giác có đỉnh O đáy lực F ) r Với định nghĩa biểu diễn véc tơ mô men lực F tâm O b»ng biÓu thøc sau: r r r r r m o (F) = OA x F = r x F r r Trong r véc tơ định vị điểm đặt lực F so với tâm O Trong trờng hợp mặt phẳng tác dụng mô men lực xác định, để đơn r giản ta đa khái niệm mô men đại số lực F tâm O nh sau: r Mô men đại số lực F tâm O đại lợng đại số ký hiệu: mo = F.d r Lấy dấu dơng (+) nhìn vào mặt phẳng tác dụng thấy lực F quay theo chiều mũi tên vòng quanh O theo chiều ngợc kim đồng hồ (hình 1.13), lÊy dÊu trõ (-) tr−êng hỵp quay ng−ỵc lại (hình 1.14) Mô men đại số thờng đợc biểu diễn mũi tên vòng quanh tâm O theo chiều mô men Bỏch Khoa Online: hutonline.net -222- r tơ R qt mô men chính, Mcqt Sau trình bày kết thu gọn hệ lực quán tính số trờng hợp đặc biệt 15.2.2 Thu gän hƯ lùc qu¸n tÝnh 15.2.2.1 Thu gän hƯ lùc quán tính vật rắn chuyển động tịnh tiến Các chất điểm vật có gia tốc nh b»ng gia tèc khèi t©m : r r Wk = Wc (k = n ) Khi thu gän hệ lực quán tính khối tâm C ta đợc : r r r R qtc = ∑ − m k Wc = − MWc ; r r r r r r M qt = − m m W = − r xm W = M rcc xWc = ∑ c k k ∑ k k c c r Vì rcc = ta chọn C làm tâm thu gọn ( ) Nh trờng hợp vật chuyển động tịnh tiến hợp lực lực r r quán tính véc tơ R qtc = MWc qua khối tâm C 15.2.2.2 Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn chuyển ®éng quay quanh mét trơc cè ®Þnh ®i qua khèi tâm C Gọi vận tốc gia tốc vật lµ ω vµ ε ta cã : r r r r R qtc = ∑ − m k Wk = − MWc = v× Wc = ( ) ( ) ( ) N N N r r qt r qt M qtk = ∑ m cz F qt = ∑ m cz Fτ + ∑ m cz Fn k =1 k =1 k =1 C¸c lùc quán tính pháp tuyến luôn qua trục quay ®ã : ∑ ( ) r m cz F nqt = Ta cã : k ( ) N r qt M qt = m F = − ∑ d k m k d k ε = − J oz ε ∑ cz cz τ k =1 Mczqt = - Joz Với Joz mô men quán tính vật trục quay Kết thu gọn hệ lực quán tính hệ chuyển động quay quanh trục qua khối tâm : r R qtc = vµ Mczqt = - Jozε -22315.2.2.3 Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn chuyển động song phẳng Theo động học chuyển động song phẳng vật phân tích thành hai chuyển động tĩnh tiến theo khối tâm chuyển động quay quanh trục z qua khối tâm C vuông góc với mặt phẳng sở Thu gọn hệ lực quán tính với chuyển động đợc trình bày hai trờng hợp Dễ dàng nhận thấy thu gọn lực quán tính hệ chuyển động song phẳng có kết sau : r r R qtC = − MWc vµ Mczqt = - Joz M Joz khối lợng mô men quán tính hệ đối víi trơc quay cz Wc vµ ε lµ gia tèc khối tâm gia tốc góc hệ Sau giải số toán có vận dụng nguyên lý Đa Lăm Be cho hệ Thí dụ 15-3: Hai vật A B có trọng lợng P1 P2 liên kết với sợi dây không dãn trọng lợng không đáng kể Hai vật chuyển động mặt phẳng nằm ngang có hệ số ma sát f nhờ tác dụng lực Q vào vật B theo phơng ngang ( hình 15-5 ) Xác định gia tốc hai vật lực căng sợi dây Bài giải : Xét hệ gồm hai vật Các lực tác dụng lên hệ gồm trọng lợng r r r r r r P1 , P2 , phản lực pháp tuyến N1 , N , lực ma sát trợt F1 , F2 vµ lùc kÐo Q N2 qt F F2 N1 qt B F P2 F1 A Q P1 N2 qt F F2 T P2 b) a) Hình 15.5 r r Gọi lực quán tính đặt lên vËt A vµ B lµ F qt1 , F2qt ta cã : r P r r P r F1qt = − W1 ; F2qt = − W2 g g -224- r r r víi W1 = W2 = W Theo nguyên lý Đa Lăm Be ta có : r r r r r r r r r P1 , P2 , N , N , F1 , F2 , Q, F1qt , F2qt = ( ) Các lực đợc biểu diễn hình (15-5a) Phơng trình cân theo phơng trục ox nằm ngang viết đợc: r r r r Q F1qt − F2qt − F1 − F1 = , hay Q = − P2 + P1 r W − (P2 + P1 )f = g Suy gia tèc hai vËt : ⎞ ⎛ Q W = ⎜⎜ − f ⎟⎟.g ⎠ ⎝ P2 + P1 Tõ kÕt tìm đợc nhận thấy vật chuyển động : ⎛ Q ⎞ ⎟⎟ f < ⎜⎜ ⎝ P2 + P1 Để tính lực căng T dây ta phải tách hai vật để xét chẳng r r r r hạn xét vật B Các lực thực tác dụng lên vật B : P2 , N , F2 , Q, T lực quán r tính F2qt Các lực đợc biểu diển hình (15-5b) ( áp dụng nguyên lý Đa Lăm Be ta có : r r r r r r ( P , N , F2 , Q , T , F qt2 )∼ ViÕt ph−¬ng trình hệ cân lên phơng ngang ta cã: Q - T - F2 - F2qt = Q - T - p2.f - p2 w = g Thay giá trị tìm đợc w vào phơng trình tính đợc : T= QP1 P1 + P2 Kết cho thấy lực căng dây không phơ thc lùc ma s¸t ) -225- ThÝ dơ 15-4: r Thanh đồng chất có chiều dài l, trọng lợng P Đầu A đợc giữ khớp r lề đầu B đợc giữ sợi dây (hình 15.6) Xác định lực căng T dây BD trơc quay ®Ịu víi vËn tèc ωo Cho biÕt gãc hợp AB trục quay AD Bài giải: Xét chuyển động AB Các lực tác dụng lên là: r r r Träng lùc P , phµn lùc R A vµ lùc căng T dây Gọi hợp lực lực quán r tính R qt Theo nguyên lý §a lam be ta cã: r r r r ( P , T , R A, R qt )∼ r Ta cã nhËn xÐt: Lùc qu¸n tÝnh F qt k phần tử có phơng chiều tỷ lệ với toạ độ xk Điều cho phép vẽ biểu đồ phân bố y lực quán tính theo hình (15-6) Ta nhận Rn nghĩa qua điểm F cách A đoạn + R qt = ; C yA α b»ng 21/3 Dễ dàng tìm thấy phơng trình h cân cho hÖ lùc: A E B ωo r W c qua trọng tâm tam giác ABE, X = −T + X E T D r thÊy hợp lực hệ lực R qt = M A ω2xdm → P xA ∑Y=YA - P = ; H×nh 15.8 ∑ m A (Fi ) = T.l.cosα − R cos α − P sin α = Pl sin αω2 vµ giải hệ phơng trình ta đợc : Thay R qt = M.Wc = g2 qt ⎞ ⎛ lω2 T = P⎜⎜ sin α + tgα ⎟⎟ ; ⎠ ⎝ 3g ⎛ lω02 ⎞ Pl sin α + tgα ⎟⎟ − sin αω02 YA = P vµ X A = P⎜⎜ ⎝ 3g ⎠ g2 x -226Chơng 16 Phơng trình tổng quát động lực học Phơng trình lagrang loại 16.1 Phơng trình tổng quát động lực học Nh biết chơng 12 chơng 13, nguyên lý Đa Lăm Be cho ta phơng pháp tĩnh để giải toán động lực học, nguyên lý di chuyển cho ta phơng pháp tổng quát giải toán cân hệ tự Kết hợp hai nguyên lý cho thiết lập phơng trình vi phân chuyển động hệ tự gọi phơng trình tổng quát động lực học Xét hệ chịu liên kết dừng lý tởng chuyển động dới tác dụng r r hoạt lực phản lực liên kết Gọi Fka , N k hoạt lực phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm Mk Nguyên lý Đa Lăm Be cho chÊt ®iĨm Mk cã thĨ viÕt ; r r r Fk + N k − m k Wk = (a) r Cho hƯ di chun kh¶ dĩ, gọi rk di chuyển chất điểm Mk Nhân hai r vế phơng trình (a) với rk ta đợc r r r r r r Fka ∂ rk + N k ∂ rk − m k Wk ∂ rk = (b) ViÕt phơng trình (b) cho tất chất điểm hƯ nghÜa lµ cho k = N ta đợc hệ N phơng trình : r r r r r r F a ∂ r1 + N1∂ r1 − m1 W1∂ r1 = ; r r r r r F ∂r2 + N ∂r2 − m W2 ∂r2 = ; r r r r r r Fna ∂ rn + N n ∂ rn − m n Wn ∂ rn = TiÕn hµnh céng vÕ với vế hệ N phơng trình ta đợc : N r N r N r r r a r F ∂ r + N ∂ r − m W ∑ k k ∑ k k ∑ k k ∂ rk = k =1 k =1 (c) k =1 Vì liên kết đặt lên hệ liên kết lý tởng nên số hàng thứ hai phơng N r r trình (c) triệt tiêu : N k ∂ rk = k =1 -227Cuèi cïng ta cã : N r N r r a r F ∂ r − m W ∑ k k ∑ k k ∂ rk = k =1 k =1 N Hay : ∑ (F k =1 k r r − m k Wk )∂ rk = (16-1) Phơng trình (16-1) phơng trình vi phân chuyển động hệ đợc gọi phơng trình tổng quát động lực học dới dạng véc tơ Cũng viết phơng trình dới dạng toạ độ Đề sau N N r r r a a ( X − m x ) ∂ x + ( Y − m y ) ∂ y + ∑ k ∑ k ∑ ( Z ak − m k z k )∂z k = (16-2) k k k k k k N k =1 k =1 k =1 Tõ c¸c phơng trình tổng quát động lực học ta thấy hệ chịu liên kết dừng lý tởng tổng vi phân công hoạt lực lực quán tính luôn không Ta có : N N k =1 k =1 ∑ ∂A ak + ∑ ∂A qak = (16-3) ThÝ dô 16-1 Trôc điều chỉnh ly tâm đặt thẳng đứng quay víi vËn tèc gãc ω ω (h×nh 16-1) Träng lợng O1 văng P1 = P2 = P Trọng lợng B1 trợt CC1là Q Xác địng góc y O2 B2 A1O1 A2O2 hợp với trục quay hàm F1n F2n theo vËn tèc gãc ω Cho A1O1 = A2O2 = 1; O1B1 = O2B2 = B1C1 = B2C2 = a Bài giải : Xem điều chỉnh bao gồm văng A1A2 trợt hệ NÕu A1 C C2 P1 A2 P2 Q3 x Hình 16.1 bỏ qua lực ma sát ổ trục khớp nối ta xem hệ chịu liên kết dừng lý tởng Các hoạt lực tác r r dụng lên hệ bao gồm trọng lợng văng trợt P1 , P2 Q Khi hệ quay ổn định với vận tốc góc lực quán tính hƯ chØ bao gåm c¸c -228- r r lùc qu¸n tính ly tâm F1qt , F2qt hai văng Do đối xứng lực quán tính có trị sè b»ng vµ b»ng : r r P F1qt = F2qt = ω2 l sin α g Ph−¬ng trình tổng quát động lực học viết dới dạng toạ độ Đề chọn nh hình vẽ : P1∂x1 + P2∂x2 - F1qt∂y1 + F2qt∂y2 + Q∂x0 = Để xác định biến phân toạ ®é tõ h×nh vÏ ta cã : x1 = x2 = lcosα ; y1 = -y2 = -lsinα ; xc = 2acosα Suy ra: ∂x1 =∂x2 = -lsinα.∂α; ∂y1 =-∂y2 = -lcos.; xc = -2a.sin.; Thay kết vừa tìm đợc vào phơng trình thiết lập : − 2P.2a sin α∂α + 2P ω l sin α.l cos α∂α − 2Q sin α∂α = g Suy : cos α = Pl + Qa g, Pl ω2 Hay : α = arccos Pl + Qa g Pl ω V× cosα ≤ nên từ kết suy : ω2 ≥ Pl + Qa g Pl ω2 §Ĩ cã gãc t¸ch α cho tr−íc vËn tèc gãc cđa trục lớn Pl + Qa Pl ω g -229ThÝ dô 16-2 Cơ cấu nâng hạ có kết cấu biểu diễn hình (16-2) Bánh xe có trọng P1, bán kÝnh qu¸n tÝnh ρ1 B¸nh xe δϕ1 cã trọng P2, bán kính quán tính Xác Mtqt định gia tèc cđa vËt nỈng A cã träng ε1 δs1 lợng Q ta tác động lên bánh xe m« men quay M δϕ2 M M2qt ε2 ω1 A FAqt Bài giải : Q Xét hệ gồm bánh xe 1, bánh xe Hình 16.2 vật nặng A Coi ma sát trục bánh xe không đáng kể liên kết đặt lên hệ liên kết dừng lý tởng Phơng trình vi phân chuyển động hệ đợc viết dới dạng phơng trình tổng quát cđa ®éng lùc häc N r r a r F ∂ r − m W ∑ k k ∑ k k ∂rk = n k =1 k =1 r r Hoạt lực tác dụng lên hệ bao gồm mô men M trọng lực P1 , P2 , Q r Khi hệ chuyển động, lực quán tính tác dụng lên hệ bao gồm FAqt , M1qt , M qt2 Lùc qu¸n tÝnh cđa vật A xác định : Các mô men lùc qu¸n tÝnh cđa b¸nh xe r Q r FAqt = − WA g M1qt = P1 P ρ1 ε1 ; M qt2 = ρ 22 ε g g r WA gia tốc cđa vËt A ; ε1 vµ ε2 lµ gia tèc góc bánh xe Theo kết cÊu cđa hƯ ta cã: ε1 = WA r ; ε = WA r rr2 Cho hÖ mét di chun kh¶ dÜ víi di chun ∂sA cđa vật A làm sở Theo kết cấu ta suy di chuyển bánh xe : ∂ϕ1 = ∂s A r ; ∂ϕ = r1 r ∂s ∂ϕ = A r2 r2 r Ph−¬ng trình tổng quát hệ động lực học viết cụ thĨ sÏ lµ : -230- Q∂s A − ∂s P P r r ∂s Q WA ∂s A − ρ12 ε A − ρ 22 ε ∂s A + M A = g g r g rr2 r2 r Hay : − Q(1 − WA P W P r2 r ) − ρ12 2A − ρ 22 21 W A + M = g g r g r r2 rr2 Suy : r1 M − rQ r2 WA = ρ12 ρ 22 r12 rQ + P + P1 r r r22 16.2 Phơng trình Lagrang loại II Phơng trình trình tổng quát động lực học viết dới dạng toạ độ suy rộng dợc gọi phơng trình Lagrang loại Xét hệ chịu liên kết dừng lý tởng Phơng trình tổng quát cđa hƯ lµ : N N r N r r r r a r ∑ (Fk = m k Wk )∂ rk = , hay : ∑ Fk ∂ rk − ∑ m k Wk ∂ rk = k =1 k =1 k =1 m r F ∂ r = ∑ k k ∑ Q jq j N Nh biết chơng 14 ta thay : k =1 j=1 Qj lực suy rộng ứng với toạ độ suy rộng qj Để có phơng trình Lagrang loại ta phải biến đổi trực tiếp số hạng N r r m W ∑ k k ∂ rk sang toạ độ suy rộng ta có : k =1 N m N r r r m ∂rrk r ∂rrk m k Wk ∂ rk = ∑ m k Wk (∑ ∂q j ) = ∑ (∑ m k Wk )∂q j ∑ ∂q j k =1 k =1 j=1 ∂q j j=1 k =1 r r r rk rk rk r thay : ∂rk = ( ∂q j + ∂q j + ∂q j + k ) ∂q1 ∂q q m t r N r rk Đặt m k Wk = Zj ta đa phơng trình d¹ng: ∂q j k =1 N N r r m ∑ m k Wk ∂rk = ∑ Z j ∂q j k =1 j=1 Sau tìm biểu thức Zj : -231- r r N r ∂rrk d N r ∂ rk r d ∂ rk Z j = ∑ m k Wk = (∑ m k v k − ∑ m k v k ( ) dt ∂q ∂q1 dt k =1 ∂q k =1 k =1 r r r r r ∂ rk ∂ rk ∂ rk d rk ∂ rk r = q& + q& + q& + ; Thay v k = ∂t dt ∂q 1 ∂q ∂q m r r m ∂r ∂ r r v k = ∑ k q& j + k ∂t j=1 q j N Từ kết suy hai biÓu thøc sau : r r ∂rk ∂v k = ∂q j ∂q& j (e) Thay : r r r r r ∂ rk ∂ rk ∂ rk ∂ rk d ∂ rk ( )= q& + q& + + q& + dt ∂q j ∂q j ∂q 1 ∂q j ∂q 2 ∂q j ∂q m m ∂t∂q r r r ∂ rk ∂v k ∂ m ∂ rk = ∑ = q& j + (∑ q& j + )= ∂ ∂ ∂ ∂ q q t q ∂ q ∂ q ∂ t ∂q j j=1 j j=1 j j j j r r ∂v k d ∂ rk (g) Suy : ( )= ∂q j dt ∂q j m r ∂ rk r ∂ rk Thay kết tìm đợc từ biểu thức (e) (g) vào biểu thức Zj ta đợc : r r N d N r ∂v k r ∂v k Z j = ( ∑ m k v k ) − ∑ m k v k ; dt k =1 ∂q& j ∂q j k =1 v 2k d ∂ N r vk ∂ ( ∑ m v (∑ m k ) = dt ∂q& j k =1 k k ∂q j Hay : Z j = d ∂T ∂T ( )− dt q& j q j Thay kết tìm đợc vào phơng trình (d) ta có : m m N N r r r a r F ∂ r − m W ∂ r = Q ∂ q − ∑ k ∑ k k k ∑ j j ∑ Z j ∂q j = k =1 Hay : k =1 j=1 j=1 d ∂T ∂T ( )− = Q j ( j = m) dt ∂q& j ∂q j (16-4) -232HƯ ph−¬ng trình dạng (16-4) đợc gọi phơng trình Lagrang loại Trong T động hệ Qj lực suy rộng ứng với toạ độ suy rộng qj Trong trờng hợp lực hoạt động lực Q j = phơng trình ∂q j (16-4) trë thµnh : d ∂T ∂T ∂π ( )− =− dt ∂q& j ∂q j ∂q j CÇn chó ý r»ng ( j = m) (16-5) ∂π = , ®ã : ∂q j d ∂T ∂T ∂π ∂π ( − )−( − )= dt ∂q& j ∂q j ∂q j ∂q j Nếu đặt T - = L ( qj , q& j ,t) phơng trình Lagrang loại có d¹ng : d ∂L ∂L ( )− = ( j = m) dt ∂q& j ∂q j (16-6) Thí dụ 16-1 Một trụ tròn đồng chất có khối lợng M chuyển động lăn không trợt mặt phẳng nghiêng lăng trụ hình tam giác có khối lợng m có góc nghiêng với mặt ngang Lăng trụ trợt mặt ngang nhẵn (hình 16-3) Lập phơng trình vi phân chuyển động hệ Xét hệ lăng trụ trụ tròn Cơ hệ chịu liên kết dừng, giữ, hô y nô nôm lý tởng Hoạt lực tác dụng lên hệ gồm cã : Träng lùc r r P vµ Q cđa trụ tròn lăng trụ A O x P Q tam giác Các lực lực có O1 B x Nếu chọn hệ toạ độ suy rộng ®đ cđa hƯ lµ q1 = x vµ q2 = s (h×nh H×nh 16.3 16-3) ta thÊy hƯ cã hai bậc tự phơng trình Lagrang loại có thĨ viÕt d−íi d¹ng : -233- d ∂T ∂T ∂π ( )− =− dt ∂x& j ∂x j ∂x j (a) d ∂T ∂π ∂T =− ( )− ∂s j dt s& j s j (b) r Thế hƯ øng víi lùc P tÝnh nh− sau : π(P) = -Mg.sinα.s + C1 víi C1 lµ h»ng sè ThÕ hệ ứng với lực Q số (Q) = const = C2 Thế hƯ π = - Mg.S.sinα + C ; C lµ h»ng sè Suy : ∂π ∂π = vµ = Mg sin x s Động hệ bao gồm động trụ tròn động lăng trụ Lăng trụ chuyển động tịnh tiến nên động viết : mV mx& T1 = = 2 Trô tròn chuyển động song phẳng nên động tính đợc : ω2 MV = J0 Ttr = 2 V0 vận tốc tuyệt đối trục trụ tròn r r v V0 = Vc + Vr Suy : V0 x = Vcx + Vrx = x& + S& cos α V0 y = Vcy + Vry = y& + S& sin α 2 V02 = Vox + Voy = ( x& + S& cos α ) + ( y& + S& sin α ) = x& + S& + x& 2S& cos α Vor Vr S& s& MR = = = = J = R R R R Thay c¸c kÕt vào biểu thức động hệ ta ®−ỵc : -234ThƯ = [ ] mx& M MR s& + ( x& + S& cos α) + ( y& + S& sin α) + w R2 x& 3M s& = ( M + m) + + M x& S& cos α 2 Suy : ∂T ∂T ∂T =0; =0; = (M + m) x& + MS& cos α ∂x ∂s ∂x& d ∂T ( ) = (M + m)&x& + M&S& cos α dt ∂x& ∂T 3M & d ∂T 3M && = S + Mx& cos α ; ( ) = S + M&x& cos α s& dt s& Phơng trình vi phân chuyển động hệ phơng trình Lagrang loại nhận đợc : && cos α = ; (M + m)&x& + MS 3M && S + M&x& cos α = Mg sin Từ hệ phơng trình ta tìm đợc : &x& = Mg sin 0 3(M + m) − 2M cos Nếu ban đầu hệ đứng yên sau trụ tròn lăn xuống lăng trụ trợt qua phải Các chuyển động chuyển động biến đổi Thí dụ 16-2 Con lắc eliptic gồm trợt A cầu B z nối với A b»ng mét treo AB Cho biÕt khèi l−ỵng trợt m1, khối lợng cầu m2, khối lợng treo không đáng kể Con trợt y A A trợt theo phơng AY mặt phẳng ngang nhẵn Con lắc AB quay tròn quanh trục A mặt phẳng thẳng đứng oxy (hình 16-4) Thiết lập phơng trình vi phân hệ y l B Hình 16.4 -235Bài giải Xét hệ gồm trợt A lắc AB Có thể chọn hai toạ độ suy rộng đủ hệ : q1 = y q2 = Phơng trình vi phân hệ viết dới dạng : d ∂T ∂T ( )− = Qy ; dt ∂y& ∂y d ∂T ∂T ( )− = Qϕ dt & Với T động hệ, Qy Q lực suy rộng ứng với toạ độ suy rộng y r r Các hoạt lực tác dụng lên hệ gồm P1 P2 lực nên viết : Qy = − ∂π ∂π ; Qϕ = − y Thế hệ tính nh− sau : π = -m2g.x + const = -m2glcosϕ + const Suy : − ∂π ∂π = Q ϕ = m gl sin ϕ = Q y = vµ − ∂ϕ ∂y T = TA + TB Động hệ m1VA2 m1 y& Động trợt : TA = = 2 m1VB2 m1 = ( x& B + y& 2B ) Động cầu : TB = 2 Víi xB = lcosϕ vµ x& B = −lϕ sin ϕ ; yB = y + lsinϕ vµ y& B = y& + lϕ& cos ϕ Ta cã : TB = m2 [(−lϕ sin ϕ) ] + ( y& + lϕ& cos ϕ) = Biểu thức động hệ thu đợc : m2 2 (l ϕ& + y& + 2ly& ϕ& cos ϕ) -236T = TA + TB = Tõ ®ã suy : m y& 2 + m2 (l ϕ& + y& + 2ly& ϕ& cos ϕ) ∂T = m l ϕ& + m ly& cos ϕ ; ∂ϕ d ∂T && + m l&y& cos ϕ − m ly& ϕ& sin ϕ ; ( ) = m 2l2ϕ dt ∂ϕ& ∂T = (m + m1 ) y& + m lϕ& cos ϕ ; ∂y& d ∂T && cos ϕ − ϕ& sin ϕ ) ; ( ) = (m1 + m )&y& + m l(ϕ dt ∂ϕ& ∂T =0; ∂ϕ ∂T = −m l o ϕ& y& sin ϕ Thay giá trị tìm đợc vào phơng trình vi phân hệ ta đợc : && + m l&y& cos ϕ − m ly& ϕ& sin ϕ + m ly& ϕ& sin ϕ = −m gl sin ϕ ; m2l2ϕ && cos ϕ − m lϕ& sin ϕ = (m1 + m )&y& + m lϕ Sau rút gọn đợc phơng trình vi phân chuyển động hÖ : && + cos ϕ&y& + g sin ϕ = ; lϕ && cos ϕ − m lϕ& sin ϕ (m1 + m )&y& + m lϕ ... độ lớn, phơng, chiều véc tơ theo c¸c biĨu thøc sau: r R = R 2x + R y + R 2z ; cos(R,X) = Rx ; R cos(R,Y) = Ry R ; cos(R,Z) = Rz R Véc tơ véc tơ tự 2.1.2 Mô men hệ lực Véc tơ mô men hệ lực tâm... chiều véc tơ mô men đợc xác định theo biểu thøc sau: Mo = M x + M y + M z cos(Mo,x) = Mx ; Mo cos(Mo,y) = r My Mo ; cos(Mo,z) = Mz Mo r Khác với véc tơ R véc tơ mô men M o véc tơ buộc phụ thuộc... hutonline.net Bách Khoa Online: hutonline.net Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com -15- Bách Khoa Online: hutonline.net Ch−¬ng Lý thut vỊ hƯ lùc Trong tĩnh