giao trinh co hoc ly thuyet tom tat ly thuyet va bai tap mau

CƠ HỌC LÝ THUYẾT (Tóm tắt lý thuyết & Bài tập mẫu) Mục lục ĐỘNG HỌC Phương pháp mô tả chuyển động 1.1 Hệ tọa độ 1.2 Luaät chuyển động - Vận tốc - Gia 1.3 Vài chuyển động quan trọng Chuyển động cố thể 2.1 Trường vận tốc cố thể 2.2 Hợp chuyển động 1 5 ĐỘNG LỰC HỌC Các đònh luaät Newton 1.1 Lực 1.2 Hai toán động lực hoïc 1.3 Các đònh lý tổng quát động lực hoïc 8 10 CƠ HỌC GIẢI TÍCH Các khái niệm Phương trình Lagrange 2.1 Phương trình tổng quát động lực học 2.2 Phương trình Lagrange loại hai 2.3 Trường hợp hệ bảo toàn 2.4 Thủ tục thiết lập phương trình Lagrange 15 15 16 16 16 17 18 BÀI TẬP toác loaïi hai 19 ii MỤC LỤC iii LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP 33 A Đề thi mẫu 52 B Đề thi môn Cơ học lý thuyết Tài liệu tham khảo 60 67 Chương ĐỘNG HỌC Để hiều biết cách giải toán học sinh viên thiết phải nắm vững lý thuyết học Phần lý thuyết tóm lược điểm chính, sinh viên nên học lại phần lý thuyết tương ứng sách lý thuyết Phương pháp mô tả chuyển động Kiến thức cần biết: (1) đại số vectơ (2) giải tích vectơ (xem Ch 0, [1]) Làm tập từ đến 1.1 Hệ tọa độ Hình 1: Vectơ sở đòa phương CHƯƠNG ĐỘNG HỌC + Hệ tọa độ Descartes: M(x, y, z) ⇔ r = xi + yj + zk ⇒ dr = (dx)i + (dy)j + (dz)k (1.1) (1.2) + Hệ tọa độ trụ: M(r, ϕ, z) ⇔ r = rer + zez ⇒ dr = (dr)er + (rdϕ)eϕ + (dz)ez (1.3) (1.4) er , eϕ , ez vectơ sở đòa phương tọa độ trụ M + Hệ tọa độ cầu: M(r, ϕ, θ) ⇔ r = rer ⇒ dr = (dr)er + (rdϕ)eϕ + (rdθ)eθ (1.5) (1.6) er , eϕ , eθ vectơ sở đòa phương tọa độ cầu M Hệ tọa độ Quan hệ với tọa độ Descartes Trụ x = r cos ϕ (r, ϕ, z) y = r sin ϕ z=z Caàu x = r sin θ cos ϕ (r, ϕ, θ) y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ Vectơ sở đòa phương er = cos ϕi + sin ϕj eϕ = − sin ϕi + cos ϕj ez = k er = sin θ(cos ϕi + sin ϕj) + cos θk eϕ = sin θ(− sin ϕi + cos ϕj) eθ = cos θ(cos ϕi + sin ϕj) − sin θk Hình 2: Vectơ sở đòa phương tọa độ tự nhiên Trên đường cong C, chọn điểm M0 chiều dương C Hoành độ cong điểm M C số đại số s có trò tuyệt đối chiều dài cung M0 M lấy dấu cộng chiều từ M0 đến M chiều dương, dấu trừ ngược lại CHƯƠNG ĐỘNG HỌC Hình thể vectơ sở đòa phương hệ tọa độ tự nhiên (hoành độ cong s) đường cong có phương trình tham số r = r(s) Vectơ tiếp tuyến đơn vò t: t= dr ds (1.7) Vectơ pháp tuyến đơn vò n xác đònh cho dt = kn = n, ds ρ (1.8) k = 1/ρ độ cong, ρ bán kính cong (của đường cong) M Chú ý, vectơ pháp tuyến đơn vò n hướng bề lõm đường cong C Vectơ lưỡng pháp tuyến đơn vò: b = t × n (1.9) M(s) ⇔ r = r(s) (1.10) + Tọa độ tự nhiên: ⇒ dr = (ds) 1.2 dr = (ds)t ds (1.11) Luật chuyển động - Vận tốc - Gia tốc Phương pháp Vectơ Descartes {i, j, k} Truï {er , eϕ , k} Cực {er , eϕ} Tự nhiên {t, n, b} Luật chuyển động  r = f(t)  x = f(t) y = g(t)   z = h(t)  r = f(t) ϕ = g(t)  z = h(t) r = f(t) ϕ = g(t) s = f(t) Vận tốc r Gia toỏc ăr (x, y, z) (ă x, yă, ză) (r, r, z) (ă r r , 2r + r, ă ză) (r, r) (ă r r , 2r + r) ă (v, 0), v = s˙ v, ˙ v2 ρ CHƯƠNG ĐỘNG HỌC Tốc độ v = |v| Trong tọa độ tự nhiên, tốc độ v = s, ˙ gia tốc tiếp wt = v, ˙ gia tốc pháp wn = v /ρ Công thức tính bán kính cong (ký hiệu w = |w|): ρ= v2 w2 − wt2 (1.12) Tích vô hướng v · w vận tốc gia tốc thể nhanh chậm chuyển động   > nhanh daàn v · w = v v˙ < chậm dần  = 1.3 (1.13) Vài chuyển động quan trọng Chuyển động tròn Điểm chuyển động tròn Oxy quanh O Ký hiệu: r - vectơ đònh vò điểm, ϕ - góc quay, ω = ϕ˙ - vận tốc góc, ω = ωk - vectơ vận tốc góc Vận tốc điểm v = ω × r (1.14) w = × r −ω r, (1.15) Gia tốc điểm wt wn = dω/dt ( = dω/dt) vectơ gia tốc góc Nếu chuyển động v = ωR (ω = const) gia tốc hướng tâm w = ω R (R - bán kính quỹ đạo) Chuyển động có gia tốc xuyên tâm gia tốc xuyên tâm ⇔ r × v = c (const)⇒ Quỹ đạo phẳng ⇔ vận tốc diện tích dσ = 12 r × v = 12 c (const) dt CHƯƠNG ĐỘNG HỌC Công thức Binet: mc2 d2 r2 dϕ2 r + = −F r (1.16) ◦ Phân loại toán động học điểm Bài toán thứ nhất: Tìm phương trình chuyển động (luật chuyển động), phương trình quỹ đạo, vận tốc, gia tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp, bán kính cong quỹ đạo Bài toán thứ hai: Khảo sát chuyển động nhanh dần đều, chậm dần Chuyển động cố thể Cố thể hệ mà khoảng cách điểm không thay đổi trình chuyển động Vò trí cố thể xác đònh ba điểm không thẳng hàng 2.1 Trường vận tốc cố thể Đònh lý Trường vận tốc cố thể (S) trường đẳng chiếu ✲ ✲ v(M)· MN= v(N)· MN ∀M, N ∈ (S) (1.17) Chuyển động tònh tiến Cố thể (S) chuyển động tònh tiến vectơ nối hai điểm luôn phương với Trường vận tốc, gia tốc chuyển động tònh tiến trường Chuyển động (S) dẫn chuyển động điểm thuộc (S) Chuyển động quay quanh trục cố đònh Cố thể (S) chuyển động quay quanh trục cố đònh có hai điểm cố đònh Trục quay đường thẳng qua hai điểm cố đònh Các điểm nằm trục quay chuyển động tròn với tâm nằm trục quay Gọi k vectơ đơn vò trục quay (Oz), ϕ góc quay CHƯƠNG ĐỘNG HỌC Phương trình chuyển động: ϕ = ϕ(t) Trường vận tốc: v(M) = ω × r, (1.18) w(M) = × r + ω × (ω × r), (1.19) ω = ϕk ˙ vectơ vận tốc góc Trửụứng gia toỏc: ủoự = k ă laứ vectụ gia tốc góc Gia tốc tiếp w t = wn = ω × (ω × r) × r, gia tốc pháp Chuyển động tổng quát Chuyển dòch cố thể từ vò trí sang vò trí khác, khoảng thời gian vô béù (chuyển động tức thời), thực nhờ chuyển động tònh tiến, tương ứng với chuyển dòch điểm, chuyển động quay quanh trục qua điểm Trường vận tốc cố thể chuyển động tổng quát (công thức Euler): ✲ v(M) = v(C) + ω(t)× CM (1.20) Chuyển động song phẳng Cố thể (S) chuyển động song phẳng có ba điểm không thẳng hàng luôn chuyển động mặt phẳng (π) cố đònh Khi khảo sát chuyển động song phẳng ta cần xét chuyển động tiết diện (phần giao cố thể với (π)) Chuyển động tức thời cố thể gồm: chuyển động chuyển động quay quanh trục vuông góc với (π), chuyển động tònh tiến xác đònh chuyển động giao điểm trục quay tức thời với mặt phẳng (π) gọi tâm vận tốc tức thời ◦ Phân loại toán động học cố thể Bài toán thứ nhất: Khảo sát chuyển động quay cố thể quanh trục cố đònh Vấn đề: tìm ϕ, ω, cố thể; vận tốc, gia tốc điểm cố thể Bài toán thứ hai: Bài toán chuyền động Bài toán thứ ba: Kết hợp với chuyển động quay với chuyển động tònh tiến 2.2 Hợp chuyển động • Hệ quy chiếu cố đònh (T ) = Oxyz, chuyển động M (T ) gọi chuyển động tuyệt đối va , wa - vận tốc, gia tốc M (T ), CHƯƠNG ĐỘNG HỌC gọi vận tốc, gia tốc tuyệt đối M • Hệ quy chiếu động (T1) = O1 x1y1z1 ((T1) chuyển động (T )), chuyển động M (T1) gọi chuyển động tương đối vr , wr - vận tốc, gia tốc M (T 1), gọi vận tốc, gia tốc tương đối M • Chuyển động (T1) (T ) gọi chuyển động theo Chuyển động điểm P , gắn với (T1) trùng với M thời điểm xét, (T ) gọi chuyển động theo M ve , we - vận tốc, gia tốc P (T ), gọi vận tốc, gia tốc theo M Công thức cộng vận tốc: va = vr + ve (1.21) wa = wr + we + wc , (1.22) wc = 2ω × vr (1.23) Công thức cộng gia tốc: gia tốc Coriolis sinh chuyển động quay (T1) (T ) ◦ Phân loại toán hợp chuyển động Bài toán thứ nhất: Bài toán tổng hợp chuyển động Bài toán thứ hai: Bài toán phân tích chuyển động Chuyển động song phẳng chuyển động cố thể có ba điểm không thẳng hàng thuộc cố thể luôn chuyển động mặt phẳng cố đònh Chuyển động song phẳng xét cách khảo sát chuyển động hình phẳng S thuộc cố thể nằm mặt phẳng cố đònh Giao điểm trục quay tức thời cố thể với mặt phẳng cố đònh gọi tâm quay hay tâm vận tốc tức thời ◦ Phân loại toán chuyển động song phẳng Tính vận tốc góc hình phẳng, tính vận tốc điểm hình phẳng Tính gia tốc góc hình phẳng, tính gia tốc điểm hình phẳng Thí dụ chuyển động song phẳng sinh viên đọc kỹ lời giải tập 3.2, 3.3, [1] Phụ lục A Đề thi mẫu Câu (2đ) Một ong bay quỹ đạo theo luật chuyển động cho tọa độ cực r= bt t (2τ − t), ϕ = τ τ (0 ≤ t ≤ 2τ ), b τ số dương Chứng tỏ tốc độ nhỏ ong b/τ Tìm gia tốc ong thời điểm Câu (2đ) Một chất điểm P khối lượng m chuyển động lực hấp dẫn Hình 1: Câu vật có khối lượng M đặt O Ban đầu P cách O khoảng cách a, bắn xa O với tốc độ (2MG/a) 1/2 Tìm khoảng cách từ P đến O thời điểm t Chứng tỏ P chuyển động vô Ở G số hấp dẫn Câu (1đ) Cho đóa tròn đồng chất bán kính a, khối lượng M Để thay đổi mômen quán tính đóa người ta gắn thêm vào đóa khối lượng m cách tâm khoảng cách a/2 Tính mômen quán tính hệ trục qua tâm 52 PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 53 Hình 2: Câu vuông góc với đóa Nếu không thêm khối lượng m trục phải dời song song đến điểm đóa để mômen quán tính trường hợp trước? Câu (2.5đ) Một đóa tròn khối lượng M bán kính a quay không ma Hình 3: Câu sát quanh trục nằm ngang qua tâm Một bọ khối lượng m chạy với vận tốc không đổi u quanh mép đóa Ban đầu đóa giữ trạng thái nghỉ thả bọ vò trí thấp Tính mômen động lượng hệ (gồm đóa bọ) trục quay Viết phương trình biến thiên động lượng hệ Chứng tỏ raèng ϕ˙ = 4mg u2 (cos ϕ − 1) + a(M + 2m) a ϕ góc xác đònh vò trí bọ so với phương thẳng đứng hướng xuống Câu (2.5đ) Một ống trụ bán kính a, lượng P1 có xung quanh sợi dây Dây vắt qua ròng rọc cố đònh O nối với vật nặng A trọng lượng P2 Vật A trượt mặt phẳng ngang có hệ số ma sát f Bỏ qua ma sát ổ trục O Viết phương trình Lagrange loại hai cho hệ Tìm gia tốc A tâm C ống trụ Chú thích Đề thi gồm câu cấu trúc sau: Câu - Động học điểm; kiểm tra kiến thức kỹ tính toán PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 54 Hình 4: Câu khái niệm động học bản: phương trình (luật) chuyển động, quỹ đạo, vận tốc, gia tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp, bán kính cong Câu - Động lực học điểm; kiểm tra khả thiết lập phương trình vi phân chuyển động kỹ giải phương trình vi phân Câu - Kiểm tra kiến thức khối tâm, mômen quán tính Câu - Kiểm tra kỹ vận dụng ba đònh luật tổng quát (động lượng, mômen động lượng động năng) Câu - Cơ học giải tích; kiểm tra kỹ phân tích liên kết, thiết lập phương trình Lagrange loại hai Đáp án Câu Vận tốc ong thời điểm t: vr = 2b (τ − t), τ2 vϕ = bt (2τ − t) τ3 Tốc độ ong thời điểm t: v = v b τ2 4(τ − t)2 + (2τ t − t2 )2, τ2 b2 = f(t) τ Ở ta đặt f(t) = 4(τ − t) + τ12 (2τ t − t2)2 Để tìm tốc độ nhỏ PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 55 ong ta khảo sát hàm f(t) f (t) = −8(τ − t) + = − (2τ t − t2 )(2τ − 2t) τ (τ − t)(t2 − 2τ t + 2τ ) τ Xét dấu f (t) khoảng [0, 2τ ] thấy f(t) nhỏ (và vận tốc nhỏ nhất) t = τ Vận tốc nhỏ b/τ Gia tốc ong thời điểm t: wr = − bt 2b − (2τ − t), τ τ wϕ = 4b (τ − t) τ3 Luùc t = τ , wr = − 3b , τ2 wϕ = ⇒ w = 3b τ2 Câu Chọn hệ tọa độ hình vẽ Lực tác dụng: lực hấp dẫn có độ lớn F = GMm/x2 hướng O Phửụng trỡnh vi phaõn chuyeồn ủoọng mă x= GMm GM xă = x x Kyự hieọu v = x xă = v Nhaõn vào hai vế phương trình với vdt = dx, ta GMdx d(v ) = − x2 Tích phân hai vế từ thời điểm đầu đến thời điểm t: v(t)2 − v(0)2 = 2GM 1 − x(t) x(0) PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 56 Dùng điều kiện đầu, v(0)2 = 2MG/a, x(0) = a, ta suy v(t) = 2GM x(t) Nhaân vào hai vế với dt, ta dx = √ 2GM dt ⇒ x1/2dx = 2GM dt x Tích phân hai vế, ta x(t)3/2 − x(0)3/2 = 3√ 2GM t ⇒ x(t) = a3/2 + 3√ 2GM t 2/3 Đây khoảng cách từ O đến P thời điểm t Cho t → ∞, x(t) → ∞, nghóa P chuyển động vô Câu Mômen quán tính hệ có tính chất cộng tính Gọi ∆ trục qua tâm (khối tâm đóa), ta có a J = Ma2 + m 2 = a2(2M + m) Gọi ∆ trục cần tìm d khoảng cách hai trục Theo đònh lý Huygens, J∆ = J∆ + Md2 = Ma2 + Md2 Để mômen quán tính trường hợp trước, ta phải có a2 (2M + m) a Ma2 + Md2 = ⇒d= m M PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 57 Vậy trục ∆ phải chọn qua điểm cách tâm đóa khoảng cách d xác đònh Câu Gọi θ góc quay đóa (chiều chọn hình vẽ) Đóa thực chuyển động quay nên mômen động lượng trục quay ˙ Lđ = J θ˙ = Ma2θ Chuyển động bọ gồm: chuyển động tương đối - chuyển động tròn với vận tốc dài không đổi u; chuyển động theo chuyển động quay quanh trục với đóa Vận tốc tuyệt đối bọ: ˙ −u + aθ (chú ý kỹ cách chọn chiều quay dương) Mômen động lượng bọ: ˙ Lb = −ma(u − aθ) Mômen động lượng hệ trục quay: ˙ L = Lñ + Lb = Ma2 θ˙ − ma(u − aθ) Lực tác dụng lên hệ: trọng lực đóa bọ Lực tác dụng lên đóa quy lực đặt điểm mà trục quay qua nên mômen lực không Mômen lực tác dụng lên hệ mômen lực tác dụng lên bọ: MO = mga sin ϕ (chú ý kỹ cách chọn chiều quay dương) Ở ϕ góc xác đònh vò trí bọ phương thẳng đứng hướng xuống Áp dụng đònh lý biến thiên mômen động lượng hệ, d ˙ Ma2 θ˙ − ma(u − aθ) dt = mga sin (M + 2m)a2ă = mga sin PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 58 Để ý góc chuyển động bọ thời điểm t so với vò trí ban đầu θ + ϕ Con bọ chuyển động nên a(θ + ϕ) = ut, suy = (u/a) , ă ă = Thay vaứo phửụng trỡnh bieỏn thieõn moõmen ủoọng lửụùng ta ủửụùc sau moọt soỏ bieỏn ủoồi: ă = − 2mg sin ϕ a(M + 2m) Nhaân hai vế với ϕdt ˙ = dϕ, ta được: 2mg d(ϕ) ˙ 2=− sin ϕdϕ a(M + 2m) Tích phân hai vế từ thời điểm đầu đến thời điểm t: 2mg [ϕ(t) ˙ − ϕ(0) ˙ 2] = [cos(ϕ(t)) − cos(ϕ(0))] a(M + 2m) Dùng điều kiện đầu, ϕ(0) = 0, ϕ(0) ˙ = u/a, ta suy ra: ϕ˙ = u2 4mg (cos ϕ − 1) + a(M + 2m) a Caâu Hệ: ống trụ tâm C vật A Vật A thực chuyển động tònh tiến theo phương ngang Hình trụ thực chuyển động song phẳng, bao gồm: tònh tiến theo phương thẳng đứng (cùng với A) quay (tức thời) quanh B Hệ có bậc tự Tọa độ suy rộng: x - vò trí A theo phương ngang, ϕ góc quay ống trụ Các lực chủ động: trọng lực P1 , lực ma sát F ms = fP2 , trọng lực P2 Động A: TA = P2 x˙ 2g Để tính động ống trụ, dùng công thức tính động theo khối tâm C, trước hết ta tính vận tốc C công thức Euler (điểm cực B - tâm PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 59 quay tức thời) vC = x˙ +aϕ˙ ⇒ wC = xă + a ă vB ẹoọng naờng oỏng truù (J = Ma2 ) TC = P1 P1 P1 (x˙ + aϕ) ˙ + J ϕ˙ = (x˙ + 2ax˙ ϕ˙ + a2 ϕ˙ 2) + a2 ϕ˙ 2g 2g 2g Động heä: T = TA + TC = P1 + P2 P1 a P1 a2 x˙ + x˙ ϕ˙ + ϕ˙ 2g g g Công lực chủ động (giúp tìm lực suy rộng): −f P2 δx + P1 δx + P1 aδϕ ⇒ Qx = −fP2 + P1 , Qϕ = P1 a Tính đạo hàm thay vào phương trình Lagrange, ta được: P1 a P1 + P2 xă + ă = fP2 + P1 , g g P1 a 2P1 a2 xă + ă = P1 a g g Giaỷi ta ủửụùc xă = g(P1 2f P2 ) P1 + 2P2 ă = gP2 (1 + 2f) g(P1 + P2 ) ⇒ wC = a(P1 + 2P2 ) P1 + 2P2 (gia tốc A), (gia tốc C) Phụ lục B Đề thi môn Cơ học lý thuyết Thời gian: 120 phút Ngày thi: 4/6/2009 (Sinh viên phép tham khảo tài liệu đònh) Câu (2đ) Điểm chuyển động đường cycloid, x = a(θ − sin θ), y = a(1 − cos θ), theo luaät θ = bt/a, a b số dương Ở thời điểm bất kỳ, xác đònh vận tốc, gia tốc điểm bán cong quỹ đạo vò trí điểm Câu (2.5đ) Một vật khối lượng m trượt không ma sát mặt phẳng nghiêng góc α (0 < α < π/2) so với phương ngang Cho biết vật chòu sức cản không khí có độ lớn tỉ lệ với bình phương vận tốc, kv Ban đầu vật đỉnh dốc O buông không vận tốc đầu Viết phương trình vi phân chuyển động vật Chứng minh vận tốc vật biến thiên theo quy luật v= mg sin α (1 − e−2kx/m ), k x khoảng cách từ vật đến đỉnh dốc Tìm vận tốc giới hạn vật Câu (1đ) Một lắc đồng hồ gồm: đồng chất chiều dài 2a, khối lượng m đóa tròn đồng chất bán kính a/2, khối lượng M gắn với hình Tính mômen quán tính lắc trục qua O (điểm thanh), cho biết OC = 3a/4 60 PHỤ LỤC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 61 Hình 1: a) Câu 3; b) Câu Câu (2đ) Một vật khối lượng 4m trạng thái nghỉ (đứng yên) bò nổ tung thành ba mảnh có khối lượng 2m, m m Sau nổ tung, hai mảnh khối lượng m quan sát thấy chuyển động với tốc độ u theo hai hướng hợp với góc 120o Tìm vận tốc mảnh có khối lượng 2m Tính động toàn phần hệ (gồm ba mảnh) Vò trí ban đầu vật điểm hệ? Câu (2.5đ) Con lăn A lăn không trượt mặt phẳng nghiêng góc α so với phương ngang, làm vật C trọng lượng P nâng lên nhờ sợi dây vắt qua ròng rọc B Con lăn A ròng rọc B hai đóa tròn đồng chất có trọng lượng Q bán kính R Bỏ qua ma sát lăn ma sát trục ròng rọc Viết phương trình Lagrange loại hai cho hệ Chứng minh gia tốc C baèng wC = (Q sin α − P )g 2Q + P Hãy điều kiện kiện đầu (không cho cách tường minh) Đáp án Câu Vận tốc: x˙ = b(1 − cos θ), y˙ = b sin θ ⇒ v = b 2(1 − cos θ) Gia toác: xă = b2 sin , a yă = b2 b2 cos θ ⇒ w = a a PHUÏ LUÏC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 62 Tính bán kính cong Gia tốc tiếp: wt = v˙ = b2 a sin θ 2(1 − cos θ) Gia tốc pháp: wn = w2 − wt2 = b2 a − cos θ Suy v2 ρ= = 2a wn 2(1 − cos θ) Câu Hình 1: Câu Hệ quy chiếu chọn hình vẽ, trục Ox hướng song song với mặt nghiêng Lực tác dụng lên vật: trọng lực P, phản lực N lực cản không khí Fc Chiếu phương trình vi phân chuyển động (đònh luật thứ hai Newton) leõn truùc x, ta ủửụùc: mă x = mg sin α − k x˙ Nhân vào hai vế với xdt ˙ = dx, ta được: m d(v 2) = (mg sin α − kv 2)dx, v = x ˙ Tách biến, md(v 2) = dx, 2(mg sin α − kv 2) PHỤ LỤC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 63 tích phân hai vế (chú ý, biến lấy tích phân bên vế trái v 2), ta được: m − ln |mg sin α − kv 2| 2k v2 v2 (0) = x − x(0) Dùng điều kiện đầu, v(0) = 0, x(0) = 0, mg sin α − kv mg sin α ln =− 2kx , m suy v= mg sin α (1 − e−2kx/m ) k Qua giới hạn, t → ∞, ta thu (do x → ∞): vgh = lim x→∞ mg sin α (1 − e−2kx/m ) = k mg sin α k Caâu Mômen quán tính trục qua O: 4ma2 Jt = m(2a)2 = 3 Mômen quán tính đóa trục qua O (dùng công thức Huygens): a Jđ = M 2 +M 3a = 11Ma2 16 Vậy, mômen quán tính lắc trục qua O: J = Jt + Jđ = 4m 11M + 16 a2 PHUÏ LUÏC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 64 Hình 2: Câu Câu Hệ gồm ba vật có khối lượng m, m, 2m (ban đầu chúng kết dính với nhau) Theo giả thiết ban đầu chúng đứng yên, điều có nghóa lực tác dụng lên chúng không! Ta áp dụng đònh lý bảo toàn động lượng Gọi v độ lớn vận tốc vật 2m Do động lượng ban đầu hệ không nên động lượng hệ lúc sau Do vận tốc vật 2m có phương chiều hình vẽ, độ lớn tính nhờ bảo toàn động lượng mu cos 60o + mu cos 60o − 2mv = ⇒ v = u Động hệ: T = mu2 mu2 2m u + + 2 2 = 5mu2 Vò trí ban đầu vật (O) khối tâm hệ Câu Cơ hệ gồm: lăn A, ròng rọc B, vật C Lực chủ động tác dụng lên hệ: trọng lực Q, phản lực NA , trọng lực Q, phản lực NB , trọng lực P (xem hình vẽ) Liên kết: Con lăn A chuyển động song phẳng Chuyển dòch tònh tiến s quay quanh tâm góc ϕ Do lăn trượt nên δs = Rδϕ (s˙ = Rϕ) ˙ Ròng rọc B thực chuyển động quay góc ϕ (chọn gốc thích hợp) Vật C dòch chuyển tònh tiến x Do dây không giãn δx = δs (x˙ = s) ˙ Như vậy, hệ có bậc tự do, chọn tọa độ suy rộng x (tọa độ vật C) PHỤ LỤC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT Hình 3: Câu Động lăn A: TA = Q QR2 3Q s˙ + ϕ˙ = x˙ 2g 4g 4g Động ròng rọc B: TB = Q QR2 ϕ˙ = x˙ 4g 4g Động vật C: TC = P x˙ 2g Động hệ: T = TA + TB + TC = P + 2Q x˙ 2g Công toàn phần lực chủ động tác dụng lên hệ: δW = Q sin αδs − P δx = (Q sin α − P )δx Do đó, lực suy rộng Qx = Q sin α − P 65 PHỤ LỤC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 66 Tính đạo hàm thay vào phương trình Lagrange, ta được: P + 2Q (Q sin P )g xă = Q sin P wC = xă = g P + 2Q Điều kiện: để vật C lên ta phải có điều kiện Q sin α ≥ P Lời bàn Câu Câu thường làm cho bạn lúng túng lực tác dụng lên hệ Tuy nhiên, để ý đến cụm từ "ở trạng thái nghỉ (đứng yên)" ta xem, theo đònh luật thứ Newton, hệ không chòu tác dụng lực cả, hay nói khác đi, lực tác dụng lên hệ cân Câu Một số bạn cho hệ có bậc tự do! Thật với điều kiện "lăn Hình 4: Tính động chuyển động song phẳng không trượt" lăn có bậc tự Một số bạn áp dụng máy móc cách tính động lăn giống cách tính động ống trụ (câu đề thi mẫu) Như hình 4a), ống trụ thực chuyển động song phẳng phân tích cách chọn B làm điểm cực, gồm: chuyển động tònh tiến điểm B chuyển động quay quanh trục qua B ống trụ Còn này, hình 4b), chuyển động lăn gồm: chuyển động tònh tiến điểm A chuyển động quay quanh A lăn Các bạn nên đọc lại lời giải hai trường hợp để so saùnh ... Trụ x = r cos ϕ (r, ϕ, z) y = r sin ϕ z=z Caàu x = r sin θ cos ϕ (r, ϕ, θ) y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ Vectơ sở đòa phương er = cos ϕi + sin ϕj eϕ = − sin ϕi + cos ϕj ez = k er = sin θ(cos ϕi... sin ϕj) + cos θk eϕ = sin θ(− sin ϕi + cos ϕj) eθ = cos θ(cos ϕi + sin ϕj) − sin θk Hình 2: Vectơ sở đòa phương tọa độ tự nhiên Trên đường cong C, chọn điểm M0 chiều dương C Hoành độ cong điểm... độ cong vòng tròn: x = a cos θ, y = a sin θ, z = taïi điểm có tham số θ ĐS t = − sin θi + cos θj, n = − cos θi − sin θj, k = 1/a 10 Tìm vectơ tiếp tuyến đơn vò, vectơ pháp tuyến đơn vò độ cong