Giáo trình cơ học lý thuyết 2-Phần động lực học

"Don't study, don't know - Studying you will know!" NGUYEN TRUNG HOA Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC CHƯƠNG I CÁC ĐỊNG LUẬT CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM §1 BÀI MỞ ĐẦU Trong phần Tĩnh học nghiên cứu lực cân vật thể tác dụng lực với giả thuyết lực không thay đổi theo thời gian Trong phần Động học, nghiên cứu chuyển động vật thể mặt hình học khơng tính đến nguyên nhân làm thay đổi chuyển động Trên thực tế, số lớn lực đại lượng biến đổi phụ thuộc vào nhiều tham số Quy luật chuyển động vật thể phụ thuộc vào hình dáng, kích thước, khối lượng vật lực tác dụng lên Động lực học phần học nghiên cứu quy luật chuyển động vật thể tác dụng lực Lý thuyết động lực học xây dựng định luật động lực học Chúng kết hàng loạt thí nghiệm quan sát kiểm nghiệm qua thực tiễn Những định luật lần Newton trình bày cách có hệ thống năm 1687 người ta cịn gọi định luật Newton định luật học cổ điển §2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Khơng gian, thời gian : Như biết, chuyển động học dời chỗ vật thể không gian theo thời gian Không gian thời gian hiểu theo nghĩa tuyệt đối cổ điển (Khác với khái niệm không gian, thời gian lý thuyết tương đối) Chương I Các định luật ĐLH- PTVP chuyển động Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Trang GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Quán tính : Thực tế cho thấy tác dụng lực lên hai vật thể tự khác nhau, nói chung chúng chuyển động khác Tính chất vật thể thay đổi vận tốc chuyển động nhanh hay chậm có lực tác dụng gọi quán tính Đại lượng dùng để đo lượng qn tính khối lượng Chất điểm : Để nghiên cứu chuyển động vật thể có kích thước nhỏ so với độ dời chúng, người ta đưa vào khái niệm chất điểm Chất điểm vật thể có khối lượng mà kích thước bỏ qua nghiên cứu chuyển động Cơ hệ : Cơ hệ tập hợp chất điểm mà chuyển động chất điểm liên quan đến chuyển động chất điểm khác thuộc hệ Vật rắn : Vật rắn hệ đặc biệt, khoảng cách phần tử (chất điểm) vật luôn không đổi Hệ quy chiếu : Để xác định chuyển động hệ (hay chất điểm) đó, người ta phải lấy vật chuẩn làm mốc Hệ toạ độ gắn với vật chuẩn gọi hệ quy chiếu Nếu toạ độ tất điểm thuộc hệ hệ quy chiếu chọn, ln ln khơng đổi ta nói vật đứng yên hệ quy chiếu Trong trường hợp ngược lại, toạ độ số chất điểm thuộc hệ thay đổi theo thời gian ta nói hệ chuyển động hệ quy chiếu chọn Chương I Các định luật ĐLH- PTVP chuyển động Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Trang GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC §3 CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN Định luật quán tính (Định luật I) : Chất điểm khơng chịu tác dụng lực giữ nguyên trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng chất điểm gọi chuyển động theo quán tính Theo định luật khơng có lực tác dụng lên chất điểm hợp lực G tác dụng lên chất điểm véctơ vận tốc v chất điểm không đổi độ G lớn lẫn hướng gia tốc w = Hệ quy chiếu thoả mãn định luật quán tính gọi hệ quy chiếu quán tính Định luật động lực học (Định luật II) : Dưới tác dụng lực, chất điểm tự chuyển động với gia tốc hướng với hướng lực có độ lớn tỷ lệ với độ lớn lực : G G F = m.W (1.1) Trong m khối lượng chất điểm Hệ thức (1.1) gọi phương trình động lực học Từ hệ thức (1.1) thấy tác dụng lực, chất điểm có khối lượng nhỏ có gia tốc lớn Như khối lượng đại lượng vật lý đặc trưng cho mức độ cản trở thay đổi vân tốc chất điểm-quán tính chất điểm Trong học cổ điển vận tốc chuyển động chất điểm nhỏ nhiều so với vận tốc ánh sáng, người ta coi khối lượng đại lượng khơng đổi Nhờ hệ thức (1.1) ta tìm hệ thức liên hệ trọng lượng khối lượng vật Thật vậy, thực nghiệm tác dụng trọng lực P vật rơi tự (ở độ cao không lớn khơng tính đến sức cản khơng khí) có gia tốc g Do từ (1.1) ta suy : P = m.g (1.2) Chương I Các định luật ĐLH- PTVP chuyển động Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Trang GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Cần nói thêm rằng, gia tốc g, trọng lượng thay đổi theo vĩ độ độ cao khối lượng đại lượng không đổi với vật Định luật tác dụng phản tác dụng : (Định luật III) Hai lực mà hai chất điểm tác dụng lên nhau số, hướng tác dụng ngược chiều Ta cần ý lực tác dụng tương hỗ không tạo thành hệ lực cân chúng đặt vào hai chất điểm khác Định luật độc lập tác dụng : Dưới tác dụng đồng thời số lực, chất điểm có gia tốc tổng hình học gia tốc mà chất điểm có lực tác dụng riêng biệt G G G Giả sử chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng lực F1 , F2 , , Fn Gọi G G G gia tốc chất điểm có lực tác dụng đồng thời, W1 ,W2 , ,Wn mà G G G chất điểm có lực F1 , F2 , , Fn tác dụng riêng lẽ Theo tiên đề ta có : G G G G W = W1 + W2 + + Wn (1.3) Nhân hai vế (1.3) với m để ý đến tiên đề thứ ta : G G G G m.W = m.W1 + m.W2 + + m.Wn G G G G m.W = F1 + F2 + + Fn Hay : G G F = m W ∑ i n (1.4) i =1 Hệ đơn vị : Để đo đại lượng học người ta phải dùng ba đơn vị Tuỳ thuộc vào việc chọn hệ đơn vị mà ta có hệ đơn cị khác : - Hệ đơn vị quốc tế (SI) : Các đơn vị mét (m), kilôgram (kg) giây (s) Lực đơn vị dẫn xuất đo Newton (N) 1N = kg.m s2 Chương I Các định luật ĐLH- PTVP chuyển động Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Trang GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Hệ đơn vị MKS : Các đơn vị mét (m), kilôgram lực (kG) giây (s) Đơn vị đo khối lượng đơn vị dẫn xuất §4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG Dựa vào định luật động lực học, thiết lập mối quan hệ lực tác dụng lên vật thể quy luật chuyển động Mối quan hệ gọi phương trình vi phân chuyển động I PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM : G G G Xét chuyển động chất điểm tự tác dụng lực F1 , F2 , , Fn (Đối với chất điểm không tự do, dùng nguyên lý giải phóng liên kết phản lực để xem chúng chất điểm tự do) Dạng véctơ : G G Như biết, gia tốc W chất điểm biểu thị qua véctơ bán kính r sau : G G W = r Vì phương trình động lực học chất điểm (1.4) có dạng : G G m.r = ∑ Fk (1.5) Phương trình (1.5) phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng véctơ Dạng toạ độ Descarte : Xét chuyển động chất điểm hệ z toạ độ Descarte Oy Chiếu phương trình (1.5) M lên trục toạ độ Ox, Oy, Oz ta : ⎧ m.x = ∑ Fkx ⎪ ⎨m.y = ∑ Fky ⎪ m.z = F ∑ kz ⎩ G r y (1.6) O x Chương I Các định luật ĐLH- PTVP chuyển động Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Hình Trang GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC hay : ⎧ d 2x ⎪ m = ∑ Fkx ⎪ dt2 ⎪ d y ⎨m = ∑ Fky ⎪ dt2 ⎪ m d z = F ⎪⎩ dt ∑ kz (1.6’) Hệ phương trình (1.6) hay (1.6’) phương trình vi phân chuyển động chất điểm hệ toạ độ Descarte Hệ toạ độ tự nhiên : Chiếu hai vế phương trình (1.4) lên trục hệ toạ độ tự nhiên (τ, n, b) (Hình 2) ta : ⎧m.Wτ = ∑ Fkτ ⎪ ⎨m.Wn = ∑ Fkn ⎪m.W = F ∑ kb b ⎩ Vì Wτ = s , Wn = s ρ G b M , Wb = nên ⎧ m.s = ∑ Fkτ ⎪ s ⎪ ⎨m = ∑ Fkn ⎪ ρ ⎪⎩ = ∑ Fkb G τ G n G W Hình (1.7) Những phương trình áp dụng cách có hiệu biết quỹ đạo tuyệt đối chất điểm Phương trình thứ hệ (1.7) với điều kiện ban đầu tương ứng cho phép xác định quy luật chuyển động hệ, hai phương trình cịn lại dùng để xác định yếu tố khác chưa biết toán (phản lực liên kết, bán kính cong , v v) II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ : G Xét hệ gồm n chất điểm m1, m2, , mn Gọi F e k hợp lực tất lực G F i k hợp lực tất lực tổng tác dụng lên chất điểm thứ k hệ Phương trình vi phân chuyển động chất điểm thứ k có dạng : Chương I Các định luật ĐLH- PTVP chuyển động Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Trang GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC G G G m k Wk = F e k + F i k Viết phương trình tương tự cho tất chất điểm hệ ta : G G G m1W1 = F e + F i G G G m 2W2 = F e + F i G G G mnWn = F e n + F i n Hay : m1 x = F e 1x + F i 1x m1 y = F e y + F i y m1 z = F e 1z + F i 1z (1.8) m n x = F e nx + F i nx m n y = F e ny + F i ny m n z = F e nz + F i nz (1.8) hệ gồm 3.n phương trình G Trong trường hợp phân loại lực thành lực hoạt động F a k phản G lực liên kết N k tương tự với hệ (1.8) ta có : G G G m1W1 = F a + N G G G m 2W2 = F a + N (1.9) G G G mnWn = F a n + N n Chương I Các định luật ĐLH- PTVP chuyển động Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Trang GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC §5 HAI BÀI TỐN CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC Trong động lực học cần giải hai toán sau đây: Xác định lực tác dụng lên chất điểm biết quy luật chuyển động (Bài tốn thứ động lực học ) Xác định quy luật chuyển động điểm biết lực tác dụng lên (Bài toán thứ hai động lực học ) Để giải tốn ta sử dụng phương trình (1.5), (1.6), (1.7) chất điểm hệ phương trình (1.8) hay (1.9)-đối với hệ Tuy nhiên, chưa có phương pháp tổng qt để tích phân hệ dạng (1.8) thực tế người ta thường dùng phương pháp khác hiệu mà xét phần sau I GIẢI BÀI TOÁN THỨ NHẤT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐỐI VỚI CHẤT ĐIỂM: Khi biết quy luật chuyển động chất điểm, dùng cơng thức biết phần động học để tính z gia tốc chất điểm cuối dùng phương trình G T (1.5), (1.6), hay (1.7) để xác định lực tác dụng lên G W Ví dụ 1.1 : Một thang máy có trọng lượng P (hình 3) bắt đầu lên với gia tốc W Hãy xác định sức căng dây G P cáp Hình Ví dụ 1.2 : Tìm áp lực ô-tô lên mặt G N cầu điểm A Cho biết ơ-tơ có trọng G lượng P, vận tốc chuyển động v bán kính cong cầu A ρ (hình 4) A G v G P n Hình Chương I Các định luật ĐLH- PTVP chuyển động Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Trang GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC II GIẢI BÀI TOÁN THỨ HAI CỦA ĐỘNH LỰC HỌC ĐỐI VỚI CHẤT ĐIỂM : Với toán nà, biết lực tác dụng lên chất điểm hàm thời gian, vận tốc, vị trí nghĩa : G G G G Fk = Fk (t , v , r ) Khi phương trình vi phân chuyển động chất điểm có dạng : ⎧ m.x = ∑ Fkx (t , x, y, z , x , y , z ) ⎪ ⎨m y = ∑ Fky (t , x, y, z , x , y , z ) ⎪ m.z = ∑ Fkz (t , x, y, z, x, y , z) ⎩ (1.10) Đây hệ ba phương trình vi phân cấp Nghiệm tổng quát phụ thuộc vào số tuỳ ý : ⎧ x = f1 (t , c1 , c , c3 , c , c5 , c6 ) ⎪ ⎨ y = f (t , c1 , c , c3 , c , c5 , c6 ) ⎪ z = f (t , c , c , c , c , c , c ) 3 ⎩ (1.11) Những số tích phân xác định nhờ điều kiện ban đầu chuyển động, chẳng hạn : Khi t = x = x0, y = y0, z = z0 x = x , y = y , z = z (1.12) Việc giải hệ phương trình (1.10) khơng phải lúc thực hiên dạng giải tích Chúng ta tích phân hệ (1.10) với điều kiện ban đầu (1.12) số trường hợp đơn giản Chuyển động thẳng điểm : Trong phần động học, biết vận tốc gia tốc điểm chuyển động thẳng O hướng theo đường quỹ đạo Vì gia tốc có x Hình chiều trùng với chiều hợp lực tác dụng lên chất G G G R = ∑F G điểm chuyển động thẳng xảy : R = ∑ Fk có hướng khơng đổi có vận G tốc ban đầu không hướng với R Chương I Các định luật ĐLH- PTVP chuyển động Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Trang ... chuyển động Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Trang GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC §5 HAI BÀI TỐN CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC Trong động lực học cần giải hai toán sau đây: Xác định lực. ..GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC CHƯƠNG I CÁC ĐỊNG LUẬT CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM §1 BÀI MỞ ĐẦU Trong phần Tĩnh học nghiên cứu lực. .. ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC Các định lý tổng quát động lực học hệ định luật động lực học, thiết lập mối liên hệ đại lượng chuyển động động lượng, động độ đo tác dụng lực xung lượng công