giáo trình cơ học chất lỏng

Phần mở đầu GIỚI THIỆU VỀ CƠ HỌC CHẤT LỎNG Cơ học chất lỏng môn khoa học sở nhằm nghiên cứu qui luật cân bằng, chuyển động chất lỏng, lực tương tác chất lỏng với vật rắn ứng dụng qui luật vào thực tế sản xuất Cơ chất lỏng môn học sở không kỹ thuật giao thông, xây dựng dân dụng mà cho nhiều ngành kỹ thuật khác Môn học nhằm trang bị cho người học kiến thức nâng cao quy luật cân bằng, chuyển động chất lỏng; tương tác chất lỏng với vật thể chuyển động chất lỏng, với thành chứa chất lỏng lớp biên cứng, lớp biên mềm hay lớp biên di đông, chuyển động chất lỏng bao quang vật cản Cơ học chất lỏng lại sở để nghiên cứu môn chuyên môn: Xây dựng cầu, đường, sân bay…; - Xây dựng dân dụng, cầu cảng, cấp nước…;- Cơng trình thủy lợi: Thủy điện, thủy công, trạm bơm, kênh dẫn…; - Chế tạo máy thủy lực: bơm, tuốcbin, động thủy, truyền động thủy lực Môn học trang bị cho người học phương pháp giải số toán ứng dụng ngành kỹ thuật nêu số ngành khác như: tự động thủy khí, hàng khơng, mơi trường, sinh học, hố học cơng nghiệp, hệ thống điện, y học số lĩnh vực khác… Đối tƣợng nghiên cứu: Dưới tác dụng lực, vật chất biến dạng Biến dạng gọi đàn hồi biến dạng bị sau bỏ lực tác dụng, biến dạng gọi dẻo biến dạng giữ nguyên sau bỏ lực, biến dạng gọi chảy biến dạng tăng lên cách liên tục, khơng có giới hạn tác dụng lực nhỏ tuỳ ý Chất lỏng loại chất chảy: Tính chảy lực liên kết phần từ chất lỏng yếu nên có tính di động dễ chảy, gọi là tính chảy.Tính chảy làm cho phần tử chuyển động tương nhau; chất lỏng khơng có hình dạng riêng biệt, phụ thuộc vào hình dạng bình chứa chất lỏng Tính di động đặc tính bật tính chảy Tính khơng nén, khơng dãn đƣợc: Do khoảng cách phần tử chất lỏng nhỏ so với chất khí nên sinh sức dính phân tử lớn làm cho thể tích chất lỏng khơng đổi có thay đổi áp suất, nhiệt độ Tính liên tục: Chất lỏng xem mơi trường liên tục, tức gồm vô số phần tử chất lỏng chiếm đầy khơng gian; từ mà phương trình mơ tả dạng vi phân, tích phân thiết lập Khác với vật rắn, chất lỏng khả chống lại lực tác dụng, chất lỏng biến dạng liên tục, khơng giữ hình dạng nó, chịu lực tiếp tuyến tác dụng, dù lực nhỏ đến đâu Tính khơng trƣợt tành rắn: Chất lỏng ln dính chặt vào thành rắn có tốc độ thành rắn khơng, tính khơng trượt tành rắn Trong điều kiện tiêu chuẩn, phần tử chất lỏng có tốc độ khác với phần tử xung quanh, tạo lực tương hỗ chúng (lực nội phân tử) hình thành lực tiếp tuyến chuyển động gần thành rắn; xa thành rắn lực không Phƣơng pháp nghiên cứu môn học: Cơ sở lý luận môn học Cơ học chất lỏng vật lý, học lý thuyết Sử dụng định luật bảo toàn khối lượng, lượng; định lý biến thiên động lượng mô men động lượng Phương pháp thực nghiệm đóng vai trò quan trọng, đơi chủ yếu để bổ xung kiểm tra lý thuyết Phương pháp thể tích hữu hạn, phương pháp tương tự thủy khí điện từ, phương pháp thống kê thủy động, phương pháp mơ hình hóa Tồn ngun lý học vật rắn dƣợc áp dụng cho chất lỏng Phƣơng pháp Euler (1707-1873): Phương pháp tập trung vào điểm xác định hay thể tích xác định Phương pháp tập trung vào mặt xác định vị trí cụ thể để xác định tonng tin cần thiết, để thiết lập phương trình vi phân, chẳng hạn phương trình thơng dụng Navier-Stokes Phương pháp dẫn tói phương trình dạng tích phân Hệ thống thể tích kiểm tra (ttkt) vị trí xác định, sau thời đoạn số khối lượng hệ thống khỏi ttkt “a”, phần lại ttkt “b”, lúc ttkt nhận thêm số vật chất khác “c”; ttkt biến dạng hay Hình 01 Thể tích kiểm tra hệ thống không biến dạng trước sau chuyển động Phương pháp xác định biến môi trường chất lỏng thể tích kiểm tra hàm khơng gian thời gian Thí dụ trường áp suất trường vơ hướng; dòng khơng ổn định khơng gian 3D ta có: Trường áp suất: p = p(x,y,z,t) (01) Trường tốc độ trường véc tơ: V  V ( x, y, z, t ) (02a) Trường gia tốc trường véc tơ: a  a ( x, y, z, t ) (03a) V  (ux , u y , uz )  ux ( x, y, z, t )  u y ( x, y, z, t )  uz ( x, y, z, t ) (02b) dV dV x pt , y pt , z pt ,t    dt dt dt V dt V dx pt V dy pt V dx pt     t dt x pt dt y pt dt z pt dt (03b) a pt  dV pt  a pt ( x, y, z, t )  dV V V V V   ux  uy  uz dt t x y z (03c)  Hình 02 Phần tử chất lỏng chuyển động Hình 01 Sơ đồ giới thiệu học chất lỏng Hình 02 Giới thiệu vật rắn chịu lực tiếp tuyến (a) Biến dạng tĩnh, (b) Trạng thái cân vòng tròn Mohr phần tử A chất rắn Chất lỏng chịu lực tiếp tuyến (c) Cần có thành bể chứa, (d) Trạng thái cân vòng tròn Mohr phần tử A chất lỏng Chƣơng CÁC NGHUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC CHẤT LỎNG 1.1 THỨ NGUYÊN, ĐƠN VỊ VÀ NHỮNG ĐẠI LƢỢNG VẬT LÝ CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG 1.1.1 Khối lƣợng riêng chất lỏng ρ - Là khối lượng đơn vị thể tích chất lỏng Đối với chất lỏng đồng chất: ρ = M /∀ , ρ khối lượng riêng, M khối lượng thể tích ∀, ∀ thể tích có khối lượng M Chất lỏng không đồng chất: ρ = dM/d∀ Thứ nguyên khối lượng [ρ] = [M] /[∀] =M/L3 - Đơn vị ρ là: kg/m3, T/m3, g/cm3 hay NS2 /m4 - Ở +40c, ρ nƣớc = 1000kg/m3 Hình 1.1 Khối lượng riêng nước thay đổi theo nhiệt độ áp suất; theo nhiệt độ Hình 1.2 Giới thiệu thể tích phần tử chất lỏng; Khối lượng riêng thay đổi theo thể tích 1.1.2 Trọng lƣợng riêng chất lỏng γ- Là trọng lượng đơn vị thể tích chất lỏng γ = W /∀, dó γ trọng lượng riêng, W trọng lượng khối chất lỏng tích ∀; W = mg; ∀ thể tích khối chất lỏng có trọng lượng W - Chất lỏng đồng chất coi không chịu nén, trọng lượng riêng γ = ρ×g = Mg/∀; g gia tốc rơi tự Thứ nguyên [γ ] = [Mg]/ [∀], [γ ] =F/L3 Đơn vị γ N/m3, (Kg/S2)/m2 Ở +40 C, γ nƣớc = 1000kG/m3 = 9810N/m3 (1N = 0.102 KG) Theo định luật II Newton (1642-1727), F = ma; thứ nguyên: [F] = [m] × [a]; F=ML/T2, F,M,L T lực, khối lượng, chiều dài thời gian [m] = [F]/ [a]; M=FT2/L Nhớ 1N = kgm/s2 1.2.3 Tính thay đổi thể tích áp lực nhiệt độ: (1) Tính thay đổi thể tích áp lực; (2) Tính thay đổi thể tích nhiệt độ (1) - Tăng áp suất từ P lên (P+dP), thể tích vật thể giảm từ ∀ xuống (∀– d∀) - Tính nén chất lỏng đặc trưng hệ số co thể tích βw, để biểu thị giảm tương đối thể tích chất lỏng d∀ ứng với P+dP với tăng áp suất P lên đơn vị áp suất β w = −(1/∀)×( d∀ / dP) (m /N; cm2/N ) - Thực nghiệm chứng tỏ: Trong phạm vi áp suất thay đổi từ đến 500 at nhiệt độ từ đến 200C βw = 0,00005 (cm2/KG) ≈ Như điều kiện bình thƣờng chất lỏng coi nhƣ khơng chịu nén Chất lỏng "khí động lực học" chất lỏng chịu nén Đại lượng nghich đảo của hệ số co thể tích gọi mơ đun đàn hồi K = 1/ βw; K= − ∀×(dP/d∀) (N/m2) (2) Tính thay đổi thể tích nhiệt độ: - Thay đổi nhiệt độ sử dụng hệ số co giãn nhiệt βT, để biểu thị biến đổi thể tích chất lỏng ∀ ứng với tăng nhiệt độ t lên 1oC βT = (1/∀)×( d∀/ dt) - Thí nghiệm cho thấy: Trong điều kiện áp suất áp suất khí trời Pa : Khi t = 4oC đến 100C βT = 0,00014×(1/ t0 ); t0= 10oC đến 200C βT = 0,00015×(1/ t0 ); Như vậy, điều kiện bình thƣờng chất lỏng thƣờng đƣợc coi có tính chất khơng thay đổi thể tích có thay đổi áp lực nhiệt độ tức β T ≈ 0, β w ≈ 1.2.4 Sức căng bề mặt tƣợng mao dẫn: - Mỗi phần tử chất lỏng chịu lực hút cân theo phía từ phần tử chất lỏng khác bao quanh - Tại mặt thống hay mặt tiếp xúc hai loại chất lỏng khác nhau, lực hút khơng cân - Tại mặt thống phần tử bề mặt bị kéo vào bên khối chất lỏng, gọi sức căng mặt ngồi Chính lực làm cho bề mặt chất lỏng giống màng mỏng chịu lực căng - Sức căng mặt nhỏ so với lực khác, tượng bỏ 1.2.5 Tính nhớt- Khi chất lỏng chuyển động, chúng có chuyển động tương đối, làm sinh lực ma sát trong, nguyên nhân sinh tổn thất lượng chất lỏng chuyển động Đặc tính gọi tính nhớt - Công lực nhớt sinh biến thành nhiệt không thu lại Các lực nhớt sinh có liên quan đến lực hút phân tử chất lỏng Thí dụ tính nhớt: Khi ta đổ dầu hỏa, nước lã, dầu nhờn mặt bàn, ta thấy tốc độ chảy khác nhau, chất lỏng có lực dính nhớt nội khác - Newton đưa giả thiết quy luật ma sát thực nghiệm xác nhận: “Sức ma sát lớp chất lỏng chuyển động tỷ lệ với diện tích tiếp xúc lớp ấy, không phụ thuộc vào áp lực, phụ thuộc vào Gradient vận tốc theo chiều thẳng góc với phương chuyển động phụ thuộc vào lọai chất lỏng” Nhớt có vai trò quan trọng hình thành tính rối chất lỏng chuyển động Để thấy rõ điều ta kiểm tra lực cần thiết làm phần tử chất lỏng biến dạng Xét phân tố hình hộp(δx, δy, δz) chịu lực F hình 1.1 Hình 1.2 Khối hộp bị biến dạng tác dụng lực F Hình 1.3 Ứng suất tiếp gây biến dạng phân phối ứng suất tiếp lớp gần thành a V t Đối với biến dạng nhỏ ta có: tg δβ ≈ δβ = ; δa = Vδt → δβ = h h  a V du   x 0  t h dh Thí nghiệm cho thấy ứng suất tiếp τ tăng lực F tăng (τ = F/A), tốc độ biến dạng tỷ lệ trực tiếp với ứng suất tiếp, μ hệ số tỷ lệ, hệ số nhớt động lực chất lỏng du du   gradient tốc độ coi dy dy (1.1) Khi δt →0 ta có tốc độ biến dạng tiếp tuyến lim tốc độ biến dạng.Tốc độ biến dạng tốc độ mà phần tử chất lỏng biến dạng “ Hệ số nhớt động lực µ tính chất chất lỏng quan hệ ứng suất tiếp với chất lỏng chuyển động” Nhớt dính nội chất lỏng Hình 1.3 Quan hệ tuyến tính ứng suất tiếp với tốc độ biến dạng chất lỏng thông dụng Điều kiện không trượt điều kiện mà tính nhớt làm cho chất lỏng dính chặt vào mặt thành rắn    Thứ nguyên  là: F   du   A dy     FT M  LT L Đơn vị  Ns/m2 Ngồi dùng Poazơ (P) làm đơn vị đo: 1P  0,1Ns / m  Tính nhớt đặc trưng hệ số nhớt động học ( ):    Thứ nguyên: Đơn vị           L2   T     L2   T là: m /s; cm /s; 1cm /s gọi Stốc (st) 1st  1cm2 / s , Cst  0,01st  0,01cm2 / s Công thức xác định hệ số nhớt có dạng tổng quát sau:   0  at  bt (1-2a) đó:  - hệ số nhớt t  0 C ; a, b- số phụ thuộ vào loại chất lỏng Thí dụ : Đối với nước  tính theo số liệu thí nghiệm Poazơ:  đó: 0,0178  (g/cm.s)  0,0337t  0,000221t  - mật độ nước 00C Đối với chất khí hơi, thường dùng cơng thức Xuthơlan:  c   0  t c 1 T đó: (1-2b) (1-2c)  ,  - hệ số nhớt động lực nhiệt độ 0 C ; T - Nhiệt độ tuyệt đối;  - Hệ số giãn nở nhiệt Đối với khơng khí:   0,00376 , c  112 Vậy độ nhớt chất lỏng phụ thuộc vào nhiệt độ, áp suất thay đổi lớn (hàng trăm at) độ nhớt chất lỏng thay đổi, theo quy luật:    e a( p p ) (1.2d) đó:  ,  - trị số độ nhớt áp suất p p (áp suất p, p tính theo at) a  0,002  0,003 hệ số thí nghiệm 1.2 Chất lỏng Newton phi Newton - Loại chất lỏng tuân theo định luật ma sát Newton nước, khơng khí, dầu gọi chất lỏng thực chất lỏng Newton;là chất lỏng có ứng suất tiếp tỷ lệ trực tiếp với gradient tốc độ (tốc độ biến dạng) - Các loại chất lỏng sơn, hồ không tuân theo định luật ma sát gọi chất lỏng phi Newton; loại có thành phần phân tử phức tạp Quan hệ ứng suất tiếp với tốc độ biến dạng hình 1.4 (1.2e) Hình 1.4 Quan hệ ứng suất tiếp với tốc độ biến dạng số loại chất lỏng kể chất lỏng Newton Hình 1.5 Nhớt động lực  hàm nhiệt độ Chất lỏng lý tưởng chất lỏng tưởng tượng khơng có tính nhớt Tóm lại: Trong đặc tính vật lý nói chất lỏng, đặc tính có khối lượng, có trọng lượng, có tính nhớt đặc tính quan trọng Chất khí có mật độ thay đổi 3% coi chất lỏng không chịu nén Điều phù hợp cho khí có tốc độ 100m/s, kể khơng khí bao quanh tơ chuyến động, lúc máy bay lên xuống; khơng khí bao quanh cơng trình cầu, tòa nhà cao tầng, đường hầm 1.2.7 Hai loại lực tác dụng lên thể tích chất lỏng Xét thể tích chất lỏng, chứa mặt cong S Những lực tác dụng lên thể tích chất lỏng chia làm hai loại: (1) Lực khối: Là lực tỷ lệ với khối lượng chất lỏng, tác dụng lên phân tử chất lỏng như: Lực quán tính, trọng lực, lực điện từ Thông thường lực khối trọng lực, trừ số trường hợp đặc biệt phải xét thêm lực quán tính (2) Lực mặt: Là lực từ tác dụng lên phần tử chất lỏng qua mặt tiếp xúc, tỷ lệ với diện tích mặt tiếp xúc như: áp lực khí tác dụng lên mặt tự chất lỏng, áp lực piton lên chất lỏng chứa xy lanh, 1.2 CÁC QUY LUẬT BẢO TỒN Ở DẠNG TÍCH PHÂN Quy luật bảo tồn khối lƣợng –Vật chất không tự nhiên sinh hay dm 0 dt Quy luật bảo toàn động lƣợng: Động lƣợng hệ thống cho không thay đổi khơng chịu lực ngồi tác dụng ; Quy luật bảo toàn lƣợng: Năng lƣợng hệ thống cô lập (riêng biệt) không liên hệ với môi trƣờng xung quanh, ln đƣợc bảo tồn (là số) 1.2.1 Tính liên tục Tính liên tục thể quy luật bảo toàn khối lượng áp dụng nguyên lý cho mơt thể tích xác định, thể tích gọi thể tích kiểm tra (hay mặt kiểm tra) Đối với thể tích kiểm tra (ttkt) bất kỳ, đợn vị thời gian khối lượng vào ttkt = Khối lượng khỏi ttkt + tăng khối lượng ttkt Trong dòng chảy ổn định khơng có tăng khối lượng ttkt, Trong dòng chảy ổn định: khối lƣợng vào ttkt = Khối lƣợng khỏi ttkt 1 AV 1 = 2 A2V2  C  m Dòng chảy khơng chịu nén có 1  2   AV 1  A2V2  Q lưu lượng Hình 1.6 Định nghĩa thể tích kiểm tra tính liên tục Phương trình liên tục: AV 1  A2V2  Q (m /s) số D  d  Dt sys (1.3a) d   VdtdA cos   (V n)dAdt d  VdA cos   Q Là lưu lượng dt qua diện tích mặt S Q   (V n)dA   Vn dA S S Khối lượng m    (V n)dA   Vn dA S S Nếu   C  m  Q Hình 1.7 Sơ đồ xác định khối lượng lưu lượng Hình 1.8 So đồ xác định mặt kiểm tra 1.2.2.1 Phƣơng trình động lƣợng tuyến tính Phương trình thể quy luật bảo toàn động lượng Định luật II Newton: F= ma = m dV d  (mV ) dt dt (1.4a) Trong học chất lỏng định luật gọi quan hệ động lượng tuyến tính, luật véc tơ, có nghĩa có ba phương trình vơ hướng ba tọa độ : Fx  max ; Fy  may ; Fz  maz (1.4b) Hình 1.9 So đồ xác định thể tích kiểm tra Áp dụng cho thể tích kiểm tra cố định (tốc độ tương đối tốc chất lỏng hệ qn tính) Hình 1.10 Thể tích kiểm tra sơ đồ lực lên đoạn dòng chảy ổn định  F  dt   d CV  V  d    V  (V n)dA CS (1.4c) Đối với thể tích kiểm tra dòng chiều có cửa vào cửa ta có: 10 W    VI dA (1.9b) cs dF   dA Dạng vi phân lực tiếp tuyến: Tổng lượng bao gồm: (mgz), động (mV2/2) nội ( mu ); u nội đơn vị khối lượng; e = (V / 2)  gz  u ) lượng đơn vị khối lượng Tổng lượng E= m  e V  E  m  gz  u    (1.10) Đối với hệ cô lập-không gắn với môi trường xung quanh (Q1-2 =W1-2=0), (1.9) bảo toàn lượng: E1=E2 (1.11) Lực F áp suất di chuyển đường tác dụng lên biên hệ thống cho: l2 l2 2 l1 l1 1 W12   Fdl   pAdl   pd (1.12) Adl = d Phương trình lượng cho đơn vị trọng lượng cuả dòng chảy ổn định chiều chịu trọng lực:   p V2  p V2  z    z        hma sát – h bơm + h tuốc bin  g vao   g ra  (1.13) Gọi Hp Ht lượng máy bơm truyền cho chất lỏng lượng chất lỏng làm quay tuốc bin, hL tổn thất lượng, ta có phương trình lượng chất lỏng không chị nén: H p  z1  p1   1V12 2g  H T  z2  p2    2V2 2g  hL (1.14) Công suất tuốc bin tạo với hiệu suất T là: WT  mgHTT   QHTT (1.15) Công suất bơm với hiệu suất  p là: Wp  mgH p p   QH p p (1.16) 01 sức ngựa tương đương với 746W hay 0,7457Kw Hệ số sủa chữa động  định nghĩa :    u 3dA V A ; 1   u 3dA  V A (1.17) A 2 1.3 CÁC QUY LUẬT BẢO TỒN Ở DẠNG VI PHÂN 1.3.1 Phƣơng trình vi phân liên tục 14 Hình 1.14 Sơ đồ thể tích kiểm tra vi phân rút phương trình liên tục Như thời đoạn dt, khối lượng chất lỏng chảy ra, vào hình hộp theo phương x chênh là:     ux  u x dx  u dx  u  dydzdt    u x  x dydzdt    x dxdydzdt x  x  x  Tương tự ta có độ chênh khối lượng chất lỏng theo phương y z bằng: u y  dxdydzdt y u   z dxdydzdt z Vậy thời đoạn dt, khối lượng chất lỏng chảy qua hình hộp thể tích dxdydz nhận biến đổi dM tổng số độ chênh khối lượng theo phương bằng:  u x uy uz     y z   x dM   dxdydzdt Do giả thiết chất lỏng không chịu nén, chảy liên tục làm cho thay đổi khối lượng chất lỏng hình hộp phải khơng: dM  Vì dxdydz  dt  , ta phương trình viết cho đơn vị khối lượng: u x uy uz   0 x y z (1.18) hay divu  (1.19a) Div toán tử biến véc tơ thành đại lượng vô hướng Phương trình (1.18) hay (1.19a) phương trình vi phân liên tục chất lỏng không chịu nén, biểu thức thể định luật bảo toàn khối lượng Đối với dòng chảy phẳng, u x uy uz  0  , z x y (1.19b) Phương trình (1.18) mở rộng cho trường hợp chất lỏng chịu nén   const cách lập tích khối lượng tốc độ, sau lấy vi phân tích ta được: 15 ( u x ) ( uy ) ( uz )   0 x y z Nếu khối lượng thay đổi theo thời gian, chuyển động khơng ổn định ( trình (1.20) có thêm thành phần hay dạng véc tơ  , ta có: t   ( u x ) ( uy ) ( u x )     0 t  x y z  (1.20)   ), phương t   div(  V)  t (1.21a) (1.21b) Phương trình (1.21a,b) phương trình tổng qt sử dụng cho dòng khơng ổn định   ta có phương dòng ổn định, dòng chịu nén dòng khơng chịu nén Khi dòng ổn định, t     const ) ta có phương trình (1.18) trình (1.20), dòng ổn định khơng chịu nén ( t Phương trình (1.18) viết toạ độ trụ: ur ur u   0 (1.22) r r r  Hình 1.15 Sơ đồ thể tích kiểm tra vi phân rút phương trình liên tụcở tọa độ trụ Lưu lượng khối dm   drdzd ; d   drdzd t 16 (1.23) (1.24) 1.3.2 Phƣơng trình vi phân chuyển động Euler chất lỏng lý tƣởng (khơng nhớt) Các thành phần lực qn tính theo trục toạ độ cho đơn vị khối lượng sử dụng nguyên lý Đalamber là: du du x du ; y ; z dt dt dt Hình 1.16 Sơ đồ thể tích kiểm tra vi phân rút phương trình Euler động Ta tách hình hộp nguyên tố chất lỏng chuyển động, thay tác động chất lỏng bao quanh lên mặt hình hộp áp lực thuỷ động (Hình 1.16) Sử dụng nguyên lý Đalamber ,nguyên tố hình hộp xem trạng thái tĩnh phương trình cân lực khối (trọng lượng hình hộp) lực mặt (áp lực thuỷ động) ta thêm vào lực quán tính tính cho đơn vị khối lượng Thêm thành phần lực qn tính vào phương trình Eulertĩnh ta phương trình: du x p  X dt  x   du y p  Y   dt  y  du z p  Z  dt  z  (1.25a) Phương trình dạng véc tơ: dV V  F  grad p   V V dt  t   (1.25b) Vế trái đạo hàm toàn phần hàm biến Do vậy, hệ (1.25a) có dạng đầy đủ cho dòng khơng ổn định: 17 u x u u u p   u x x  uy x  uz x  X  t x y z  x   u y u y u y u y p   ux  uy  uz  Y  t x y z  y  uz u u u p   u x z  u y z  uz z  Z   t z z z  z  (1.25c) Hệ phương trình (1.25c) chưa đủ để giải toán với ẩn (p, ux, uy, uz), để đóng kín hệ phương trình ta cần thêm phương trình vi phân liên tục chuyển động chất lỏng khơng chịu u u nén (phương trình 1.18) Trong chuyển động ổn định, hệ (1.25c) khơng có số hạng x , y t t u z chúng khơng  tốn tử Hamintơn,được coi véc tơ có dạng: t     i j k x y z 1.3.3 Phƣơng trình Ơle-Grơmơkê 1.3.3.1 Các loại chuyển động hay biến dạng phần tử chất lỏng Phầntử chất lỏng đồng thời lúc thực 04 chuyển động: (a) Chuyển động tịnh tiến;(b) Chuyển động quay;(c) Chuyển động dãn dài; (d) Chuyển động biến hình.Các loại biến dạng liên quan ttực tiếp đến tốc độ đạo hàm tốc độ phần tử chất lỏng (a) Tốc độ véc tơ tịnh tiến mơ tả tốn học véc tơ tốc độ; tọa độ 3D là: V  ux i  u y j  uz k (1.26) Phần tử chuyến động theo phương x(+),có ux  0; u y  uz  Hình1.16 Các loại chuyển động (a) Chuyển động tịnh tiến (b) Chuyển động quay (c) Chuyển động dãn dài (d) Chuyển động biến hình (b) Chuyển động quay (tốc độ góc) điểm tốc độ quay trung bình hai đường vơng góc với điểm đótheo chiều ngược kim đồng hồ, song giữ nguyên góc 900(H.1.16(b)).Thí dụ đường a  b điểm P hình phẳng mặt xy (H.1.17), phần tử tịnh tiến biến dạng quay sau thời gian dt  t2  t1 Tại t= t2 cạnh a quay góc  a , cạnh b quay góc  b Tốcđộ góc quay trung bình  a  b  / Tốc độ quay hay tốc độ góc mặt phẳng xy đạo hàm theo thời gian góc quay trung bình Tốc độ quay phần tử chất lỏng quanh điểm P Hình 1.17 biến dạng đơn góc:  d   a   b   u y ux      dt    x y  (1.27) 18 Hình1.17 Tốc độ quay điểm P Trong không gian 3D, tốc độ véc tơ quay véc tơ tốc độ góc bằng:  uz u y   ux uz   u y ux    i   i   i   y z   z x   x y    (1.28) (a) Tốc độ biến dạng dài hay tốc độ biến dạng tuyến tính: Tốc độ biến dạng dài tốc độ tăng chiều dài mét dài Tốc độ biến dạng dài phần tử chất lỏng phụ thuộc vào điều kiện, vị trí, hướng ban đầu đoạn thẳng mà ta đo biến dạng Nó khơng thể đại lượng vơ hướng hay véc tơ Trong (H.1.18), PQ dài dx dãn P’Q’ Tốc độ dãn dài theo hướng x là:  Hình1.18 Tốc độ biến dạng dài đoạn PQ đến P’Q’        u   u   dx  dt  dx  u dt    dx   x d  PQ  PQ  d    u          x dt  PQ dx  dt        (1.29) Coi hướng x hướng trục tọa độ 3D ta có Tốc độ biến dạng dài tọa độ 3D là:  xx  u y ux u ;  yy  ;  zz  z x y z (1.30) (b) Tốc độ biến dạng thể tích 3D: u u y uz d   xx   yy   zz  x    dt x y z (1.31) Tốc độ không chất lỏng không chịu nén 19 (c) Chuyển động biến hình hay tốc độ biến dạng tiếp tuyến: Hình1.20 Minh họa tốc độ tịnh tiến, quay,biến dạng dài,biến hình biến dạng thể tích phần tử chất lỏng Hình1.19 Tốc độ biến hình đoạn PQ đến P’Q’ mặt phẳng xy Tốc độ biến dạng tiếp tuyến điểm định nghĩa nửa tốc độ giảmcủa góc hai đường vng góc với lúc ban đầu điểm P (H.1.19) Mô tả biến dạng phải thông qua việc xác định tương tác hai hướng vng góc với Xét phần tử biến dạng mặt xy; ban đầu đường đường a  b điểm P có góc 900 thời điểm t1 giảm đến  a b thời điểm t2 Tốc độ biến dạng tiếp tuyến P hai cạnh ban đầu vng góc với là:  xy   d  u u   a b   x  y  dt  y x  (1.32) Mở rộng (1.32) cho ba trục tọa độ 3D ta Tốc độ biến dạng tiếp tuyếncủa phân tố lỏng:  ux u y   y x  xy     u y uz   ; yz    z y    u z ux    ; zx    x z   (1.33) Kết hợp (1.30) (1.33) ta có ten sơ tốc độ biến dạng tọa độ 3D Đề Các vông góc:  u x  u u y   u x u x    x      x  y x   z x      xx xy xz       u y u x  u y  u y u z     ij    yx yy yz         y  y  z y       x    zx zy zz   u z   u z u x   u z u y     x  z   y  z  z      (1.34) 20  Hình1.21 Minh họa thể tích kiểm tra thời điểm t có dạng hình vng; thòi điểm t+dt (ttkt) trải qua ba thay đổi gồm tịnh tiến, quay biến dạng thể tích phần tử chất lỏng mặt phẳng xy Tịnh tiến không thay đổi hình dạng khơng quay Quay thay đổi tương đối vị trí ban đầu Ứng suất tiếp liên quan đến thay đổi góc thể tích kiểm tra Góc trục x với vị trí thể tíc kiểm tra, biến dạng nhỏ xấp xỉ bằng: du y  u  dx - u y  y d x d x  tg  dt dx    Tổngbiến dạng d  xy du y dux dt  dx  góc (hai    du y   tg    dx   cạnh x  du y   dx y): (1.35a) dy Giả thiết chất lỏng biến dạng tuyến tính: d  du du  (1.35b)  xy   xy    y  x  dt  dx Hình1.22 Ứng suất tiếp hai tọa độ nghiêng góc 45 Tương tự cho mặt xz:  xz   dy  d  xz  du du    z  x  dt  dx dz  d  yz  du du y    z   dt dz   dy Tổng quát ứng suất tiếp viết theo i j, i  j i  x hoặ y z là: cho mặt yz:  yz   (1.35c) (1.35d) 21  ij   d  ij  du du j    i   dt dj   di (1.35e) 1.3.3.2 Chuyển động xoáy, chuyển động thế, vận tốc, hàm dòng Phương trình đường dòng chuyển động ổn định khơng gian 3D-Oxyz có dạng: dx dy dz   (1.36) u x u y uz Định nghĩa“Dòng chảy mà phần tử chất lỏng khơng có chuyển động quay đơn gọi chuyển động không xốy, ngược lại dòng chảy mà phần tử chất lỏng có chuyển động quay đơn chuyển động xốy” Phương trình vi phân đường xốy khơng gian 3D có dạng: dx dy dz   (1.37) x y z Định nghĩa cho thấy: chuyển động khơng xốy ta có:   x  z  y  hay RotV  hay (1.38) Rot toán tử, biến véc tơ thành véc tơ khác Để dễ nhớ ta viết: i   RotV    x  u x j  y uy k   u y u x     u z u y   u x u z    i   j     k z   y z   z x  x y    u z  (1.39) Định nghĩa cho:   rotV (1.40a) Và   x i   y j  z k (1.40b) i , j , k véc tơ đơn vị uy u x uz uy u x uz RotV    ;  ;  y z z x x y Biểu thức (1.41) điều kiện cần đủ để tồn hàm  x, y, z, t  cho:   u x  x       dx  dy  dz  d  u x dx  uy dy  uz dz  u y  y x y z    u z  z  hay V  grad   (1.41) (1.42a) (1.42b) Gradient (Grad) tốn tử biến đại lượng vơ hướng thành véc tơ theo dạng: grad     i j k x y z (1.42c) Lấy vi phân biểu thức (1.42a) ta có: 22  u x  2 u z     z xz x  u y  2 u x     x  y  x y   u   u y   x   y zy z (1.42d) Hàm  x, y, z, t  gọi vận tốc Chuyển động tồn hàm  x, y, z, t  cho (1.42a) thoả mãn, chuyển động gọi chuyển động (tức tồn vận tốc) Như chuyển động có ý nghĩa chuyển động khơng xốy ( RotV  ) Chuyển động xốy hay chuyển động khơng phải chuyển động thì: RotV  Mặt có   const hay d  gọi mặt đẳng vận tốc 1.3.3.3 Dòng chảy phẳng Đối với dòng chảy phẳng trục tung thường ký hiệu y, trục hoành x, tốc độ góc quay quanh trục z  z hay đơn giản  biểu thức (1.43): u   u    y  x   x y   u (1.43) u  Gọi véc tơ xoáy    y  x  , từ (1.43) cho   2 ;  tốc độ góc phần tử chất y   x lỏng quay quanh khối tâm mặt phẳng Oxy Trong chuyển động xốy ln tồn véc tơ xốy, chuyển động khơng xốy (chuyển động tịnh tiến hay chuyển động biến dạng góc đơn thuần) véc tơ xốy không, tức là:  u y u x     2   y   x hay u y x  u x y (1.44a) (1.44b) Việc phân biệt dòng xốy dòng khơng xốy quan trọng, chẳng hạn phương trình Bernoulli lưới thuỷ động áp dụng cho dòng chảy khơng xốy Chuyển động chất lỏng chuyển động phẳng hàm vận tốc  x, y có dạng:   d  u x dx  uy dy  dx  dy (1.44c) x y Khi  = const ta có phương trình đẳng vận tốc chuyển động phẳng:   (1.44d) dx  dy  d  x y Trong chuyển động phẳng, phương trình đường dòng có dạng: dx dy  ux uy 23 uy dx  ux dy  hay Ta đưa vào hàm  x, y thỏa mãn điều kiện (1.45), gọi hàm dòng:    ux ;  u y y x Phương trình đường dòng chuyển động phẳng viết là:   d  dx  dy  x y tức  x, y  const dọc theo đường dòng Hàm dòng giữ giá trị khơng đổi dọc theo đường dòng Những đường dòng khác có trị số hàm dòng khác Hiệu trị số hàm dòng hai đường dòng cho trước lưu lượng chất lỏng hai đường dòng (H.1.23) dQ  ux dy  uy dx (1.47a)   Hay dQ  dy  dx  d y (1.46) x Do lưu lượng chảy qua mặt cắt S hai đường dòng là: Q (1.45) 2  d    Hình 1.23 (1.47b) Dòng chảy phẳng có thế, hàm vận tốc hàm dòng có liên hệ:     x  y       0   x x y y       y x (1.48) Biểu thức họ đường đẳng vận tốc   const họ đường dòng   const trực giao tạo nên lưới thuỷ động Các biểu thức (1.48) thoả mãn phương trình Laplaxơ:   2  2   0 y  x (1.49a  2        x2 y2 Sử dụng tốn tử Laplaxơ  (1.49a) viết lại: (1.49b)     đó: 2 2 (   ) x y Đối với dòng chảy cong (H.1.24), ta sử dụng toạ độ độc cực để tiện áp dụng:   f r ,  Vi phân được: d    dr  d r  (1.49) Hình 1.24 24 1.3.4 Phương trình Ơle-Grơmêko-lambe Biết tốc độ góc quay phần tử chất lỏng  có ba thành phần hệ Đề Oxyz là:  u u  y   x  z  (1.28a)  z x  u   u  x   z  y   y z  (1.28b) u   u  z   y  x   x y  (1.28c) Hệ phương trình (1.25c) Grơmêko-lambe viết lại có chứa thành phần xoáy Đối với trục x: u x uy   2 z Từ (1.28c) rút y x ux uz   2 y Error! Reference source not found từ (1.28a) rút z x Thay biểu thức X u x u x vào phương trình theo trục x được: y z  u y u p u x  u x   ux  u y  z u z    y uZ  ω z u y   x t  x x x  Sử dụng hàm tốc độ  ta được: u x  2 , biết rằng:  t xt u y ux uz   ux2 u y uz2    u  ux  uy  uz         x x x x  2  x   Do phương trình theo trục x viết gọn là: X p  2   u2    ρ x xt x     2( y uz  ω z uy )  Phân tích tương tự trục y, trục z nhớ X, Y, Z thành phần hàm  π π X Z  theo trục x, y z: Y x z y Kết hệ phương trình (1.35c) viết là:    p u         2 y u z  ω z u y    x   t      p u     π     2ω z u x  ω x u z   y  ρ t      p u    π     2ω x u y  ω y u x   x  ρ t   (1.50) 25 Phương trình Grơmêko-lambe cơng bố năm 1881, áp dụng cho chuyển động xoáy chuyển động thế; chuyển động ổn định chuyển động không ổn định 1.3.5 Phương trình vi phân chuyển động chất lỏng nhớt- Phương trìnhNavier-Stokes (1822-1845) Xét phân tố hình hộp chữ nhật nhỏ có cạnh dx, dy, dz, ngồi áp suất p phải thêm thành phần ứng xuất pháp tuyến tiếp tuyến nhớt gây Trước hết viết phương trình trục Ox Các lực tác dụng bao gồm lực khối, lực mặt lực quán tính: - Lực khối: X  dxdxdz - Lực quán tính khối chất lỏng có gia tốc du x du là: dxdydz x dt dt - Áp lực mặt áp suất: p  p    p   p  x dx  dydz   x dxdydz    - Lực ứng suất nhớt tác dụng lên mặt hình hộp: + Tại mặt vng góc với trục Ox:   x    dx  dydz   x dxdydz   x    x  x x    Phương trình  xx thay  xx Hình1.25 Tất ứng suất tiếp mặt phân tố vi phân x x+ dx + Tại mặt vng góc với trục Oy:   yx   yx  dy  dxdz   dxdydz   yx   yx    y  y + Tại mặt vng góc với trục Oz:  zx   zx     zx   zx  z dz  dydx   z dxdydz    Áp dụng định luật II Newton ta có:    du x   p dxdydz  Xdxdydz  dxdydz   x  yx  zx dxdydz dt x y z   x hay du x p  x  yx  zx   (1.51a)   X      dt x  x y z  Giả thiết biến dạng nhỏ ta thay  x hàm tuyến tính vận tốc biến hình dài tương đối, thành phần tiếp tuyến  yx  zx hàm tuyến tính vận tốc biến hình góc, (1.51a) viết lại: du x p    u x  u x  uy  u x  uz   X      dt  x   x xz  y xy z (1.51b) 26 hay   2u du x  ux  ux  p   u x uy uz       X    2x     2  dt  x  x x  x y z  y z  (1.51c) Thay phần ngoặc thứ u x , phần ngoặc thứ hai khơng tính liên tục dòng chảy, (1.51c) viết gọn là: du x p (1.51d)  X  u x dt  x Lập luận tương tự trục Oy Oz, ta hệ phương trình vi phân chuyển động chất lỏng thực khơng chịu nén, gọi hệ phương trình Navier-Stoke s (1822-1845) du x p  X  u x dt  x du y p  Y  u y (1.52a) dt  y duz p  Z  uz dt  z hay dạng véc tơ dV  F  gradp  vV dt  (1.52b) So sánh (1.52b) với hệ phương trình Ơle động (1.25b), ta thấy thành phần ma sát đơn vị khối lượng chất lỏng là: (1.53)  f  V Phân tích (1.52b) cho thấy khi: •   ta có (1.25b) •   V  ta có hệ phương trình Euler tĩnh • Nếu chuyển động thẳng ( dV  V  ) ta có phương trình thuỷ tĩnh dt • Phương trình thỏa mãn dòng đổi dần (phân bố áp suất mặt phẳng vng góc với đường dòng theo quy luật thuỷ tĩnh) Đối với dòng chảy tốc độ: V  grad ta có V  grad  grad   Do đó, nói dòng chất lỏng nhớt tốc độ, chuyển động coi dòng chảy lý tưởng Đối với lực khối trọng lực, phương trình cho đường dòng chất lỏng thực chảy ổn định dễ dàng rút từ phương trình Navier-Stokes (người đọc tự chứng minh) 1.3.6 Phương trình Reynolds Hệ phương trình Navier - Stokes mô tả tốc độ áp suất tức thời chuyển động Năm 1895, Reynolds mô tả phương trình theo tốc độ trung bình thời gian Đối với dòng trung bình thì: u ' x = u ' y = u ' z = 0; p' =  u ' x  u ' y  u 'z    x y z Đồng thời chấp nhận: 27    (u x u x )  (u x u x )  [u x u x  u 'x u 'x ] , x x x    (u x u y )  (u x u y )  [u x u y  u 'x u 'y ] , x x x Sau biến đổi nhận phương trình vi phân chuyển động dạng:  u   u '2  u 'x u 'y  u 'x u 'z  u u u p    x  u x x  u y x  u z x  Fx    u x   x     t  x  y  z   x  x  y  z       u 'x u 'y  u 'y  u 'y u 'z   u y u y u y u y p    u  u  u  F     u     x y z y y    t  x  y  z   y  x  y  z       u 'x u 'z  u 'y u 'z  u '2z  u z u z u z p  u z    u  u  u  F     u    x y z z z  t  x   x  y  z   z  y  z    (1.54) Và phương trình liên tục: u x u y u z   0 x y z (1.55) Hệ phương trình khác với hệ phương trình Navier - Stokes hệ khơng khép kín có phương trình có 10 ẩn, ẩn số lực tác dụng tương hỗ lớp chất lỏng tưởng tưọng thay cho chất lỏng thực tế, thành phần ứng suất pháp thành phần ứng suất tiếp tác dụng đơn vị diện tích dòng rối trao đổi động lượng phẩn tử chất lỏng chuyển động Do vậy, vấn đề lý thuyết rối đóng kín hệ thống phương trình 28