giải tích chuyên đề tích phân bất định

Nội dung 1 – Tích phân bất định. 2 – Tích phân xác định. 3 – Tích phân suy rộng. 4 – Ứng dụng của tích phân. I. Tích phân bất định Hai nguyên hàm sai khác nhau một hằng số. ( ) ( )f x dx F x C  Định nghĩa Hàm số y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm hàm trong [a,b], nếu y = F(x) liên tục, có đạo ()y f x tại mọi điểm thuộc đoạn [a,b] và . ' ( ) ( )F x f x Tập hợp tất cả các nguyên hàm của y = f(x) được gọi là tích phân bất định của hàm y = f(x), ký hiệu I. Tích phân bất định   ' 1. ( ) ( )f x dx f x  Tính chất   2. ( ) ( )d f x dx f x dx  3. Nếu f(x) là hàm khả vi, thì ' ( ) ( )f x dx f x C  4. Nếu f(x) là hàm khả vi, thì ( ) ( )df x f x C  5. ( ) ( ) f x dx f x dx      6. ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx      1. sinh coshxdx x c  Tích phân của một số hàm cơ bản 2 2. tanh cosh dx xc x   cosh sinhxdx x c  2 coth sinh dx xc x     22 1 3. arctan dx x c aa xa    22 4. arcsin arccos dx x x cc aa ax       22 22 5. ln dx x x a C xa     0a  Phương pháp đổi biến ' () ( ( )) ( ) ( ) tx f x x dx f t dt      Nếu tồn tại hàm hợp và hàm liên tục ( ( ))fx  ()tx   trên đoạn [a,b] và khả vi trong khoảng (a,b), thì Nếu tồn tại hàm hợp của hàm , thì ()tx   1 ()xt    1 ' () ( ) ( ( )) ( ) xt f t dt f x x dx       1 ' () ( ) ( ( )) ( ) tx f x dx f t t dt       Ví dụ Tính sin dx I x   sin dx I x   2 sin sin xdx x   1 2 1 1       dt dt tt Ví dụ Tính 2 ln(arccos ) 1 arccos x dx I xx    2 cos 1 cos dx x    2 1 dt t    ln tan 2     x C 1 1 cos ln 2 1 cos       x C x ln(arccos )tx 2 1 arccos dx dt xx    2 ln(arccos ) 1 arccos x dx I xx    2 2 t tdt C      2 1 ln arccos 2 xC Phương pháp tích phân từng phần. Giả sử hai hàm liên tục trên đoạn [a,b] ( ), ( )u u x v v x và khả vi trong khoảng (a,b). Nếu tồn tại , thì tồn tại . Ngoài ra: ' v u dx  ' u v dx  '' u vdx u v v u dx      u dv u v v du       Phương pháp tích phân từng phần.   ( )ln n P x ax dx  đặt   ln dx u ax du x    ( ) ( ) nn dv P x dx v P x dx    () ax n P x e dx  ( ) cos n P x ax dx  ( ) sin n P x ax dx  đặt () n u P x dv  phaàn coøn laïi. ( ) arcsin n P x ax dx  ( ) arccos n P x ax dx  ( ) arctan n P x ax dx    ()arccot n P x ax dx  Ví dụ Tính 2 arccosI xdx  arccosux 2 1 dx du x    Đặt 2 2 2arccos arccos 1 xdx u x du x      dv dx v x   2 2 2 arccos arccos 1 xx I x x dx x       2 1 arccosx x I 2 1 1 arccosI x x dx     2 1 xdx dv x   2 2 1 1 xdx v x C x         2 2 1 arccosx x x C     Tích phân của hàm hữu tỷ () () n m Px dx Qx  các đa thức bậc n và m với hệ số thực. , nm PQ 1. Chia tử cho mẫu, đưa về tích phân phân thức đúng. 2. (Đại số). Mẫu là đa thức với hệ số thực, phân tích ra thừa số bậc nhất và bậc hai.         1 1 22 1 1 1 ( ) v k tt s s m k v v Q x x a x a x p x q x p x q        [...].. .Tích phân của hàm hữu tỷ 3 Phân tích: Pn ( x)  Qm ( x)  x  a 1 Pn ( x)  s1 x 2  p1x  q1 As1 A1 A2    2  x  a1   x  a1   x B1 x  C1 2  p1x  q1 B2 x  C2   x 2  p1 x  q1  x  a1   2   s1  t1  x Bt1 x  Ct1 2  p1x  q1  t1 4 Qui đồng, đồng nhất hai vế, giải tìm các hệ số 5 Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau Tích phân của hàm hữu tỷ... 6arctan 6 x  C  6 t dt  6 2 6 2 t (1  t ) t 1 2 6 4 5 Tích phân của hàm vô tỷ: Tích phân Euler   x, ax 2  bx  c dx R   a  0, b2  4ac  0 Cách giải: Đổi biến Euler a  0 : ax 2  bx  c   ax  t c  0 : ax  bx  c   xt  c 2 ax  bx  c  ( x  x1 )t 2 Trong đó x1 là một nghiệm thực của ax  bx  c  0 2 Ví dụ Tính I  Tích phân Euler: 1  1  x  x2 x 1  x  x2 dx 1  x  x  tx...  Tích phân của hàm vô tỷ: Tích phân Trêbưsev  x m  ax n  p  b dx a, b: số thực, m, n, p: hữu tỷ, tất cả các số khác 0 Trường hợp 1: p là số nguyên Đặt x  t , với N là BSC nhỏ nhất của mẫu của m và n N m 1 Trường hợp 2: là số nguyên n n s Đặt ax  b  t , với s là mẫu của p m 1 Trường hợp 3:  p là số nguyên n n s Đặt a  bx  t , với s là mẫu của p Ví dụ I  Tính dx x 23 ( x  2) I x Tích. .. 1)(cosh xdx) 2 2 6 3 6 3   t 2 (t 2  1)dt  t  t  C  sinh x  sinh x  C 6 3 6 3 Tích phân của hàm lượng giác a1 sin x  b1 cos x I dx a sin x  b cos x  Phân tích a1 sin x  b1 cos x  A  a sin x  b cos x   B  a sin x  b cos x  '  ( Aa  Bb)cos x  ( Ab  aB)sin x  Ab  aB  a1 Đồng nhất hai vế:  giải tìm A, B  Aa  Bb  b1 ' A(a sin x  b cos x) dx I    Bdx a sin x  b cos x...  sin x,cos x dx Trong đó: R(u,v) là hàm hữu tỷ theo biến u, v  x Cách giải chung: đặt t  tan   , x    ,   2 dt  x  2arctan t  dx  2 2 1 t 2 2t 1 t Tích phân hàm sin x  ,cos x  1 t2 1 t2 hữu tỷ  2t 1  t 2  dt  R  sin x,cos x dx  2 R  1  t 2 , 1  t 2  1  t 2   Trong nhiều trường hợp, cách giải trên rất cồng kềnh Ví dụ Tính dx I  3sin x  4cos x  5 Đổi biến:... 1 4 x dx x 3 Tích phân Trêbưsev: I   x 1/ 2 1  x  1/ 4 1/ 3 dx m  1 1/ 2  1   2 Z m  1/ 2, n  1/ 4, p  1/ 3  n 1/ 4 BSCNN của mẫu m, n là 4 Đổi biến: 1  x 1/ 4 I x 1/ 2  x  t  x 3  1/ 4 1 / 4 1/ 3 3/ 4  1 x  2 x  1 3/ 4  t  1  x dx  3t 2 dt 4 3/ 4 3 dx   x 1/ 4  I  4 t  1 t  3t dt  4 3t  3t dt 3 6 3   1/ 4 1/ 3 1 x x 3/ 4 dx Tích phân của hàm lượng... 23 ( x  2) I x Tích phân Trêbưsev: 3 2 x 3 5 2  5/ 3 dx m 1 2  1 5  p   2  Z m  2, n  3, p  5/ 3  n 3 3 3 Đổi biến: 1  2x  t 3 4  6 x dx  3t dt 2 5 / 3  x 2 3  x  2  4 I   x x x  3  x dx   x  3   x   x  3 t 2 1 t  1 5  t  dt   1  t 3 dt 4 2 2 2 4 5 3   3   5 / 3 4 x dx Ví dụ I  Tính 3  dx x 1 6 x Tích phân Trêbưsev: I   x...  Ax  Bx  C 1 2 Đạo hàm hai vế (*) '  P  P2 4 x  8x  1   2 2 2 ( x  1) ( x  1)  Q1  Q2 2 Đồng nhất hai vế, tìm A, B, C, a, b, c Tích phân của hàm vô tỷ    ax  b  q1  x, R     cx  d    p1 p2  ax  b  q 2 ,   cx  d  ax  b Cách giải: đổi biến t  , cx  d n n là Bội số chung nhỏ nhất của q1 , q2 ,  dx ,    Ví dụ I  Tính dx 2x 1  4 2x 1 Đổi biến: 2 x  1 ... x 2  1)  ( Ex  F )( x  1) 2 Thay x = 1, tìm được B = -1 Thay x = -1, cân bằng phần thực, ảo: E = -2, F = 4 Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = i Thay x = i, tìm được C= -2, D = -1 Tích phân của hàm hữu tỷ: Phương pháp Ostrogradskii P( x) P ( x) P2 ( x) 1  Q( x) dx  Q ( x)   Q ( x) dx 1 2 (*) Q2 ( x) đa thức chỉ có nghiệm đơn là nghiệm của Q(x), Q( x) Q1 ( x)  Q2 ( x) P ( x),... x    ,   dt  dx  2 1 t2 2t 1 t sin x  ,cos x  2 1 t 1 t2 2 dt dt  2 2 I  2 2 2 t  6t  9 6t  4(1  t )  5(1  t ) 2 2  2 (t  3) d (t  3)  C  C t 3 tan( x / 2)  3 2 Tích phân của hàm lượng giác  R  sin x,cos x dx 1) R   sin x,cos x    R  sin x,cos x      ,  đặt t  cos x, x    2 2 2) R  sin x,  cos x    R  sin x,cos x  đặt 3) R   sin x, . Tích phân bất định. 2 – Tích phân xác định. 3 – Tích phân suy rộng. 4 – Ứng dụng của tích phân. I. Tích phân bất định Hai nguyên hàm sai khác nhau một hằng số. ( ) ( )f x dx F x C  Định. )F x f x Tập hợp tất cả các nguyên hàm của y = f(x) được gọi là tích phân bất định của hàm y = f(x), ký hiệu I. Tích phân bất định   ' 1. ( ) ( )f x dx f x  Tính chất   2. ( ) (. q            4. Qui đồng, đồng nhất hai vế, giải tìm các hệ số. 5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau. Tích phân của hàm hữu tỷ.    1 1 ,1 () 1. 1 nn dx Cn xa n