giải tích chuyên đề tích phân và ứng dụng

Nội dung 2 – Tích phân xác định. 3 – Tích phân suy rộng. 4 – Ứng dụng của tích phân. I. Tích phân xác định Bài toán Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong: , trục hoành, hai đường thẳng x = a và x = b. ()y f x Chia S một cách tùy ý ra làm n miền con: S 1 , S 2 , …, S n . Xấp xỉ mỗi miền con S 1 , S 2 , …, S n bằng các hình chữ nhật Hình dưới là các trường hợp chia thành 2 và 4 phần. Hình dưới là các trường hợp chia thành 8 và 12 phần. n càng lớn, diện tích tính được càng chính xác. Trên mỗi miền S 1 , S 2 , …, S n lấy tùy ý một điểm Ta có 12 n S S S S    * * * 1 1 0 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n S f x x x f x x x f x x x            * 1 () n ii i S f x x     max( ) 0 1 lim ( ) ( ) i b n ii x i a S f x x f x dx           Nếu giới hạn tồn tại không phụ * 0 1 lim ( ) i n ii x i I f x x         thuộc cách chia S và cách lấy điểm , thì gọi là * i x I tích phân xác định của hàm y = f(x) trên đoạn [a,b] và Ví dụ Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong: , trục hoành, hai đường thẳng x = 0 và x = 1. 2 yx Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên trái [...]... trên [a,b], b b udv  uv   vdu  b a a Chứng minh a Ví dụ Tích phân nào lớn hơn I  /2  sin 3 xdx, J   /2  0 sin 7 xdx 0  x   0, / 2  sin x  sin x  7  /2 3   /2 sin 7 xdx  0 1 Ví dụ  x  (0,1)  : x 2  0 19 1 x dx 1   20 2 0 1  x 2 20 Chứng minh 19  sin 3 xdx 19 x 1 x x 19 2 tích phân hai vế ta có biểu thức cần chứng minh Ví dụ 1 2  Tính giới hạn của dãy Sn  6 n 5 5 n... x  dt   0  Tích phân trên có dạng vơ định , dùng qui tắc Lơpital  '   2  (arctan t ) dt  2 2 2 0   lim x  1  arctan x  I  lim ' x x 0 4 x 2 x 1 x   I Tính các tích phân sau 7 1)  x 3 0 4 3 1 x 2 dx dx 2)  x 9 2 7 ln 3 dx 3)  ex  1 0 e cos(ln x)dx 4)  x 1 1 5)  e  1dx 1 x 141 20 3 2ln 4 7 2 1 ln 3( 2  1) sin1 1 e 2 e I Tính các tích phân sau 1 15 6)  x... tính tích phân xác định Đổi biến Nếu f(x) liên tục trên (a,b),  (t ),  ' (t ) xác định và liên tục  t  (t1, t2 )  a   (t )  b trong khoảng  t1 , t2  , ngồi ra b a Khi đó: t2 t1  f ( x)dx   f ( (t ))   (t )dt trong đó  (t1 )  a, (t2 )  b ' Hai phương pháp tính tích phân xác định Từng phần Nếu u(x), v(x) cùng với các đạo hàm liên tục trên [a,b], b b udv  uv   vdu  b a a Chứng minh...  lim 0 Tính x 0 x Nhận xét  cos t 2 x x 0 dt  0  0 0 Tích phân trên có dạng vơ định , dùng qui tắc Lơpital 0 '   2  cos t dt  cos x 2 0   lim  cos0  1 I  lim ' x0 x 0 1 x  x sin x Ví dụ Tính I  lim x 0  tan tdt 0 tan x  sin tdt 0 sin x Nhận xét  0 x 0  tan tdt  0,  tan x  x 0  sin tdt  0  0 0 Tích phân trên có dạng vơ định , dùng qui tắc Lơpital 0 ' sin x ...Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên phải 8 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải) 10 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải) 30 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải) 50 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải) Bảng thống kê một vài giá trị của Ln và Rn Tính chất b  dx  b - a 1 a b c b a a c 2  f ( x)dx...  0 b   f ( x)dx  0 a Tính chất 6  x   a, b f ( x)  g ( x) & x0   a, b  f ( x0 )  g ( x0 ) b b a a  f ( x)dx   g ( x)dx 7 Nếu f(x) khả tích trên [a,b], thì | f | khả tích trên [a,b]: b b a a  f ( x)dx   g ( x) dx 8 Nếu f(x) khả tích trên [a,b], thì x b a x F ( x)   f (t )dt ; G ( x)   f (t )dt là những hàm liên tục trên đoạn này Tính chất 9 10  f ( x) lẻ  a  f ( x)dx  0... 2008 và hàm lẻ: tuần hoàn T 1004 I   1004 lẻ sin(2008 x  sin x)dx  0 Cơng thức Newton - Leibnitz Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi ngun hàm F(x) b  f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) b a Cơng thức Đạo hàm theo cận trên Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi ngun hàm F(x) ' x    f (t )dt   f ( x) a      ( x)  a '  ' f (t )dt   f ( x)   ( x)  Hai phương pháp tính tích . Nội dung 2 – Tích phân xác định. 3 – Tích phân suy rộng. 4 – Ứng dụng của tích phân. I. Tích phân xác định Bài toán Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường. x         thuộc cách chia S và cách lấy điểm , thì gọi là * i x I tích phân xác định của hàm y = f(x) trên đoạn [a,b] và Ví dụ Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong:. đường cong: , trục hoành, hai đường thẳng x = 0 và x = 1. 2 yx Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên trái Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên phải 8 miền con (chọn