giải tích chuyên đề tích phân suy rộng

I. Tích phân suy rộng loại một Bài toán Tìm diện tích S miền vô hạn giới hạn bởi đường cong: , trục hoành, đường thẳng x = a. ( ) 0y f x b () a s f x dx    lim ( ) b b a f x dx      Tích phân suy rộng loại một Tích phân () a f x dx   lim ( ) b b a f x dx    khả tích trên đoạn , với mọi ()y f x   ,ab ba được gọi là tích phân suy rộng loại một. Các tích phân sau cũng là tích phân suy rộng loại một () a f x dx   lim ( ) a b b f x dx    ()f x dx    ( ) ( ) a a f x dx f x dx     Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng 1) Tính tích phân suy rộng (thường rất phức tạp) 2) Khảo sát sự hội tụ. ( ) lim ( ) b b aa f x dx f x dx     Nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn thì tích phân gọi là hội tụ. Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cùng, thì tích phân gọi là phân kỳ. Tính tích phân suy rộng (công thức Newton – Leibnitz) ( ) lim ( ) b b aa f x dx f x dx     Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên   ,a    lim ( ) ( ) b F b F a   Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim ( ): ( ) b F b F   ( ) ( ) ( ) ( ) a a f x dx F x F F a        Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2 1 y x  , trục hoành và đường thẳng x = 1. 2 1 dx S x    2 1 lim b b dx x    1 1 lim b b x       1 lim 1 1 x b         Diện tích của miền S bằng 1, hữu hạn. S là miền có diện tích vô hạn, bằng  Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 1 y x  , trục hoành và đường thẳng x = 1. 1 dx S x    1 lim b b dx x      1 lim ln | | b b x     lim ln b b     Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2 1 1 y x   , trục hoành. 2 1 dx S x        0 2 lim arctan b b x   2 0 2 1 dx x       Diện tích của miền S bằng .  Ví dụ Tính tích phân 2 1 x I e dx     2 1 x I e dx     2 1 2 x e    2 22 ee         2 1 2e  Ví dụ Tính tích phân 2 ln e dx I xx    2 ln e dx I xx    2 (ln ) ln e dx x    1 ln e x   11 ln( ) lne        1. Ví dụ Tính tích phân 2 4 56 dx I xx     2 11 ( 2)( 3) 56 xx xx    11 32xx   4 11 32 I dx xx        4 3 ln 2 x I x     3 4 3 lim ln ln 2 4 2 x x x        1 ln1 ln 2  ln2 44 ln | 3| ln | 2|xx       ( ) ( )    Dạng vô định.? Không được phép dùng: lim ( ) lim lim x x x f g f g       khi chưa đảm bảo hai giới hạn vế phải chắc chắn tồn tại. Ví dụ Tính 5 10 1 1 dx I x x x     Đổi biến: Đổi cận: 6 1 10 5 11 1 dx I x xx     5 1 t x  6 1 dt dx x    11xt   0xt    0 2 1 1 dt I tt      1 2 0 1/2 3/4 dt t        1 2 0 ln 1/2 1/2 3/4tt     [...]... hội tụ tuyệt đối Chú ý: 1) Với tích phân chỉ có một điểm suy rộng     f ( x)dx khi tách ra có dạng vơ định G( x) a  H ( x) a a     vẫn chưa kết luận t /phân ban đầu phân kỳ 2) Với tích phân có hai điểm suy rộng    a f ( x)dx khi tách ra thành tích phân  f ( x)dx     f ( x)dx a chỉ cần một trong hai tphân PK, thì tphân ban đầu PK I Tích phân suy rộng loại hai Định nghĩa Điểm x0... vì J phân kỳ (xem phần tích phân suy rộng loại hai) Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I    0 1 dx (3x  1) x  1 dx  Cách giải đúng! I   0 (3 x  1) x  1   1 dx  I1  I 2 (3x  1) x  1 I1 là tích phân xác định nên hội tụ Xét tích phân I2 x  1 1 1 Ta có f ( x)  3/ 2 Chọn g ( x )  3/ 2 3x (3x  1) x  1 x f ( x) 1 hữu hạn, khác 0  Khi đó: lim x  g ( x ) 3  Tích phân  Vì  1  f ( x)dx... dx  1  x a  1 a a 0 x tích phân hội tụ Trường hợp 2:   1 1   1 x   Tích phân phân kỳ   dx  1 a a 0 x Trường hợp 3:  1  1   dx  ln | x | a   a 0 x Tích phân phân kỳ Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ)  hội tụ, nếu   1 1   dx   a 0 x  phân kỳ, nếu   1  Nếu   1, thì I hội tụ  1 I     dx 2 x ln x Nếu   1, thì I phân kỳ Nếu   1,   1,... ksát sự HT của tích phân hàm khơng âm   a f ( x) dx để sử dụng được hai tiêu chuẩn so sánh Ví dụ I Khảo sát sự hội tụ   1 1 Ta có f ( x)  5 x  ln x x  f ( x) 1  Khi đó: lim x  g ( x ) 5  Tích phân  1  Vì  1 1 1/ 2 5x dx 5 x  ln x 1 Chọn g ( x)  1/ 2 x hữu hạn, khác 0  f ( x)dx và  g ( x)dx cùng hội tụ hay phân kỳ 1 1 g ( x)dx phân kỳ (    1 ), nên tích phân I phân kỳ 2 Ví... hay phân kỳ 1  g ( x)dx hội tụ (   2  1 ), nên tích phân I hội tụ 1 Khảo sát sự hội tụ I  Ví dụ   0 dx (3x  1) x  1 x  1 1 1 Ta có f ( x)  3/ 2 Chọn g ( x )  3/ 2 3x (3x  1) x  1 x f ( x) 1 lim  x  g ( x ) 3 Khi đó:  Tích phân Vì J    0  0 hữu hạn, khác 0  f ( x)dx và  g ( x)dx cùng hội tụ hay phân kỳ 0 3 g ( x)dx hội tụ (   1 ), nên tích phân I hội tụ 2 Sai! vì J phân. .. tùy ý, khơng sử dụng so sánh được Xét tích phân hàm khơng âm J    1 sin x dx 2 x  ln 2 x x 1 sin x 1 f ( x)  2  2  g ( x) Hội tụ 2 x  ln 2 x x  ln 2 x x Tích phân đã cho hội tụ tuyệt đối Ví dụ I Khảo sát sự hội tụ   1 Tích phân từng phần: I   1 1 1 u   du   2 dx x x dv  sin xdx  v   cos x  sin x cos x dx    x x 1  Xét tích phân J   1 sin xdx x   1 cos x cos1... tụ, suy ra I hội tụ cos x 1  2 hội tụ 2 x x I Khảo sát sự hội tụ Ví dụ   1 Xét tích phân hàm khơng âm J    1 sin xdx x sin x dx x sin x sin x 1  cos 2 x   x x 2x    1  cos 2 x dx cos 2 x  2 x dx   2 x   2 x dx  I1  I 2 1 1 1 2  I1   1 dx phân kỳ 2x  I2   1 cos 2 xdx 2x hội tụ (tương tự ví dụ trước) Tích phân đã cho hội tụ, nhưng khơng hội tụ tuyệt đối Chú ý: 1) Với tích. .. 1 1  Chọn g ( x)  2  lim x  g ( x ) x 5  Tích phân  1  Vì hữu hạn, khác 0  f ( x)dx và  g ( x)dx cùng hội tụ hay phân kỳ 1  g ( x)dx hội tụ (   2  1 ), nên tích phân I hội tụ 1 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I   1 Ta có arctan x x   f ( x)  2  2 2 2 x  2ln x 2  2x 4x 1 Chọn g ( x)  2 x f ( x)   lim  x  g ( x ) 4  Tích phân  1  Vì arctan xdx 2 2 x  2ln x hữu hạn,... 2 / x3 2 x    2  3/ x e 1 3/ x 3 x e3/ x  1 HT Ví dụ Chứng minh tích phân hội tụ và tính I   3 f ( x)  x  1 x 1 x 2 1 x2 dx x 1 x 2   2  1 nên tích phân I hội tụ t  1  x  t  x  1  2tdt  2 xdx 2 2 2  t 1 1 I     ln  ln1  ln  ln 3 2 2 2 1 x 2 t  t  1 t 1 2 3 x 3  xdx  tdt Chứng minh tích phân hội tụ và tính Ví dụ x  1 f ( x)  x  1 x 4 1  11/ 2 x 2... e x 1 1  f ( x)  x  2  g ( x) Tích phân đã cho hội tụ xe x x Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I    1 f ( x)  x  x 1 x3  3x  1 3 2 x  3/ 2 x  x 1 dx 3 x  3x  1 3 2 x 1  3/ 2 Tích phân hội tụ 3 x x Khảo sát sự hội tụ I  Ví dụ   0 arctan x dx x 2e arctan x x   f ( x)   g ( x) x x 2e 2e  Tính e 0 Ví dụ x dx   e  x  0  1 HT, nên tích phân đã cho HT Khảo sát sự hội tụ .  Tích phân suy rộng loại một Tích phân () a f x dx   lim ( ) b b a f x dx    khả tích trên đoạn , với mọi ()y f x   ,ab ba được gọi là tích phân suy rộng loại một. Các tích phân. là tích phân suy rộng loại một () a f x dx   lim ( ) a b b f x dx    ()f x dx    ( ) ( ) a a f x dx f x dx     Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng 1) Tính tích phân suy. 0 1 a dx x     Trường hợp 2: 1   1 1 a x         Tích phân phân kỳ. tích phân hội tụ. Trường hợp 3: 1   0 1 a dx x    ln | | a x     Tích phân phân kỳ. Kt qu (c s dng kho sỏt s hi t)