ờng thpt trại cau
Kì thi học sinh giỏi cấp trờng
Năm học 2009 - 2010
Môn thi : toán học lớp 11
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Giải phơng trình sau :
3
x
+
b, 9sinx + 6 cosx-3sin2x + cos2x = 8
Bài 2
Cho dãy số ( ) un xác định bởi 1
1
1
5 8, 1
u
u + u n
=
Chứng minh dãy số ( ) vn với vn = un+2 là một cấp số nhân
Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó
Bài 3
Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a.Trên các cạnh DC,BB’ ta lần lợt lấy các điểm M và N sao cho DM = BN = x với 0 x a ≤ ≤
Chứng minh hai đờng thẳng AC’ và MN vuông góc với nhau
Bài 4
Cho n là một số nguyên dơng Chứng minh : 11n+ 1 + 122n− 1 chia hết cho 133
Bài 5 Tìm giới hạn sau :
( )2 3
lim( )
−
Bài 6
Chứng minh với mọi số nguyên dơng n ta luôn có 1 1 1
……… Hết………
Trang 2ờng thpt trại cau
Đáp án và thang điểm
đề thi học sinh giỏi cấp trờng
Năm học 2009 2010–
Môn thi : toán học lớp 11
điểm
Câu 1 a, Điều kiện x≥ −1
Bình phơng hai vế ta đợc
3
3
1
1 3
x
+
1 3
x x
= −
⇔
= +
0,5 điểm 0,5 điểm
b, 9sinx + 6 cosx-3sin2x +cos2x = 8
⇔(sinx - 1)(7 - 6cosx - 2sinx) = 0
2
x = +π k π
0,5 điểm
0,5 điểm Câu 2 Từ
2
v = u + ⇔ vn+1 = un+1+ = 2 5 vn
Vậy vn là một cấp số nhân với v1 = 3và q = 5
Số hạng tổng quát 3.5n 1
n
v = −
0,5 điểm
0,5 điểm Câu 3 Đặt
'
AA = a→
uuu v ,
AB = b→
uuu v ,
AD =→c
uuu v ta có '
uuuu vvvv
,MN x a (1 x ) b c
uuuu vvvv
Ta có uuuu uuuu AC MN v ' v = 0 nên AC' ⊥MN
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 4 Đặt 11n 1 122n 1
n
A = + + − (*) Chứng minh bằng phơng pháp quy nạp
Với n = 1 ta có A1 = 112 + 121 = 133 133 M vậy (*)
đúng Giả xử (*) đúng với n = k Tức là 11k 1 122k 1 133
k
2 2 1
1 11k 12 k (11 133.12) 133
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm Bài 5
x
−
−
0,5 điểm 0,5 điểm
Trang 3Bµi 6
n =1 ta cã 1 1 1 3
1
2 3 4 12 + + = >
1
n k = ≥ ta cã 1 1 1
XÐt n = k +1 ta cã
0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
………HÕt………