Chuyên đề tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN Chuyên đề phát triển từ câu 41 đề tham khảo mơn Tốn 2021 Bộ Giáo Dục KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Các tính chất tích phân: b c b   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx với a  c  b a a c b b a a a  k  f  x  dx   kf  x  dx  k   b   f  x  dx   f  x  dx a b b   f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a  b a b b b    f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx a b a a b b a a   f  x  dx   f  t  dt   f  z  dz a b   f   x  dx  f  x  a  f  b   f  a  b a Công thức đổi biến số: b  f  u  x   u   x  dx  a  f u  x  u  x  dx   f u  du, u  u  x  u b  f  u  du, u  u  x  ua Phương pháp đổi biến số thường sử dụng theo hai cách sau đây: b  Giả sử cần tính  g  x  dx Nếu ta viết g  x  dạng f  u  x   u  x  a b ub a ua  g  x  dx   f  u  du Vậy tốn quy tính ub  f  u  du , nhiều trường hợp tích phân ua đơn giản   Giả sử cần tính  f  x  dx Đặt x  x  t  thỏa mãn   x  a  ,   x  b      b b a a f  x  dx   f  x  t   x  t  dt   g  t  dt , g  t   f  x  t   x  t  BÀI TẬP MẪU  x2 1 (ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Cho hàm số f ( x)   x  2x  x  x  Tích phân   f (2sin x  1) cos x dx bằng: A 23 B 23 C 17 D 17 Trang Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm giá trị tích phân hàm số HƯỚNG GIẢI: B1: Dựa vào biểu thức bên dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý toán b B2: Sử dụng tính chất  c b a c f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx, c   a; b  a B3: Lựa chọn hàm f  x  thích hợp để tính giá trị tích phân Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B  Xét I   f (2sin x  1) cos x dx dt  cos xdx x   t 1 Đổi cận:  x t 3 3  23 1 1 I   f (t )dt   f ( x)dx     x  x  3 dx    x  1 dx   21 21 1  Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ e x x  a e2 a Câu Cho hàm số f ( x)   Biết tích phân  f ( x) dx   ( phân số tối b c b  x  x  x  1 giản) Giá trị a  b  c A B C D 10 Lời giải Chọn C 1 e2   Ta có: I   f ( x)dx   x  x  dx   e2 x dx   1 1 Vậy a  b  c   x 1  x  x  e4 f (ln x)  dx bằng: Câu Cho hàm số f ( x)   Tích phân  x x   e2 x4 40 95 189 189  ln  ln  ln  ln A B C D 4 Lời giải Chọn D Đặt t  2sin x   e4 Xét I   e2 f (ln x ) dx x dx x x  e2  t  Đặt t  ln x  dt  Đổi cận: x  e4  t  4 2 I   f (t )dt   f ( x)dx   189 dx   x 1  x  dx   ln x4 Trang Câu 1 x   Cho hàm số f ( x)   x Tích phân   x  x  m  2n bằng: A B C Lời giải Chọn A  f(  x )dx  2 m m ( phân số tối giản), n n D Xét I   f(  x )dx 7 Đặt t   x  3t 2dt  dx x  7  t  Đổi cận: x 1 t  1  25   I  3 t f (t )dt  3 x f ( x)dx    x x  dx   xdx   0  12 2 Câu Cho hàm số f  x  liên tục  f  x  dx  , A I  B I   f  x  dx  Tính I   f  x   dx 1 C I  Lời giải D I  Chọn B d u Khi x  1 u  1 Khi x  u  3  1 Nên I   f  u  d u    f  u  d u   f  u  d u  1  1   1    f  u  d u   f  u  d u   1  Đặt u  2x   d x  Xét  f  x  d x  Đặt x  u  d x   d u Khi x  u  Khi x  u  1 1 0 Nên   f  x  d x    f  u  d u  Ta có  f  u  d u 1  f  x  d x    f u  d u  0  1 Nên I    f  u  d u   f  u  d u        1  Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x    x   x tập Câu F 1  Tính tổng F    F    F  3 A B 12 C 14 Lời giải: Chọn C Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: thỏa mãn D 10 Trang Ta có:  f  x  dx  F    F 1  F    mà  f  x  dx   2dx  nên F  2  1    f  x  dx  F 1  F  0   F   mà  f  x  dx   xdx  x  f  x  dx  F    F  1   F  1 mà  nên F    0  f  x  dx   xdx  x 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1  1 nên F  1   f  x  dx  F  1  F  3   F  3 mà  f  x  dx   2dx  4 nên F  3  Vậy F    F    F  3      14 Câu 1 0  Biết I   x  1 x dx   a ln  b ln với a, b  Tính S  a  b A S  B S  11 C S  3 Lời giải: D S  Chọn D  x  x  Ta có x    2  x x  2 x  1 x  1 dx   dx Do I   x x 2  22  x 1 x dx    x  2 1 3 5   dx      d x      d x x x  1 2 x 5   5ln x  x    x  3ln x    8ln  3ln5 a   S  a  b  b    Câu  Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f x3  3x   3x  , với x  Tích phân  xf   x  dx A  31 B 17 C 33 D 49 Lời giải Chọn C Từ giả thiết ta có f x3  3x   3x  nên suy f 1  , f  5    5 1 Suy I   xf   x  dx  xf  x    f  x  dx  23   f  x  dx   Đặt x  t  3t   dx  3t  dt Với x   t  0; x   t  Trang Do  f  x  dx  f t 1  3t  1 3t  3 dt   3t    3t  3 dt  0 59 33  4 Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục 59 Vậy I  23  Câu phân thoả f  x5  x  3  x  1, x  Tích  f  x dx 2 B 10 A C 32 D 72 Lời giải Chọn B Đặt x  t  4t   dx   5t   dt  x  2  t  1 Đổi cận:  x   t  Khi f  x  dx   2 Câu  f  t  4t  3 5t   dt  1   2t  1  5t   dt  10 1 Cho hàm số y  f ( x) xác định liên tục thỏa mãn  f ( x)  f ( x)   x với 10 x  Tính I   f ( x)dx A I  B I  C I  Lời giải D I  Chọn B Đặt t  f ( x)  2t  3t   x  dx  (6t  3)dt x   2t  3t    t  x  10  2t  3t   10  t  10 Vậy I   f ( x)dx   t (6t  3)dt  Câu Cho hàm số f  x  xác định 1  , f    f 1  Giá trị \   , thỏa f   x   2x 1 2 biểu thức f  1  f  3 B  ln15 A ln15 C  ln15 Lời giải D  ln15 Chọn C Ta có f   x   2x 1  ln 1  x   C1    f  x   dx  ln x   C   2x 1 ln  x  1  C   f     C1  f 1   C2  ;x  ;x   ln 1  x   ; x    f  1  ln   Do f  x      ln  x  1  ; x   f  3  ln    Trang  f  1  f  3   ln15 3x  x Câu 10 Cho hàm số f ( x)   5  x 15 A  x  x  Khi I   cos xf  sin x dx  B 15 C D 17 Lời giải: Chọn A   x    t  1  Đặt t  sin x  dt  cos xdx Đổi cận   x   t   I   f  t  dt  1  f  x  dx 1 3x  x f ( x )  Do  5  x 1 x  x   I     x  dx    3x  x  dx   x2  x  Câu 11 Cho hàm số f ( x)   x 1 41 A B 21 15 x  x  Khi I   f   x dx C 41 12 D 41 21 Lời giải Chọn C Đặt t   x  dt  2dx  dx   dt Đổi cận x   t   x   t  1  I   f  t  dt   f  x  dx 21 21  x  x  x  Do f ( x)   x  x 1  41 1  I     x  1 dx    x  x  3 dx   21  12   2  x  x x  Câu 12 Cho hàm số f ( x)   Khi I   sin xf  cos x  1dx x  x   35 19 10 A B C D 12 Lời giải: Chọn A x   t   Đặt t  cos x 1  dt   sin xdx Đổi cận   x   t   Trang 2 1  I   f  t  dt   f  x  dx   x  x Do f ( x)   x   3 x  x   I    x   dx    x  x  dx   x2  x f ( x )  Câu 13 Cho hàm số  x A  35 12  x  x  Khi I   cos xf  sin x dx  C  B 1 D  Lời giải: Chọn A    x    t  1 Đặt t  sin x  dt  cos xdx Đổi cận  x    t   I   f  t  dt  1  f  x  dx 1  x2  x Do f ( x)   x x  x   I   xdx    x  x  dx   1  x  x  x  Câu 14 Cho hàm số f ( x)   Khi I   xf  x  1dx x  x   73 74 A 24 B C D 25 3 Lời giải: Chọn B x   t  Đặt t  x   dt  xdx  xdx  dt Đổi cận  x   t  5 I 1 f  t  dt   f  x  dx  21 21  x  x  x  Do f ( x)   x  2 x   73 1  I     x  1 dx    x  x  1 dx   21   3 x  x  Câu 15 Cho hàm số f ( x)   Tính tích phân  x  x     f  sin x  cos xdx Trang A B 17 C 13 D 21 Lời giải: Chọn B  Xét I   f  sin x  cos xdx Đặt sin x  t  cos xdx  dt Với x   t   x   t 1 1 0 1  I   f  t  dt   f  x  dx   f ( x )dx   f ( x )dx    3x  3 dx    x   dx  2 2 x  x   Câu 16 Cho hàm số f ( x)   Tính tích phân  2 x  x  x  33 15 A B C 12 23 Lời giải: Chọn D 17   f  3cos x   sin xdx D 19 24  Xét I   f  3cos x   sin xdx Đặt 3cos x   t  3sin xdx  dt  sin xdx   dt Với x   t  1  x t 1 1 1  I   f  t  dt   f  x  dx   f ( x)dx   f ( x)dx 3 30     2x  2   x  1 dx   2 1 19 x  1 dx    30 24  1  x x  Câu 17 Cho hàm số f ( x)   Tính tích phân x  x   11 A 10 43 B 31  f  5sin x  1 cos xdx  31 C 30 D 31 10 Lời giải: Chọn C  Xét I   f  5sin x  1 cos xdx  Đặt 5sin 2x 1  t  10 cos xdx  dt  cos xdx  dt 10 Trang Với x   x    t  1 t 4 4 1 1 I  f  t  dt  f  x  dx  f ( x)dx   f ( x)dx    10 1 10 1 10 1 10 1 1 31   1  x  dx    x   dx  10 1 10 30 2 x3  x  x  Câu 18 Cho hàm số f ( x)   Tính tích phân x  11  x A 69 B 12 C e  f   ln x  x dx e 25 D 30 Lời giải: Chọn A e Xét I   f   ln x  dx x 1 Đặt  ln x  t  dx  dt x Với x   t  e x  e  t 3 3 1 2  I   f  t  dt   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   11  x  dx    x3  x   dx  69 1  x x  Câu 19 Cho hàm số f ( x)   Tính tích phân  f  3e x  1e x dx 7  x x  13 102 94 25 A B  C  D 15 33 9 Lời giải: Chọn C ln Xét I   f  3e x ln  1 e x dx x x x Đặt 3e   t  3e dx  dt  e dx  dt Với x   t  x  ln  t  5 5 1 1 94  I   f  t  dt   f  x  dx   f  x  dx   1  x  dx   (7  x)dx   32 32 33 32 33  Mức độ  Câu Giá trị tích phân  max sin x, cos x dx A B C D Lời giải Chọn C Trang    Ta có phương trình sin x  cos x  có nghiệm đoạn  0;  x   2 Bảng xét dấu Suy    0     max sin x, cos x dx   cos xdx   sin xdx   sin x  04   cos x  2  4 Câu   Tính tích phân I   max x3 , x dx A B 17 19 Lời giải: C D 11 Chọn B Đặt f  x   x3  x ta có bảng xét dấu sau: Dựa vào bảng xét dấu ta có x  0;1 , f  x    x3  x   x3  x  max x3 , x  x     x  1;2 , f  x    x3  x   x3  x  max x3 , x  x3     Ta có: I   max x , x dx   max x , x dx   max x , x dx 0   1 Nên I   max x3 , x dx   xdx   x 3dx  Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục Tính a  b 25 A B 2 17 x  x4  4  f 1  2 ln  \ 0;  1 thỏa mãn  f    a  b ln 3; a, b    x  x  1 f   x   f  x   x  x C D 13 Lời giải Chọn B Ta có x  x  1 f   x   f  x   x  x (1) Chia vế biểu thức (1) cho  x  1 ta x x f  x  f  x  x 1 x 1  x  1 x x x  x  f  x   dx f  x   , với x  \ 0;  1   x 1 x 1  x 1  x 1 x x 1 f  x   x  ln x   C  f  x     x  ln x   C  x 1 x Trang 10 Mặt khác, f 1  2ln  1  ln  C   2ln  C  1 x 1  x  ln x   1 x 3 3 Với x  f  x   1  ln 3   ln Suy a  b   2 2 Vậy a  b   f  0  f   0   Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm thỏa mãn  , f x  y  f x  f y  xy x  y            Do f  x   Câu với x, y  Tính  f  x  1dx A B  C D Lời giải Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số y f   x  y   f   y   x  xy , x  Cho y   f   x   f  0   x  f   x    3x 2  f  x    f   x dx  x  x  C mà f 0    C  Do f  x   x3  x  Vậy f  x  1dx    f  x  dx  1 Câu 0  x  x  1 dx  1 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f 1  ,   f   x  dx  1  x f  x  dx  Tích phân A  f  x  dx B C D Lời giải Chọn A 1  x3  x Ta có  x f  x  dx   f  x     f   x  dx Suy 3 0 x Hơn ta dễ dàng tính  dx  63 1 x3 0 f   x  dx   1 x3 x6 f   x  dx  212  dx     f   x   x3  dx  0 0 7 Suy f   x   7 x3 , f  x    x  C Vì f 1  nên C  4 1 7 Vậy  f  x  dx    x  dx  40 Do   f   x   dx  2.21  Câu  Xét hàm số f  x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn điều kiện f 1  f     f  x  f  x 1   Tính J     dx x x2  1 Trang 11 A J   ln B J   ln C J  ln  D J   ln Lời giải Chọn D 2  f  x  f  x 1  f  x f  x 2   dx   dx      dx Ta có J     dx   x x x x  x x  1 1 1 1   u   d u   dx x x  Đặt   dv  f   x  dx  v  f  x    2 2 f  x f  x  f  x  f  x 1  2  J    d x  f x  d x  d x        dx 2    x x x x x x x   1 1 1 2 1   f    f 1   ln x     ln x 1  Câu Cho hàm số f ( x ) xác định f  x  \ 2;1 thỏa mãn 1 , f  3  f  3  0, f    Giá trị biểu thức f  4   f 1  f   x  x2 1 A ln 20  3 B 1 ln  3 C ln80 1 D ln  Lời giải Chọn B Ta có: f   x   Câu 1 1      x  x   x 1 x   1  ln 1  x   ln   x     C1 ; x   ; 2    1  x 1 1 f  x      C   ln 1  x   ln  x     C2 ; x   2;1  dx  ln  x 1 x   x2 3 1  ln  x  1  ln  x     C3 ; x  1;    1 1 Với f     ln 1    ln      C2   C2  ln  3 3 1 Với f  3  f  3   C1  C3  ln 10 1 1 Nên f  4   f 1  f    ln  ln  ln  C2  C1  C3  ln  3 3 Cho hàm số f  x  xác định liên tục đồng thời thỏa mãn   f  x   0, x   x  f   x   e f  x  , x    f  0   Tính giá trị f  ln  A f  ln   B f  ln   C f  ln   ln  1 D f  ln   ln  2 Lời giải Chọn B Trang 12 Ta có f   x   e x f  x    f  x f  x dx   e x dx   f  x f  x  e x ( f  x   ) 1  e x  C  f  x   x f  x e C 1    C  1 e C 1  f  x  x  f  ln   ln  e 1 e 1 Mà f    Câu  f 1  g 1   Cho hai hàm f  x  g  x  có đạo hàm 1; 4 , thỏa mãn  g  x    xf   x  với  f  x    xg   x   x  1; 4 Tính tích phân I    f  x   g  x   dx A 3ln C 6ln B ln D 8ln Lời giải Chọn D Từ giả thiết ta có f  x   g  x    x f   x   x.g   x    f  x   x f   x    g  x   x.g   x     x f  x    x.g  x   C  x f  x   x.g  x   C  f  x   g  x   x 4 Mà f 1  g 1   C   I    f  x   g  x   dx   dx  8ln x 1 Câu 10 Cho hai hàm f ( x ) g ( x) có đạo hàm 1; 2 thỏa mãn f (1)  g (1)   x g ( x)  2017 x  ( x  1) f ( x)   ( x  1) , x  1; 2  x  g ( x)  f ( x)  2018 x  x 1  x 1  x  g ( x)  f ( x) dx Tính tích phân I    x 1 x   A I  B I  C I  2 Lời giải Chọn A x 1   ( x  1) g ( x)  x f ( x)  2017 , x  1; 2 Từ giả thiết ta có:   x g ( x)  f ( x)  2018  x  x2 Suy ra: D I     x 1 x   x   x     g ( x )  g ( x )  f ( x )  f ( x )   g ( x )  f ( x )  ( x  1)   x   x 1   x  1 x 1 x2         x x 1  g ( x)  f ( x)  x  C x 1 x 2 x 1  x  g ( x)  f ( x) dx   ( x  1)dx  Mà f (1)  g (1)   C  1  I    x 1 x   Trang 13   x  x  x  Câu 11 Cho hàm số f ( x)   Tính tích phân x  x  21 13 20 A B C Lời giải: Chọn A  f  3sin x  1 sin xdx D    Xét I   f 3sin x  sin xdx Đặt 3sin x   t  3sin xdx  dt  sin xdx  dt Với x   t  1  x t 2 2 2 1 1  I   f  t  dt   f  x  dx   f ( x)dx   f ( x)dx 1 1 1 31 1 21 x3  x   dx    x  3 dx    1 31 13 2 x  x  Câu 12 Cho hàm số f ( x)   Tính tích phân  f x  x 231 97 16 A  B C Lời giải: Chọn B  13 Xét I   f    x   dx D 113  x   dx Đặt x    t  x   t   x   (t  2)2  dx  2(t  2)dt Với x   t  x  13  t  2 2 0  I  2 (t  2) f  t  dt  2 ( x  2) f  x  dx  2 ( x  2) f  x  dx   ( x  2) f  x  dx  2 ( x  2) x 2dx  2 (2 x  1)( x  2)dx  97  2 x  x  Câu 13 Cho hàm số f ( x)   Tính tích phân 4  x x  A B C  f   cos x  sin xdx  21 D 12 Lời giải: Chọn A  Xét I   f   cos x  sin xdx 2  Đặt  cos x  t  sin xdx  dt Trang 14 Với x   x    t 1  t 3 3 1 1  I   f  t  dt   f  x  dx   f ( x)dx   f ( x)dx 41 41 41 42 1     x  dx    x   dx  31 32   x  x  x  Câu 14 Cho hàm số f ( x)   Tính tích phân  x x    16 11 A B 17 C Lời giải: Chọn C e4 Xét I  f  ln x e4 f  ln x  1x dx D 11  1x dx  ln x  t   ln x  t  dx  2tdt x Với x   t  x  e4  t  Đặt 2 0  I  2 t f  t  dt  2 x f  x  dx  2 x f ( x)dx   x f ( x)dx  2 x  x  x  1 dx   x   x  dx  11 2 x  x   Câu 15 Cho hàm số f ( x)   x   x  Tính tích phân 5  x x   A 201 77 B 34 103 C   f   tan x  cos  x dx 155 D 109 21 Lời giải: Chọn D  Xét I   f   tan x  cos  Với x      t 9 1 dx   dt cos x  t  5 I  dx Đặt  tan x  t  x x 9 1 1 f  t  dt   f  x  dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  5 5 5 70 72 1 109    x  1 dx    x  1 dx     x  dx  5 70 72 21 Trang 15  2  x  x x  Câu 16 Cho hàm số f ( x)   Khi I   cos xf  sin x dx   f   x dx x  x 0 10 A B C D 3 Lời giải: Chọn D  2 0 Ta có: I   cos xf  sin x dx   f   x dx  I1  I x   t   Đặt t  sin x  dt  cos xdx Đổi cận    x   t  1 1 1 1  I1  2 f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx x  x Do f ( x)   x x  x   I1   xdx    x  x  dx   1 Đặt t   x  dt  2dx  dx   dt Đổi cận  I2  x   t    x   t  1  f  t  dt   f  x  dx 1 1  x  x x  Do f ( x)   x  x    I    xdx    x  x  dx    1  10 Vậy I  I1  I  x  4 x Câu 17 Cho hàm số f ( x)   Tính tích phân 2 x  12 x  2 I  x f  x2  x 1 dx  ln e 2x f 1  e x  dx ln A 84 B 83 C 48 D 84 Lời giải: Chọn A Ta có: I   x f  x2  x 1 dx  ln e 2x f 1  e x  dx  I1  I ln  x   t  Đặt t  x   t  x   2tdt  xdx  xdx  tdt Đổi cận   x   t  2 2 1  I1   f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx Trang 16 x  4 x Do f ( x)   2 x  12 x  2  I1    2 x  12  dx  Đặt t   e x  dt  2e x dx  e x dx  10  I2  dt Đổi cận  x  ln  t    x  ln  t  10 10 1 f  t  dt   f  x  dx  25 25 x  4 x Do f ( x)   2 x  12 10  I   x  75 25 x  Vậy I  I1  I  84  2 x3  x Câu 18 Cho hàm số f ( x)   3x  x  x  Biết I    f  tan x  cos x e 1 dx    x f ln  x  1 x2  dx  a b a phân số tối giản Giá trị tổng a  b b A 69 B 68 C 67 Lời giải: Chọn A với  I f  tan x   cos x e 1  dx   x f ln  x  1 x2  dx  I  I D 66   x   t 1   dx Đổi cận  Đặt t  tan x  dt  cos x x    t   3  I1   f  t  dt   f  x  dx 2x x dx  dx  dt Đổi cận Đặt t  ln  x  1  dt  x 1 x 1 2  I2  x   t    e 1  t   x  2 1 f  t  dt   f  x  dx  20 20 2 x3  x Do f ( x)   3x  x  x   I  I1  I    2x  x  dx  53  3x   dx   a  53, b  16  20 16 Vậy a  b  69 Trang 17 1 e2 f  ln x  a  x   x