TRƯỜNG THCS TAM HƯNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 NĂM HỌC 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút Câu1: (6 điểm) a) Tính ( 4 3 - 81)( 5 3 2 - 81)( 6 3 3 - 81). . .( 2003 3 2000 - 81) b) Tính giá trị của biểu thức : 6x 2 + 5x - 2 tại x thoả mãn x - 2 =1 Câu 2 : (5đ) a) Cho 6 5 4 3 2 1 − = + = − cba và 5a - 3b - 4 c = 46 . Xác định a, b, c b) Cho tỉ lệ thức: d c b a = . Chứng minh : cdd dcdc abb baba 32 532 32 532 2 22 2 22 + +− = + +− . Với điều kiện mẫu thức được xác định. Câu 3 (2đ)Tìm x, y nguyên biết 4 1 3 5 x y − = Câu 4 : (6đ) Cho ∆ MNP nhọn, MD vuông góc với NP tại D. Xác định I ; J sao cho MN là trung trực của DI, MP là trung trực của DJ ; IJ cắt MN ; MP lần lượt ở L và K. Chứng minh rằng : a) ∆ MIJ cân b) DM là tia phân giác của góc LDK c) NK ⊥ MP ; PL ⊥ MN d) Trực tâm của ∆ MNP chính là giao của 3 đường phân giác của ∆ DLK e) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh NP. Chứng minh rằng góc IMJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh NP để IJ có độ dài nhỏ nhất. Câu 5: (1đ)Tìm Giá trị nhỏ nhất của 2 2 3 6C x x x x = + + + + − ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Hết~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ TRƯỜNG THCS TAM HƯNG HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 NĂM HỌC 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút Câu1: a)(3đ) Trong dãy số có 9 3 6 - 81 = 2 6 3 3 - 81 = 81-81 = 0 Do đó tích bằng 0 b)(3đ)Ta có 2−x = 1 * x - 2 = 1 ⇔ x = 3 * x - 2 = -1 ⇔ x = 1 Thay x=1 vào biểu thức ta được 6. 1 2 + 5.1 - 2 = 9 Thay x=3 vào biểu thức ta được 6. 3 2 + 5.3 - 2 = 67 KL Câu 2: a)(2đ) Xác định a, b ,c 6 5 4 3 2 1 − = + = − cba = 2 241210 2095435 24 )5(4 12 )3(3 10 )1(5 −= −− +−−−− = − −− = − +− = − cbacba => a = -3 ; b = -11; c = -7. Cách 2 : 6 5 4 3 2 1 − = + = − cba = t ; sau đó rút a, b ,c thay vào tìm được t = - 2 tìm a,b,c. b)(3đ) Chứng minh Đặt d c b a = = k => a= kb ; c = kd Thay vào các biểu thức : 0 32 53 32 53 32 532 32 532 22 2 22 2 22 = + +− − + +− = + +− − + +− k kk k kk cdd dcdc abb baba => đpcm. Câu 3 (2đ) 5 3 4 15 x y − = ⇔ (5x – 3).y = 4.15 = 60 = 1.60 = 2.30 = 3.20 = 4.15 = 5.12 = 6.10 Từ đó suy ra các cặp x,y Câu 4: a) Do MN là trung trực của DI NP là trung trực của DJ (1đ) => MI = MD MD = MJ => MI = MJ => ΔMIJ cân tại M. b) ∆ MLI = ∆ MLD (c.c.c) => · · MIL MDL= TT : ∆ MKD = ∆ MKJ (c.c.c) => · · MDK MJK= Mà ∆ MIJ cân (câu a) => · · MIL MJK= (1đ) => · · MDL MDK= => DM là tia p/g của · LDK c) CMTT câu b : PL ; NK là p/g trong của · LDK ; · DLK trong ∆ DKL => NK ⊥ MP (1 đ) PL ⊥ MN d) Từ câu c => trực tâm của ∆ MNP chính là giao của 3 đường phân giác trong ∆ DLK (1 đ) e) . * CM được · · 2IMJ NMP= (không đổi) (1 đ) * ∆ MIJ cân tại M có · IMJ không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nếu cạnh bên MI nhỏ nhất. Ta có MI = MD ≥ MH (MH là đường vuông góc kẻ từ M đến NP) Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi D ≡ H (1đ) Vậy khi D là chân đường vuông góc hạ từ M xuống NP thì IJ nhỏ nhất. M J I Câu 5: Đặt x 2 + x = t có 3 6 3 6 C t t C t t = + + − = + + − Áp dụng BĐT A B A B+ ≥ + Dấu = xảy ra khi và chỉ khi . 0A B ≥ GTNN của C = 9 khi 3 2x − ≤ ≤ N H D P . HƯNG HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 NĂM HỌC 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút Câu1: a)(3đ) Trong dãy số có 9 3 6 - 81 = 2 6 3 3 - 81 = 81-81 = 0 Do đó tích bằng. b : PL ; NK là p/g trong của · LDK ; · DLK trong ∆ DKL => NK ⊥ MP (1 đ) PL ⊥ MN d) Từ câu c => trực tâm của ∆ MNP chính là giao của 3 đường phân giác trong ∆ DLK (1 đ) e) 5.3 - 2 = 67 KL Câu 2: a)(2đ) Xác định a, b ,c 6 5 4 3 2 1 − = + = − cba = 2 241210 2095435 24 )5(4 12 )3(3 10 )1(5 −= −− +−−−− = − −− = − +− = − cbacba => a = -3 ; b = -11; c = -7. Cách 2