Giải bất phương trỡnh: 2.. Viết phương trỡnh tiếp tuyến với đồ thị hàm số C biết tiếp tuyến vuụng gúc với Cõu 2.. Trong một buổi liờn hoan cú 9 cặp nam nữ, trong đú cú 4 cặp là vợ chồng,
Trang 1Sở GD&ĐT Thanh hoá
Trờng THPT Quảng Xơng 2
-Đề chính thức
Đề THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11
Năm học 2009- 2010 Môn: Toán
Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Cõu 1.( 4 điểm )
Cho hàm số (C)
1. Giải bất phương trỡnh:
2. Viết phương trỡnh tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến vuụng gúc với
Cõu 2 ( 4 điểm )
1. Giải phương trỡnh:
2 Tỡm cỏc giỏ trị của m để hệ phương trỡnh sau cú nghiệm (x;y) sao cho x>0, y>0
Cõu 3 ( 6 điểm )
1. Giải phương trỡnh:
2 Trong một buổi liờn hoan cú 9 cặp nam nữ, trong đú cú 4 cặp là vợ chồng, cần chọn 3 người đứng ra tổ chức liờn hoan Hỏi cú bao nhiờu cỏch chọn sao cho trong 3 người được chọn khụng cú cặp vợ chồng nào?
3. Tớnh giới hạn:
Cõu 4 ( 4 điểm )
1 Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy bằng a và đường cao SO = a
a Tớnh gúc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (SCD)
b Gọi I là trọng tõm tam giỏc ABO, xỏc định hỡnh chiếu H của I lờn mf(SCD) và tớnh độ dài IH theo a
2. Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường trũn (C): và điểm M(0;
) Chứng minh rằng M nằm trong đường trũn, hóy viết phương trỡnh đường thẳng qua M cắt đường trũn (C) tại hai điểm A, B sao cho AB=3.MA
Cõu 5 ( 2 điểm )
Cho 3 số x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món: x+y+z=1
Trang 2Chứng minh rằng:
HÕt
Hä tªn thí sinh: , Sè b¸o danh:
Đáp án
1 1 Ta có : f’(x)=3x2-6x
Bpt đã cho x3-6x > 0
0.5 0.5 1.0
2 Theo giả thiết hệ số góc của tiếp tuyến là k=9
Giả sử tiếp điểm M(x;y) ta có f’(x)=9 suy ra x=-1; x=3 Với x=-1, phương trình tiếp tuyến là: y=9(x+1)-2 Với x=3, phương trình tiếp tuyến là: y=9(x-3)+2
0.5 0.5 0.5 0.5
Giải được t= 2 suy ra x=1, x=5
0.5 0.5 1.0
2
Từ hệ suy ra uv= -m+11 khi đó u, v là nghiệm của phương trình:
X2 - 5X – m+11 =0 (*)
Do x >0, y >0 nên u 2, v 2 Bài toán trở thành tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2
Đặt t=X-2 phương trình (*) trở thành: t2- t - m +5= 0 (**)
Để pt (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 pt (**) có hai nghiệm không âm
0.5
0.5
0.5
0.5
Trang 3Giải được: 19/4 m 5
3 1 Dùng công thức hạ bậc ta được:
Sử dụng ct nhân đôi giải được: sinx=0; sinx=1/2
Từ đó suy ra nghiệm của pt:
0.5
0.5 1.0
18 cách chọn 3 người trong 9 cặp nam nữ
Có 4.C1
16 cách chọn 3 người trong đó có 1 cặp vợ chồng Vậy có C3
18 - 4.C1
16 = 752 cách chọn 3 người thỏa mãn bài toán
0.5 0.5 1.0
=8/3
0.5
0.5 1.0
Trang 44 1 a.Gọi M là trung điểm CD suy ra
góc giữa (ABCD) và (SCD) là góc SMO,
Tam giác SMO vuông tại O, SO=a, OM=a/2 suy ra tanSMO=2 hay SMO=63,40
b.kẻ OK là đường cao tam giác SOM suy ra OK vuông góc mf(SCD), từ I kẻ đt song song với OK trong mf(SOM) cắt SM tại H thì H là điểm cần tìm
Ta có IH=
0.5
0.5
0.5 0.5
2
A I
B
M H
Tâm I(1;0) bán kính R=2
Ta có IM2=4/3<R2=4 suy ra M nằm trong đường tròn
Gọi H là trung điểm AB suy ra 2.HM=MA, ta tính được IH=1 Suy ra đường thẳng cần tìm d qua M và khoảng cách từ I tới đt cần tìm bằng 1
0.5
0.5
0.5
0.5
Ph Trình đt d có dạng: a(x-0)+ b(y- )=0
Ta có
Trang 5Tìm được 2 đt d là: x=0 và x- y+1= 0
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
Tương tự :
Ta có:
0.5
0.5
0.5
0.5
Chú ý: Thí sinh có cách giải khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.