Tổng hợp đề thi học sinh giỏi toán 12 có đap án

4 điểm Cho đường tròn O có đường kính AB = 2R, OC là một bán kính vuông gócvới AB và I là trung điểm OC, M là điểm di động trên O.. Môn thi: TOÁN Cấp: THPTThời gian làm bài: 180 phút Khô

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1)

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN ( BẢNG A )

Thời gian: 180 phút (không kể giao đề) Ngày thi: 06/10/2011

Câu 1: ( 5,0 điểm )

a Giải phương trình sau: 4 x2     x 1 1 5 x  4 x2 2 x3 với x R x4 

b Giải phương trình: 2sin2x 3 sin 2x 1 3 cos x 3 sinx

Câu 2: ( 5,0 điểm )

a Cho tam giác ABC vuông cân tại B , cạnh AB  Trong mặt phẳng chứa 2

tam giác ABC lấy điểm M thỏa MA2 MB2  MC2 Tìm quỹ tích của điểm

M

b Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN hợp với nhau một góc bằng 600, 6, BM  CN  Tính độ dài trung tuyến còn lại của tam giác 9 ABC

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:………;Số báo danh:…………

www.Toancapba.net

Trang 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1)

Môn: TOÁN ( BẢNG A ) Ngày thi: 06/10/2011

ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn có 04 trang )

Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm

từng phần như hướng dẫn quy định

a ( 3,0 điểm )

1,2

Phương trình đã cho được viết lại:

3sin2x2 3 sin cosx xcos2x3 3 sinxcosx

Trang 3

 3 sin cos 0 tan 1

63

Trang 4

Vậy độ dài trung tuyến còn lại :

Trang 6

r

b4b + c + a +

4

r

c4c + a + b ≤ √43

6.Câu 4 (3 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn :

f(xf(y) + x) = xy + 2f(x) − 1, ∀x, y ∈ R

Câu 5 (4 điểm) Cho dãy số (xn) được xác định như sau : x1 = 24, x2 = 60 và

xn+1 = xn+ xn −1

n(n + 1)(n + 2) (n = 2, 3, ).

Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn

Câu 6 (4 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R, OC là một bán kính vuông gócvới AB và I là trung điểm OC, M là điểm di động trên (O) Tiếp tuyến tại M của (O) cắt cáctiếp tuyến tại A, B của (O) lần lượt tại D và E; AE cắt BD tại N Xác định vị trí điểm M trên(O) để tam giác NIA có diện tích lớn nhất

HẾT .

• Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

• Giám thị không giải thích gì thêm

Trang 7

Từ giả thiết a2

n+1= an+ 1 ta có

b2 n+1

c2 n+1

= bn

cn + 1 ⇔ b

2 n+1

c2 n+1

x2− x + 1, thay vào (1) ta được

Trang 8

2 . (0,5 điểm)

Từ đó

x2

− x + 1 = 1 +

√52

4

r6a4a + b + c =

6a4a + b + c

1

≤ 14 6a4a + b + c + 1 −14 (1) (0,5 điểm)Theo bất đẳng Cauchy (Cô-si), ta có

a + b + c+

13

(0,5 điểm)Kết hợp với (1) ta được

4

r6a4a + b + c ≤ 38

a

a + b + c+

13

+ 3

(0,5 điểm)Tương tự ta có

4

r6b4b + c + a ≤ 38

b

a + b + c+

13

+ 3

Trang 9

4

r6c4c + a + b ≤ 38

c

a + b + c+

13

+ 3

(0,5 điểm)Cộng (2), (3), (4) ta được

4

r6a4a + b + c +

4

r6b4b + c + a +

4

r6c4c + a + b ≤ 38(1 + 1) +9

4 = 3.

(0,5 điểm)Suy ra

4

r

a4a + b + c +

4

r

b4b + c + a +

4

r

c4c + a + b ≤ √43

6.Dấu bằng xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau (0,5 điểm)Câu 4 (3 điểm) Giả sử f là hàm số thỏa mãn các yêu cầu đề bài, khi đó

f(xf(y) + x) = xy + 2f(x) − 1, ∀x, y ∈ R (1)Trong (1) thay x = 0 ta được f(0) = 1

(0,5 điểm)Trong (1) thay x = 1 ta được

f (f(y) + 1) = y + 2f(1) − 1, ∀y ∈ R (2) (0,5 điểm)Trong (2) lấy y = −2f(1) ta được f (f (−2f(1)) + 1) = −1 Đặt f (−2f(1)) + 1 = a Khi đó

f (a) + 1 = 0 ⇒ xf (a) + x = 0 ⇒ f (xf (a) + x) = f(0) = 1, ∀x ∈ R

(0,5 điểm)Vậy theo (1) ta có

1 = f (xf (a) + x) = ax + 2f(x) − 1 ⇒ f(x) = −a

2x + 1, ∀x ∈ R

Suy ra f(x) có dạng f(x) = cx + 1, với c là hằng số

(0,5 điểm)Thay vào (1) ta được

f(x) = x + 1, ∀x ∈ R ; f(x) = −x + 1, ∀x ∈ R

Trang 10

4 (0,5 điểm)

Câu 5 (4 điểm) Dễ thấy xn > 0, ∀n ∈ N∗, do đó xn+1 ≥ xn, ∀n = 1, 2, Suy ra dãy số đã cho

là dãy số tăng

(0,5 điểm)Theo giả thiết ta có:

39 , với mọi k sao cho 3 ≤ k ≤ n Khi đó từ (1) ta có

xn+1 < 2480

39

1(n + 2)(n + 1)n + · · · +6.5.41

+ x25.4.3 +

12

1k(k + 1) − (k + 1)(k + 2)1

(0,5 điểm)Vậy từ (3) ta được

xn+1 < 2480

39 .

12

14.5 −(n + 1)(n + 2)1

+ 62

< 1240

39 .

14.5 + 62 =

2480

39 .

Trang 11

(0,5 điểm)Theo nguyên lý quy nạp suy ra xn< 2480

39 , ∀n = 1, 2, 3, Vậy dãy số đã cho tăng và bị chặn trênnên có giới hạn hữu hạn

(0,5 điểm)Câu 6 (4 điểm) Chọn hệ trục toạ độ Oxy (như hình vẽ), ta có

A(R; 0), B(−R; 0) Theo tính chất tiếp tuyến của đường tròn, ta có

q(AB.AC)2− (−→AB.−→AC)2

Trang 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐẮK LẮK NĂM HỌC 2011 -2012

Giải các phương trình sau trên tập số thực R:

1/ cosx + 3(sin2x +sinx) - 4cos2x.cosx - 2cos x + 2 02 

2/ x42x + x3  2(x2x) = 0

Bài 3 (5,0 điểm).

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân có AB = AC = a (a là một số thực dương) và mặt bên ACC’A’ là hình chữ nhật có AA’=2a Hình chiếu vuông góc H của đỉnh B lên mặt phẳng (ACC’) nằm trên đoạn thẳng A’C

1/ Chứng minh thể tích của khối chóp A’.BCC’B’ bằng 2 lần thể tích của khối chóp B.ACA’

2/ Khi B thay đổi, xác định vị trí của H trên A’C sao cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích lớn nhất

3/ Trong trường hợp thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là lớn nhất, tìm khoảng cách giữa AB và A’C

HẾT

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu

 Giám thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh……… ……… Số báo danh………

Trang 13

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 - 1012

3) = 40

27 + Có hai điểm thỏa mãn giải thiết (–1;–3

cosx + 2cos2x + 3.sinx(2cosx + 1) – 4cos2x.cosx – 2(2cos2 x – 1 ) = 0

cosx(2cosx + 1)+ 3.sinx(2cosx + 1)–2.cos2x(2cosx + 1) = 0

(2cosx + 1)(cosx + 3.sinx –2.cos2x) = 0

1,0 0,5

Trang 14

2/ cosx + 3.sinx –2.cos2x = 0 

1 cos 3 sin cos 2

1,0

Trang 15

 ACA

B ACA

2  3

B ACA

a

V BH, mà BH2 = AB2 – AH2 = a2 – AH2 – vậy BH lớn nhất khi AH nhỏ nhất tức là AH A’C

5

a CH

- Một véc tơ chỉ phương của  là u (3; 2) đó cũng là 1 vec tơ pháp tuyến

của d, vậy phương trình của d là:

3x + 2y – 4

3 = 0, Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

x y

0,5

1,0

Trang 16

1,0

Trang 17

Môn thi: TOÁN Cấp: THPT

Thời gian làm bài: 180 phút

(Không kể thời gian phát đề)

Cho góc vuông xOy và điểm A (A ≠ O) cố định trên đường phân giác

Om của góc ấy Một đường tròn ( C ) thay đổi luôn đi qua hai điểm A, O cố

định và cắt Ox tại M, cắt Oy tại N.

a) Chứng minh rằng khi đường tròn ( C ) thay đổi thì tổng OM + ON có

giá trị không đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm I là trung điểm của đoạn thẳng MN khi đường tròn ( C ) thay đổi.

Trang 18

Trang 19

Trang 20

Trang 21

Trang 22

Trang 23

Trang 24

Trang 25

Trang 26

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TP HÀ NỘI NĂM 2011-2012

Bài II: (4 điểm)

Bài III (4 điểm)

Tìm

Chứng minh rằng:

Bài IV: (5 điểm)

1 Cho hình chóp đáy là hình thang vuông với các góc vuông tại và Gọi là trung điểm cạnh

Tính thể tích hình chóp và diện tích tam giác biết rằng

và

2 trong mặt phẳng cho hình thang có vuông góc với hai cạnh đáy và Cạnh

cố định, cạnh thay đổi và có độ dài bằng tổng độ dài hai cạnh đáy Gọi là điểm thuộc cạnh CD sao cho

Xác định vị trí điểm trong mặt phẳng để tổng diện tích của hai tam giác và là nhỏ nhất

Bài V: (2 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ cho là đồ thị hàm số

và là các điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đồ thị

Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng không vượt quá

-Hết - www.Toancapba.net

Trang 27

Trang 28

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN

(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 05 trang)

Câu 2 Cho hai số dương x y, thỏa mãn điều kiện x1,y và 3(1 xy)4xy Tìm giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x3 y3 3 12 12

Trang 29

( ) (3)4

23( ) 4

33( ) 4

1

x xy

 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên: ( ; )x y (1; 2), (1; 2), ( 2; 2), ( 2; 2).  

Câu 4 Cho tam giác ABC có BCa, CAb, ABc và cb Hai điểm M N tương ứng di ,

động trên hai cạnh AB AC sao cho , MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau Xác định vị trí của M và N để MN có độ dài nhỏ nhất

Trang 30

( 1, )2

n n

n

u

u u

n n

a) Tìm tọa độ các đỉnh B và C của hình vuông OABC

b) Gọi E và F theo thứ tự là các giao điểm của đường tròn ( )C ngoại tiếp OABC

với trục hoành và trục tung (E và F khác gốc tọa độ O) Tìm tọa độ điểm M trên ( )C sao cho tam giác MEF có diện tích lớn nhất

3đ

Trang 31

x y

Do điều kiện x  nên tọa độ điểm 0 0 B là: B ( 1; 7)

 Điểm C đối xứng với A qua trung điểm 1 7;

 Phương trình đường tròn ( )C ngoại tiếp OABC:

Trang 32

3 4

3 5

Trang 33

Trang 34

Trang 35

Trang 36

Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 TP.HCM 2011-2012

Môn: TOÁN VÒNG 1

E là giao điểm của P B và AC, F là giao điểm của QB và AD Chứng minh

M O vuông góc với EF

Câu III

Cho a; b; c > 0 Chứng minh:

1 a(b + 1) +

1 b(c + 1) +

1 c(a + 1) ≥ 3

1 + abc . Câu IV

Cho đa thức P (x) = x2012− mx2010+ m(m 6= 0) Giả sử P (x) có 2012 nghiệm thực Chứng minh có ít nhất một nghiệm thỏa | x0 |≤ √ 2.

Trang 37

Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 TP.HCM 2011-2012

Môn: TOÁN VÒNG 2

Câu I

Tìm tất cả các hàm f (x) : R → R thỏa: f (f (x) + y) = f (x2 − y) + 4yf (x) với mọi x, y ∈ R.

Cho 4ABC nội tiếp (O) Trên AC và AB lần lượt lấy 2 điểm P và Q Gọi

M, N, J lần lượt là trung điểm BP, CQ, P Q Cho (M N J ) cắt P Q tại R Chứng minh OR ⊥ P Q.

Trang 38

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO

THÁI NGUYÊN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT – NĂM HỌC 2011 - 2012

b) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:

sin sin 6 sin 5 10

Trang 39

ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2011 – 2012

Trang 40

Trang 41

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

AN GIANG Năm học 2011 – 2012

Môn : TOÁN (vòng 1) Lớp : 12

Thời gian làm bài : 180 phút

(Không kể thời gian phát đề)

Trang 42

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12

thì thỏa yêu cầu bài toán

3điểm

Bài 2

+ A xác định khi Đặt khi đó xét hàm số

ạ

+ Ta có bảng biến thiên

Trang 43

3điểm

Trang 44

ạ

Khi ta có hệ

So với trường hợp đang xét hệ phương trình có nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm

TH1: thay vào phương trình (2) ta được

Trang 45

phương trình vô nghiệm

+ Vậy

+ Gọi I là trung điểm AC khi đó

, D là điểm đối xứng B qua I nên

Bài

7a

Gọi M là trung điểm AB và O là tâm hình vuông ABCD Do hình chóp

đều nên SO(ABCD) và là góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy

2điểm

Bài

7b

+ Gọi H là hình chiếu của O lên SC ta được SCOH (1)

Do BDAC, BDSO BD(SOC)BDSC (2)

Từ (1) và (2) SC(BDH) vậy góc hợp bởi hai mặt bên của hình

chóp là góc hợp bởi hai đường thẳng BH và HD theo đề bài ta được

Vậy

2điểm

B HƯỚNG DẪN CHẤM

+ Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

+ Điểm số có thể chia nhỏ đến 0,25 cho từng câu Tổng điểm toàn bài không làm tròn

H

Trang 46

Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 2011-2012

Môn: TOÁN VÒNG 1

Cho phương trình x2n − 3x + 2 = 0 (1) trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 1.

1 Chứng minh rằng ứng với mỗi n, (1) có đúng một nghiệm xn ∈ [0, 1].

2 Gọi (xn) với n = 2, 3, 4, là dãy số có được theo trên Chứng minh rằng dãy số đơn điệu và bị chặn.

Trang 47

Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 2011-2012

Môn: TOÁN VÒNG 2

Câu I

Ngũ giác đều ABCDE có cạnh bằng 1 có tâm là O Phép quay tâm O với góc quay ϕ biến ngũ giác ABCDE thành ngũ giác A1B1C1D1E1 Tính diện tích phần chung S của hai ngũ giác theo ϕ Tìm giá trị nhỏ nhất của S.

(ii) an+1 = an + bn với mọi n ∈ N;

(iii) bn+1 = 3an+ bn với mọi n ∈ N.

1 Tìm công thức tổng quát của an, bn.

2 Chứng minh rằng tồn tại một hằng số thực k sao cho n|k.ab− bn| < 2 với mọi n.

Câu V

Tìm tất cả các hàm số f : [0; +∞) → [0; +∞) thỏa f (f (x)) + 7f (x) = 18x với mọi x ≥ 0.

2

Trang 48

Trang 49

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012

MÔN THI : TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút





 có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C) Tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M

1 Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại

B’, C’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a

2 M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho

Trang 50

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012

I 1 CM tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M 1,00

Trang 52

Trang 53

Do

3 2

Trang 54

a f x  a  Vậy

3

3 max

3

3( 2 1) min

Trang 55

yx

450A

Trang 56

Trang 62

JgK7

Trang 63

ĐỀ THI HSG TOÁN TỈNH PHÚ YÊN

P u  là số chính phương với mọi n=1;2;3…

Câu 4: (2đ) Cho góc nhọn xOy ,điểm A di động trên Ox,điiểm B di động trên Oy sao cho OA=OB+k (k dương và không đổi).Chứng minh rằng đường thẳng qua

trọng tâm G của tam giác AOB và vuông góc với AB luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5: (4đ) Cho đường tròn bán kính bằng 1.Gọi A là một điểm cố định trên đường tròn Vẽ tiếp tuyến tại A trên đó lấy T sao cho AT=1.Một đường thẳng d quay

quanh T cắt đường trọn tại B và C.Xác định vị trí của d để tam giác ABC có diện tích lớn nhất

Câu 6: (3đ) Cho x>0,y>o và 2 5

Trang 64

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2011 - 2012

Môn thi: Toán - Vòng I

ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 12 tháng 10 năm 2011)

SỐ BÁO DANH:……… Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1:(3.0 điểm) Giải các phương trình sau:

1

n

n n

u u

Câu 3: (2.0 điểm) Cho , , 0 a b c  thỏa mãn a b c    3

Câu 4: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC cố định nội tiếp đường tròn (O) P là một điểm di

động trên cung BC không chứa A (P không trùng B, C) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng PB, PC

a) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

b) Xác định vị trí của điểm P sao cho AM.PB+AN.PC đạt giá trị lớn nhất

Câu 5:(1.0 điểm) Cho , x y là các số nguyên dương thoả mãn

là số nguyên

dương Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương z sao cho x y z xyz   

-HẾT -

* Thí sinh không được sử dụng tài liệu

* Giám thị không giải thích gì thêm

Trang 65

(Đáp án, hướng dẫn này có 3 trang)

yªu cÇu chung

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập

luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng

* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải

sau có liên quan

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần là

0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng

bài

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài

sin2 cos x x cos2 sin x x (cos2 cos x x sin2 sin ) sin2 sin x x x x sin2 cos x x

Định dạng
Số trang	93
Dung lượng	9,21 MB