logic toán và cơ sở logic của kiến thức môn toán trung học phổ thông

Kí hiệu AB , trong đó A và B là các công thức của đại số mệnh đề cũng được gọi là một đẳng thức.. Biến đổi tương đương các công thức của đại số mệnh đề Việc thay thế một công thức củ

MỞ ĐẦU 2

1 Lí do chọn đề tài 3

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Giả thiết khoa học 4

5 Đối tượng nghiên cứu 4

6 Phương pháp nghiên cứu 4

7 Đóng góp của khóa luận 4

8 Cấu trúc của khóa luận 4

Chương 1 SƠ LƯỢC VỀ LOGIC TOÁN XÂY DỰNG THEO NGỮ NGHĨA 4 1.1 Đại số mệnh đề 5

1.1.1 Mệnh đề và các phép toán mệnh đề 5

1.1.2 Công thức của đại số mệnh đề 10

1.1.3 Các quy tắc suy luận của đại số mệnh đề 17

1.2 Đại cương về đại số vị từ 18

1.2.1 Vị từ và các phép toán vị từ 20

1.2.2 Công thức của đại số vị từ 21

1.2.3 Các quy tắc suy luận của đại số vị từ 22

1.3 Cơ sở logic toán trong môn Toán phổ thông 23

1.3.1 Một số yếu tố logic toán trong môn Toán tiểu học 23

1.3.2 Kiến thức logic toán trong môn Toán trung học cơ sở 23

1.3.3 Kiến thức logic toán trong môn Toán trung học phổ thông 24

1.3.4 Vấn đề chứng minh các kết luận trong môn Toán trung học phổ thông 25

1.3.5 Vấn đề phát triển tư duy logic cho hoc sinh 26

Chương 2: GIỚI THIỆU LÔGIC TOÁN XÂY DỰNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ 30

2.1 Giới thiệu hệ toán mệnh đề 30

2.1.1 Kí hiệu nguyên thủy và quy tắc xây dựng công thức 30

2.1.2 Các tiên đề 31

2.2 Giới thiệu hệ toán vị từ 32

2.2.1 Các kí hiệu nguyên thủy và quy tắc xây dựng công thức 32

2.2.2 Các tiên đề và các quy tắc dẫn ra công thức đúng 33

2.3 Phương pháp tiên đề với việc xây dựng các lý thuyết toán học 33

2.3.1 Sơ lược lịch sử ra đời của phương pháp tiên đề 33

2.3.2 Hệ tiên đề của một số lí thuyết toán học 35

2.3.3 Các hệ tiên đề được dùng để xây dựng kiến thức hình học ở trường phổ thông 40

KẾT LUẬN 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Phong trào cải cách giáo dục toán học được khởi xướng từ đầu thể kỉ XX

đã đặt ra vấn đề phải làm giảm khoảng cách giữa nội dung môn Toán trong nhà trường với thành tựu phát triển của Toán học Một số nhà lí luận dạy học đã đưa

ra ý kiến cho rằng: cần phải đưa một số kiến thức toán học hiện đại vào giảng dạy trong các trường phổ thông Tuy nhiên, thực tiễn giáo dục đã cho thấy mọi

sự cố gắng cải cách một cách triệt để nội dung dạy học môn Toán trong các trường phổ thông đều không mang lại hiệu quả Từ thực tế đó, xu hướng chung được mọi người thừa nhận là nội dung môn Toán ở trường phổ thông chủ yếu vẫn bao gồm các tri thức toán học truyền thống nhưng cần được trình bày dưới

sự soi sáng của toán học hiện đại Với quan điểm đó không cần đưa nhiều kiến thức toán hiện đại vào chương trình dạy học mà vẫn làm cho kiến thức môn Toán tiếp cận được với xu thế phát triển của Toán học

Với cương vị là một sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán sắp rời giảng đường đại học cùng lòng yêu thích bộ môn, tôi muốn đóng góp công sức nhỏ bé của mình giúp bạn đọc nắm vững nội dung, mối liên hệ logic giữa Toán phổ thông với toán học Cao cấp Chính điều đó đã thôi thúc tôi làm khóa luận với đề

tài: “Logic Toán và cơ sở logic của kiến thức môn Toán Trung học phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu mối liên hệ logic toán phổ thông với toán cao cấp cho sinh viên

ĐHSP Toán trường Đại học Tây Bắc

- Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày kiến thức cơ sở về logic Toán và những yếu tố của logic toán có mặt trong hệ thống kiến thức môn toán Trung học phổ thông

4 Giả thiết khoa học

Nếu sinh viên có thể nắm vững các kiến thức Toán cao cấp và hiểu rõ mối liên hệ của nó với các kiến thức Toán Phổ thông thì họ có thể giảng dạy tốt hơn

sau khi ra trường

5 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu nội dung môn toán cao cấp đã được dạy ở trường Đại học

Tây Bắc

- Nghiên cứu nội dung, mối liên hệ logic toán và cơ sở logic Toán của kiến

thức môn toán phổ thông

6 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

- Phân tích, tổng hợp các kiến thức

- Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn

7 Đóng góp của khóa luận

Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán trường Đại học Tây Bắc

8 Cấu trúc của khóa luận

Khóa luận gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm 2 chương và phần kết luận Phần nội dung bao gồm các chương sau:

Chương 1: Sơ lược về logic toán xây dựng theo ngữ nghĩa

Chương 2: Giới thiệu logic toán xây dựng bằng phương pháp tiên đề

Chương 1 SƠ LƯỢC VỀ LOGIC TOÁN XÂY DỰNG

THEO NGỮ NGHĨA

Nghiên cứu logic toán thông qua ngữ nghĩa là chúng ta dựa vào nội dung các phát biểu và đối chiếu với thực tiễn để khẳng định tính đúng hay sai của phát biểu đó Trình bày logic toán theo ngữ nghĩa bao gồm hai phần chính là đại số mệnh đề và đại số vị từ Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu một cách sơ lược về hai phần này để có những hiểu biết cơ bản về logic toán giúp cho việc phân tích các yếu tố logic toán trong kiến thức môn Toán phổ thông

1.1 Đại số mệnh đề

1.1.1 Mệnh đề và các phép toán mệnh đề

1.1.1.1 Khái niệm mệnh đề

Đại số mệnh đề bắt đầu với khái niệm mệnh đề Đó là những phát biểu mà

ta có thể xác định được nó đúng hay sai Một mệnh đề chỉ đúng hoặc sai mà không thể vừa đúng vừa sai Việc phân định đúng hay sai là dựa vào nội dung phát biểu và đối chiếu với thực tiễn Chú ý rằng, thực tiễn nói đến ở đây bao gồm thực tiễn trong đời sống sinh hoạt bình thường và cả thực tiễn khoa học, tức

là những tri thức khoa học đã được xác định

Vậy, mệnh đề là một khẳng định có tính đúng hoặc sai Không có mệnh đề

vừa đúng vừa sai, những câu cảm thán, những câu nghi vấn, câu mệnh lệnh,… không là mệnh đề

Để kí hiệu các mệnh đề ta dùng các chữ cái , , , a b c Trong đại số mệnh đề, người ta không quan tâm đến cấu trúc ngữ pháp của các mệnh đề mà chỉ quan tâm đến tính “đúng” hoặc “sai" Như vậy, ngữ nghĩa ở đây chỉ được sử dụng để xác định giá trị đúng hay sai của mệnh đề (thường được gọi là giá trị chân lí của

mệnh đề) Nếu a là mệnh đề đúng thì ta nói nó có giá trị chân lí bằng 1, kí hiệu

là G a( ) 1 , nếu b là mệnh đề sai thì ta nói nó có giá trị chân lí bằng 0, kí hiệu

là ( )G b 0

Chẳng hạn, các câu:

+) “Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam” là mệnh đề đúng

+) Sinh viên năm thứ nhất đang tập quân sự

+) Năng suất lúa năm nay cao hơn năm ngoái

+) 12 giờ trƣa hôm nay tôi đang ở Hà Nội

2 Để kí hiệu a là mệnh đề “ 2 3 5  ” ta viết : a"2 3 5" 

3 Ta thừa nhận các luật sau đây của logic mệnh đề:

a) Luật bài trung: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai, không có mệnh

đề nào không đúng cũng không sai

b) Luật mâu thuẫn (hay còn gọi là luật phi mâu thuẫn): Không có mệnh

đề nào vừa đúng lại vừa sai

+) Mệnh đề a“Số 30 chia hết cho 4” ta thiết lập đƣợc mệnh đề

a = “Số 30 không chia hết cho 4”.

+) Mệnh đề b“Nhôm là một kim loại” ta thiết lập đƣợc mệnh đề

b = “Nhôm không phải là kim loại”

Chú ý: Phủ định của một mệnh đề có nhiều cách diễn đạt khác nhau, chẳng hạn:

“Nhôm không phải là kim loại”

“Không phải nhôm là kim loại”

“Nói nhôm là kim loại không đúng”

b) Phép hội

Hội của hai mênh đề a , b là một mệnh đề c , đọc là a và b , kí hiệu

 

c a b, đúng khi cả hai mệnh đề a , b cùng đúng và sai trong các trường hợp

còn lại Bảng giá trị chân lí của phép hội như sau:

Từ hai mệnh đề: a = “Mỗi năm có 12 tháng”, b = “Mỗi năm có 4 mùa”

ta thiết lập mệnh đề c = “Mỗi năm có 12 tháng và 4 mùa”

Mệnh đề c là hội của hai mệnh đề a và b đã cho

Chú ý:

1 Đề thiết lập hội của hai mệnh đề a , b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên

từ “và” hay bởi liên từ khác cùng loại Những liên từ đó là: mà, song, đồng thời, vẫn… hoặc dấu phẩy hoặc không dùng liên từ gì

2 Phép hội có tính chất giao hoán, tính chất kết hợp và cóp p p ;

Từ hai mệnh đề a = “Mỗi năm có 12 tháng”, b = “Mỗi năm có 52 tuần”

ta thiết lập mệnh đề c = “Mỗi năm có 12 tháng hoặc 52 tuần”

Mệnh đề c là tuyển của hai mệnh đề đã cho

Chú ý:

1 Để thiết lập tuyển của hai mệnh đề a , b ta ghép hai mệnh đề đó bởi

liên từ “hoặc” hay một liên từ khác cùng loại

2 Khi thiết lập tuyển của nhiều mệnh đề, ta dùng dấu chấm phẩy thay cho liên từ “hoặc”

Chẳng hạn: “Số có tận cùng bằng 0; 2; 4; 6 hoặc 8 thì chia hết cho 2”

3 Phép tuyển có tính chất giao hoán, tính chất kết hợp và cóp p p ;

0

 

p p ; p 1 1; p p 1

4 Ngoài ra giữa phép tuyển và phép hội còn có tính chất phân phối

5 Giữa các phép toán phủ định, hội và tuyển còn liên hệ với nhau bởi luật

Đờ Moocgăng như sau:p  q p q p;   q p q

Với luật này, khi chứng tỏ một hội của hai mệnh đề là mệnh đề sai ta chỉ cần chỉ ra một trong hai mệnh đề thành phần sai là được và để chứng tỏ tuyển của hai mệnh đề là sai thì phải chứng tỏ cả hai mệnh đề thành phần đồng thời sai

d) Phép kéo theo

Mệnh đề a kéo theo b là một mệnh đề, kí hiệu là ab, sai khi a đúng mà b sai

và đúng trong các trường hợp còn lại Bảng giá trị chân lí của phép kéo theo

Từ hai mệnh đề a = “Số tự nhiên a có tổng các chữ số chia hết cho 3”;

b = “Số tự nhiên a chia hết cho 3” Ta thiết lập mệnh đề c = “Nếu số tự nhiên

a có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3”

Mệnh đề c trong ví dụ trên là mệnh đề kéo theo thiết lập từ hai mệnh đề

a ; b

Chú ý: Mệnh đề “ a kéo theo b ” thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức

khác nhau, chẳng hạn: “nếu a thì b ”; “ a suy ra b ”; “có a thì có b ”

Từ hai mệnh đề a = “Số 45 có tận cùng bằng 5”; b = “Số 45 chia hết cho

5” Ta thiết lập mệnh đề c = “Số 45 có tận cùng bằng 5 khi và chỉ khi nó chia

hết cho 5”

Mệnh đề c trong ví dụ trên là mệnh đề tương đương được thiết lập từ hai

mệnh đề đã cho

Chú ý: Mệnh đề “ a tương đương b ” còn được diễn đạt bằng nhiều hình thức

khác nhau, chẳng hạn: “ a khi và chỉ khi b ”; “ a nếu và chỉ nếu b ”

1.1.2 Công thức của đại số mệnh đề

1.1.2.1 Khái niệm công thức của đại số mệnh đề

Giả sử cho , , ,p q r … là các biến mệnh đề Từ các biến mệnh đề đó, sử

dụng các phép toán logic , , , ,  ta lập được những mệnh đề mới, phức tạp hơn như q p ; ( p q) r … Từ các mệnh đề mới lập được, lại áp

dụng các phép toán logic, ta lại được các mệnh đề mới, chẳng hạn p(pq ; )(p  q) (q p ; () p q) r ; ( p q) (pr … Cứ như vậy, ta xây dựng )

được một dãy các kí hiệu gọi là công thức của logic mệnh đề

Như vậy, mỗi công thức của logic mệnh đề là một dãy các kí hiệu thuộc ba loại:

+) Các mệnh đề sơ cấp , , ,p q r …

+) Các kí hiệu phép toán logic , , , , 

+) Các dấu ngoặc ( ) chỉ thứ tự phép toán

Theo định nghĩa trên thì:

+) Bản thân các mệnh đề sơ cấp cũng là một công thức

+) Nếu ,P Q là những công thức thì P , PQ , PQ , PQ , PQ cũng

đều là công thức

Nhận xét: Khái niệm công thức trong logic mệnh đề tương tự như khái niệm

biểu thức đại số trong đại số

Ví dụ 1: Xét công thức (p q) r

a Khi thay p bằng mệnh đề “45 chia hết cho 3”

q bằng mệnh đề “45 chia hết cho 5”

r bằng mệnh đề “45 chia hết cho 15”

thì công thức (p q) r trở thành mệnh đề “Nếu 45 chia hết cho 3 và 45 chia

hết cho 5 thì 45 chia hết cho 15”

b Nếu thay p bằng mệnh đề “45 chia hết cho 3”

q bằng mệnh đề “45 chia hết cho 5”

r bằng mệnh đề “45 chia hết cho 8”

thì công thức (p q) r trở thành mệnh đề “Nếu 45 chia hết cho 3 và 45 chia

hết cho 5 thì 45 chia hết cho 8”

1.1.2.2 Giá trị chân lí của công thức

Như trên đã thấy, khi thay , , ,p q r … trong công thức bởi các mệnh đề

cụ thể (tức là biết tính đúng sai của nó) thì công thức sẽ trở thành một mệnh đề xác định Giá trị chân lí của mệnh đề này phụ thuộc vào giá trị chân lí của các mệnh đề , , ,p q r … và kết quả thực hiện của các phép tính logic

Trở lại công thức (p q) r trong ví dụ ở trên

Trong trường hợp a ta cóp1, q1, lúc đó p q 1 (theo định nghĩa của phép hội), mặt khác r1 Như vậy, theo định nghĩa của phép kéo theo (dòng 1 của bảng chân lí của phép kéo theo) mệnh đề (p q) r là đúng, tức

là mệnh đề “Nếu 45 chia hết cho 3 và 45 chia hết cho 5 thì 45 chia hết cho 15”

Tổng quát: Cho S p p( 1, 2, p là công thức chứa n mệnh đề n) p p1, 2, p n

Khi thay p p1, 2, p bằng các mệnh đề cụ thể (cũng có nghĩa là khi gán cho n

1, 2, n

p p p các giá trị 0 và 1) thì công thức S p p( 1, 2, p trở thành một mệnh n)

đề xác định và có một giá trị chân lí xác định Giá trị chân lí này là giá trị của công thức ứng với bộ giá trị (p p1, 2, p đã cho Nó có thể tính được bằng n)cách lập bảng giá trị chân lí của công thức

Ví dụ 2: Lập bảng chân lí của công thức ( p q) (pq )

Qua bảng chân lí này ta có thể nói:

*) Sự bằng nhau của hai công thức:

Hai công thức A và B được gọi là bằng nhau và kí hiệu AB nếu giá trị

của chúng tại mọi bộ giá trị của biến đều như nhau Kí hiệu AB , trong đó A

và B là các công thức của đại số mệnh đề cũng được gọi là một đẳng thức Như

vậy, hai công thức bằng nhau về mặt hình thức chúng có thể được viết bởi các phép toán và cấu tạo khác nhau, miễn là chúng nhận giá trị như nhau tại mọi bộ giá trị của các biến

Ta có thể kiểm tra hay chứng minh sự bằng nhau của hai công thức của đại số mệnh đề bằng cách lập bảng giá trị chân lí của chúng và so sánh các giá trị tương ứng của hai công thức đó Tuy nhiên, đây không phải là cách duy nhất

mà người ta còn có những cách khác, chẳng hạn sử dụng phép biến đổi tương đương như trình bày ngay sau đây

1.1.2.3 Biến đổi tương đương các công thức của đại số mệnh đề

Việc thay thế một công thức của đại số mệnh đề bởi một công thức bằng

công thức đó được gọi là phép biến đổi đồng nhất hay phép biến đổi tương

đương Người ta thường dùng các công thức bằng nhau để biểu thị các tính chất của phép toán Sau đây chúng ta liệt kê một số tính chất của các phép toán mệnh

đề dưới dạng các đẳng thức

Những đẳng thức này thường được sử dụng để chứng minh các công thức bằng nhau hay đưa một công thức về dạng nào đó bằng các phép biến đổi tương đương Việc kiểm tra lại sự đúng đắn của các đẳng thức được thực hiện bằng cách lập bảng giá trị chân lí hoặc một vài nhận xét đơn giản sau

1.1.2.4 Dạng chuẩn tắc của công thức

Tích sơ cấp (Hội sơ cấp): Ta gọi một công thức có dạng hội các biến mệnh đề hoặc phủ định của biến mệnh đề là một tích sơ cấp

Chẳng hạn:p q r ; p q r ; p q r; … là các tích sơ cấp

Dạng chuẩn tắc tuyển: Một công thức gọi là có dạng chuẩn tắc tuyển nếu

nó biểu thị ở dạng tuyển của các tích sơ cấp Kí hiệu “dạng chuẩn tắc tuyển” là

hoặc phủ định của biến mệnh đề là một tuyển sơ cấp

Dạng chuẩn tắc hội: Một công thức gọi là dạng chuẩn tắc hội nếu nó

biểu thị ở dạng hội của các tuyển sơ cấp Kí hiệu “dạng chuẩn tắc hội” là CH – dạng

Mệnh đề:

“Mọi công thức của đại số mệnh đề luôn biến đổi tương đương được về dạng chuẩn tắc hội”

Tích sơ cấp đầy đủ của n biến mệnh đề: Xét các công thức của n biến

mệnh đềp p1, 2, p Ta gọi một công thức có dạng hội của các biến mệnh đề n hoặc phủ định của biến mệnh đề sao cho với mỗi i , trong công thức có mặt p i

hoặc p nhưng không đồng thời có mặt cả hai, không lặp lại hai lần với một kí i hiệu biến là một tích sơ cấp đầy đủ của n biến mệnh đề Với n biến mệnh đề ta

lập được đúng 2n tích sơ cấp đầy đủ

Dạng chuẩn tắc tuyển hoàn toàn: Một công thức được nói là có dạng

chuẩn tắc tuyển hoàn toàn nếu nó là tuyển của các tích sơ cấp đầy đủ

Mệnh đề:

“Một công thức không hằng sai của đại số mệnh đề luôn biến đổi tương đương được về dạng chuẩn tắc tuyển hoàn toàn”

Tuyển sơ cấp đầy đủ của n biến mệnh đề: Xét các công thức của n biến

mệnh đềp p1, 2, p Ta gọi một công thức dạng tuyển của các biến mệnh đề n hoặc phủ định của biến mệnh đề sao cho với mỗi i , trong công thức có mặt p i

hoặc p nhưng không đồng thời có mặt cả hai, không lặp lại hai lần một kí hiệu i biến là một tuyển sơ cấp đầy đủ của n biến mệnh đề Với n biến mềnh đề ta lập

được đúng 2n tuyển sơ cấp đầy đủ

Dạng chuẩn tắc hội hoàn toàn: Một công thức được nói là có dạng

chuẩn tắc hội hoàn toàn nếu nó là hội của các tuyến sơ cấp đầy đủ

Ví dụ:

“Một công thức không hằng đúng của đại số mệnh đề luôn biến đổi tương

đương được về dạng chuẩn tắc hội hoàn toàn”

1.1.2.5 Hệ đầy đủ các phép toán của đại số mệnh đề

Khi xây dựng công thức của đại số mệnh đề ta sử dụng năm phép toán là phủ định, hội, tuyển, kéo theo, tương đương Thậm chí có thể sử dụng cả những phép toán khác mà ta chưa nói đến ở đây Tuy nhiên, khi xét đến dạng chuẩn tắc tuyển hay dạng chuẩn tắc hội ta nhận thấy rằng có thể biến đổi tương đương các công thức này về dạng chỉ sử dụng đến phép phủ định, phép hội và phép tuyển Như vậy, chỉ cần ba phép toán này là biểu diễn được mọi công thức của đại số mệnh đề

Định nghĩa: Ta gọi một tập hợp S gồm các phép toán mệnh đề nào đó là

một hệ đầy đủ các phép toán của đại số mệnh đề nếu mọi công thức của đại số mệnh đề đều biến đổi tương đương được về dạng chỉ sử dụng các phép toán có

trong S

Hiển nhiên hệ S = {phủ định, hội, tuyển, kéo theo, tương đương} là một

hệ đầy đủ Sử dụng các mệnh đề về dạng chuẩn tắc tuyển và dạng chuẩn tắc hội

ta đi đến khẳng định hệ S = {phủ định, hội, tuyển} cũng là hệ đầy đủ Bằng 1

cách sử dụng các đẳng thức chuyển đổi phép toán mệnh đề p  q = pq và

p  q = pq , ta có các hệ S = {phủ định, hội} và hệ 2 S = {phủ định, tuyển} 3

cũng đầy đủ Từ đẳng thức p  q p q , ta cũng có p q (pq , nên hệ )

4

S = {phủ định, kéo theo} cũng là hệ đầy đủ Như vậy, chỉ cần sử dụng một số

ít phép toán thích hợp là có thể biểu thị được tất cả các công thức của đại số mệnh đề

1.1.2.6 Công thức đối ngẫu

Như trên ta thấy có thể biến đổi một công thức bất kì của đại số mệnh đề

về dạng chuẩn tắc, nghĩa là về dạng trong đó chỉ có các phép toán phủ định, hội

và tuyển

Định nghĩa: Giả sử A( , , , )p q r là công thức chỉ chứa các phép toán

phủ định, hội, tuyển

Nếu trong công thức A( , , , )p q r ta thay phép hội bởi tuyển và ngược

lại thay tuyển bởi hội thì công thức mới nhận được sau phép thay thế đó gọi là

công thức đối ngẫu của công thức A và kí hiệu bởi A Phép biến đổi từ A sang

A gọi là phép đối ngẫu Ta cũng nói phép hội và phép tuyển là hai phép đối ngẫu của nhau

A là hai công thức đối ngẫu nhau Công thức đối ngẫu của công thức dạng

chuẩn tắc tuyển gọi là công thức dạng chuẩn tắc hội

Dùng khái niệm công thức đối ngẫu ta có thể mở rộng công thức Đờ Moocgăng

đã biết về sự phủ định của hội và tuyển: p  q p q , p  q p q

Xét công thức A( , , , )p q r chỉ chứa các phép toán phủ định, hội, tuyển

Áp dụng công thức trên đồng thời sử dụng luật phân phối của phép hội với phép tuyển và của phép tuyển đối với phép hội, ta thấy rằng muốn phủ định công thức

A , trước hết trong A ta thay dấu hội, tuyển lần lượt bởi dấu tuyển, hội sau đó

trong công thức nhận được thay , , p q r tương ứng bởi , , , p q r

( , , , ) ( , , , )

S p q r S p q r Đó là nội dung của định lí sau đây:

Định lí: Cho A( , , , )p q r là một công thức ở dạng chỉ chứa các phép toán

phủ định, hội, tuyển Khi đó ta có đẳng thức S p q( , , , )r S*( , , , )p q r

Ví dụ 1: Tìm phủ định của công thức ( pq)r

Giải: Trước hết ta có công thức đối ngẫu của ( pq)r là ( pq)r

Trong công thức đối ngẫu thay các mệnh đề bởi phủ định của nó ta được công thức (p q) r Vậy ( pq) r (p q) r

Ví dụ 2: Tìm phủ định của công thức pq

Giải: Ta có p  q p q nên pq   p q p q

1.1.2.7 Luật của đại số mệnh đề

Cho công thức A Ta gọi:

a) A là công thức hằng đúng, nếu nó luôn nhận giá trị chân lí bằng 1 với

mọi hệ chân lí gán cho các biến mệnh đề có mặt trong công thức đó

b) A là công thức hằng sai, nếu nó luôn nhận giá trị chân lí bằng 0 với

mọi hệ chân lí gán cho các biến mệnh đề có mặt trong công thức đó

Công thức được gọi là thực hiện được nếu tồn tại ít nhất một bộ giá trị của các biến sao cho giá trị tương ứng của công thức là 1

Công thức hằng đúng của đại số mệnh đề còn dược goi là luật của đại số mệnh đề

Một số luật thường gặp của đại số mệnh đề:

- Luật đồng nhất: pq

- Luật bài trung: p p

- Luật phi mâu thuẫn : p p

Mệnh đề: Cho A và B là các công thức của đại số mệnh đề Khi đó có đẳng

thức AB khi và chỉ khi có luật AB

Chú ý: A B (AB)(BA Do đó có các đẳng thức ) AB khi và chỉ

khi có cả hai luật AB và BA

1.1.3 Các quy tắc suy luận của đại số mệnh đề

Định nghĩa: Cho A A1, 2, ,A và B là những công thức của đại số mệnh n

đề (chứa các biến mệnh đề nào đó) Ta nói một quy tắc suy luận với tiên đề là

1, 2, , n

A A A và kết luận B nếu ứng với mọi bộ giá trị của các biến sao cho tất cả

các công thức A A1, 2, ,A n đều nhận giá trị chân lí bằng 1 ta có B cũng nhận giá

trị chân lí bằng 1 Khi đó ta sử dụng kí hiệu A A1, 2, ,A n

Từ định nghĩa ta có các nhận xét sau:

+ Khi xét một quy tắc suy luận ta không quan tâm đến các bộ giá trị của các biến mà ít nhất một trong các công thức A A1, 2, ,A nhận giá trị 0 n

+ Khi công thức B là hằng đúng thì bất cứ các công thức A A1, 2, ,A nào n

cũng có quy tắc suy luận A A1, 2, ,A n

Định lí: Cho A A1, 2, ,A và B là những công thức của đại số mệnh đề Khi đó n

ta có quy tắc suy luận A A1, 2, ,A n

B khi và chỉ khi có luật A1A2   A n B

Danh sách các quy tắc suy luận của đại số mệnh đề thường được sử dụng trong giải toán:

trên tập hợp D Nhƣ vậy, một vị từ trên tập hợp D là một phát biểu f về mối quan hệ của tập hợp D sao cho với mỗi x thuộc D , ( ) f x là một mệnh đề (tức

là ( )f x là một phát biểu đúng hoặc một phát biểu sai) Biến x đƣợc gọi là biến

tử (để phân biệt với mệnh đề)

Xét một vị từ f D: I

- Tập hợp {xD| f(x) = 1}đƣợc gọi là miền đúng của vị từ f và kí hiệu

là Ef hay Ef x ( )

- Tập hợp D f x đƣợc gọi là miền sai của vị từ f \ ( )

- Một vị từ trên tập hợp D đƣợc gọi là vị từ hằng đúng nếu miền đúng của nó là D

- Một vị từ trên tập hợp D đƣợc gọi là vị từ hằng sai nếu miền đúng của

( ( )f x g x( ))( ( )g x  f x và kí hiệu là ( )( )) f x g x ( )

Ta cũng có: ( ( )E f x g x( ))E f x( ( )g x( ))E g x( ( ) f x( ))

(( D Ef x\ ( ))Eg x( ))((D Eg x\ ( ))Ef x( ))

Nhận xét:

+ Nếu ( ) f x là phủ định của vị từ f x thì ( )( ) f x là phủ định của ( ) f x

+ Phép hội vị từ có tính chất giao hoán, kết hợp

+ Phép tuyển vị từ có tính chất giao hoán, kết hợp

+ Phép hội vị từ phân phối đối với phép tuyển vị từ

+ Phép tuyển vị từ phân phối đối với phép hội vị từ

+ Với mọi vị từ ( )f x trên tập D luôn có ( ) f x  f x là một vị từ hằng ( )đúng và ( )f x  f x là một vị tự hằng sai ( )

x “Tồn tại số tự nhiên x thỏa mãn bất đẳng thức 2 x 3” sai vì không

có số tự nhiên nào lớn hơn 2 nhỏ hơn 3 Như vây, việc đặt từ “tồn tại” trước một hàm mệnh đề đã biến mệnh đề đó thành một mệnh đề hoàn toàn xác định

Tổng quát: Giả sử f x là hàm mệnh đề trên tập X Đặt lượng từ “tồn ( )tại” trước hàm mệnh đề f x ta có mệnh đề “tồn tại x sao cho ( ) f x( )” Ta kí hiệu mệnh đề này là f x hay (( )  x X)( ( ))f x

b Lượng từ với mọi ( )

Tương tự như trên, việc đặt từ “với mọi” trước mỗi hàm mệnh đề biến hàm mệnh đề thành một hàm mệnh đề xác định

Chẳng hạn, khi đặt từ “với mọi” trước các hàm mệnh đề xác định trên : “ x có

1.2.2 Công thức của đại số vị từ

Các dãy kí hiệu được tạo thành sau một số hữu hạn bước sử dụng các quy tắc ( ),(2 ),(3 ),(4 )i i i i dưới đây mới được gọi là công thức của đại số vị từ

( )i Các biến mệnh đề, các vị từ với số biến tử hay giá trị của biến tử kèm theo là

công thức sơ cấp Trong công thức sơ cấp mọi biến tử nếu có đều là biến tự do (2 )i Nếu A là một công thức thì A cũng là công thức

(3 )i Nếu công thức ( ) A x chứa biến tử x tự do biến thiên trên D ( A còn có thể

chứa các biến tử khác) thì  x DA x và ( )  x DA x cũng là công thức ( )

(4 )i Nếu , A B là những công thức sao cho không có biến tử nào tự do trong

công thức này lại bị ràng buộc trong công thức kia thì AB , AB , AB ,

1.2.3 Các quy tắc suy luận của đại số vị từ

Khái niệm quy tắc suy luận của đại số vị từ được hiểu tương tự như trong đại số mệnh đề

Định nghĩa: Cho A A1, 2, ,A và B là những công thức của đại số vị từ n

sao cho không có biến nào tự do trong công thức này lại bị ràng buộc trong công thức kia Khi đó ta nói có quy tắc suy luận của đại số vị từ với tiền đề là

1, 2, , n

A A A và kết luận B nếu có luật A1A2   A n  B 1

Các quy tắc suy luận của đại số mệnh đề vẫn còn đúng đối với đại số vị từ

nếu khi vận dụng không vi phạm các quy tắc lập ra công thức Dựa vào định nghĩa quy tắc suy luận và các luật của đại số vị từ ta suy ra các quy tắc suy luận

sau (các vị từ được giả thiết có biến tử biến thiên trên tập hợp D )

1.3 Cơ sở logic toán trong môn Toán phổ thông

1.3.1 Một số yếu tố logic toán trong môn Toán Tiểu học

Trong môn Toán tiểu học không có kiến thức logic nào được trình bày một cách tường minh, tổng quát Tuy nhiên, việc hình thành cho học sinh nhận thức được sự đúng, sai và thói quen suy nghĩ, thao tác và diễn đạt đúng là cần thiết ngay từ những lớp học đầu tiên Việc làm cho học sinh hiểu đúng nội dung kiến thức toán là yêu cầu đầu tiên trong dạy học ở mọi bậc học, cấp học Đối với bậc tiểu học, nhiều kiến thức toán được hình thành bằng con đường quy nạp không hoàn toàn, dựa vào yếu tố trực quan chưa thể đòi hỏi có sự chính xác cao Tuy nhiên, các ví dụ đưa ra phải đầy đủ và chính xác đề hạn chế việc học sinh nhận thức sai lệch về bản chất kiến thức Đồng thời với hình thành kiến thức toán cho học sinh, việc làm cho học sinh hiểu được ý nghĩa và cách sử dụng các

từ nối logic ngay từ bậc tiểu học là rất cần thiết Trên cơ sở đó thường xuyên tập luyện cho học sinh hoạt động ngôn ngữ, đặc biệt là tập luyện thói quen lập luận

có căn cứ là điều đảm bảo cho sự phát triển vững chắc về sau Mặc dù yếu tố chứng minh ở bậc tiểu học chưa đặt ra sự nghiêm ngặt, nhưng dưới dạng giải thích cho hành vi, sự lựa chọn, phân tích các sự kiện, là những cơ hội để tập luyện những thao tác tư duy logic cho học sinh

1.3.2 Kiến thức logic toán trong môn Toán Trung học cơ sở

Ở cấp trung học cơ sở, yếu tố suy diễn được đưa vào khá sớm Mặc dù số tiết không nhiều, nhưng các kiến thức hình học ở lớp 6 trình bày theo tinh thần phương pháp tiên đề đã nói lên điều đó Các yếu tố logic trong môn Toán trung học cơ sở được thể hiện ở những điểm sau đây:

- Hiểu đúng nghĩa của các thuật ngữ, kí hiệu toán học

- Biết thừa nhận tính đúng đắn của các tính chất cơ bản của các khái niệm hình học cơ bản ở lớp 6 Biết nghĩa và sử dụng đúng một số thuật ngữ biểu thị các khái niệm hình học ở lớp 6

- Nắm được khái niệm định lí và chứng minh định lí, cấu trúc của một định lí, ghi được giả thiết, kết luận của định lí Nắm được tiên đề Ơclit, phát biểu

và nắm được cách chứng minh các định lí trong chương trình toán 7, 8, 9

- Hiểu được khái niệm hai phương trình tương đương; hai bất phương trình, hệ phương trình tương đương Hiểu và vận dụng các quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân vào giải phương trình, bất phương trình Vận dụng các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

1.3.3 Kiến thức logic toán trong môn Toán Trung học phổ thông

Một số kiến thức toán được đưa vào giảng dạy tường minh và trình bày trong sách Đại số 10 Nội dung cụ thể gồm các kiến thức sau đây :

Mệnh đề: Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai

Mệnh đề chứa biến: Khái niệm mệnh đề chứa biến được giới thiệu qua

các ví dụ Thực chất khái niệm mệnh đề chứa biến chính là vị từ hay hàm mệnh

đề Thuật ngữ mệnh đề chứa biến chỉ là một tên gọi mang tính nôm na cho một khái niệm khoa học Sự xuất hiện của khái niệm mệnh đề chứa biến (hàm mệnh đề) trong môn Toán chưa nhiều Thực chất sách Đại số 10 chỉ giới thiệu khái niệm mệnh đề chứa biến một cách đơn giản khi đưa ra khái niệm phương trình

và bất phương trình Các khái niệm như miền đúng, phép toán trên các mệnh đề chứabiến, đều không được giới thiệu Chương trình toán trung học phổ thông cũng có giới thiệu một số phép toán mệnh đề với cách trình bày đơn giản, không đòi hỏi tính chặt chẽ như trong các giáo trình về logic toán

+ Phủ định của một mệnh đề

+ Mệnh đề kéo theo

+ Mệnh đề đảo