8. Cấu trúc của khóa luận
1.3.4. Vấn đề chứng minh các kết luận trong môn Toán trung học phổ thông
các thuật ngữ điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ,... và biết thực hiện chứng minh các mệnh đề toán học với lập luận có căn cứ đầy đủ.
1.3.4. Vấn đề chứng minh các kết luận trong môn Toán Trung học phổ thông thông
1.3.4.1. Lƣợc đồ chứng minh
Giả sử cho trƣớc giả thiết A và yêu cầu chứng minh kết luận B. Khi đó để chứng minh B ta cần thiết lập một dãy các suy luận Bn Bn1 ... B0, trong đó B0 chính là B và Bn là A cùng với các kiến thức (những điều đúng) đã có. Trong dãy suy luận này mỗiBi1 là một điều kiện đủ của Bi ( i 1,..., )n . Nhƣ vậy mỗi cách thiết lập đƣợc dãy B0,...,Bn trong đó Bi là điều kiện đủ của
1
i
B nhƣ trên là một cách chứng minh kết luận B. Bởi vì một kết luận Bi1 có thể có nhiều điều kiện đủ, nên có thể có nhiều cách chứng minh. Trên thực tế, khi tìm cách chứng minh một kết luận ta thƣờng gặp những khó khăn là không biết bắt đầu từ kiến thức nào, khai thác các giả thiết nào. Có một gợi ý là nên bắt đầu từ việc phân tích điều phải chứng minh. Phải chia tách điều phải chứng minh thành hội của những thành phần đơn giản nhất có thể đƣợc và thiết lập việc chứng minh cho mỗi thành phần đƣợc tách ra đó. Việc tìm cách chứng minh mỗi vấn đề đƣợc tách ra đó có thể vận dụng phƣơng pháp phân tích đi lên (hay còn gọi là phép suy ngƣợc) đƣợc trình bày dƣới đây.
1.3.4.2. Phƣơng pháp suy ngƣợc để phát hiện cách chứng minh một kết luận
Để chứng minh một kết luận A nào đó ta cần tìm một điều kiện đủ của
A. Thông thƣờng, cùng một kết luân A có thể có nhiều điều kiện đủ. Trong các điều kiện đủ đó ta chỉ cần chọn lấy một điều kiện, kí hiệu là A1. Lập luận của
bƣớc thứ nhất sẽ là: để chứng minh A ta chỉ cần chứng minh A1 . Vấn đề đƣợc quy về chứng minh A1 . Tiếp tục quá trình này cho đến khi “ta chỉ cần chứng minh An” mà bản thân An là giả thiết hay những điều đúng đã đƣợc chứng minh trƣớc đó. Ta có lƣợc đồ:
- Vấn đề cần chứng minh A;
- Để chứng minh A, ta chỉ cần chứng minh A1; - Để chứng minh A1 , ta chỉ cần chứng minh A2; - Để chứng minh An1, ta chỉ cần chứng minh An;
- An là giả thiết hay những điều đúng đã đƣợc chứng minh. Vậy A đƣợc chứng minh.
Chú ý rằng, trong mỗi bƣớc việc lựa chọn điều kiện đủ nào là thích hợp ta cần có sự phân tích, đối chiếu nội dung phát biểu trong điều kiện đủ đó với nội dung các điều kiện đã cho. Thông thƣờng, các điều kiện đủ có nội dung gần với giả thiết nhất đƣợc ƣu tiên lựa chọn trƣớc. Cũng nói thêm, về mặt lập luận trong lƣợc đồ trên ở mỗi bƣớc chứng minh Ai ta chỉ cần chứng minh Ai1 chứ không phải là cần chứng minh Ai1.