LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn Dạng 3. Nguyên hàm lượng giác của hàm tan và cot Cách giải: Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx thì ta thường dùng hằng đẳng thức 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 tan tan 1 cos cos 1 1 1 cot cot 1 sin sin x x x x x x x x = + = − → = + = − Nguyên hàm mà m ẫ u s ố là đẳ ng c ấ p b ậ c hai v ớ i sinx và cosx: 2 2 sin sin .cos .cos A x B x x C x + + thì ta chia c ả t ử và m ẫ u cho cos 2 x ho ặ c sin 2 x. Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau: a) 2 1 tan I xdx = ∫ b) 3 2 tan I xdx = ∫ c) ( ) 3 3 tan tan I x x dx = + ∫ d) 4 4 cos dx I x = ∫ H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) 2 1 2 1 tan 1 tan . cos I xdx dx x x C x = = − = − + ∫ ∫ b) Xét 3 2 tan I xdx = ∫ Cách 1: 2 3 2 2 2 2 1 tan sin tan tan .tan 1 tan tan . tan cos cos 2 cos dx x xdx I xdx x xdx xdx x xdx x x x = = = − = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 tan ( os ) tan ln cos . 2 cos 2 x d c x x x C x = + = + + ∫ Cách 2: ( ) 2 3 2 3 2 3 3 3 3 2 1 os . (cos ) sin sin .sin (cos ) (cos ) 1 tan ln cos . cos cos cos cos cos 2cos c x d x x x xdx d x d x I xdx dx x C x x x x x x − = = = = − = − + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bình luận: Nhìn vào hai kết quả thu được từ hai phương án tính khác nhau, thoạt nhìn gây chúng ta cho cảm giác không biết cách nào đúng, cách nào sai. Nhưng quan sát kĩ, và thực hiện một phép biến đổi đơn giản ta thu được ngay cùng kết quả. Thật vậy, tan ln cos ln cos ln cos . cos cos 2 2 2 x 1 1 1 1 x C 1 x C x C 2 2 x 2 x 2 + + = − + + = + + − Do ( ) 1 0 2 C C ′ ′ − = = nên thực chất hai nguyên hàm có cùng kết quả. c) ( ) 3 3 2 3 2 1 tan tan tan tan tan .tan tan 1 .tan tan cos I x x dx xdx xdx x xdx xdx xdx xdx x = + = + = + = − + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 tan tan . tan tan . cos 2 dx x x xdx xdx C x = − + = + ∫ ∫ ∫ Bình luận: Cách giải bài trên là dựa vào cách giải truyền thống cho dạng toán này. Với các nguyên hàm có chứa tan n x thì thông th ường ta tách theo sơ đồ: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 tan tan .tan tan . 1 tan . tan cos cos n n n n n x x x x x x x x − − − − = = − = − với n > 2. Quá trình tách cứ tiếp diễn đến cuối cùng xuất hiện tanx hoặc tan 2 x, mà cách nguyên hàm này đều có công thức tính. Tuy nhiên, với bài toán trên có một đặc điểm riêng mà ta có thể trình bày cách giải ngắn gọn hơn như sau: Tài liệu bài giảng: 07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P4 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 tan tan tan tan 1 tan tan . tan . tan . cos 2 dx x I x x dx x xdx x x d x C x = + = + = = = + ∫ ∫ ∫ ∫ d) ( ) ( ) 3 2 4 4 2 2 1 tan 1 tan tan tan . cos cos cos 3 dx dx x I x d x x C x x x = = = + = + + ∫ ∫ ∫ Bình luận: Với những nguyên hàm có xuất hiện tanx kèm theo cos 2n x ở mẫu số thì ta sử dụng phép phân tích như sau ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 . tan 1 . cos cos cos cos tan cos n n n x x x x x dx d x x − − = = + = D ự a trên phép phân tích nh ư trên ta có th ể m ở r ộ ng thêm m ộ t s ố bài toán nh ư sau: ( ) ( ) 2 5 3 2 2 1 6 4 2 2 2 1 1 tan 2tan . 1 tan tan tan . cos cos cos cos cos 5 3 dx dx dx x x J x d x x C x x x x x = = = = + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2010 2013 2011 2010 2010 2 2 4 2 2 tan 1 tan tan tan . . tan . 1 tan tan . cos cos cos 2013 2011 x dx x x J dx x x x d x C x x x = = = + = + + ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau: a) 5 3 5 sin .cos dx I x x = ∫ b) 6 3 5 sin .cos dx I x x = ∫ c) 7 2 2 2sin 5sin cos 3cos dx I x x x x = − − ∫ d) ( ) 8 2 cos 3sin dx I x x = − ∫ H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 5 3 5 3 3 2 2 3 8 1 1 1 tan tan sin .cos tan cos cos sin tan cos cos dx dx dx x I d x x x x x x x x x x + = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 4 6 3 3 3 1 3tan 3tan tan 3 tan tan tan 3tan tan tan tan x x x d x d x x x x x x − + + + = = = + + + ∫ ∫ 2 4 2 4 5 2 2 1 3tan tan 1 3tan tan 3ln tan 3ln tan . 2 4 2 4 2tan 2tan x x x x x C I x C x x = − + + + + → = − + + + + b) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 3 3 6 2 5 5 2 3 3 3 1 3 3 tan tan tan . 2 cos sin sin .cos 2 tan cos dx dx I x d x x C C x x x x x x − − − = = ⋅ = = − + = + ∫ ∫ ∫ Bình luận: Trong cả hai nguyên hàm I 5 và I 6 ở trên chúng ta dễ dàng nhận thấy đặc điểm chung của hai nguyên hàm là mẫu số có chứa sinx và cosx với tổng lũy thừa là một số chắn. Phương pháp giải trên là cách giải tổng quát cho dạng nguyên hàm này. Tuy nhiên, nếu tổng lũy thừa quá lớn thì bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn nhiều! c) 7 2 2 2sin 5sin cos 3cos dx I x x x x = − − ∫ Ở mẫu số ta thấy có dạng biểu thức đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx. Trong chuyên đề về phương trình lượng giác ta cũng biết cách giải cho loại phương trình đẳng cấp bậc hai này, với nguyên hàm cũng tương tự. Chia cả tử và mẫu số cho cos 2 x ta được: ( ) 2 7 2 2 2 2 2 2 2 tan cos ; ( tan ). 2sin 5sin cos 3cos 2tan 5tan 3 2 5 3 cos cos cos dx d x dt x I t x x x x x x x t t x x x = = = = − − − − − − ∫ ∫ ∫ 7 (2 1) 2( 3) 1 1 2 1 3 1 tan 3 ln ln . ( 3)(2 1) 7.( 3)(2 1) 7 3 7 2 1 7 2 1 7 2tan 1 dt t t dt dt t x I dt C C t t t t t t t x + − − − − → = = = − = + = + − + − + − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 8 2 2 2 2 1 3 tan tan 1 1 cos . 3 3 1 3 tan cos 3sin 1 3 tan 1 3 tan 1 3 tan dx d x d x dx x I C x x x x x x − − = = = = = + − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn Bình luận: Mẫu số trong nguyên hàm trên có dạng là một biểu thức lượng giác khá đặc biệt, thế nên ta cũng có thể tìm ra một cách giải đặc biệt khác. Thật vậy, 1 3 π cos 3sin 2 cos sin 2cos . 2 2 3 x x x x x − = − = + Từ đó ( ) 8 2 2 2 π 1 1 π 3 tan . π π 4 4 3 cos 3sin 4cos cos 3 3 d x dx dx I x C x x x x + = = = = + + − + + ∫ ∫ ∫ B ằ ng phép bi ế n đổ i l ượ ng giác cho cách gi ả i trên, ho ặ c khai tri ể n công th ứ c l ượ ng giác cho cách gi ả i d ướ i ta s ẽ thu đượ c cùng m ộ t k ế t qu ả . N ế u các em không t ự tin v ớ i kh ẳ ng đị nh đ ó thì th ầ y s ẽ ch ứ ng minh đ i ề u này. Th ậ t v ậ y, ( ) ( ) 1 1 π 1 3 tan 3 tan tan 1 π 1 1 tan 3 3 3 3 tan . . π 4 3 4 4 1 3 tan 4 1 3 tan 1 tan .tan 3 x x x x C C C C x x x − − + + + + + + = + = + = + = − − − ( ) ( ) 4 1 1 1 3 4 3 4 3 4 1 3 tan 3 1 3 tan C C x x = − + + = + − − − , rõ ràng ( ) 1 0. 4 3 C C ′ ′ − = = Ví dụ 3. Tính các nguyên hàm sau: a) 4 9 cot I xdx = ∫ b) 10 5 cos sin xdx I x = ∫ c) 11 1 sin 2 dx I x = + ∫ H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) 4 2 2 2 2 2 9 2 2 1 cot cot .cot 1 cot cot cot sin sin dx I xdx x xdx xdx x xdx x x = = = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 3 3 2 2 2 2 1 cot cot cot cot 1 cot . sin 3 sin 3 x dx x xd x dx dx x x C x x − − = − − − = − + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2) Xét 10 5 cos sin xdx I x = ∫ Cách 1: 10 5 5 4 cos (sin ) 1 . sin sin 4sin xdx d x I C x x x − = = = + ∫ ∫ Cách 2: ( ) 4 2 2 10 5 4 2 2 cos cos 1 cot cot . cot . . cot . 1 cot . (cot ) . sin sin sin sin sin 4 2 xdx x dx dx x x I x x x d x C x x x x x = = = = − + = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ Bình luận: Bằng phép xử lý lượng giác đơn giản ta cũng thu được cùng kết quả với hai cách giải trên. Tương tự như nguyên hàm của tanx, với nguyên hàm cotx mà có chứa sin 2n x thì ta cũng sử dụng thủ thuật phân tích ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 . 1 cot . sin sin sin sin cot sin n n n x x x x x dx d x x − − = = + = − để đưa về nguyên hàm cơ bản có chứa cotx và cot 2 x đã biết. c) ( ) 11 2 2 2 π 1 1 π 4 cot π π 1 sin 2 2 2 4 sin cos 2sin sin 4 4 d x dx dx dx I x x x x x x + = = = = = − + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Dạng 4. Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân ( ) ( ) ( ) ( ) + + = − − + = + d Asin x Bcos x C Acos x B sin x dx d A' sin x B'cos x C' A'cos x B' sin x dx Cách giải: LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn Các nguyên hàm dạng này thường sử dụng một số công thức lượng giác ( ) 2 2 2 1 sin2 sin cos cos2 cos sin x x x x x x ± = ± = − Để tìm nguyên hàm, ta th ườ ng tìm vi phân c ủ a m ẫ u s ố : ( ) ( ) sin cos cos sin d A x B x C A x B x dx + + = − Ví dụ . Tính các nguyên hàm sau: a) 1 cos sinx sinx cos x I dx x − = + ∫ b) 2 cos2 1 sin2 xdx I x = + ∫ c) ( ) 3 3 cos2 sin cos xdx I x x = + ∫ d) ( ) 4 sin 2 2cos4 cos2 sin4 x x dx I x x + = − ∫ H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) Ta có ( ) ( ) ( ) 1 sin cos sin cos cos sin ln sin cos . sin cos d x x d x x x x dx I x x C x x + + = − → = = + + + ∫ b) ( ) ( ) 2 2 2 2 sin cos cos2 cos sin cos sin ln sin cos . 1 sin2 sin cos sin cos sin cos d x x xdx x x x x I dx dx x x C x x x x x x x + − − = = = = = + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Bình luận: Do ( ) ( ) = = + 1 1 cos2xdx d sin2x d 1 sin2x 2 2 nên ta còn có thể giải theo cách lấy vi phân trực tiếp như sau: ( ) ( ) + = = = + + = + + = + + + + ∫ ∫ 2 2 d 1 sin2x cos2xdx 1 1 1 I ln 1 sin2x C ln sinx cos x C ln sin x cos x C. 1 sin2x 2 1 sin2x 2 2 c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 2 sin cos cos2 cos sin cos sin 1 . sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos d x x xdx x x x x I dx dx C x x x x x x x x x x + − − − = = = = = + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ d) Xét ( ) 4 sin 2 2cos4 cos2 sin4 x x dx I x x + = − ∫ Vi phân m ẫ u s ố ta có ( ) ( ) ( ) ( ) cos2 sin4 cos2 sin4 2sin2 4cos4 sin2 2cos4 2 d x x d x x x x dx x x dx − − = − − → + = − T ừ đ ó ta đượ c ( ) ( ) 4 sin 2 2cos4 cos2 sin4 1 1 ln cos2 sin 4 . cos2 sin4 2 cos2 sin4 2 x x dx d x x I x x C x x x x + − = = − = − − + − − ∫ ∫ BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) 2 1 2 sin 1 cos x I dx x = + ∫ 2) 2 3 3 sin cos dx I x x = ∫ 3) 3 2 (sin 2cos ) dx I x x = − ∫ 4) 4 2 2 sin 6cos dx I x x = − ∫ 5) 5 2 2 sin 9cos dx I x x = − ∫ 6) 6 2 2 sin 2cos 1 dx I x x = − + ∫ 7) ( ) 3 7 cot cot I x x dx = + ∫ 8) 8 2cos 3sin 2sin 3cos 1 x x I dx x x − = − + ∫ 9) 9 2 sin 4 = − ∫ dx I x LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 sin 2 sin 1 sin = − ∫ x x I dx x b) ( ) 2 2 sin 4 sin2 cos 3 = + + ∫ I x x x dx Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 2 tan 4 cos = + ∫ xdx I x b) 2 2 tan 3 cos = + ∫ dx I x x c) 3 2 2 3sin 4cos 3sin 4cos + = + ∫ x x I dx x x d) 3 4 2 sin .cos 1 cos = + ∫ x x I dx x Ví dụ 3. Tính các nguyên hàm sau: a) ( ) 2sin 1 tan cos= + ∫ x I x e xdx b) ( ) sin 2 cos .cos= + ∫ x I e x x dx c) 2 3 sin 2 .cos (2 cos )= + ∫ I x x x dx d) 3 4 2 sin 1 cos = + ∫ x I dx x Ví dụ 4. Tính các nguyên hàm sau: a) 6 6 1 cos4 (sin cos ) = + ∫ I x x x dx b) 3 2 2 sin 3 sin = + ∫ x I dx x c) 3 cos 5 cos2 = + ∫ xdx I x d) 4 sin2 sin 1 2cos + = + ∫ x x I dx x Ví dụ 5. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 cos3 sin = ∫ x I dx x b) 3 2 2 sin .cos 1 cos = + ∫ x x I dx x c) 3 3 4sin 1 cos4 = + ∫ xdx I x d) 4 3sin 2 sin 6cos 5 + = − ∫ x x I dx x Ví dụ 6. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 1 tan .tan sin 2 = + ∫ x I x xdx b) ( ) 3 2 2 cos 1 cos= − ∫ I x xdx c) 3 cos sin .cos 2 sin + = + ∫ x x x I x d) 3 4 sin3 sin 1 cos3 − = + ∫ x x I dx x . đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn Dạng 3. Nguyên hàm lượng giác của hàm tan và cot Cách giải: Các nguyên. luận: Trong cả hai nguyên hàm I 5 và I 6 ở trên chúng ta dễ dàng nhận thấy đặc điểm chung của hai nguyên hàm là mẫu số có chứa sinx và cosx với tổng lũy thừa là một số chắn. Phương pháp. Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn Bình luận: Mẫu số trong nguyên hàm trên có dạng là một biểu thức lượng giác