Nguyên hàm lượng giác của hàm tan và cot Cách giải: Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx thì ta thường dùng hằng đẳng thức → Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx:
Trang 1Dạng 3 Nguyên hàm lượng giác của hàm tan và cot
Cách giải:
Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx thì ta thường dùng hằng đẳng thức
→
Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx: 2 2
sin sin cos cos
A x+B x x+C x thì ta chia cả tử và mẫu cho cos2x hoặc sin2x
Ví dụ 1 Tính các nguyên hàm sau:
1 tan
2 tan
cos
dx I
x
=∫
Hướng dẫn giải:
cos
x
b) Xét I2=∫tan3x dx
Cách 1:
2
tan ( os ) tan
ln cos
x
Cách 2:
3
1 os (cos )
−
Bình luận:
Nhìn vào hai kết quả thu được từ hai phương án tính khác nhau, thoạt nhìn gây chúng ta cho cảm giác không biết
cách nào đúng, cách nào sai Nhưng quan sát kĩ, và thực hiện một phép biến đổi đơn giản ta thu được ngay cùng kết quả
2
0 2
′
− = ′=
nên thực chất hai nguyên hàm có cùng kết quả
1
cos
x
2
2
tan
x
Bình luận:
Cách giải bài trên là dựa vào cách giải truyền thống cho dạng toán này Với các nguyên hàm có chứa tan n x thì thông thường ta tách theo sơ đồ: tan tan 2 tan2 tan 2 12 1 tan 2 12 tan 2
Quá trình tách cứ tiếp diễn đến cuối cùng xuất hiện tanx hoặc tan 2 x, mà cách nguyên hàm này đều có công thức tính
Tuy nhiên, với bài toán trên có một đặc điểm riêng mà ta có thể trình bày cách giải ngắn gọn hơn như sau:
Tài liệu bài giảng:
07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P4
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2( 3 ) ( 2 ) ( ) 2
tan
x
Bình luận:
Với những nguyên hàm có xuất hiện tanx kèm theo cos 2n x ở mẫu số thì ta sử dụng phép phân tích như sau
1 2
2
tan
cos
n
dx
x
−
−
Dựa trên phép phân tích như trên ta có thể mở rộng thêm một số bài toán như sau:
Ví dụ 2 Tính các nguyên hàm sau:
sin cos
dx
I
sin cos
dx I
=∫
2sin 5sin cos 3cos
dx I
=
cos 3 sin
dx I
=
−
∫
Hướng dẫn giải:
a)
3
8
tan
cos cos
x x
+
3 3
3
tan tan
x x
−
5
b)
3
2 cos
sin
cos
x x
x
Bình luận:
Trong cả hai nguyên hàm I 5 và I 6 ở trên chúng ta dễ dàng nhận thấy đặc điểm chung của hai nguyên hàm là mẫu số
có chứa sinx và cosx với tổng lũy thừa là một số chắn Phương pháp giải trên là cách giải tổng quát cho dạng nguyên hàm này Tuy nhiên, nếu tổng lũy thừa quá lớn thì bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn nhiều!
2sin 5sin cos 3cos
dx I
=
∫
Ở mẫu số ta thấy có dạng biểu thức đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx Trong chuyên đề về phương trình lượng giác ta
cũng biết cách giải cho loại phương trình đẳng cấp bậc hai này, với nguyên hàm cũng tương tự Chia cả tử và mẫu số
tan
dx
x
7
d)
2
1 3 tan
dx
x
−
−
−
Trang 3Bình luận:
Mẫu số trong nguyên hàm trên có dạng là một biểu thức lượng giác khá đặc biệt, thế nên ta cũng có thể tìm ra một
cách giải đặc biệt khác Thật vậy, cos 3 sin 2 1cos 3sin 2 cos π
Từ đó
π
d x
+
Bằng phép biến đổi lượng giác cho cách giải trên, hoặc khai triển công thức lượng giác cho cách giải dưới ta sẽ thu được cùng một kết quả Nếu các em không tự tin với khẳng định đó thì thầy sẽ chứng minh điều này
tan tan
π
3
x x
x
x
−
4
4 3 4 1 3 tanx C 3 1 3 tanx C 4 3
0
4 3
Ví dụ 3 Tính các nguyên hàm sau:
sin
x dx I
x
1 sin 2
dx I
x
= +
∫
Hướng dẫn giải:
a) 9 cot4 cot2 cot2 12 1 cot2 cot2 2 cot2
dx
2) Xét 10 cos5
sin
x dx I
x
=∫
Cách 1:
−
Cách 2:
2
Bình luận:
Bằng phép xử lý lượng giác đơn giản ta cũng thu được cùng kết quả với hai cách giải trên
Tương tự như nguyên hàm của tanx, với nguyên hàm cotx mà có chứa sin 2n x thì ta cũng sử dụng thủ thuật phân tích
1 2
2
cot
sin
n
dx
x
−
−
để đưa về nguyên hàm cơ bản có chứa cotx và cot 2 x đã biết
c)
π
cot
d x
+
d A sin x B cos x C Acos x B sin x dx
d A' sin x B' cos x C' A' cos x B' sin x dx
Cách giải:
Trang 4Các nguyên hàm dạng này thường sử dụng một số công thức lượng giác ( )2
1 sin 2 sin cos cos 2 cos sin
Để tìm nguyên hàm, ta thường tìm vi phân của mẫu số:d A( sinx+Bcosx+C) (= Acosx−Bsinx dx)
Ví dụ Tính các nguyên hàm sau:
a) 1 cos sinx
sinx cos
x
x
−
=
+
1 sin 2
x dx I
x
= +
∫
c)
cos 2
sin cos
x dx I
=
+
4 sin 2 2 cos 4 cos 2 sin 4
I
+
=
−
∫
Hướng dẫn giải:
sin cos
sin cos
+
+
∫
b)
sin cos
ln sin cos
+
Bình luận:
Do cos2xdx=1 d sin 2x( )=1 d 1 sin 2x( + )
2 2 nên ta còn có thể giải theo cách lấy vi phân trực tiếp như sau:
2
d 1 sin 2x
c)
sin cos
sin cos
+
+
4
sin 2 2 cos 4
cos 2 sin 4
I
+
=
−
∫
Vi phân mẫu số ta có (cos 2 sin 4 ) ( 2sin 2 4 cos 4 ) (sin 2 2 cos 4 ) (cos 2 sin 4 )
2
4
sin 2 2 cos 4 1 cos 2 sin 4 1
ln cos 2 sin 4 cos 2 sin 4 2 cos 2 sin 4 2
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
2
sin
1 cos
x
x
=
+
sin cos
dx I
(sin 2 cos )
dx I
=
−
∫
sin 6 cos
dx I
=
−
sin 9cos
dx I
=
−
dx I
=
∫
2sin 3cos 1
−
=
sin 4
=
−
∫ dx
I
x
Trang 5Ví dụ 1 Tính các nguyên hàm sau:
a) 1 sin 2 sin
1 sin
=
−
∫ x x
2=∫ sin 4 +sin 2 cos +3
Ví dụ 2 Tính các nguyên hàm sau:
a) 1
2
tan
4 cos
=
+
∫ xdx
I
x
b) 2
2 tan 3 cos
=
+
∫ dx
I
c) 3 3sin2 4 cos2
3sin 4 cos
+
=
+
3
sin cos
1 cos
= +
∫ x x
x
Ví dụ 3 Tính các nguyên hàm sau:
1=∫ tan + x cos
2=∫ x+cos cos
3=∫sin 2 cos (2+cos )
3
sin
1 cos
= +
∫ x
x
Ví dụ 4 Tính các nguyên hàm sau:
a) I1=∫cos 4 (sinx 6x+cos6x dx) b)
3
sin
3 sin
= +
∫ x
x
5 cos 2
=
+
∫ xdx
I
sin 2 sin
1 2 cos
+
= +
∫ x x
x
Ví dụ 5 Tính các nguyên hàm sau:
a) 1 cos 3
sin
3
sin cos
1 cos
= +
∫ x x
x
c)
3
3
4sin
1 cos 4
=
+
∫ xdx
I
3sin 2 sin
6 cos 5
+
=
−
∫ x x
x
Ví dụ 6 Tính các nguyên hàm sau:
a) 1 1 tan tan sin
2
2=∫ cos −1 cos
c) 3 cos sin cos
2 sin
+
=
+
∫ x x x
I
3
4 sin 3 sin
1 cos 3
−
= +
∫ x x
x