CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1.. Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy Dạng 2.. Nguyên hàm lượng giác của các hàm chỉ có sin, cosin Ví dụ 1.. NGUYÊN HÀM LƯỢN
Trang 1III CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Dạng 1 Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy
Dạng 2 Nguyên hàm lượng giác của các hàm chỉ có sin, cosin
Ví dụ 1 Tính các nguyên hàm sau:
a) I4=∫sin3x dx b) I5=∫cos5x dx c) I3=∫cos4x dx
Hướng dẫn giải:
4
cos
3
x
I =∫ x dx=∫ x x dx= −∫ − x d x = − x+ +C
I =∫ x dx=∫ x x dx=∫ − x d x =∫ − x+ x d x =
5
c) Sử dụng liên tiếp công thức hạ bậc hai ta được:
2
x
Ví dụ 2 Tính các nguyên hàm sau:
a) 1 2 cos
x dx I
=
2 2
sin cos
x
x
=∫
c) 3
=
+
I
dx I
x
=∫
Hướng dẫn giải:
a) Ta có 1 2 cos 2 (sin )
I
1 2
b)
( )( )
+ − −
2
c)
I
Đặt
2 2
1
cos
−
( )( )
1 2
3 2
2
1
ln
= − +
∫
dt
C
Tài liệu bài giảng:
07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Thay t = cosx vào ta được 3 1 1 1ln1 cos
−
x
d)
I
−
Đặt
sin
C
x
Ví dụ 3 Tính các nguyên hàm sau:
a) 5
sin cos
dx
I
x x
3 6
4sin
1 cos
x dx I
x
= +
x dx I
x
=
−
Hướng dẫn giải:
a)
I
−
Đặt
2
5
sin cos
dx
x x
b) Sử dụng phép biến đổi lượng giác ta có:
x x
−
4sin
1 cos
x dx
x
+
x dx d x
I
I
Bằng kĩ thuật phân tích nhảy tầng lầu ta được
1
=
t t t
3
1
1 3
d t
t dt
−
1
dt
t = − +
−
1
t
t t
t
+
Trang 3Bình luận:
Ngoài cách sử dụng kĩ thuật nhảy tầng lầu trực tiếp như trên, chúng ta có thể biến đổi theo hướng khác như sau
−
I
t 1 ( t 1 )( t t 1 ) ( t 1 ) ( t 1 ) 3( t 1 ) 3 ) u u 3u 3
3u 6u 3 3 u 3u 3 3u
Thay vào ta được :
+
∫
u
Ví dụ 4 Tính các nguyên hàm sau:
a) I1=∫cos6x dx b) 2 2
I
x x
3=∫sin 2 (2 sin+
=
−
I
x
Ví dụ 5 Tính các nguyên hàm sau:
a) 1 3
sin
=∫ dx
I
3
cos sin
I
x
sin cos
I
x x
Ví dụ 6 Tính các nguyên hàm sau:
cos
+
3 cos
= +
x
1 cos
=
+
cos
= +
x
Ví dụ 7 Tính các nguyên hàm sau:
3=∫sin cos (1 cos )+
1 sin cos
= +
x x
Ví dụ 8 Tính các nguyên hàm sau:
3
sin
1 cos
= +
x
c) I3=∫(sin3x+cos3x dx)