LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn Dạng 7. Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân → → + ← ← 2 2 x dx 1 x d tan 1 tan dx x 2 2 2 2cos 2 Cách giải: Xét nguyên hàm = + + ∫ 1 Asin cos dx I x B x C Để tính nguyên hàm trên ta xét hai trường hợp: Nếu ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos cos φ C A B A x B x C A x B x A B A B x A B = ± + → + + = + ± + = + + ± + Ở đây, ta đã biết phép biến đổi lượng giác ( ) ( ) 2 2 2 2 os α Asin cos os β A B c x x B x A B c x + + + = + + Khi đó ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 α 2cos 2 1 1 cos α 1 cos α α 2sin 2 dx x A B dx dx I dx x A B x A B A B x A B + + = = = − + ± + + ± + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Nếu 2 2 C A B ≠ ± + thì ta đặt 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 tan 2 2 2 1 cos 2 2 tan sin 2 1 1 cos 1 dx x dt dt dx dx x t x t t x t t x t = = + → = + = → = + − = + Thay vào ta tính được I 1 là nguyên hàm theo ẩn t. Chú ý: M ộ t s ố công th ứ c tính nhanh: π π sin x cos x 2 sin x 2 cos x 4 4 π π 3 sin x cos x 2sin x 2cos x 6 3 π π sin x 3cos x 2sin x 2cos x 3 6 + = + = − + = + = − − = − = − + Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 sin cos 2 dx I x x = + + ∫ b) 2 3sin cos 2 dx I x x = − − ∫ c) 3 3sin cos 1 dx I x x = + + ∫ d) 4 sin cos 1 dx I x x = − − ∫ H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) 1 sin cos 2 dx I x x = + + ∫ Ta có 2 2 1 1 π 1 1 2 sin cos 2 sin cos 2cos . 4 2 2 x x x x x + = → + = + = − Tài liệu bài giảng: 07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P6 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 1 2 2 π 1 1 1 1 π 2 8 tan . π π π π 2 8 2 2 2 2 2 cos 2 1 cos 2cos 2cos 4 4 2 8 2 8 x d dx dx dx x I C x x x x − = = = = = − + − + + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ Vậy 1 1 π tan . 2 8 2 x I C = − + Bình luận: Trong nguyên hàm trên, ở biểu thức sinx + cosx ta thống nhất chuyển về hàm cos để sử dụng công thức lượng giác 2 2 a dx dx 1 cosa 2cos a 2 1 cosa 2cos 2 + = → = + ∫ ∫ b) Ta có 3 1 π 3sin cos 2 sin cos 2cos . 2 2 3 x x x x x − = − = − + 2 2 π 1 1 1 π 2 6 tan . π π π 2 2 2 2 6 3sin cos 2 2cos 2 1 cos cos 3 3 2 6 x d dx dx dx x I C x x x x x + = = = − = − = − + + − − − + − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ c) Đặt 2 2 2 1 1 2 tan 1 tan 2 2 2 2 1 cos 2 x dx x dt t dt dx dx x t = ⇒ = = + → = + Ta có 2 2 2 2 1 sin ; cos 1 1 t t x x t t − = = + + Khi đ ó 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (6 2) 1 1 1 ln 6 2 ln 6tan 2 . 6 1 6 1 1 6 2 3 6 2 3 3 2 1 1 1 + + = = = = = + + = + + − + − + + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ dt dt dt d t x t I t C C t t t t t t t t t d) Đặ t 2 2 2 1 1 2 tan 1 tan 2 2 2 2 1 cos 2 x dx x dt t dt dx dx x t = ⇒ = = + → = + Ta có 2 2 2 2 1 sin ; cos 1 1 t t x x t t − = = + + Khi đ ó 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 ln ln tan . sin cos 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 dt dx dt dt x t I t C C x x t t t t t t t t + = = = = = + = + − − − − + − − − − + + ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 3sin cos 3 = − + ∫ dx I x x b) 2 2sin cos 2 = − − ∫ dx I x x c) 3 sin 3cos 2 = − + ∫ dx I x x d) 4 1 sin = + ∫ dx I x Xét nguyên hàm + + = ′ ′ ′ + + ∫ 2 Asin cos A sin cos x B x C I dx x B x C V ớ i d ạ ng nguyên hàm này ta s ẽ s ử d ụ ng ph ươ ng pháp đồ ng nh ấ t nh ư v ớ i nguyên hàm c ủ a hàm phân th ứ c h ữ u t ỉ đ ã xét b ằ ng vi ệ c phân tích: ( ) ( ) cos sin sin cos sin cos sin cos sin cos m A x B x n A x B x C p A x B x C A x B x C A x B x C ′ ′ ′ ′ ′ − + + + + + + = ′ ′ ′ ′ ′ ′ + + + + Đồng nhất theo các hệ số của sinx và cosx ta được A mB nA m B mA nB n C nC p p ′ ′ = − + ′ ′ = + → ′ = + T ừ đó ta được ( ) 2 cos sin Asin cos A sin cos sin cos sin cos m A x B x dx x B x C dx I dx n dx p x B x C A x B x C A x B x C ′ ′ − + + = = + + = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn ln sin cos sin cos dx m A x B x C nx p A x B x C ′ ′ ′ = + + + + ′ ′ ′ + + ∫ Ví dụ 3. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 sin 3cos 1 sin cos 2 x x I dx x x + − = + + ∫ b) ( ) 2 2 7sin 5cos 3sin 4cos x x I dx x x − = + ∫ H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) Ta có phân tích 1 1 sin 3cos 1 (cos sin ) (sin cos 2) 3 2 sin cos 2 sin cos 2 1 2 5 A B A x x A x x B x x C A B B x x x x B C C = − + = + − − + + + + = → = + ⇔ = + + + + − = + = − T ừ đ ó 1 (cos sin ) 2(sin cos 2) 5 (cos sin ) 2 5 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 x x x x x x dx dx I dx dx x x x x x x − + + + − − = = + − = + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ (sin cos 2) 2 5 ln sin cos 2 2 5 . sin cos 2 d x x x J x x x J x x + + = + − = + + + − + + ∫ Xét sin cos 2 dx J x x = + + ∫ . Đặ t 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 tan 2 2 2 1 cos 2 2 tan sin 2 1 1 cos 1 dx x dt dt dx dx x t x t t x t t x t = = + → = + = → = + − = + Khi đ ó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 sin cos 2 2 1 2 2 2 3 1 2 2 1 1 dt d t dx dt dt t J t t x x t t t t t t t t + + = = = = = = − + + + − + + + + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 tan 1 tan 1 2 1 2 2 arctan 2arctan ln sin cos 2 2 5 2arctan . 2 2 2 2 x x t C C I x x x C + + + = + = + → = + + + − + b) Ta có phân tích ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 43 7 4 33cos 4sin 3sin 4cos 7sin 5cos 25 5 3 4 1 3sin 4cos 3sin 4cos 25 A A BA x x B x x x x A B x x x x B = − = − +− + + − = → ⇔ − = + + + = T ừ đ ó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 43 1 3cos 4sin 3sin 4cos 7sin 5cos 25 25 3sin 4cos 3sin 4cos x x x x x x I dx dx x x x x − − + + − = = = + + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3cos 4sin 3sin 4cos 43 1 43 1 25 25 3sin 4cos 25 25 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos x x dx d x x dx dx dx x x x x x x x x − + = − + = − + = + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 43 1 . 25 3sin 4cos 25 J x x = + + Xét . 3sin 4cos dx J x x = + ∫ Đặ t 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 tan 2 2 2 1 cos 2 2 tan sin 2 1 1 cos 1 dx x dt dt dx dx x t x t t x t t x t = = + → = + = → = + − = + LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 2 2 2 2 2 2 1 (2 1) 2( 2) 1 3sin 4cos (2 1)( 2) 5 (2 1)( 2) 6 4(1 ) 2 3 2 1 1 dt dx dt dt t t t J dt x x t t t t t t t t t t − − + + = = = = = − = + − + − + − + − − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 2tan 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 ln ln . 5 5 2 1 5 5 5 2 5 tan 2 2 x dt t t t t C C C x t t − − = − + + = − + + − + = + = + − + + ∫ Vậy ( ) 2 2tan 1 43 1 2 ln . 25 3sin 4cos 125 tan 2 2 x I C x x x − = + + + + Ví dụ 4. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 8cos sin 3 3sin 2cos 3 − + = + + ∫ x x I dx x x b) 2 5cos sin 2 sin cos 1 − + = + + ∫ x x I dx x x c) 3 2 4sin 3cos 3 (2sin cos 2) − + = + + ∫ x x I dx x x b) 4 5sin 2 2sin cos 1 − = − − ∫ x I dx x x Ví dụ 5. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 sin 3cos 2 2sin cos 2 − + = − − ∫ x x I dx x x b) 2 2 4cos 3sin 2 (sin 2cos 2) − + = + + ∫ x x I dx x x c) 2 3 sin sin cos = + ∫ x I dx x x d) 2 4 cos sin 3cos = − ∫ x I dx x x e) 5 sin cos 1 sin 2cos 3 − + = + + ∫ x x I dx x x f) 6 sin 3cos 1 sin cos 2 + − = + + ∫ x x I dx x x . Tài liệu bài giảng: 07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P6 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH. 8 2 x I C = − + Bình luận: Trong nguyên hàm trên, ở biểu thức sinx + cosx ta thống nhất chuyển về hàm cos để sử dụng công thức lượng giác 2 2 a dx dx 1 cosa 2cos a 2 1 cosa 2cos 2 +. cos A sin cos x B x C I dx x B x C V ớ i d ạ ng nguyên hàm này ta s ẽ s ử d ụ ng ph ươ ng pháp đồ ng nh ấ t nh ư v ớ i nguyên hàm c ủ a hàm phân th ứ c h ữ u t ỉ đ ã xét b ằ ng vi ệ c