TÍCH PHÂN VÀ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC pdf

TÍCH PHÂN VÀ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Trong đề thi đại học.. tích phân của hàm số lượng giác chiếm đa số vì sự đa dạng của phép biến đổi lượng giác, nên các bài tích phân lượng g

TÍCH PHÂN VÀ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  Trong đề thi đại học . tích phân của hàm số lượng giác chiếm đa số vì sự đa dạng của phép biến đổi lượng  giác, nên các bài tích phân lượng giác khó “ nhận ra “ hơn tích phân của các hàm số khác. Sau đây 

toancapba.com xin giới thiệu các phương pháp giải loại này  

1) Dạng 1: Biến đổi đưa về các nguyên hàm lượng giác cơ bản: ( hay sử dụng công thức biến đôi tích thành  tổng, công thức hạ bậc , các công thức rút gọn khác ) 

Xin nhắc lại công thức :

sin ax b dx cos ax b C 

a

a

ò 

sin 

dx 

x C 

x = - +

cos 

dx 

x C 

x = +

ò  tanxdx= -ln cos x+ C

Ví dụ 1: 

0 

sin 

p

= ò 

Ta dùng công thức hạ bậc biến đổi :

2 

x 

1 2 cos 2 1 cos 4 cos 2 cos 4 

Từ đó dễ dàng tính được tích phân của nó  3 1sin 2 1 sin 4 

0 

x 

p

b) 

2 

2 

0 

sin cos 3 

p

= ò 

Ta biến đổi thành tích biểu thức dưới dấu tích phân :

Từ đó : 

2 

sin 3 sin 5 sin 

0 

p

c) 

4 

0 1 cos 3 

dx 

C 

x

p

=

+

ò 

Ta có : 

2 

1 2 3  tan  4 

3 

2 

C 

x  x

p

+

2) Dạng 2: PP đổi biến số , đưa về tích phân hữu tỉ , đa thức

cần nhớ 1 số dạng sau : 

a) ò f( sinx) .cosxdx,ò f( cosx) sin xdx và dạng biến thể của nó ( cos ) , ( sin  ) 

Ví dụ 2: Tính 

0 

sin 

p

Đặt  t=cosxÞdt= -sinxdxÞsin xdx= - dt

Và đổi cận : x=0Þ =t 1,x=p Þ = - t 1 

1 

2 

2 

1 

1 

-

= -ò  - ( bạn hãy tự tính tiếp nhé ) 

b) 

4 

3 

6 

sin 

dx 

B 

x

p

p

= ò  Ta có :

2 

2 

1 

1 cos sin 

1 cos sin 

B 

x x 

-

-

Dạng này ta nhân thêm vào tử và mẫu sin x đưa về dạng 2­2 :

2 

sin 

1 cos sin  1 cos 

xdx 

Đặt t= cos x ta có tích phân :

( ) 

2 

2 

2 

2 

3 

2 

1 

dt 

B 

t

= -

-

ò  ( bạn tự giải tích phân này ) 

c) 

2 

0 

sin 2 

1 3sin 

xdx 

C 

x

p

=

+

ò 

Ta có : 

2 

0 

sin cos 

2 

1 3sin 

x xdx 

C 

x

p

=

+

ò  ( dạng 2­1 ) 

Đáng lẽ đặt t= sin x , nhưng để làm mất căn ta đặt luôn 

2 

t 

t= + xÞ x= - Þ xdx=  tdt

2 

Vậy tích phân ban đầu trở thành : ( ) 

2 

2 

1 

3 

t 

t

-

= ò = ò  - (đến đây bạn có thể tự tính được )  Bài tập : 

1) ( 6 6  ) 

0 

p

+

0 

cosx cos x cos  x dx

p

+

ò  3)

p

+

ò

3

2

0

4sin x

dx

2 

0  cos 2  4 sin 2 

2  sin

p  

dx 

x 

x 

x 

( còn nữa …)