PP Tinh tich phan va nguyen ham

Phần I nguyên hàm A ) Các kiến thức cơ bản : Cho hàm số y=f(x) xác định trên [ ] ,a b và có đạo hàm trên đoạn đó ta có 1) Vi phân của hàm số y=f(x) kí hiệu là : dy hoặc df ( Vi phân của biến là dx) 2) Công thức tính : hoặc ( Muốn tính vi phân của một hàm số ta lấy đạo hàm của hàm số đó nhân với vi phân của biến số) 3) Vi phân của các hàm số thờng gặp : d(ax+b) = a.dx d(ax 3 +bx 2 +cx+d) = (3ax 2 +2bx+c)dx d(ax 2 +bx+c) = (2ax+b)dx d(sinx)=cosx.dx d(cosx) =- sinx.dx d[sin(ax+b)] = a.cos(ax+b).dx d[cos(ax+b)] =- a.sin(ax+b)dx d(e x )=e x .dx (e ax+b ) = a.e ax+b .dx d(tanx) = 2 1 cos dx x d(cotx) = 2 1 sin dx x d( x ) = 1 2 dx x d( ax b+ ) = 2 a dx ax b+ d( ln x ) = 1 dx x d( 2 1 x a+ ) = 2 xdx x a+ d(x m+1 ) = (m+1)x m ( xdx = 2 1 2 dx ) 4) Nguyên hàm của hàm số y=f(x) kí hiệu là: F(x) hoặc ( )f x dx .Đó là một hàm số sao cho đạo hàm của nó bằng f(x).Vậy thì ( ( )f x dx ) = f(x). Ta gọi F(x) + C là một họ nguên hàm của hàm số y=f(x)(Lấy nguyên hàm cộng với hằng số C) 5) Các công thức tính nguyên hàm: [ ] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx = ( ) ( )kf x dx k f x dx= (với k là hằng số) b) Các dạng bài tập : Dạng1: Tính nguyên hàm của các hàm số đa thức (áp dụng trực tiếp bảng nguyên hàm) Tính nguyên hàm của các hàm số sau (m là hằng số) 1. 3 2 2 3 1y x x x= + 2. 4 2 2 1y x x= 3. 4 3 3 2x x x m y x + + + = 4. 3 3 3x x x m y x + + + = 5. 3 ( ) p y qx x = + 6. 3 1 2 ln m y x x x = + + Dạng2:Tính nguyên hàm của hàm số lợng giác, hàm mũ, hàm logarit Tính nguyên hàm của các hàm số sau (m,n, p, q là các hằng số) 7. y= sin2x 8.y= cos3x 9.y=sin3x.cos4x 10.y= cospx.cosqx 11. y= sinmx.cosnx 12.y=tanx+cotx 13.y=cos 2 2x 14.y= sin 2 (3x/2) 15. y= sin 3 x.cos3x+cos 3 x.sin3x 1 dy= y dx df= f dx 16.y=log a x + lnx 17. 2 x x e e y + = 18. 2 lg 2 x e x y + = Dạng3: Tính nguyên hàm của các hàm số bằng cách đa một biểu thức vào dấu vi phân 19.y=(mx+n) 2007 20.y=3x 5 2 2x + 21. 1 y mx n = + 22. 2 2007 x y x a = + 23. 4 3 2 1 2 2 x y x x x + = + + 24. 2 3 2 ( ) ax b y ax bx c + = + + 25.y=sinx.cos p x 26. y=cosx.sin p x 27. ln n x y x = 28. (ln 1) m x y x + = 29.y=cos 5 x 30.y=sin 7 x 31.y=tan 2 x+ cot 2 x 32.y=tanx 33.y=cotx 34.y= ) 4 (sin 4 + x 35.y=cosx. 2 sin x e 36.y=x. 2 1x e + 37. 2008 cos sin (sin cos ) x x y x x = + 38.y=tan 4 x 39. y=tan 5 x 40. y=(3x+5) 10 41. 2 3 5 x y x = + 42. y=x 2 3x + 43. y=sin2x.cos 2007 x 44. 2 1 os y c x = 45. 3 4 3 2 x y x = 46. y=x 2 . 3 3x e 47.y=cot 3 x 48. 2007 ( 1) x y x = + 49. 4 4 2x x y x + + = 50. 3 5 x x e y e = + 51. 1 .ln .ln(ln ) y x x x = **************************************** Phần ii tích phân A) Các kiến thức cơ bản : 1-Công thức newton leipnitz ( Niutơn laipnit ) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì ta có công thức ( ) ( ) b b a a f x dx F x= = F(b) - F(a) Giải thích: Muốn tính tích phân của một hàm số ta đi tìm nguyên hàm của hàm số đó rồi thế cận 2-Tính chất: 2.1-Phép cộng: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx+ = 2.2-Phép nhân với một hằng số khác 0: . ( ) ( ) b b a a k f x dx k f x dx= 2.3-Phép đảo cận tích phân: ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= ; ( ) 0 a a f x dx = 2.4-Công thức tách cận tích phân: ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx= + (Dựng tớnh cỏc tiớch phõn cú cha du giỏ tr tuyt i) 2 b) Các dạng bài tập : Dạng1: áp dụng trực tiếp công thức Newton-Laipnit và các tính chất của tích phân Bài 1: Tính các tích phân sau: 1) 2 2 3 1 2x x I dx x = 2) 4 4 0 (3 ) x I x e dx= 3) 3 3 1 (3 )I x x dx = + 4) 2 1 7 2 5 e x x I dx x = 5) 2 2 1 2 x I dx x = + 6) 2 2 1 1 ln x I dx x x x + = + 7) 5 2 2 2 dx I x x = + + 8) 1 1 0 (3 5 ) x x I dx + = 9) 1 3 0 2 1I x dx= + 10) 1 0 3 5 x x e dx I e = + 11) 1 2 2 1 4 1 xdx I x = 12) 1 2 3 0 ( 1) n I x x dx= + Bài 2: Tính các tích phân sau: 13) dxxxJ .3cos.sin 4 0 2 = 14) 3 0 sin .J x dx = 15) 4 2 0 tan .J x dx = 16) 2 0 cos2 .cos3J x xdx = 17) 4 4 6 sin dx J x = 18) 2 0 1 sin dx J x = + 19) 4 3 0 sin cos xdx J x = 20) 2 3 3 (sin cos ) sin cos x x dx J x x + = 21) 4 10 0 sin .sin 2 .J x x dx = 22) sin2 0 cos2 . x J x e dx = 23) tan 4 2 0 cos x e dx J x = 24) 2 cos(ln ) e e x dx J x = Bài 3: Tính các tích phân sau bằng cách tách cận tích phân 25) 3 3 2I x dx = 26) 4 2 1 3 2I x x dx = + 27) 5 2 2 0 ( 4 3 4 )I x x x x dx= + + 28) 3 8 8 cot tanI x x dx = 29) 12 4 cos .cos( ).cos( ) 3 3 I x x x dx = + 30) 2 0 I x m x dx= Dạng2: Tính tích phân bằng phơng pháp tích phân từng phần * Công thức tính : ( ) b b b b a a a a f x dx udv uv vdu= = * Nhận dạng : Hàm số dới dấu tích phân thờng là tích của 2 loại hàm số khác nhau * ý nghĩa : Phơng pháp này nhằm đa tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hoặc để khử bớt hàm số dới dấu tích phân (cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dới dấu tích phân) * Chú ý : Ta cần chọn u và dv sao cho : du đơn giản , dễ tính đợc v , tích phân vdu đơn giản hơn tích phân udv . Ta đa ra cách chọn nh sau: 3 A, Gặp dạng: ( ). ( )P x f x dx ( P(x) là đa thức còn f(x) là một trong các hàm số sin(ax+b) , cos(ax+b) e a x+b , a x ) . Thì ta đặt : u=P(x) và dv = cos(ax+b).dx . * Chú ý: Nếu P(x) có bậc n thì ta phải tính tích phân từng phần n lần (mỗi lần P(x) sẽ giảm 1 bậc) B, Gặp dạng: . ( ) k x f x dx ( Trong đó f(x) là một trong các hàm số sin(lnx) , cos(lnx) ) . Thì ta đặt u = cos(lnx) . và dv = x k dx C, Gặp dạng: ( ). ( )P x f x dx (Trong đó P(x) là e a x+b , a x còn f(x) là sin(ax+b) , cos(ax+b) ) .Thì ta đặt u=P(x) và dv = f(x).dx Chú ý: Trong dạng B và dạng C ta sẽ gặp tích phân luân hồi (sau khi tính hai lần lại trở về tích phân ban đầu) D, Gặp dạng: ( ).ln n P x xdx .Thì ta đặt u= ln n x và dv = P(x).dx ( Tính n lần) E, Gặp dạng: 2 2 x a dx+ . Thì ta đặt u = 2 2 x a+ và dv = dx Tính các tích phân sau: 31) 2 0 ( ).sinI x x xdx = + ( 2 4I = + ) 32) 2 0 .sin .I x x dx = ( 2 1 16 4 I = + ) 33) 2 3 0 . x I x e dx = ( 3 2 1 4 2 3 27 27 I e e= ) 34) 1 0 .3 x I x dx= ( 2 3 2 ln3 ln 3 I = ) 35) 2 3 1 .ln .I x x dx= ( 15 4ln2 16 I = ) 36) 1 0 .sin . x I e x dx = ( 2 ( 1) 1 e I + = + ) 37) 2 2 .sin(ln ). e e I x x dx = ( 3 2 2 5 I e = ) 38) 1 s(ln ). e I co x dx = ( 1 ( 1) 2 I e = + ) 39) 3 3 0 sin( ).I x dx = ( 2 12I = ) 40) 2 0 1 sin 1 cos x x I e dx x + = + ( 2 1 2 I e = + ) 41) 1 2 0 3I x dx= + ( 7 1 ln3 4 I = + ) 42) 1 2 0 1I x dx= + ( 1 [ln(1 2) 2] 2 I = + + ) 43) 2 ln(sin ) sin x dx J x = 1.44) 2 ln(cos ) cos x dx J x = 45) 2 sin xdx J x = 1.46) 2 cos xdx J x = 47) 3 sin dx J x = 1.48)) 2 3 cos sin x J dx x = 49) 2 2 . .I x x a dx= + 1.50) 1 ln 1 x J x dx x = + Dạng3: Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến số A - Đổi biến số cách 1 : Để tính ( ) b a f x dx ta đặt t= g(x) ( g(x) chứa trong f(x).Tiếp theo biểu diễn f(x)dx theo t và dt.Ta thu đợc tích phân theo t ( Nhớ rằng đổi biến thì phải đổi cả cận ) Dựa vào bảng sau để lựa chọn biến số Dạng tích phân Có thể chọn Hàm có mẫu số t là mẫu số 4 Hàm chứa ( )g x t = ( )g x Hàm có dạng 1 ( )( )x a x b+ + t = x a x b+ + + b - Đổi biến số cách 2: Để tính ( ) b a f x dx ta đặt x= g(t) rồi cũng làm nh cách 1(cách này kết hợp với phơng pháp lợng giác hoá tích phân hàm vô tỉ). Dựa vào bảng sau để lựa chọn biến số Dạng tích phân Biến cần chọn điều kiện của biến Chứa 2 2 a x x=asint t ; 2 2 Chứa 2 2 x a x=a/cost 3 [0; ) [ ; ) 2 2 t Chứa 2 2 x a+ x = atant [0; ) 2 t Chứa a x a x + x = acos2t (0; ) 2 t Chứa ( )( )x a b x x = a+(b - a)sin 2 t 0; 2 t Bài 4: Dùng phơng pháp đổi biến cách 1 hãy tính các tích phân sau: 51) 1 3 2 5 0 ( 2)I x x dx= + 52) 1 5 2 2 3 0 (1 2 ) .I x x dx= 53) 3 0 sin cos ).I x x dx = 54) 1 3 2 10 0 (1 5 )I x x dx= 55) 1 5 2 2 3 0 (2 5 ) .I x x dx= 56) 5 0 cos sin ).I x x dx = 57) 2 4 6 0 sin cos x J dx x = 58) 3 4 2 0 sin .cos 1 cos x x J dx x = + 59) 2 2 2 x x x I e e e dx= + 60) 1 2 0 2 x J dx x = 61) 1 5 2 2 0 1 x J dx x = 62) 4 2 2 3 2 x J dx x = 63) 1 6 0 1 x J dx x + = 64) 1 0 2 x x dx J e e = + 65) 1 0 4 x x dx J e e = 66) 2 3 8 1 2 x dx J x = 67) 1 2 0 2 1 x J dx x x = + 68) 1 0 1 x dx J e = + 69) 2 1 2 2 1 dx J x x = + 70) 1 2 0 ( 1) 2 2 dx J x x x = + + + 71) 7 2 2 2 2 1 x x + Bài 5: Dùng phơng pháp đổi biến cách 2 hãy tính các tích phân sau: 5 72) 1 2 0 1 .I x dx= 73) 2 3 2 2 0 4 9 .I x x dx= 74) 3 2 0 9 dx J x = + 75) 1 2 2 0 1 .I x x dx = 76) 3 4 2 2 0 1 x J dx x = 77) 2 2 3 0 (4 ) dx J x = 78) 2 2 3 0 (4 ) dx J x = + 79) 1 3 2 2 0 1 x J dx x = 80) 2 3 4 ( ) ( )( ) a b a b dx J a b x a b x + + = < 81) 2 3 2 1 4 .I x x dx = 82) 1 3 0 2 2 x I x dx x + = 83) 5 2 0 5 5 x I dx x + = C - Đổi biến số ở hàm l ợng giác : Giả sử cần tính tích phân (sin ,cos )I R x x dx= , với R là hàm vôtỉ ta có thể chọn các hớng sau: H ớng1 : Nếu R lẻ đối với sinx , R(- sinx,cosx) = - R(sinx,cosx) thì đặt t = cosx H ớng2 : Nếu R lẻ đối với cosx , R(sinx,- cosx) = - R(sinx,cosx) thì đặt t = sinx H ớng3 : Nếu R chẵn đối với sinx và cosx , R(- sinx, - cosx) = R(sinx,cosx) thì đặt t = tanx (t = cotx) H ớng4 : Có thể đặt biến số t=tg(x/2) để đa về tích phân của hàm phân thức hữu tỉ Bài 6: Tính các tích phân sau: 85) cos (1 sin ) 2 sin x x I dx x + = + (t=sinx) 86) 3 sin .cos dx I x x = 87) 3 5 4 sin .cos dx I x x = (t= tanx) 88) 2 3 cos sin xdx I x = (t=cosx) 89) sin 2 2sin dx I x x = 90) cos sin 1 sin 2 x xdx I x = + 91) sin cos 2cos sin x xdx I x x = + 92) 2 sin 2 1 sin xdx I x = + 93) 2 4 sin .cos dx I x x = Dạng4: Tính tích phân của hàm số phân thức hữu tỉ Ta dựa vào đặc thù của hàm,dùng phơng pháp phân tích hoặc đồng nhất thức để đa nguyên hàm đã cho về các nguyên hàm cơ bản sau: 1) 1 ( ) ( ) a ae cx e b ax b a ae dx c c I dx dx dx b cx e cx e c c cx e + + + = = = + + + + 2) 2 2 ax bx c I dx ex f + + = + hoặc 2 3 2 ax bx c I dx mx nx p + + = + + thì ta chia tử cho mẫu 3) 4 2 dx I mx nx p = + + thì ta xét 3 trờng hợp 6 TH1 : Mẫu có 2 nghiệm x 1 và x 2 thì đa về dạng 1 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 ( ) ln ( )( ) ( ) ( ) dx dx dx dx x x I C mx nx p m x x x x m x x x x x x m x x x x = = = = + + + TH2: Mẫu có nghiệm kép thì đa về dạng 4 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 dx dx I C n n mx nx p m x m x m m = = = + + + + + TH3: Mẫu vô nghiệm thì đa về dạng 4 2 2 2 ( ) dx dx I mx nx p x q a = = + + + + rồi đặt x+q = a tant 4) 2 5 2 2 2 2 (2 ) ( ) ( ) 2 2 2 2 m mb ax b n mx n dx m d ax bx c mb dx a a I dx ax bx c ax bx c a ax bx c a ax bx c + + + + + = = = + + + + + + + + 5) 6 ( ) ( ) p x I dx q x = nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì ta chia tử cho mẫu rồi làm nh trên.Nếu ngợc lại thì ta sử dụng đồng nhất thức. Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phơng pháp đổi biến hay tính nguyên hàm từng phần Bài 7: Tính các tích phân sau: 94) (3 1)( 1) dx I x x = + 95) 2 2 3 dx I x x = + 96) 2 5 (2 1) ( 3) x dx I x x + = + 97) 4 2 2 2 xdx I x x = 98) 3 4 2 2 x dx I x x = 99) 2 2 2 3 2 x x I dx x x = + 100) 2 2 3 dx I x x = + + 101) 2 2 1 dx I x x = + + 102) 4 3 2 2 2 4 3 1 x x x x I dx x + = + 103) 3 1 dx I x = + 104) 2 3 ( 1)( 2) ( 3) dx I x x x = + + + 105) 2 2007 (1 ) x dx I x = 106) 2 3 ( 2 2) 1 x x dx I x + = + 107) 2 2 ( 2) ( 3) dx I x x = + + 108) 3 (7 4) 3 2 x dx I x x = + 109) 3 2 3 4 2 3 1x x x I dx x x + + = + 110) 3 2000 ( 1) x dx I x = Dạng5: Tính tích phân nhờ tích phân phụ Bài 8: Tính các tích phân sau: 111) sin cos sin xdx I x x = 112) 4 4 4 sin cos sin xdx I x x = 113) x x x e I dx e e = 114) 2 sin .cos2I x xdx= 115) 2 cos .sin 2I x xdx= 116) x x x e I dx e e = + Dạng6:Một số loại tích phân đặc biệt Khi gặp các loại sau cần chú ý tới cận và hàm số dới dấu tích phân Loại 1: Nếu hàm số f(x) liên tục và lẻ trên [-a; a] .Thì ( ) 0 a a f x dx = (Đặt x = - t) Loại 2: Nếu hàm số f(x) liên tục và chẵn trên [-a; a] .Thì 0 ( ) 2 ( ) a a a f x dx f x dx = Loại 3: Nếu hàm số f(x) liên tục và chẵn trên R .Thì 0 ( ) ( ) 1 k k x k f x dx f x dx a = + (với k R + và a>0) 7 ( ) ( ) b a S f x g x dx = Loại 4: Nếu hàm số f(x) liên tục và chẵn trên 0, 2 .Thì 2 2 0 0 (sin ) (cos )f x dx f x dx = Bài 9: Tính các tích phân sau: 117) 2007 2 2007 2007 0 sin cos sin xdx I x x = 118) 1 4 1 2 1 x x dx + 119) 2 0 .sin 4 cos x x I dx x = 120) 2 3 0 .cos .I x x dx = 121) 2 0 1 sin ln 1 cos x I dx x + = + 122) 4 0 ln(1 tan )I x dx = + 123) 3 2 0 sin 1 cos x dx x + 124) 1 2 1 ( 1)( 1) x dx e x + + 125) 2 4 0 sin 2 1 sin x dx x + ******************************** Phần iII ứng dụng của tích phân A-tính diện tích hình phẳng : Loại 1 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y=f(x) ; y=g(x) và 2 đờng thẳng x=a ; x=b(Biết 2 cận tích phân).Ta áp dụng công thức: ( ) ( ) b a S f x g x dx= (I) (trục hoành và trục tung có phơng trình lần lợt là : y = 0 ; x = 0 126) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 2 4 6y x x= ,trục Ox và x=-2 ; x=4(vẽ hình) 127) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 3 2y x x= + y=x-1và trục tung x=0(vẽ hình) 128)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 1 cos y x = ; 2 1 sin y x = ; 6 x = ; 3 x = 129) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 3 sin .cosy x x= trục Ox,Oy và 2 x = 130) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 3 1 (1 ) y x x = + trục Ox; x=1; x=2 131) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( 1)( 2)y x x x= + ; trục Ox; x=-2 ; x=2 132) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 5 ( 1)y x x= + ; trục Ox;trục Oy và x=1 133) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị : xy=4 trục Ox; x=a; x = 3a(a>0) 134) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ln 2 x y x = trục Ox; 135) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 4 4 sin cosy x x= + ; trục Ox 2 x = ; x = Loại 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y =f(x) ; y =g(x) và đờng thẳng x = a (Biết 1 cận tích phân).Ta tìm cận còn lại rồi áp dụng công thức (I) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau : 136) y = e x ; y= e -x ; x=1 137) 2 1y x x= + ; y=0 ; x=1 138) 2 3 ln(1 )y x x= + ; y= 0 ; x=1 139) y x= ;y = - x; x = 5 140) y = e x ; y= (x+1) 5 ; x = 1 Loại 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y =f(x) ; y =g(x);y =h(x)(Cha biết cận).Ta giải các phơng trình f(x)=g(x);g(x)=h(x);f(x)=h(x) để tìm cận lấy tích phân(Ta nên vẽ cụ thể đồ thị 3 hàm số).Căn cứ đồ thị để tính diện tích từng phần rồi cộng lại. 8 141) x y= ; x+y-2=0, y = 0 142) 2 y x= ; 2 4y x= ;y = 4 143) y x= ;y = 2- x; y= 0 144) 2 2 2y x x= + ; 2 4 5y x x= + + ;y=1 145) x-2y+2=0 ; y=0 ; y 2 =2x 146)y=x+3; 2 4 3y x x= + 147) 2 2x y= ; 3 2 8( 1) 27x y = 148) 2 2x y= ; 3 2 (4 )x y = 149) 2 y x= 2 27 x y = 27 y x = 150) 2 y x= ; 2 4 x y = ; 2 y x = ; 8 y x = 151) 2 2x y= ; 3 2 (4 )x y = Loại 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y =f(x) ; y =g(x)(2 đờng cong tự cắt,cha biết cận).Ta giải phơng trình f(x)=g(x) tìm cận rồi áp dụng công thức(I). 152) 2 1 1 x y x + = + ; 1 2 x y = + 153) ) 2 4 6y x x= + ; 2 2 6y x x= + 154) 2 y x= ; 3 3 x y = 155) 2 x y= ; 2 2y x= 156) 2 ( 2)y x= ;y=4 157) 2 4 4 x y = 2 4 2 x y = 158) 2 2 1x y+ = ;y=x-1 159) 2 4 y x= ; 2 8 4 y x = + 160) y=x; 2 siny x x= + B-tính thể tích của vật thể sinh ra khi quay một hình phẳng quanh trục ox hay oy : *Nếu hình D giới hạn bởi : y=f(x) ; y=0 ; x=a ; x=b quay xung quanh Ox ta áp dụng công thức: *Nếu hình D giới hạn bởi : y=f(x) ; y=g(x)( 0 ( ) ( )f x g x ) ; x=a ; x=b quay xung quanh Ox ta áp dụng công thức : *Nếu hình D giới hạn bởi : x=g(y) ; x=0 ; y=a ; y=b quay xung quanh Oy ta áp dụng công thức: *Nếu hình D giới hạn bởi : x=f(y) ; x=g(y)( 0 ( ) ( )f y g y ) ; y=a ; y=b quay xung quanh Oy ta áp dụng công thức : Tìm thể tích của vật thể sinh ra khi quay miền D xung quanh trục Ox,Oy 161) Cho miền D giới hạn bởi: y=sinx; y=0 ; x=0 ; x = .Tính S D và V D khi D quay quanh Ox 162) Cho miền D giới hạn bởi: y=lnx ; x=1;x=2;y=0.Tính S D và V D khi D quay quanh Ox 163) Cho miền D giới hạn bởi: . x y x e= ; x=1;x=2;y=0.Tính S D và V D khi D quay quanh Ox 164) Cho miền D giới hạn bởi: 2 2 x y = ;y=2;y=4.Tính S D và V D khi D quay quanh Ox 165) Cho miền D giới hạn bởi: 3 3 x y = ; 2 y x= Tính S D và V D khi D quay quanh Ox 166) Cho miền D giới hạn bởi: 2 3 y x= ;y=0;x=1 Tính S D . V D,Ox ; V D,Oy 167) Cho miền D giới hạn bởi: 2 1 1 y x = + ;x=1;Ox;Oy.Tính V D,Ox 168) Cho miền D giới hạn bởi: 3 tany x= ;y=0; ; 4 4 x x = = Tính S D . V D,Ox 9 2 ( ) b Ox a V f x dx = 2 2 ( ) ( ) b Ox a V f x g x dx = 2 ( ) b Oy a V g y dy = 2 2 ( ) ( ) b Oy a V f y g y dy = 169) Cho miền D giới hạn bởi: y x= ;y=- x;x=5.Tính S D và V D,Oy 170) Cho miền D giới hạn bởi: cos .sin 2 x y x= ;y=0;x=0; ; 2 x = Tính S D . V D,Ox 171) Cho miền D giới hạn bởi: 3 ln(1 )y x x= + ;Ox;x=1.Tính S D và V D,Oy 172) Cho miền D giới hạn bởi y=lnx ; y=0;x=2 . Tính S D và V D khi D quay quanh Ox 173) Cho miền D giới hạn bởi:; 2 2y x x= + ; y = 0.Tính V D,Ox ; V D,Oy 174) Cho miền D giới hạn bởi: 2 ( 2)y x= ; y = 4. Tính V D,Ox ; V D,Oy C chứng minh đẳng thức k n C bằng tích phân: * Mô tả phơng pháp : Dựa vào đặc thù của đẳng thức ta xét khai triển nhị thức Newton của một tổng nào đó.Tiếp theo ta lấy tích phân 2 vế của đẳng thức đã khai triển ,rồi khéo léo làm xuất hiện đẳng thức cần chứng minh * Hãy chứng minh các đẳng thức sau bằng tích phân: 175) 1+ 1 1 2 n C + 2 1 3 n C + 3 1 4 n C + 4 1 5 n C + . + 1 1 n n C n + = 1 2 1 1 n n + + (Khai triển (1+x) n ) 176) 1 1 2 n C - 2 1 3 n C + 3 1 4 n C - 4 1 5 n C + . + 1 ( 1) 1 n n n C n + + = 1 n n + (Khai triển (1- x) n ) 177) 0 1 3 n C + 1 1 6 n C + 2 1 9 n C + 3 1 12 n C + . + 1 3 3 n n C n + = 1 2 1 3( 1) n n + + (Khai triển x 2 (1+x 3 ) n ) 178) 1- 1 1 2 n C + 2 1 3 n C - 3 1 4 n C + 4 1 5 n C + . + ( 1) 1 n n n C n + = 1 1n + (Khai triển (1+x) n ) 179) 0 1 2 n C - 1 1 3 n C + 2 1 4 n C - 3 1 5 n C + . + ( 1) 2 n n n C n + = 1 2( 1)n + 180) 0 2 n C - 2 1 1 .2 2 n C + 3 2 1 2 3 n C - . + 1 ( 1) 2 1 n n n n C n + + = 1 ( 1) 1 n n + + 181) 0 2 n C + 2 1 1 .2 2 n C + 3 2 1 2 3 n C - . + 1 1 2 1 n n n C n + + = 1 3 1 1 n n + + 182) 1 1 . 1 n C - 2 1 . 2 n C + 3 1 . 3 n C - 4 1 . 4 n C + .+ (-1) n-1 1 . n n C n = 1+ 1 2 + 1 3 + .+ 1 n Tích phân: 1. Tính các tích phân cơ bản: 1/ I = ++ 2 1 3 )12( dxxx 2/ I= + ++ 2 1 132 ) 3 ( dxe x x x 3/ I = 2 1 2 1 dx x x 4/ I = ( ) + 4 1 4 3 42 dxxxx 5/ I = ( ) + 1 2 2 2 4 4 dx x x 6/ I= ++ 6 0 2 2cos 1 2cos3sin dx x xx 7/ I = + 0 ) 6 2sin( dxx 8/ 6 0 1 1 sin 2 dx x + 2. Đổi biến số dạng 1. 10