Thông tin tài liệu
Th.S: MAI THÀNH LONG ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM 42 BÀI TẬP TÍCH PHÂN - LTĐH 2015 dx � 2cos x 1) I = 2) I = 4) I = � � � sin x cos x cos3 x � sin xdx � 7) I = sin x x e dx � cos x dx 10) I = � � � cos x.cos x � � � 4� 15) I = 3sin x 4cos x dx 2 � 3sin x 4cos x 12) I = � � tan �x � � 4� dx � cos x � sin x cos x e � x 14) I = � sin x cos x dx � � cos x x dx � � � �2 3sin x � dx 16) I = � � � sin x cos x � � � 6� dx ln x ln x ln x 7sin x 5cos x 17) I = sin x x x sin x sin x dx � sin x sin x 6 8) I = sin x sin x dx 9) I = � 13) I = 6) I = sin x cos x dx � cos x 2 11) I = dx 2 � sin x cos x 5) I = x sin x dx � sin2x dx � sin x cos x 3) I = 2 dx 18) I = x2 dx x 4 � x 1 x Th.S: MAI THÀNH LONG ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM (x x 6)e x 19) I= � dx x x 2013 e 20) I = �sin x sinx-sin x � e sìn2x+ dx � � � cos x � 0� e 2 ln x 1 23) I = x dx � x ln x 21) I = 25) I = � 2 x 9 � 1 x 29) I = 1 x � 24) I = 26) I = dx 28) I = e cot x sin x 32) I = � 3 e H D GIẢI: x e 34) I = ln ln x dx � x 2e x dx dx �x x � x e dx � � 38) I = � x� 1� 40) I = e x e x x dx cos xdx � ex 1 x � x 2 � x x 2014 x dx 37) I = � x 41) I = 36) I x.log x dx e dx �x dx 30) I = x tan xdx � 39) I = 10 x3 x 10 x x ln dx �1x � e x � � � � 31) I = � x � tan x �dx � � �cos x � 3 x � � x ln x dx 33) I �2 x 1 2 � x 1 �1 x 3x 35) I = ln x dx � x sin x x2 x tan x e x dx dx cos x 2cot x 3cot x 1 tan � 1 1 22) I = 1 x 27) I = x � x3 x � dx �x e � � 1 x � 0� 1 42) � ln 3x � � x 2ln x � dx � x x 2ln x ln x � x x ln x dx Th.S: MAI THÀNH LONG 1) I = dx = � 2cos x Đặt t = tanx => dt = => dt = ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM � cos x 1 dx � dx tan x cos x cos x dx Đổi cận => I = cos x (1+tan2 u)du Đổi cận => I = 1 dt Đặt t = tanu � t 1 x sin x = 2) I = dx � sin2x x sin x dx dx I1 I � � s ìn2x s ìn2x 0 x x 12 x I1 � dx � dx dx � s ìn2x � � sin x cos x 0 sin �x � � 4� ux � � � du dx � cos �x � � � � � � � 4� dx dv dx � � � � �� I1 x cot �x � � v cot �x � � � � � sin �x � � � sin �x � 4� � � � � � � 4� � 4� � sin x 1 cos x 1 cos x sin x I2 � dx � dx � dx � dx 2 sìnx � � 0 sin x cos x sin sin x cos x �x � � 4� 1 � � d sin x cos x cot �x � � dx ln sin x cos x 2 � �0 sin x cos x 2 Vậy I = I1 I 3) I = dx � sin x cos x Đặt t = cos x => 2tdt = - sinxdx Đổi cận Th.S: MAI THÀNH LONG 2tdt I �2 t t t t ln 2 t ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM 2dt � 2 t t t 1 dt �t t dt � t 3 t t 2 ln 3 dt �t dx 2 � sin x cos x 4) I = 4 sin x cos x 1 dx dx � dx � � 4 cos x cos x sin x 4sin x.cos x 2 1 1� tan x � 3 1 tan x d tan x cot x tan x � � � 4� � 5) I = 4 sin x cos x � 2 cos3 x � sin xdx � � � = 1sin2x � 2sìn2xcos2xdx � 2sìn2xcos 2xdx I1 I Tính: I1= 21sin2x.2sìn2xcos2xdx Đặt t = + sìn2x => dt = 2cos2xdx Đổi cận � � �du dt � u t � I1 � t 1 dt � t.2 dt � dt Đặt: � � � 2t t dv dt � v 1 � � ln � 2 t �1 � t t t t I1 dt � dt � 1� dt � ln ln � ln ln � � 1 2 t t t �1 �1 t � 1� ln �ln �ln ln ln 0 Tính: I 2sìn2x.cos xdx cos xd cos x cos x � � 5 Th.S: MAI THÀNH LONG Vậy I I1 I � �1 2 � � ln � ln � 6) I = ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM sin x cos x dx � cos x sin x sin x sin x sin x dx � dx � dx = � cos x cos x cos x 3 � � � � � 1 dx � dx x tan x tan x x 04 � � � 1� cos � � cos x � 0� 7 1 12 7) I = sin x x e dx � cos x x = x x e dx sin x.e dx e sin x x I� � � dx � e dx x cos x cos x cos x 0 cos x x x 2 2sin cos x e x 12 e x 2 dx � tan e x dx I1 I I � dx � e dx = I � x cos x 2 cos x 0 2cos 2 2 x � u e �du e x dx x � e dx � � �� Tính: I1 = � Đặt � dv dx x cos x v tan x � � cos � 2 � � � 1� x x2 � I1 2.e tan I � e I � 2� 20 � � � I I1 I e 2 8) I = x x sin x sin x dx � sin x sin x 2 = x � sin x dx 2 dx =I � sin x +I2 Th.S: MAI THÀNH LONG 2 � ux �du dx � Đặt � hoctoancapba.com dx � � v cot x dv � � sin x � x Tính: I1 = � dx sin x I1 = - xcot x 2 ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM 2 cot xdx ln sin x � 2 3 2 2 dx � x x� � sin cos � � 2� � 7 5 5 cot cot 2cot 42 12 12 12 42 Vậy I = dx Tính: I2 = � = sin x 9) I = 6 2 2 dx �x � cot � � � �x � �2 � sin � � �2 � sin x cos xdx Đặt t = cosx => dt = - sinxdx sin x sin x dx = � � 2 Đổi cận => I = - �2 t dt 3 �2 t dt 3 sin u � dt cos udu 2 Đặt t = 3 3� �4 I= cos udu cos u du u sìn2u � � 2 � 2� 4 � �0 16 0 dx 10) I = � � � cos x.cos x � � � 4� 1 Ta có: cosx cos (x + ) = cosx ( cosx sinx) = cos2x (1- tanx) 2 => I = 3 d tan x dx 2� 2� ln tan x 06 ln cos x tan x tan x 0 Th.S: MAI THÀNH LONG 11) I = ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM 3sin x 4cos x dx 2 � 3sin x 4cos x =3 sin x cos x dx dx � � 2 2 cos x 4cos x sin x sin x 0 =3 sin x cos x dx dx = I1 +I2 2 � � cos x sin x 0 Tính: I1 = sin x dx Đặt t = cosx => dt = - sinxdx, đổi cận � cos x I1 = dt Đặt t = tanu => I1 = = � t 3 Tính: I2 = d sin x cos x sin x = ln3 =-4 dx ln � � sin x sin x sin x sin x 0 + ln3 Vậy I = 7sin x 5cos x dx Đặt t = x + => dt = dx 12) I = � 2 sin �x � sin x cos x � � 4 � � � � � 2 2� 3 7� sin t cos t � � cos t sin t � 2 2 � � � � Đổi cận => I = dt � sin t 2 7sin x 5cos x dx = � 3 sin t cos t dt cot t = sin t 2 � 13) I = � � tan �x � � 4� dx � cos x 3 3 d sin t 3� sin t 2sin t 3 2 Th.S: MAI THÀNH LONG ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM � sin x � � � tan x x � ;cos x cos x � 1 tan x Ta có: tan � � 2 � � tan x � cos x � tan x tan x � tan x 1 => I = - 2 dx Đặt t = tanx => dt = ( tan x + 1) dt, đổi cận dt � t 1 I=- 14) I = 1 1 t 1 1 � � cos x x dx � � � 3sin x � � cos x I� dx � x.cos xdx I1 I 2 3sin x 0 * Tính I1 = I � 2 cos x dx ; Đặt t 3sin x => t = 3sinx + 3sin x => 2tdt = 3cosx dx 2 2 t 2 2 dt dt t 2ln t 2ln 2 2ln � � 2t 2t 3 � I1 ln 3 � I1 * Tính I x.cos xdx � � ux �du dx �� dv cos xdx � v sin x � Đặt � � I x.sin x � sin xdx cos x 02 2 � I x.sin x � sin xdx cos x 02 2 Vậy: I I1 I ln 15) I = � sin x sin x cos x dx Th.S: MAI THÀNH LONG ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM sin x dx Do : sin x cos x 2sin( x ) nên I = � � � Đặt t = x + sin x � � � 3� dt =dx, sinx = sin ( t ) = sin t cos t Đổi cận 2 5 5 sin t cos t 6 cot td cot t I= dt = cot t � � 16 16 8 sin t 3 5 3 cot t 6 = 32 12 � � �� cos �x � � � � � 6� � dx = 16) I = � dx � � � � � sin x cos �x � sin x.cos �x � 6 � 6� � 6� � � � � � �� � x � cos x sin �x � sin x sin �x �� cos � 2� cos x � 6� � � dx � � �� dx = � sin x � � � � � � � sin x.cos �x � cos �x � 6 � � � 6� � 6� � � = ln � � �� ln sin x ln cos x ln = � � �� 3� � �� * Cách khác: Do sinx.cos (x + �3 � ) sin x � cos x sin x � sin x �2 � 1 d cot x dx ln cot x 2 Nên I = � � cot x sin x 3 3 cot x 6 ln ln 3 e 17) I = � x ln x ln x ln x 2 dx Đặt t = lnx =>dt = cot x 1 dx , đổi cận x Th.S: MAI THÀNH LONG ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM t3 dt � t t t dt hoctoancap ba.com I= � 20 t2 t2 1 1 1 1 1 2 2 2 t t dt � t t dt � 4t d 4t � t d t2 = � 20 20 40 40 1 3 1 2 2 t t 5 3 16 6 0 *Cách khác: Đặt t = ln x ln x � t 16 x � t 16 ln x � t � ,đổi ln x 4 4 � t 64 16t 16 ln x � 4ln x 16t t � dx �2t � dt x � 4� 5 5 cận => I = � 2� � t � 2 t � dt � 2t � � � 12 �4 � � � 5 3 16 x 11 dx � � � x 1 x 1 � � 2 dx x 1 � dx I1 I 2 � 2 � � x x x � � 0 dx Tính I1 = � Đặt x+1 = tant => dx = (1+ tan2t)dt, đổi cận x 1 x2 dx = 18) I = � x x x 3 tan t I1 � dt 18 tan t x 1 dx Đặt u = (x+1)2 + =>du = 2(x +1)dx, đổi cận Tính: I2 = � 2 � � x 1 x 1 3� � 12 12 du �1 1� u 3 I2 � � � du ln � u u 3 �u u � u Vậy I = 12 ln 3ln 18 (x+2)e x x e x (x x 6)e x 19) I= � dx = � dx Đặt t = (x+2)ex +2013 x x x 2013.e x e 2013 => (x+2)ex = t – 2013, dt = [ex+(x + 2)ex]dx = [(x + 3)ex]dx, đổi cận Th.S: MAI THÀNH LONG ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM 3e 2013 t 2013 3e 2013 dt t 2013ln t � 2015 t 2015 I= � x3 x � dx �x e � � x 0� � 20) I = 1 = 3e 2013 2015 3e 2013ln 3e 2013 2015 x x e dx dx I1 I � � x 0 x3 1 t e 1 e dt Tính I1 = x e dx Đặt t = x3 => dt = 3x2dx => I1 = � 30 � Tinh I2 = � 1 x3 x x dx Đặt t = x � t x � dx 4t dt 1 �t � dt t � �2 � I � t dt 4� t 1 dt � t � 4� � � t t t 1 � �3 �0 0� 4J dt tan u Với J � Đặt t = tanu => dt = (1 + tan u)du => J du u � t 1 tan u � I2 e 3 Vậy I = 21) I = I= �sin x sinx-sin x � e sìn2x+ dx � � � cos x � � e � sin x Tính: I1 = sin x.cos x sìn2xdx � dx I1 I 2cos x e � sin x Đặt sìn2xdx = � sin x.esin x d sin x � u sin x du cos dx � � � � sin x dv esin x d sin x �v e � I1 2sin x e sin x 2� e cos xdx 2e � e d sin x 2e e sin x sin x sin x 2 Th.S: MAI THÀNH LONG Tính: I2 = ĐH CƠNG NGHIỆP TPHCM sin x.cos x dx Đặt t = cosx => dt = -sinxdx, đổi cận � 2cos x 1 t2 � � 1 t 2 I2 = � dt � 1 dt ln � � 2 t 4 0� t 4� 2 t2 ln Vậy I = 22) I = = tan � ln 2 x tan x e x dx e x dx � e x dx � tan x.e x dx I1 I I � cos x 0 � u ex �du e x dx � �� Tính: I1 = e x dx Đặt � � dv dx �v tan x cos x � cos x � I1 = tan x.e Tính: I2 = x � tan x.e dx e I � I1 I e x e dx e � x x e 1 Vậy I = 23) I = e 2 � 1 ln x 1 x dx x ln x e = x ln x dx � x x ln x Đặt t = lnx => x = et, dt = 1 t � et � 2et t e 1 dt � 1 t dt �t dt J cận => I � t � � e 1 e t � e t 0� t e 1 dt Đặt u = et t � du et 1 dt , đổi cận Tính: J = � t e t J e 1 du �u ln e 1 Vậy I = + ln(e + 1) dx ,đổi x Th.S: MAI THÀNH LONG ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM dx � � u ln x ln x � � du dx Đặt � x 24) I = � dx � � dv x � � v x 1 x 1 � � 8 x 1 I x 1.ln x � dx 6ln 4ln J x Tính: J = x 1 dx Đặt t = � x x � t x , 2tdt dx , x = t2 – 1, đổi cận 3 t � � t 1 � � J � 2tdt � 2 dt � 2t ln � � � ln ln t t t t � � � �2 2 Vậy I = 20ln2 - 6ln3 – 25) I = � 2 x x 21 x dx x x x 2 2 2x �I � dx � dx � dx x x x x 2 3.2 x 3.2 9 9 2x t 25 2t x x x Đặt t 3.2 � t 3.2 � � x dx dt 3ln 2 t 5 t t 5 t 5 I �2 dt � dt ln ln t 25 t ln t t 5ln t 1 � 2� ln ln � ln � 5ln � � 5ln 14 26) I = �1 x 3x dx cau ca � I �22 � � x 1 � dx Đặt x 1 2sin t � 3dx 2cos tdt Khi x = � sin t �t Khi x = => sin t = => t = 0 0 3 � I �4 4sin t � cos t cos tdt � cos 2t dt 3 Th.S: MAI THÀNH LONG ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM � � � � � � t sin t � � � � � � 3� �3 � � � � 2 Vậy I 3 1 1 x x2 x 1 x2 dx 27) I = � = � dx � dx � dx I1 I 2 2x 2x 2x 1 x x 1 1 1 1 � 1� 1 dx x ln x 1 Tính: I1 � � � 1 1 � x � 1 x2 I2 � dx; t x � 2tdt xdx; x �1 � t � I 2x 1 Vậy I = 1 28) I = 10 x3 x 10 x �x 1 x 1 x dx 10 � dx 3�2 dx 10 I1 3I x 1 x2 0 x I1 � dx; t x � I1 x 1 1 I �2 dx; x tan t � I x 1 3 Vậy I 10 29) I = cos x 2cot x 3cot x 1 � sin x cot x 2cot x 3cot x 1 � sin x e cot e cot x sin x x cot x 1 dx dx u 2u 3u 1 eu u 1du; t u u u cot x � du dx � I � sin x dt 2u 1 du � I � t 1 et dt Th.S: MAI THÀNH LONG ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM �u t du dt � � � � dv et dt �v et � I e t 1 � et dt e e 1 t 30) I = 2 � 1� dx � x dx � xdx J � cos x cos x 32 � � 0 � x tan xdx = x � � � ux �du dx � J � x dx; � �� v tan x cos x � dv dx � cos x � d cos x J x tan x � tan xdx � ln cos x cos x 0 2 Vậy I = ln 32 � �x e x � � � � 31) I = � x � tan x �dx � � �cos x � 3 x � � x 4 ln e x2 I �2 dx � dx � x tan xdx J M N x cos x 3 3 3 x e 1 J �2 dx; t � dt � J x x dx 3 x 4 3 e dt e � t 3 e � u x2 du xdx � x � M � dx; � �� � M x tan x 3 � x tan xdx v tan x cos x dv dx � 3 3 � cos x � 4 2 9 9 M N �M N 16 16 9 Vậy I = e 3 e 16 Th.S: MAI THÀNH LONG ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM � du x.ln 2.dx � u2 � �� 32) I = x cos xdx Đặt � � dv cos xdx � v sin x � � x 1 ln x I x.sin x ln � x sin xdx � sin xdx 4 0 � � u x , du x ln 2dx � Đặt � dv sin xdx � 1 � v cos x � � � ln �1 x ln � � � I � ln 2.� x.cos xdx � � cos x � �4 �4 �0 � � � �2 � ln � � 2 � � � � ln 2 ln ln � I 1� I � I � 1 � � � 16 � 16 � 16 � � 16 � 2 � ln �2 1� � � I 16 ln 2 � u ln x � du dx � � x ln x x � � dx x � 33) I �2 � dv dx � 1 x 1 v � � x � � x 1 � � dx ln x 1 x I ln x � dx 2� 20 2 x 1 x x x x 1 3 2 3 d x 1 9ln 3 ln 1 x ln ln ln x �2 dx �2 ln x 1 20 2 x 1 20 x 1 20 9ln ln 9ln 5ln 20 20 e 34) I = ln ln x dx � x Đặt t = lnx => dt = dx , đổi cận x Th.S: MAI THÀNH LONG ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM 2t � � u ln t 1 du dt � � �� � t 1 � � dv dt � � vt 1 t2 2 I t.ln t 1 � dt ln J 3 t 1 3 1 I � ln t 1 dt 30 1 t 1 1 dt dt � Tính J = � 2 t 1 t 1 0 Đặt t = tanu => dt = ( + tan2u)du, đổi cận tan u J 1 � du tan u ln x 1 x e dx 35) I = � x 1 Vậy I Do : x2 x 1 e 1 2J Tính J 1 �x x.e x � x.e x x 1 �I � e dx � e dx � dx � � 2 � � x 1 x 1 � 0� x 1 2x x.e � u x.e x � du e x x 1 dx � � dx � � � dv v � x 1 � x 1 � � x � x 1 dx 1 x.e x e J � e x dx e x 1 0 Vậy I = � 36) I x.log x dx 2x � du dx 2 � � x ln u log x � � �� � � x2 x2 � dv xdx v � � 2 4 x2 25ln 9ln I log x xdx � ln ln Th.S: MAI THÀNH LONG ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM * Cách khác: t = x2 + 25 25 t t 25ln 9ln 25 ln tdt ln t dt => I = 2ln � 2ln 2ln � ln 9 1 3 3 x x 2014 x x x3 dx dx dx 2014 I1 I 37) I = � = � x4 � x4 1 x 1 xx x I1 � dx � dx x x 1 3 3 Đặt t 1 dx � t � t dt ,đổi x x x cận => I1 1 3 dx � � I 2014 �3 2014 � � 8056 hoctoan capba.com x � x �1 Vậy I = I 8056 8062 1 2 1 x �x 1x � � �x x x 1 x � e dx = � e dx � e dx J K � �x � 38) I = � x x � � 1� 1� � � �x x � du � 1 � e dx � u e �� � � � x � � � �dv dx vx � x x J � e dx J x e 1 x x 1 x x x e � 1� � e dx e K �x � x� 1� x Vậy I J K e e e2 e ln 39) I = � 3 e e x x 2e x dx Đặt t = x e x � t e x , 2tdt e dx ,đổi cận 3 2t 1 t 1 dt 2t t I � dt dt � � 2t 3t 2t 1 t 1 3t t 2 3 2ln t ln 2t ln 40) I = � ln x � � x 2ln x � dx � 80 63 Do: ln( x4 + x2 ) -2lnx = ln [ x2.( 3x2+1 )] – lnx2 Th.S: MAI THÀNH LONG ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM xdx � � u ln x du � � ln x 1 dx Đặt: �� = ln( 3x2 + ), nên I = � 3x � � dv dx � � vx 1 6x2 4ln ln I x.ln 3x 1 � dx J x 3 1 3 6x2 � � J � dx � dx x dx 2K � � � 3x � 3 3x 1� 3x 1 Với K = � 3x 1 dx Đặt x tan t � 3dx tan t dt 1 tan t �K dt � J � tan t 3 3 12ln 3ln 12 � x � x x u x e du dx x � � x x e � � e dx dx � � 41) I = � Đặt � dv x 2 � � v x 2 � � 2 x � Vậy I 1 x e x I � x.e x dx J 2 x 0 e � x Với J x.e dx � ux �du dx � � dv e x dx � v e x � Đặt � 1 � e x dx e x 0 e e 3e Vậy I = e J x e e 42) x x 2ln x ln x � e x x ln x (ln x x ln x x ) x x � x x ln x x dx e e x2 x dx �2 dx �2 dx A B x 1 x ln x x Th.S: MAI THÀNH LONG e ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM e 1 e 1 A �2 dx x x1 e e 1 e e d ln x 1 e x B� dx 2 � ln x x e 1 ln x x ln x 1 2e Vậy I = I e e 1 ... 2cot x 3cot x 1 tan � 1 1 22) I = 1 x 27) I = x � x3 x � dx �x e � � 1 x � 0� 1 42) � ln 3x � � x 2ln x � dx � x x 2ln x ln x � x x ln x dx Th.S: MAI THÀNH... sìn2u � � 2 � 2� 4 � �0 16 0 dx 10) I = � � � cos x.cos x � � � 4� 1 Ta có: cosx cos (x + ) = cosx ( cosx sinx) = cos2x (1- tanx) 2 => I = 3 d tan x dx 2� ... THÀNH LONG ĐH CÔNG NGHIỆP TPHCM � sin x � � � tan x x � ;cos x cos x � 1 tan x Ta có: tan � � 2 � � tan x � cos x � tan x tan x � tan x 1 => I = - 2 dx Đặt t = tanx
Ngày đăng: 06/12/2018, 14:27
Xem thêm: 42 bài toán vận dụng cao tích phân và nguyên hàm có Đáp Án
