BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 12 CÓ ĐÁP ÁN

BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN MẶT NĨN – KHỐI NĨN Định nghĩa mặt nón Cho đường thẳng  Xét đường thẳng l cắt  O khơng vng góc với  Mặt tròn xoay sinh đường thẳng l quay quanh  gọi mặt nón tròn xoay hay đơn giản mặt nón -  gọi trục mặt nón - l gọi đường sinh mặt nón - O gọi đỉnh mặt nón - Nếu gọi  góc l  2 gọi góc đỉnh mặt nón   2  1800  Hình nón khối nón P Cho mặt nón N với trục  , đỉnh O góc đỉnh 2 Gọi   mặt phẳng vng góc với  I khác O Mặt phẳng  P  cắt mặt nón theo đường tròn  C  có tâm I Gọi  P ' mặt phẳng vuông góc với  O Khi đó: - Phần mặt nón N giới hạn mặt phẳng  P   P ' với hình tròn xác định  C  gọi hình nón - Hình nón với phần bên gọi khối nón Diện tích hình nón thể tích khối nón - Diện tích xung quanh hình nón: S xq   Rl với R bán kính đáy, l độ dài đường sinh V   R h - Thể tích khối nón: với R bán kính đáy, h chiều cao Lý thuyết ngắn gọn thế, nhiên có nhiều tập vận dụng cao đòi hỏi khả tư cao BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Một hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB  1, đáy lớn CD  3, cạnh bên 2, BC  DA  Cho hình thang quay quanh AB vật tròn xoay tích bằng: V  V  V  3 A B C D V  3 Lời giải Trang Kẻ AH , BK vng góc với CD Gọi M , N điểm đối xứng H qua AD K qua BC tam giác MAD tam giác NBC tam giác vng cân có MA  AB  BN  AH  1 MA NB � �1 � � V   AH MN  �  AH MA   AH NB �  AH �MN   �  AH AB   3 � 3 �3 � � Chọn A BAD       90  , AD  a � Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có ADB  90 Quay ABCD quanh AB, ta vật tròn xoay tích là: 3 A V   a sin  B V   a sin  cos V   a3 C Lời giải � sin  cos D V   a3 cos 2 sin  Kẻ DH  AB, CN  AB Các tam giác vuông HAD NBC DH  CN  a.sin  AH  BN  a.cos  a � HN  AB  cos  Khi quay quanh AB, tam giác vuông AHD NBC tạo thành hai hình nón tròn xoay nên: 1 a sin  � � V   DH AH  �  DH HN   CN BN �  DH AB   a sin    a3 3 sin  cos � � Chọn C Bài 3: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi O’, O tâm hai hình vng ABCD A ' B ' C ' D ' O ' O  a Gọi V1 thể tích hình trụ tròn xoay đáy hai đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD, A ' B ' C ' D ' V2 thể tích hình nón tròn xoay đỉnh O’ đáy V1 đường tròn nội tiếp hình vng ABCD Tỉ số thể tích V2 là: A B C D.6 Lời giải Gọi M trung điểm AB tam giác OAM vng cân M R1  OA  ; R2  OM  2 � � �1 � V1  R12 h   3� � �2 � �: � V2  R h �4 � � � Trang Chọn D Bài 4: Cho ABC vuông cân C, nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AB.Xét điểm S nằm ngồi mặt phẳng  ABC  cho SA, SB, SC tạo với  ABC  góc 45 Hãy chọn phát biểu đúng: A Hình nón đỉnh S, đáy đường tròn ngoại tiếp ABC hình nón tròn xoay B Thiết diện qua trục hình nón tam giác vuông cân C Khoảng cách từ O đến thiết diện qua đỉnh  SAC   SBC  D Cả Lời giải Kẻ SO '   ABC  Ta có : SO ' A  SO ' B  SO ' C � SA  SB  SC ; O ' A  O ' B  O ' C Vậy, O’ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC nên O ' �O : A �  SBA �  450 SAB có SAB nên tam giác vuông cân S:B 1 OM  CB  CA  ON 2 Vì ABC vuông cân C nên kẻ OM  CA ON  CB thì: Chọn D Bài 5: Cho tứ diện OABC có OAB tam giác vng cân OA  OB  a, OC  OC   OAB  a Xét hình nón tròn xoay đỉnh C, đáy đường tròn tâm O, bán kính A Hãy chọn phát biểu sai: a A Đường kính hình nón B Khoảng cách từ O đến thiết diện  ABC  C Thiết diện  ABC  tam giác a D Thiết diện (ABC) hợp với đáy góc 45 Lời giải Tam giác OAB vuông cân O nên AB  a OAC : AC  OA2  OC  a  a 3a a  ; AC  2 Vì AB �AC : sai Chọn C Bài 6: Hình nón tròn xoay nội tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng: S xq  A Lời giải  a B S xq   a C S xq   a D S xq  2 a Gọi S ABC tứ diện cạnh A Trang Gọi H trung điểm cạnh BC SO   ABC  SH  a Kẻ đường sinh hình nón Ba điểm A, O, H thẳng hàng 1 a a AH   3 a a  a2 S xq   OH SH    HO  Chọn A Bài 7: Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng: A S xq   a2 B S xq   a2 C S xq   a2 3 D S xq   a2 Lời giải Kẻ SO   ABC  , SH  BC � OH  BC Ta có: OA  2 a a AH   3 S xq   OA.SA   S xq  a a  a2 3 Chọn C Bài 8: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy đường tròn tâm O, bán kính R  Một thiết diện qua đỉnh S tạo thành tam giác SAB cho tam giác SAB đều, cạnh Khoảng SAB  cách từ O đến thiết diện  là: d 13 A Lời giải SO   OAB  , B d 13 C d  D d 13 kẻ SH  AB � OH  AB AB   SOH  �  SAB    SOH  Kẻ OI  SH OI   SAB  nên d  OI SOA : OS2  64  25  39 ; OHA : OH  25  16  1 1 16 �      � OI  2 OI OH OS 39 117 Chọn B Trang Bài 9: Hình nón tròn xoay có trục SO  R với R bán kính đáy, thiết diện qua trục hình nón tạo thành tam giác SAB tam giác Gọi I trung điểm SO E, F �SO EI FI   cho EO FO Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón điểm: A I B E C F D O Lời giải Gọi O ' tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón thì: r  O 'S  O' A  O 'B Ta có: OO '  OS  r  R  OO '  R  R cos30 2R R  3 R OO ' OO ' �   �  OI OI R 3 Vậy O ' �E Chọn B CHỦ ĐỀ MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ Định nghĩa mặt trụ - Cho đường thẳng  Xét đường thẳng l song song với  , cách  khoảng R Khi đó: Mặt tròn xoay sinh đường thẳng l gọi mặt trụ tròn xoay hay đơn giản mặt trụ -  gọi trục mặt trụ, l gọi đường sinh R gọi bán kính mặt mặt trụ Hình trụ khối trụ T Cắt mặt trụ   trục  , bán kính R mặt phẳng phân biệt  P   P ' vng góc với  C , C' ta giao tuyến hai đường tròn     a) Phần mặt trụ  T  nằm hai mặt phẳng  P   P ' với hai hình tròn xác định  C  ,  C ' gọi hình trụ Trang - Hai đường tròn     gọi hai đường tròn đáy, hình tròn xác định chúng gọi mặt đáy hình trụ, bán kính chúng gọi bán kính hình trụ Khoảng cách mặt đáy gọi chiều cao hình trụ - Nếu gọi O O’ tâm hai hình tròn đáy đoạn OO’ gọi trục hình trụ - Phần mặt trụ nằm đáy gọi mặt xung quanh hình trụ b) Hình trụ với phần bên gọi khối trụ Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ Với R bán kính đáy, h chiều cao C , C' - Diện tích xung quanh hình trụ: S xq  2 Rh - Diện tích tồn phần hình trụ: Stp  S xq  2Sday  2 Rh  2 R - Thể tích khối trụ V   R h ( chiều cao nhân diện tích đáy) Trước hết tơi xin nhắc lại, hai đề Minh họa tháng 10 vừa Bộ Giáo dục Đào tạo , hai mức vận dụng thấp BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Từ tơn hình chữ nhật kích thước 50cm �240cm, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50cm theo hai cách sau (xem hình minh họa đây):  Cách 1: Gò tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng  Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gò thành mặt xung quanh thùng Kí hiệu V1 thể tích gò thùng theo cách V2 tổng thể tích hai gò thùng V1 V theo cách Tính tỉ số ↓ Trang V1  V A 2 V1 1 V B V1 2 V C V1 4 V D Lời giải Một đường tròn có bán kính r chu vi diện tích C  2 r; S   r Gọi chiều dài tơn a tổng diện tích đáy thùng theo cách là: 2 �a � � � a2 S V a S1  ; S  � � �  2�  4 4 8 S2 V2 Chọn C Bài 2: Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB  1, AD  Gọi M, N trung điểm AD, BC Quay hình chữ nhật xung quanh trụ MN, ta hình trụ Tính diện tích tồn phần hình trụ A Stp  4 B Stp  2 C Stp  6 D Stp  10 Trích đề minh họa THPT Quốc gia 2017 Lời giải Ta có Stp  S xq  2S day Ta có bán kính đường tròn r  MD  1, chiều cao l  CD  S  2 rl  2 , S   r � S  4 d Suy xq Chọn A Sau tìm hiểu tốn khó hồn tồn có đề thi THPT Quốc gia 2017 Bài 3: Cho AA ' B ' B thiết diện song song với trục OO’ hình trụ (A, B thuộc đường tròn tâm O) Cho biết AB  4, AA'=3 thể tích hình trụ V  24 Khoảng cách d từ O đến AA ' B ' B  mặt phẳng  là: A d 1 B d  Lời giải C d  D d  Trang OH   AA ' B ' B  Kẻ OH  AB AH  AB  2 Và 2 Ta có V   OA AA '  3 OA Mà V  24 � OA  OAH : d  OH  OA2  AH    � d  O,  AA'B'B    d  Chọn B Bài 4: Giả sử viên phấn viết bảng có dạng hình trụ tròn xoay đường kính đáy 1cm, chiều dài 6cm Người ta làm hộp carton đựng phấn dạng hình hộp chữ nhật có kích thước �5 �6cm Muốn xếp 350 viên phấn vào 12 hộp, ta kết khả sau: A Vừa đủ B Thiếu 10 viên C Thừa 10 viên D Khơng xếp Lời giải Vì chiều cao viên phấn 6cm, nên chọn đáy hộp carton có kích thước �6 Mỗi viên phấn có đường kính 1cm nên hộp ta đựng 5.6=30 viên Số phấn đựng 12 hộp là: 30 �12  360 viên Do ta có 350 viên phấn nên thiếu 10 viên, nghĩa đựng đầy 11 hộp, hộp 12 thiếu 10 viên Chọn B Bài 5: Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao A Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường đáy tâm O’ lấy điểm B cho AB  A Tính thể tích khối tứ diện OO ' AB a3 A 12 a3 B 12 5a 3 C 12 a3 D Lời giải Kẻ đường sinh AA’ Gọi D điểm đối xúng A’ qua O’ H hình chiếu vng góc B đường thẳng A’D �BH  A ' D � BH   AOOA ' � �BH  AA ' Do đó, BH chiều cao tứ diện OO ' AB OO ' AB : V  SAOO ' BH Thể tích khối tứ diện 2 2 Tam giác AA ' B vuông A’ cho: A ' B  AB  A ' A  4a  a  a 2 2 Tam giác A ' B  A ' D  A ' B  4a  3a  a Trang Suy BO ' D tam giác cạnh A a Từ Do OA  OO'=a nên tam giác AOO ' BH  vuông cân O Diện tích tam giác AOO ' là: 1 SAOO '  OA.OO'= a 2 a a3 V a  2 12 Vậy Chọn A � AB, AC   600  ABC A ' B ' C ', AB  5, AC  ABC Bài 6: Cho lăng trụ đáy tam giác có góc V , V ' Gọi thể tích khối lăng trụ ngoại tiếp nội tiếp khối lăng trụ cho Tính V' ? tỉ số V A 49 B 19 C 49 D 29 49 Lời giải Áp dụng đinh lý cosin tam giác ABC ta c BC  AB  AC  AB AC.cos600  25  64  2.5.8  49 1 S  AB AC.sin 600  5.8  10 2 Diện tích tam giác ABC là: Mặt khác: S ABC  AB AC.BC , 4R với R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trang � R  AB AC.BC 5.8.7   S ABC 4.10 Ngồi ra: S ABC  pr , �r  p  AB  BC  AC   10 r bán kính đường tròn nội tiếp S ABC 10   p 10 tam giác ABC Hình trụ ngoại tiếp nội tiếp lăng trụ cho có bán kính đáy R, r có chiều cao chiều cao hình lăng trụ 2 Giả sử h chiều cao hình lăng trụ, ta có: V   R h V   r h V'  Vậy V 49 Chọn A Bài 7: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a chiều cao h nội tiếp khối trụ Tính thể tích khối trụ  2a h B  a2h A  5a h C  2a h D Lời giải Hình trụ có đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do ABC tam giác cạnh a nên hình trụ có bán kính là: 2 a a AM   3 với M  AO �BC R  OA  Chiều cao hình trụ chiều cao lăng trụ h Vậy thể tích khối trụ là: �a �  a h V R h  � �3 � �h  � � Chọn A Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy R có thiết diện qua trục hình vng Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp khối trụ cho 3 3 A 4R B 2R C 3R D R Lời giải Giả sử ABCDA ' B ' C ' D ' khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho Từ giả thiết, suy hình trụ có chiều cao h  R đáy ABCD hình vng nội tiếp đường tròn bán kính R Trang 10 Chọn A Bài 18: Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm tam giác ABC ; mặt phẳng  SAB  ;  SAC  ;  SBC  tạo với mặt phẳng  ABC  góc Biết AB  25, BC  17, AC  26, đường thẳng SB tạo với đáy góc 450 Tính thể tích V khối chóp SABC A V  680 B V  408 C V  578 D V  600 Lời giải Gọi J chóp chân đường cao hình S ABC; H , K L hình chiếu J cạnh AB, BC CA � � � Suy SHJ , SLJ SKJ góc ABC  tạo mặt phẳng  với mặt phẳng  SAB  ,  SAC  ,  SBC  � � � Theo giả thiết ta có: SHJ  SLJ  SKJ , suy tam giác vuông SJH , SJL, SJK Từ đó, JH  JL  JK Mà J nằm tam giác ABC nên J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Áp dụng cơng thức Hê- rơng, ta tính diện tích tam giác ABC S  204 Kí hiệu P nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính đường tròn nội tiếp ABC Ta có S 204   P 34 Đặt x  BH  BL, y  CL  CK , z  AH  AK r �x  y  � �x  z  25 �y  z  26 Ta có hệ phương trình: �  x; y; z    8;9;17  Giải hệ phương trình ta JB  JH  BH  62  82  10 �  � SBJ SB,  ABC    450 , Ta có suy SJB tam giác vuông cân J SJ  JB  10 V  SJ S ABC  680 Thể tích V khối chóp S ABC Chọn A Trang 57 ĐỀ SỐ Bài 1: Một hình hộp có mặt hình thoi có góc 60 cạnh a Tính thể tích hình hộp a3 A a3 B a3 C a3 2 D Lời giải Ta có: AB  AD  BD  a; AA'=A'B=A'D=a � A ' ABCD tứ diện � Chân đường cao A ' H trùng với tâm tam giác ABD 2 a a AO   3 3a 2 a 2 2 � A ' H  A ' A  AH  a   a � A'H  3 2a V Từ tìm � HA  HB  HD  Chọn B Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC, mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi V1 thể V1 ? tích khối chóp SABCD Tìm giá trị nhỏ V Trang 58 A B C D Lời giải Đặt x SM SN ;y ,   x, y �1 SD SB Khi ta có: V V  SANP 2VSABC VSABC  VSADC  VSABD  VSBCD  V1 VSAMPN VSAMP  VSANP VSAMP    V V 2VSADC Ta có: V �SM SP SN SP �  �  �  x  y   1 �SD SC SB SC � V V1 VSAMPN VSAMN 1� �    SMNP  �xy  xy �  V 2VSABD 2VSBCD � � Lại có: V Từ x x xy � y  ,  y� 1 x 3x  3x  V1 3 x 3x �1 �  xy  x   f  x  , � �x �1� V 4 x   x  1 �2 �  1 ,   �  x  y   Từ   suy ra: �1 � �2 � V y  f  x  , � �x �1�� f  x   f � � �  V �2 � �x �1 �3 � Khảo sát hàm số: Chọn B Bài 3: Nếu tứ diện có cạnh có độ dài lớn thể tích tứ diện lớn bao nhiêu? A B C D Lời giải Giả sử tứ diện ABCD có cạnh lớn AB , suy tam giác ACD BCD có tất cạnh khơng lớn Các chiều cao AF BE chúng không lớn CD  a �1 1 a2 , a2 AH �AF �  Chiều cao hình tứ diện Trang 59 (do tam giác AHF vng H có AF cạnh huyền) Thể tích khối tứ diện là: 1 1 � a2 � V  S BCD AH  BE.CD AH � a �  � a   a  3 � � 24 Để tìm giá trị lớn V ta xét biểu thức Vì �a �1 nên Chọn C a   a  �3 a   a2  1 V � a   a2  � 24 Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với  ABCD  Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a A a 21 B a C a 21 D Lời giải R S    RntSAB    RntABCD  2 �AB � a 21  � � �2 � Trong đó: + RntSAB bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB + RntABCD bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD +  SAB  � ABCD   AB Chọn D Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A ' lên mặt phẳng  ABC  trùng với tâm G tam giác ABC Biết khoảng cách a AA ' BC Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' a a3 a3 V V V 12 A B C a3 V 36 D Lời giải Gọi M trung điểm B � BC   A ' AM  Trang 60 Gọi H , K hình chiếu vng góc G , M AA ' Vậy KM đoạn vng góc chung AA’ BC, đó: d  AA ', BC   KM  AGH : AMK � a KM a  � GH  KM  GH AA 'G vuông G, HG đường cao, a3 VABC A ' B 'C '  S ABC A ' G  12 A 'G  a Chọn C Bài 6: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, đường thẳng SA vng góc P với mặt đáy SA  2a Gọi   mặt phẳng qua B vng góc với SC Khi diện tích thiết diện hình chóp S ABC cắt mặt phẳng  P  là: a2 A 10 a 15 B a 15 C 15 a 15 D 20 Lời giải Gọi M trung điểm AG Kẻ BN vng góc SC N Khi đó: Thiết diện cần tìm tam giác BMN vng M Ta có: CMN : CSA � MN CM a  � MN  SA CS a 15 Vậy: Diện tích tam giác BMN 20 Chọn D Bài 7: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BC  2a Tam giác SAB có � góc ASB  60 , SB  a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SAC  Trang 61 A a Lời giải B 2a 19 C a 19 D 2a 16  SAB    ABC  ,  SAB  � ABC   AB; BC  AB � BC   SAB  Trong mp  SAB  kẻ BH  SA Trong tam giác BCH kẻ BK  CH Ta có: BK   SAC  SAC  Vậy khoảng cách từ B đến  BK BH  SB.sin 600  a ; Xét tam giác vng CBH, ta có: 1   � BK  2a 2 BK BH BC 19 d  B,  SAC    2a 19 Vậy Chọn B Bài 8: Cho khối trụ tam giác ABCA1 B1C1 có đáy tam giác cạnh a, A1 A  2a A1 A tạo với ABC  mặt phẳng  góc 60 Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA a3 A a3 B a3 C a3 D Lời giải ABC  Gọi H hình chiếu A1 mặt phẳng  � Khi A1H  A1 A.sin A1 AH  2a.sin 60  a Mà VLT  A1 H S ABC  a a 3a  4 nhận thấy khối lăng trụ chia làm ba khối chóp Trang 62 1 V  V V  VLT B ABC LT ' B ABC 1 3 Khối chóp CA1 B1C1 có ; khối chóp B1 ABC có a3 VA1B1AC  VLT  Khối chóp A1 B1CA Chọn A Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy góc SC với mặt phẳng  SAB  30 Gọi M điểm di động cạnh CD H hình chiếu vng góc S đường thẳng BM Khi điểm M di động cạnh CD thể tích khối chóp SABH đạt giá trị lớn bằng: a3 A a3 B a3 C a3 D 12 Lời giải � SAB  Ta có góc SC mặt phẳng  CSB  30 Trong tam giác SBC có SB  BC.cot 30  a 2 Trong tam giác SAB có SA  SB  AB  a 1 a VS ABH  S ABH SA  HA.HB.a  HA.HB 3 Thể tích khối chóp S ABH là: 2 2 Ta có HA  HB  AB  a theo bất đẳng thức AM  GM ta có: a2 a � HA  HB HA.HB HA.HB � � ABM Đẳng thức xảy HA HB 2 VS ABH  450 M D a a a a HA.HB �  6 12 Khi Chọn D Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho V 15 18 V 15 54 V 3 27 V A B C D Lời giải Đặt R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Dựng hình bên với IG trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IG’ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Trang 63 5 Ta có: G'H  3 ; GH  � IH  6 R  IH  HA2  15 15 � V   R3  54 Do vậy, Chọn B Bài 11: Bài thể tích liên quan đến cực trị: Cho hình chóp S ABCD, SA đường cao, đáy hình chữ nhật với SA  a, AB  b, AD  c SDB  Trong mặt phẳng  lấy G trọng tâm tam giác SDB , qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS M, cắt cạnh SD N, mp  AMN  cắt SC K Xác định M thuộc SB cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhỏ Hãy tìm giá trị lớn nhỏ A C abc abc , VSAMKN �min  abc abc  , VSAMKN �min  10 VSAMKN �max  VSAMKN �max B D abc abc ,VSAMKN �min  10 abc abc  , VSAMKN �min  10 11 VSAMKN �max  VSAMKN �max Lời giải Trang 64 Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD SO Ta có: K  AG �SC K trung điểm SC VSMAK SM SA SK SM SM SM  � VSMAK  VSBAC  VSBAC  a.b.c VSBAC SB SA SC SB SB 12 SB SN VSNAK  a.b.c 12 SC Tương tự SG  Do đó: VSAMKN  �SM SN � a.b.c �  � 12 �SB SC � Trong mp  SBD  : S SMN SM SN S SMG  S SGN S S SG.SM SG.SN SM SN �SM SN �    SMG  SGN   �  �  � S SBD SB SC 2S SBO S SBO 2S SBO 2.SO.SB 2.SO.SB SB.SC �SB SC � Trang 65 SB ��� SM�  SB Do M, N nằm cạnh SB, SD nên: SN � SN � SN t SM �1 � t , � �t �1� t  � t  �� SN �2 �thì SC � SC � SC 3t  Đặt Nhận thấy Ta có VSAMKN f ' t   1 đạt GTLN, GTNN nếu:  3t  1  f  t  SM SB SM SN t  t �t �1 SB SC 3t  với 9t  6t  3t  1 �2 � �1 � f � � , f  1  , f � � f ' t   � t  ,t  �3 � 3 Nên (loại) �2 � abc VSAMKN  GTLN M trung điểm SB M trùng với B Do abc VSAMKN  GTNN MB chiếm phần SB Chọn A Bài 12: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a, thể tích khối lăng a3 trụ Tính khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC ' a 21 a 22 a 23 A B C a 24 D Lời giải VABC A' B 'C ' =AA'.S ABC Do AA '/ / BB ' nên 3 VABC A' B ' C ' a � AA '   a S ABC a AA '/ /  BB ' C ' C  d AA ', BC '  d  AA ',  BB ' C ' C    d  A,  BB ' C ' C   Suy ra:  Hạ AH  A ' M � AH   BB ' C ' C  , AM  BC AA '  BC Suy ra: BC   BCC ' B ' �  A ' AM    BCC ' B ' Hạ AH  A ' M � AH   BCC ' B ' Do d  A,  BB ' C ' C    AH 1 1 a 21      � AH  2 AM A' A a 3a 3a Ta có: AH Chọn A Bài 13: Cho hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R Xác định chiều cao bán kính đáy để hình trụ tích lớn A r R B r R C r R D r Trang 66 R Lời giải Gọi h chiều cao hình trụ, r bán �h � 2 � � r  R kính đáy hình trụ Ta có: �2 � Thể tích hình trụ là: Xét hàm: V   r 2h   R2h   V  h    r 2h   R2h   V ' h   R2   3h h3 h3 ; 4h ; 3h R 2 3R 0�h  3 3R h V  h  đạt giá trị lớn Từ bảng biến thiên ta có V ' h  �  R2   r Suy Chọn B R Bài 14: Một hình trụ có bán kính đáy R chiều cao R Hai điểm A B nằm hai đường tròn đáy cho góc AB trục hình trụ 30 Tính khoảng cách AB trục hình trụ R A R B 3R C 2R D Lời giải Kẻ BB '/ /OO ' cắt đường tròn  O  B ' � Góc AB OO’ góc ABB '  30 Hạ OH vng góc AB Khoảng cách AB OO’ khoảng cách OO’  ABB ' OO '/ /  ABB ' d OO',AB   d  OO',  ABB'    OH Khi  AB '  R � OH  OA2  AH  R Chọn B Bài 15: Với miếng tơn hình tròn có bán kính R  6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình tròn Trang 67 gấp phần lại thành hình nón (Như hình vẽ) Hình nón tích lớn người ta cắt cung tròn hình quạt bằng: A 4 6cm B 6 6cm C 2 6cm D 8 6cm Lời giải Gọi x,  x   chiều dài cung tròn phần xếp làm hình nón Như vậy, bán kính R hình nón đường sinh hình nón đường tròn đáy hình nón có độ dài x Bán kính r đáy xác định đẳng thức 2 r  x � r  Chiều cao hình nón tính theo Định lý Pitago là: x 2 h  R2  r  R2  x2 4 2 1 �x � x2 V   r 2h   � � R2  3 �2 � 4 Thể tích khối nón: Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: �x x2 x2 �  R  2 2 �  2 � 4 R � x � 4 8 4 x x   V  � � �R  �� 8 8 � 4 � � � 27 � � � � 2 x x 2 2  R2  � x  R 6 6  4 4 3 Do V lớn khi: 8 Chọn A (Lưu ý sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhiên lời giải dài hơn) Bài 16: Có miếng nhơm hình vng, cạnh 3dm, người dự định tính tạo thành hình trụ (khơng đáy) theo hai cách sau: Cách 1: Gò hai mép hình vng để thành mặt xunng quanh hình trụ, gọi thể tích khối trụ V1 Trang 68 Cách 2: Cắt hình vng làm ba gò thành mặt xung quanh ba hình trụ, gọi tổng thể tích chúng V2 V1 Khi đó, tỉ số V2 là: A Lời giải C B D 3 27 � V   R h  1 2 4 Gọi R1 bán kính đáy khối trụ thứ nhất, có: 2 R2  � R2  � V2   R2 h  R 2 4 Gọi bán kính đáy khối trụ thứ hai, có: 2 R1  � R1  Chọn A Bài 17: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD C hình thang nội tiếp đường tròn   tâm I, cho biết �  600 AB / / CD, CD  AB, CDA Giả sử thể tích khối v , S ABCD chóp tính thể tích khối nón đỉnh C S đáy hình tròn   4 v 3 A 5 v 3 B Trang 69 8 v 3 D 7 v 3 C Lời giải Do hình chóp hình nón cho có đường cao nên tỷ số thể tích khối chóp khối  AB  DC  AH k2  r2 nón tỉ số diện tích hai đáy, tức Dễ thấy tâm I trung điểm CD, đơn giản cho AB  ta có Chọn A k  3 2 4  1 2 Bài 18: Cho cốc có dạng nón cụt, biết miệng cốc đáy cốc có bán kính 4cm 3cm, chiều cao cốc 10cm chiều cao nước cốc 7cm thể tích nước cốc bao nhiêu? 8113   ml  A 300 25900   ml  C 300 39823   ml  B 300 23653   ml  D 300 Lời giải V h 2  R  r  rR  IF FB  � IF=2,8cm IDC có DC BC EI DE CF EI / / AB �   AB DA FB DAB có � EI  0,9cm  EF=3,7cm 7 23653 V 3, 72  32  3, 7.3    300 IF / / CD � Chọn D Bài 19: Người thợ cần làm bể cá hai ngăn, khơng có nắp phía với thể tích 1, 296m Người thợ cắt kính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c hình vẽ Hỏi người thợ phải thiết kế kích thước a, b, c bao Trang 70 nhiêu để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dày kính khơng đáng kể A a  3, 6m; b  0, 6m; c  0, 6m B a  2, 4m; b  0, 9m; c  0, 6m C a  1,8m; b  1, 2m; c  0, 6m D a  1, 2m; b  1, 2m; c  0,9m Lời giải V  abc  1, 296  1 Với a chiều dài ngăn bể cá Ta có: a a abc abc abc �a �a S  � c  bc � b  c  bc  b  2ac  3bc  ab  3  �abc3 2 b a c abc �2 �2 � a b � �   �� b a a c � c � Dấu “=” xảy Thay vào Chọn C  1 : 3 1, 296.4 b  1, 296 � b3  � b  ; a  1,8; c  0, Trang 71 ... tích khối nón: với R bán kính đáy, h chiều cao Lý thuyết ngắn gọn thế, nhiên có nhiều tập vận dụng cao đòi hỏi khả tư cao BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Một hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB  1, đáy... với dưa hấu hình cầu, người ta dùng ống kht thủng lỗ hình trụ chưa rõ bán kính xuyên qua trái dưa hình vẽ ( hình có AB đường kính trái dưa) Biết chiều cao lỗ 12cm ( hình trên, chiều cao độ dài... 288 cm Lời giải Đặt r bán kính hình cầu Chiều cao lỗ 12 nên chiều cao chỏm cầu lag r  6 D 144 cm Bán kính chỏm cầu, bán kính đáy hình trụ là: r  36 Thể tích hình trụ 12  r  36    2