ThS. Nguyễn Văn Bảy - PP TÍNH TÍCH PHÂN

TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC TOÏM TÀÕT PHÆÅNG PHAÏP TÊNH TÊCH PHÁN NGUYÃN HAÌM 1. Định nghĩa: F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên D nếu F’(x) = f(x), ∀ x ∈ D 2. Các tính chất: 1) ( ∫ dxxf )( )’ = f(x) 2) ∫ dxxaf )( = a ∫ dxxf )( 3) ∫ ∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([( 4) ∫ ∫ +=⇒+= CuFduufCxFdxxf )()()()( 3. Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp: Nguyên hàm các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp tương ứng (dưới đây u = u(x)) ∫ += Cxdx ∫ + + = + C x dxx 1 1 α α α ( α ≠-1) ∫ += Cxdx x ln 1 (x ≠ 0) ∫ += Cedxe xx ∫ += C a a dxa x x ln (0 < a ≠ 1) ∫ += Cxxdx sincos ∫ +−= Cxxdx cossin ∫ += Cxdx x tan cos 1 2 ∫ +−= Cxdx x cot sin 1 2 ∫ += Cudu ∫ + + = + C u duu 1 1 α α α ( α ≠ -1) ∫ += Cudu u ln 1 (u ≠ 0) ∫ += Cedue uu ∫ += C a a dua u u ln (0 < a ≠ 1) ∫ += Cuudu sincos ∫ +−= Cuudu cossin ∫ += Cudu u tan cos 1 2 ∫ +−= Cudu u cot sin 1 2 K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 1- ThS. Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC Hệ quả: Nguyên hàm các hàm số sơ cấp Nguyên hàm các hàm số sơ cấp ∫ + + + =+ + C 1 )bax( . a 1 dx)bax( 1 α α α (α ≠ -1) ∫ ++= + Cbaxln a 1 dx bax 1 ∫ += ++ Ce a 1 dxe baxbax ∫ += + + C aln a . m 1 dxa nmx nmx ∫ ++=+ C)baxsin( a 1 dx)baxcos( ∫ ++−=+ C)baxcos( a 1 dx)baxsin( ∫ ++= + Cbax a dx bax )tan( 1 )(cos 1 2 ∫ ++−= + Cbax a dx bax )cot( 1 )(sin 1 2 ÂËNH NGHÉA TÊCH PHÁN I. Định nghĩa tích phân: ∫ −== b a b a aFbFxFdxxf )()()()( II. Các tính chất: (1) ∫ = a a dxxf 0)( (2) ∫ ∫ −= b a a b dxxfdxxf )()( (3) ∫ ∫ = b a b a dxxfkdxxkf )()( (4) ∫ ∫ ∫ ±=± b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ (5) ∫ ∫ ∫ += c a b a c b dxxfdxxfdxxf )()()( K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 2- ThS. Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC (6) f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a; b] ⇒ ∫ ≥ b a dxxf 0)( (7) f(x) ≥ g(x), ∀ x ∈ [a; b] ⇒ ∫ ∫ ≥ b a b a xgdxxf )()( (8) m ≤ f(x) ≤ M , ∀ x ∈ [a; b] ⇒ ∫ −≤≤− b a abMdxxfabm )()()( PHÆÅNG PHAÏP TÊNH TÊCH PHÁN I. Phương pháp đổi biến số: 1. Đổi biến dạng 1: Dạng : Tính tích phân: ∫ = b a dxxfI )( + Đặt x = u(t) ⇒ dx = u’(t)dt. + Đổi cận: x = a ⇒ t = α và x = b ⇒ t = β Khi đó: ∫∫ == β α dttutufdxxfI a a )(')]([)( Các dạng toán thường gặp : Bài toán 1: 2 2 I a x dx β α = − ∫ Đặt x = asint, t ∈ ; 2 2 π π   −     Bài toán 2: 2 2 1 I dx a x β α = − ∫ Đặt x = asint, t ∈ ; 2 2 π π   −  ÷   K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 3- ThS. Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài toán 3: 2 2 1 ( ) I dx a x b β α = − − ∫ Đặt x – b = asint, t ∈ ; 2 2 π π   −  ÷   Bài toán 4: 2 2 1 I dx a x β α = + ∫ Đặt x = atant, t ∈ ; 2 2 π π   −  ÷   Bài toán 5: 2 1 ' ' ' I dx a x b x c β α = + + ∫ với phương trình a’x 2 + b’x + c’ = 0 vô nghiệm. Ta viết lại : 2 2 1 1 ' ( ) I dx a a x b β α = + + ∫ Đặt x+b = atant, t ∈ ; 2 2 π π   −  ÷   2. Đổi biến dạng 2: Dạng : Tính tích phân: ( ). ' b a I f u u dx = ∫ + Đặt t = u(x) ⇒ dt = u’(x)dx + Đổi cận: x = a ⇒ t = α và x = b ⇒ t = β ∫ =⇒ β α dttfI )( 2. Phương pháp tích phân từng phần: a) Công thức vi phân: ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv . trong đó u, v là các hàm số ẩn x có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b]. b) Phương pháp giải toán bằng phương pháp tích phân từng phần: Tính tích phân: ∫ = b a dxxgxfI )]()([ K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 4- ThS. Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC + Đặt:    = = ⇒    = = )( )(' )( )( xGv dxxfdu dxxgdv xfu + Khi đó: ∫∫ −== b a b a b a vduvudxxgxfI .)().( ∫ −= b a b a dxxfxGxGxf )(')()().( c) Một số dạng toán áp dụng thuật toán tích phân từng phần: Xét P(x) là một đa thức biến x, ta có các dạng toán áp dụng công thức tích phân tứng phần sau đây Dạng 1: dx x x e xpI b a x ∫ = cos sin).( PP: Đặt: u = P(x) và dv = xcos xsin e x dx Dạng 2: dx x x eI b a x ∫ = cos sin . PP: Đặt u = e x và dv = xsin xcos dx và thực hiện hai lần tích phân từng phần. Dạng 3: ∫ = b a xdxxPI ln).( PP: Đặt u = lnx và dv = P(x). K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 5- ThS. Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHÁN LOAÛI PHÆÅNG PHAÏP GIAÍI TOAÏN TÊCH PHÁN TÊCH PHÁN HAÌM HÆÎU TYÍ I. Tích phân hàm phân thức máùu bậc nhất: Dạng 1: A = dx bax ∫ + β α 1 PP: β α β α β α bax abax baxd a dx bax += + + = + ∫∫ ln 1)(11 Dạng 2: ( ) ax f x B dx b β α = + ∫ PP: Cách 1: Ta thực hiện phép chia đa thức để viết tích phân về dạng: ( ) ( ( ) ) ax ax f x c B dx g x dx b b β β α α = = + + + ∫ ∫ Cách 2: Đổi biến bằng cách đặt t = ax + b Dạng 3: C = dx bax k ∫ + β α )( 1 ( k ≠ 1) PP: Cách 1: ∫∫∫ ++= + + = + − β α β α β α )()( 1 )( )(1 )( 1 baxdbax a bax baxd a dx bax k kk = 1 1 1 1 . 1 (ax ) k a k b β α − − + Cách 2: Đổi biến bằng cách đặt: t = ax + b K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 6- ThS. Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC II. Tích phân hàm phân thức mẫu là tam thức bậc hai: TH1: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x = x 1 và x = x 2 . Dạng 1: ∫ ++ β α dx bxax ))(( 1 PP: Ta viết tích phân dưới dạng: ∫∫∫       + − +− = ++ +−+ − = ++ β α β α β α dx bxaxab dx bxax axbx ab dx bxax 111 ))(( )()(1 ))(( 1 Dạng 2: dx cbxax nmx ∫ ++ + β α 2 PP: Ta viết tích phân dưới dạng: dx xx B xx A a dx xxxxa nmx dx cbxax nmx ∫∫∫ − + − = −− + = ++ + β α β α β α )( 1 ))(( 2121 2 Dạng 3: dx cbxax )x(f 2 ∫ ++ với f(x) là đa thức bậc lớn hơn 1. PP: Ta viết tích phân dưới dạng: 2 1 2 1 2 ( ) ' ' 1 ( ( ) ) ( ) ( ) ( )( ) f x m x n A B dx h x dx h x dx dx ax bx c a x x x x a x x x x β β β β α α α α + = + = + + + + − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ TH2: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm kép x = x 0 . Bằng cách viết lại: ax 2 + bx + c = a(x - x 0 ) 2 . Ta có: 2 ( )f x I dx ax bx c β α = + + ∫ 2 0 1 ( ) ( ) f x dx a x x β α = − ∫ Dùng phương pháp đổi biến đặt t = x – x 0 K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 7- ThS. Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC TH3: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm. Dạng 1: dx cbxax ∫ ++ β α 2 1 Bài toán 1: 2 2 1 I dx a x β α = + ∫ Đặt x = atant, t ∈ ; 2 2 π π   −  ÷   Bài toán 2: 2 1 ' ' ' I dx a x b x c β α = + + ∫ Ta viết lại : 2 2 1 1 ' ( ) I dx a a x b β α = + + ∫ Đặt x+b = atant, t ∈ ; 2 2 π π   −  ÷   Dạng 2: dx cbxax nmx ∫ ++ + β α 2 PP: Ta viết tích phân dưới dạng: dx cbxax M cbxax cbxaxd dx cbxax nmx ∫∫∫ ++ + ++ ++ = ++ + β α β α β α 22 2 2 )( Dạng 3: dx cbxax )x(f 2 ∫ ++ với f(x) là đa thức bậc lớn hơn 1. PP: Ta viết tích phân dưới dạng: 2 2 ( ) ' ' ( ( ) ) f x m x n dx h x dx ax bx c ax bx c β β α α + = + + + + + ∫ ∫ K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 8- ThS. Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC TÊCH PHÁN HAÌM VÄ TYÍ I. Các dạng toán dùng phương pháp đổi biến: 1. Dưới căn thức là nhị thức bậc nhất: Dạng : ( , ) n I f x ax b dx β α = + ∫ Biểu thức ( , ) n f x ax b + chỉ chứa các lũy thừa của x và các lũy thừa của n ax b + PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t = n bax + 2. Dưới căn thức là biểu thức có bậc lớn hơn một: Dạng : 1 ( , ). k n k k I f x ax b x dx β α − = + ∫ Biểu thức ( , ) k n k f x ax b + chỉ chứa các lũy thừa của x k và các lũy thừa của n k ax b + . PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t = n k ax b+ 2. Có nhiều dấu căn thức của cùng một biểu thức: Dạng : 1 ( , ). m k n k k I f ax b ax b x dx β α − = + + ∫ Biểu thức ( , ) m k n k f ax b ax b + + chỉ chứa các lũy thừa của m k ax b + và các lũy thừa của n k ax b + . PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t = mn k ax b+ II. Một số bài toán đặc biệt cần nhớ: Bài toán 1: 2 2 I a x dx β α = − ∫ PP : Dùng phương pháp đổi biến : Đặt x = asint, t ∈ ; 2 2 π π   −     K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 9- ThS. Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài toán 2: 2 2 1 I dx a x β α = − ∫ PP : Dùng phương pháp đổi biến : Đặt x = asint, t ∈ ; 2 2 π π   −  ÷   Bài toán 3: 2 2 1 ( ) I dx a x b β α = − − ∫ PP : Dùng phương pháp đổi biến : Đặt x – b = asint, t ∈ ; 2 2 π π   −  ÷   Bài toán 4: I = ∫ + β α dx kx 2 1 PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt kxxt ++= 2 Bài toán 5: I = ∫ ++ β α dx cbxax 2 1 , với a > 0. PP: Ta viết tích phân dưới dạng: ∫ ++ β α dx cbxax 2 1 = ∫ ++ β α dx k)mx( 1 a 1 2 PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t = x + m đưa về bài toán 4. Bài toán 6: I = ∫ + β α dxkx 2 PP: Dùng phương pháp tích phân từng phần: Đặt 2 2 x du dx u x k x k dv dx v x  =    = + ⇒ +   =    =  K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 10- ThS. Nguyễn Văn Bảy [...]... a K64, H2/11 - Lấ èNH Lí - NNG D: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 2 0- ThS Nguyn Vn By TI LIU LUYN THI I HC K64, H2/11 - Lấ èNH Lí - NNG D: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 2 1- ThS Nguyn Vn By TI LIU LUYN THI I HC K64, H2/11 - Lấ èNH Lí - NNG D: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 2 2- ThS Nguyn Vn By TI LIU LUYN THI I HC K64, H2/11 - Lấ èNH Lí - NNG D: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn... sin x I = p ( x) dx cos x a s inx dx PP: Dựng pp tớch phõn tng phn: t u = P(x) v dv = cos x b Bi toỏn 4: I = ex a sin x dx cos x s inx PP: Dựng pp tớch phõn tng phn: t u = v dv = exdx cos x Bi toỏn 3: I = ax + b dx 2 s in x PP: Dựng pp tớch phõn tng phn: t u = ax + b v dv = 1 dx s in 2 x K64, H2/11 - Lấ èNH Lí - NNG D: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 1 4- ThS Nguyn Vn By TI LIU LUYN THI I... inx).cos xdx PP: Dựng phng phỏp i bin t t = sinx Bi toỏn 2: f (cos x).sin xdx PP: Dựng phng phỏp i bin t t = cosx Bi toỏn 3: f (t anx) 1 dx 2 cos x PP: Dựng phng phỏp i bin t t = tanx Bi toỏn 4: f (cot x) 1 dx 2 sin x PP: Dựng phng phỏp i bin t t = cotx Bi toỏn 5: f (sin 2x,sinx + cos x)(s inx cos x)dx K64, H2/11 - Lấ èNH Lí - NNG D: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 1 3- ThS Nguyn... dx PP: i bin t = ex I 2 = f (eax , e ax + c ).e ax dx Bi toỏn 2: PP: i bin t = e ax + c Bi toỏn tng quỏt: I 2 = f (eu ).(u ' eu ) dx PP: i bin t = eu 3 Phng phỏp tớch phõn tng phn : Bi toỏn 1 : x I = e f ( x)dx PP: t u = f ( x) x dv = e dx tớnh tớch phõn tng phn Bi toỏn 2 : x I = e sin xdx u = sin x PP: t tớnh tớch phõn tng phn hai ln tỡm I x dv = e dx K64, H2/11 - Lấ èNH Lí - NNG... 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 1 7- ThS Nguyn Vn By TI LIU LUYN THI I HC x I = e cos xdx Bi toỏn 3 PP: t u = cos x tớnh tớch phõn tng phn hai ln tỡm I x dv = e dx II Tớch phõn hm lụgarit: 1 Phng phỏp i bin: 1 I1 = f (ln x) dx x Bi toỏn 1: PP: i bin t = lnx 1 I1 = f (ln x, n a ln x + b ) dx x Bi toỏn 2: PP: i bin t = n a ln x + b Bi toỏn 3: ln k 1 x I1 = f (ln x) dx x k PP: i bin... 2 x sau ú i bin t = sinx Bi toỏn 3: 1 cos x + s inx dx PP: Vit li: cos( x ) cos( x ) 1 1 4 dx = 4 dx dx = dx = I= cos x + s inx cos( x cos 2 ( x 1 sin 2 ( x ) ) ) 4 4 4 sau ú i bin t = sin ( x ) 4 Bi toỏn 4: 1 s inx dx PP: Vit li: K64, H2/11 - Lấ èNH Lí - NNG D: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 1 5- ThS Nguyn Vn By TI LIU LUYN THI I HC 1 sin x sin x dx =... cos 2 x tan 2 x cos 2 x sau ú i bin t = tanx Bi toỏn 7: a sin x + b cos x + c a' sin x + b' cos x + c' dx 2t x 1 t2 PP: i bin t : t = tan , sinx = v cosx = 2 1+ t2 1+ t2 TấCH PHN HAèM MUẻ VAè LGARIT K64, H2/11 - Lấ èNH Lí - NNG D: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 1 6- ThS Nguyn Vn By TI LIU LUYN THI I HC I Tớch phõn hm s m: 1 Cỏc cụng thc nguyờn hm c bn: 1 ax +b e +C a 1 a mx + n mx + n... t = lnkx 2 Phng phỏp tớch phõn tng phn: Bi toỏn 1: I1 = ln(ax + b) f ( x)dx u = ln(ax + b) PP: t dv = f ( x)dx tớnh tớch phõn tng phn Bi toỏn 2: k I2 = ln (ax + b)dx u = ln k (ax + b) t tớnh tớch phõn tng phn k ln dv = dx K64, H2/11 - Lấ èNH Lí - NNG D: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 1 8- ThS Nguyn Vn By TI LIU LUYN THI I HC DIN TấCH HầNH PHểNG A TểM TT PHNG PHP: BI TON 1: Tớnh din... x)dx K64, H2/11 - Lấ èNH Lí - NNG D: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 1 3- ThS Nguyn Vn By TI LIU LUYN THI I HC PP: Dựng phng phỏp i bin t t = sinx + cosx v sin2x = t 2- 1 Bi toỏn 6: f (sin 2x,sinx- cos x)(s inx+ cos x)dx PP: Dựng phng phỏp i bin t t = sinx - cosx v sin2x = 1- t2 Chỳ ý: Mt s dng tớch phõn hm lng giỏc f(sinx, cosx) phc tp, nu khú bin i thnh cỏc tớch phõn c bit thỡ dựng phng... phng phỏp i bin, t t = sinax Dng 2: I = sin ax cos bxdx J = cos ax.cos bxdx K = sin ax.sin bxdx Phng phỏp: Dựng cỏc cụng thc sau bin i t tớch sang tng: K64, H2/11 - Lấ èNH Lí - NNG D: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 1 2- ThS Nguyn Vn By TI LIU LUYN THI I HC cos a cos b = 1 [ cos(a b) + cos(a + b)] 2 1 [ cos(a b) cos(a + b)] 2 1 sin a cos b = [ sin( a b) + sin(a + b)] 2 sin a sin b . đặt: t = ax + b K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 6- ThS. Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC II. Tích phân hàm phân thức mẫu là tam thức bậc. H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 1 4- ThS. Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài toán 4: 2 cos x ax b I dx β α + = ∫ PP: Dùng pp tích phân từng phần:.    = = dxedv xu x sin tính tích phân từng phần hai lần để tìm I. K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 1 7- ThS. Nguyễn Văn Bảy TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI