Chuyên đề PP Tính tích phân

C¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n C¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n I. Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè II. Ph­¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn II. Ph­¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn Phương pháp đổi biến số Phương pháp đổi biến số Đổi biến số dạng 1: Đổi biến số dạng 1: +Quy tắc: +Quy tắc: Bước 1: Chọn ( một cách thích hợp ) Bước 1: Chọn ( một cách thích hợp ) Bước 2: - Lấy vi phân Bước 2: - Lấy vi phân - Đổi cận : Giả sử - Đổi cận : Giả sử Khi đó Khi đó Bước 3: Tính Bước 3: Tính ( )x u t = '( )dx u t dt = x a t x b t = = = = ( ). '( )I f ut u t dt = ( ). '( )I f ut u t dt = ( ) b a I f x dx= Tính Tính §æi biÕn sè d¹ng 1 §æi biÕn sè d¹ng 1  Mét sè dÊu hiÖu dÉn tíi viÖc lùa chon Mét sè dÊu hiÖu dÉn tíi viÖc lùa chon u(t) u(t) 2 2 a x − [ ] sin , - ; 2 2 cos , 0; x a t t x a t t π π π    = ∈        = ∈  2 2 a x+ ( ) , - ; 2 2 cot , 0; x atgt t x a gt t π π π    = ∈  ÷      = ∈  2 2 ( )a x+ DÊu hiÖu C¸ch chän Bµi 1: Bµi 1: TÝnh TÝnh c¸c tÝch ph©n c¸c tÝch ph©n sau sau 1 2 3 1 0 1I x x dx = − ∫ 2 3 2 1 2 2 dx I x x = − + ∫ I. Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè 2 2 2 1 4 dx I x = − ∫ 1 2 4 0 1I x x dx= + ∫ 2 3 ( 1 )t x= − ( 2sin )x t = ( )x tgt= ( 1 )x tgt− = 2 2 1 ( 1) 1 dx x = − + ∫ 2 ( 1)t x= + Bµi gi¶i Bµi gi¶i §Æt: §Æt: 2 3 2 2 3 3 1 1 1t x t x x t= − ⇒ = − ⇒ = − Ta cã: 2 2 3xdx t dt = − 0 1 1 0 x t x t = ⇒ = = ⇒ = VËy: 0 2 1 1 3 ( ) 2 I t t dt = − ∫ 1 2 3 1 0 1I x x dx= − ∫ 1 3 0 3 2 t dt = ∫ 4 1 0 3 8 t = 2 3 2 xdx t dt⇒ = − 3 8 = C¸ch 2 C¸ch 2 1 2 3 1 0 1I x x dx= − ∫ 1 1 2 2 3 0 1 (1 ) (1 ) 2 x d x= − − − ∫ 4 2 1 3 0 3 (1 ) 8 x = − − 3 8 = 2 2 2 1 dx 4 I x = − ∫ 2sin , t - ; 2 2 x t π π   = ∈     2 6 2 2 2cos 4 4sin tdt I t π π = − ∫ 1 ; 2 6 2 2cos x t x t dx tdt π π = ⇒ = = ⇒ = = §Æt: Ta cã: VËy: 2 2 6 2cos 2 1 sin tdt t π π = − ∫ 2 6 2cos = 2cos tdt t π π ∫ 2 2 6 6 2 6 3 dt t π π π π π π π = = = − = ∫ 1 , t ; 2 2 x tgt π π   − = ∈ −  ÷   ( ) 2 2 1 0 1 1 co ; 2 4 s dx dt tg t dt x x t x t π = = + = ⇒ = = ⇒ = §Æt: Ta cã: VËy: 2 2 4 4 4 0 2 2 1 0 0 (1 ) ( 1) 1 1 4 dx tg t dt dt t x tg t π π π π + = = = = − + + ∫ ∫ ∫ 2 2 3 2 2 1 1 2 2 ( 1) 1 dx dx I x x x = = − + − + ∫ ∫ 1 2 4 0 1I x x dx= + ∫ , ; 2 2 x tgt t π π   = ∈ −  ÷   0 0 1 4 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = 2 1 cos dx dt t = §Æt: Ta cã: VËy: 4 2 4 2 0 1 1 cos I tgt tg t dt t π = + ∫ 4 4 0 (cos ) cos d t t π = − ∫ 2 4 0 sin cos xdx x π = ∫ 4 0 3 1 3cos t π = 2 2 1 3 − = 1 2 4 0 1I x x dx = + ∫ 2 1t x= + 2 2 1t x⇒ = + 2 2tdt xdx = §Æt: Ta cã: xdx tdt ⇒ = 0 1 1 2 x t x t = ⇒ = = ⇒ = VËy: 2 4 1 .I t tdt= ∫ 2 2 1 t dt= ∫ 3 2 1 1 3 t= 1 (2 2 1) 3 = − [...]... x cos 0 2 x sin xdx 4, x cos 0 3 xdx ứng dụng của tích phân I Tính diện tích hình phẳng II Tính thể tích của vật thể tròn xoay I Tính diện tích hình phẳng Hình phẳng giới hạn bởi: y = f ( x) y = 0 x = a x = b y = f ( x) y = g ( x) x = a x = b b S = f ( x) dx a b S = f ( x) g ( x) dx a I Tính diện tích hình phẳng Bài tập 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x 2x ... Khi sử dụng phư ơng pháp tích phân từng phần cần chú ý: 1, Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng 2, Tích phân sau phải đơn giản hơn tích phân trước Một số dạng cơ bản: b P( x)ln f ( x)dx Đặt: u = ln f ( x) a b P ( x )e x dx a b P( x)sin xdx a b u = P( x) e Đặt: u = sin x x e a } Đặt: x sin xdx II Phương pháp tích phân từng phần Bài 3: Tính các tích phân sau 1 I1 = x ln(3... 2: Tính các tích phân sau x + 1 1 1, 3 x 5 1 x 3 dx 2, 0 0 (t = 1 x ) 3 2 e 4, 1 5, x 0 3 1 x dx ( x = 2 (t = 1 x ) 2 1 + 3ln x ln x dx x (t = 1 + 3ln x ) (t = cos x + 1) 2 1 x +1 dx (t = x + 1) sin x cos 3 x 3, dx 2 1 + cos x 0 2 3 sin t ) 6, 0 1 (1 + x ) 2 3 dx ( x = tgt ) Bo lc Phương pháp tích phân từng phần b b a a udv = uv b vdu (1) Sử dụng công thức: a Bước 1: Biến đổi tích phân. .. đặt x = 2 t Có thể đặt x = a +bt 2 0 Với x = t 0 Với I= 2 f ( x)dx 0 Với b I = f ( x)dx a Tính các tích phân sau: 1 I1 = x 2006 sin xdx 1 Đặt: x = t Ta có: dx = dt x = 1 t = 1 x = 1 t = -1 1 1 Vậy: I1 = (t ) 2006 sin(t )( dt ) = t 2006 sin tdt 1 1 1 = x 1 2006 sin xdx = I1 2 I1 = 0 I1 = 0 (Tích phân không phụ thuộc vào biến) 2 sin n x I2 = n dx n sin x + cos x 0 Đặt: x = t 2 Ta có:... xdx 0 1 2 1 ' 2x ' = e + + I 4 ( I 4 = e cos 2 xdx) 2 2 0 Tính: ' I 4 = e 2 x cos 2 xdx 0 Đặt: du = 2e 2 x dx u = e 2 x 1 dv = cos 2 xdx v = sin 2 x 2 1 2x Ta có: I = e sin 2 x e 2 x sin 2 xdx = I 0 4 2 0 1 2 1 Vậy: I 4 = e + I 4 2 2 1 1 2 2 I 4 = (1 e ) I 4 = (1 e 2 ) 2 4 ' 4 Bài 4: Tính các tích phân sau ( Sử dụng pp từng phần ) e lnx I1 = dx 2 1 ( x +1) 1 I3 = 0 e (u = ln x)... 4 0 4 0 = 2 I I 4 ( I = ' 4 ' 4 2 sin 4 tdt ) 0 Tính: 2 2 1 2 I = sin tdt = (1 cos 2t ) dt 40 0 ' 4 4 2 1 2 = (1 2cos 2t + cos 2t ) dt 40 2 1 1 cos 4 x = (1 2cos 2t + ) dt 40 2 1 1 = (3t 2sin 2t + sin 4t ) 8 4 2 0 3 1 = (3 4cos 2t + cos 4t )dt = 80 4 2 Vậy: I 4 = 2 I I 4 ' 4 3 2 2I4 = 2 3 = 2 I4 4 3 2 I4 = 4 Bài tập :Tính các tích phân sau: 2 1 cos x 1, x dx e +1 1 2, 0 cos x dx... Đặt: x = t 2 Ta có: dx = dt x = 0 t = ; x = t = 0 n sin ( t ) 2 0 I2 = 2 2 n sin ( t ) + cos ( t ) 2 2 n 2 2 (dt ) 2 cos n t cos n x = dt = n dx n n n cos t + sin t cos x + sin x 0 0 (Tích phân không phụ thuộc vào biến) 2 2 n n sin x cos x Vậy: 2 I 2 = dx + dx n n n n cos x + sin x cos x + sin x 0 0 2 = dx = x 0 I2 = 4 2 0 = 2 I 3 = x cos x sin xdx 2 3 0 Đặt: x = t Ta có: . một cách dễ dàng cách dễ dàng 2, Tích phân 2, Tích phân sau phải đơn sau phải đơn giản hơn tích giản hơn tích phân trước phân trước ( ) b x a P x e dx . pháp tích phân từng phần Phương pháp tích phân từng phần Sử dụng công thức: Sử dụng công thức: b b b a a a udv uv vdu= Bước 1: Biến đổi tích phân ban