Tổ 5 chuyên đề ứng dụng tích phân tính s v

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành Ox bằng AA. Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình 2 H quay xung quanh trục Câu 31.. Thể tích của vật t

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

TÍNH DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH

ĐỀ BÀI Câu 1 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ Diện tích hình phẳng phần tô đậm được tính theo

Câu 7 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 3 2

y= x − x + x− và y=x2−6x+ 1là

Câu 13 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây (phần cong của đồ thị là một phần của

parabol y=ax2+bx c+ ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y= f x( ), y =0,

Câu 15 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên , đồ thị hàm y= f( )x như hình vẽ dưới

đây Khẳng định nào trong các phương án A B C D, , , dưới đây là đúng?

Câu 17 Cho hàm y=F x( ) là một nguyên hàm của hàm số y= f x( ), biết đồ thị hàm số y= f x( )

trên đoạn −2; 2 như hình vẽ ở bên dưới và có diện tích 1 2 22, 3 76

S =S = S = Giá trị của biểu thức F( )2 +F( )1 −F( )− −1 F( )− bằng 2

Câu 18 Một vòng xuyến ở ngã tư thành phố X có dạng hình tròn đường kính AB=4m Công ty cây

xanh thiết kế phần trồng hoa giấy ở giữa hai đường parabol có trục đối xứng vuông góc với đường kính AB tại tâm của hình tròn và cắt AB tại điểm C C, thỏa mãn BC=1m (phần tô đậm) Phần còn lại của vòng xuyến thiết kế trồng hoa cúc Chi phí để trồng hoa giấy và hoa cúc lần lượt là 200.000 đồng 2

/m và 100.000 đồng 2

/m

Hỏi chi phí để trang trí vòng xuyến theo thiết kế gần nhất với số tiền nào dưới đây (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)?

A 1.523.000 đồng B 1.532.000 đồng C 1.790.000 đồng D 1.980.000 đồng

Câu 19 Một khu đất có hình dạng là một hình tròn với đường kính d =20 m Người ta muốn trồng rau

trên dải đất rộng 10 m lấy tâm của đường tròn khu đất làm tâm đối xứng Diện tích phần đất trống còn lại bao nhiêu m ? 2

Câu 20 Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình dạng parabol, chiều rộng 8m, chiều cao

12,5mvà được lắp kính Biết mỗi 2

m kính có giá là 300000 đồng Số tiền để lắp kính cho vòm cửa là

A 30000000 đồng B 60000000 đồng C 10000000 đồng D 20000000 đồng

Câu 21 Một mảnh vườn hình chữ nhật với diện tích 200m Người ta muốn trồng hoa trên mảnh vườn 2

đó theo hình một parabol bậc hai sao cho đỉnh của parabol trùng với trung điểm một cạnh của mảnh vườn như hình vẽ bên Biết chi phí trồng hoa là 300 ngàn đồng cho mỗi mét vuông Xác định chi phí trồng hoa cần có cho mảnh vườn trên?

A 30 triệu đồng B 60 triệu đồng C 50 triệu đồng D 40 triệu đồng

Câu 22 Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng

cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên Biết AB =5cm, OH =4

cm Tính diện tích bề mặt hoa văn đó

A

B H O

14cm

AC=BD= m Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá

là 1200000đồng/m2, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000đồng/m2

Hỏi tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

max

3

2019 16

Câu 27 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y= 1 sin+ 4 x+cos4x , y = , 0

2

x= , 

x =  Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành Ox bằng

A

2

78



2

74



2

34



2

38



Câu 28 Trong mặt phẳng Oxy,cho hình (H)giới hạn bởi các đường y=xln ,x y=0, x 1,= x=e. Cho

hình ( )H quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng (be3 2)

−

=+ , trục hoành, hai đường thẳng 1

x = , x = Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình 2 ( )H quay xung quanh trục

Câu 31 Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=x4−1 và trục hoành Thể tích vật

thể tròn xoay khi quay ( )H quanh trục hoành là:

đậm màu đen ở hình vẽ bên)

Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành bằng

Câu 35 Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

21

Câu 37 Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = và 1 x = , biết rằng khi cắt 3

vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1 x 3) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và 3x − 2 2

x , biết rằng thiết diện của

vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0

Câu 39 Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30 cm , thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai

đáy có bán kính là 40 cm , chiều cao thùng rượu là 1 m (hình vẽ) Biết rằng mặt phẳng chứa trục

và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là bao nhiêu?

A 425162 lít B 212581lít C 212, 6lít D 425, 2 lít

Câu 40 Một cái trống (hình vẽ dưới) có đường kính 1 m, hai mặt trống có đường kính 0,7 m và chiều

cao của trống là 1 m Thể tích khối giới hạn bởi bề mặt của trống gần với số nào?

A 0, 45 (m 3) B 0, 20 (m 3) C 1, 41 (m3) D 0, 64 (m 3)

Câu 41 Một hình cầu có bán kính 6dm, người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng song song và

cùng vuông góc với đường kính để làm mặt xung quanh của một chiếc lu chứa nước (như hình vẽ) Tính thể tích V mà chiếc lu chứa được, biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu 4dm

A 368 ( )3

dm3

192 dm

dm3

Câu 43 Cho hai đường tròn (O1;5) và (O2;3) cắt nhau tại hai điểm A, Bsao cho AB là một đường

kính của đường tròn (O2;3) Gọi ( )D là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài

đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ) Quay ( )D quanh trục O O ta được một 1 2khối tròn xoay Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành

y = 20x

y = 1

20x

2

Câu 44 Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay với đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là 2

và 4 Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay khi quay đường cong

Câu 45 Một đồ chơi được thiết kế gồm hai mặt cầu ( )S , 1 ( )S2 có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất:

tâm của ( )S thuộc 1 ( )S2 và ngược lại (xem hình vẽ) Tính thể tích phần chung V của hai khối

cầu tạo bởi ( )S và 1 (S2)

Câu 47 Cho Parabol ( ) :P y=16− và hai điểm x2 A a( ) (; 0 , B −a; 0 ; 0)  a 4 Gọi ( )H là hình phẳng

giới hạn bởi ( )P và trục ox, (H1) là hình chữ nhật ABCD (C D là 2 điểm thuộc ( ), P ) Gọi

V là thể tích hình tròn xoay có được khi xoay ( )H quanh Oy và V1 là thể tích hình tròn xoay

có được khi xoay (H1)quanh Oy Tính giá trị lớn nhất của tỉ số V1

Câu 49 Cho hình H giới hạn bởi các đường y2 =2x và x2+y2 = ( phần gạch sọc trong hình) Khối 8

tròn xoay khi quay H xung quanh trục Ox có thể tích bằng bao nhiêu?

GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN

x x x

=

Câu 3. Gọi S diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= − , trục hoành, trục tung và x3 1

x 0 1 2

3

1

x − − 0 + Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là

Câu 5. Hình phẳng ( )H được giới hạn bởi các đường 2

x x x

1 2

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Tác giả: Trích từ THPT Hồng Quang - Hải Dương - Lần 1 - 2018 ; Fb: Good Hope

2

= −

Câu 13. Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây (phần cong của đồ thị là một phần của

parabol y=ax2+bx c+ ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y= f x( ), y =0,

Dựa vào đồ thị ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1,  , Parabol 2 ( )P , x = − , 2 x = 3

Với 1qua E −( 3; 0), D( )0; 4 nên có pt: 4 4

Xét phương trình hoành độ giao điểm của các đường Ta có:

Câu 15. Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên , đồ thị hàm y= f( )x như hình vẽ dưới

đây Khẳng định nào trong các phương án A B C D, , , dưới đây là đúng?

1( )d2

Câu 17 Cho hàm y=F x( ) là một nguyên hàm của hàm số y= f x( ), biết đồ thị hàm số y= f x( )

trên đoạn −2; 2 như hình vẽ ở bên dưới và có diện tích 1 2 22, 3 76

S =S = S = Giá trị của biểu thức F( )2 +F( )1 −F( )− −1 F( )− bằng 2

Câu 18. Một vòng xuyến ở ngã tư thành phố X có dạng hình tròn đường kính AB=4m Công ty cây

xanh thiết kế phần trồng hoa giấy ở giữa hai đường parabol có trục đối xứng vuông góc với đường kính AB tại tâm của hình tròn và cắt AB tại điểm C C, thỏa mãn BC=1m (phần tô đậm) Phần còn lại của vòng xuyến thiết kế trồng hoa cúc Chi phí để trồng hoa giấy và hoa cúc lần lượt là 200.000 đồng 2

Giả sử phương trình của parabol phía trên trục hoành là ( ) 2 ( )

Câu 19. Một khu đất có hình dạng là một hình tròn với đường kính d =20 m Người ta muốn trồng rau

trên dải đất rộng 10 m lấy tâm của đường tròn khu đất làm tâm đối xứng Diện tích phần đất trống còn lại bao nhiêu m ? 2

Khi đó phương trình đường tròn khu đát có tâm O và bán kính 10 m là: x2 + y2 =100

Ta có phần nửa cung tròn phía trên Ox có phương trình: y= 100−x2

Khi đó diện tích trồng rau bằng hai lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành , đồ thị

Câu 20. Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình dạng parabol, chiều rộng 8m, chiều cao

12,5mvà được lắp kính Biết mỗi m kính có giá là 300000 đồng Số tiền để lắp kính cho vòm 2

( )P cắt trục hoành tại hai điểm A −( 4; 0) và B( )4; 0 nên ta có 0 16a c= + 25

Số tiền để lắp kính cho vòm cửa là: 200.300000 20000000

Câu 21. Một mảnh vườn hình chữ nhật với diện tích 200m Người ta muốn trồng hoa trên mảnh vườn 2

đó theo hình một parabol bậc hai sao cho đỉnh của parabol trùng với trung điểm một cạnh của mảnh vườn như hình vẽ bên Biết chi phí trồng hoa là 300 ngàn đồng cho mỗi mét vuông Xác định chi phí trồng hoa cần có cho mảnh vườn trên?

A. 30 triệu đồng B. 60 triệu đồng C. 50 triệu đồng D. 40 triệu đồng

S = R h, với h là chiều cao của parabol và R

là bán kính của thiết diện tạo bởi một mặt phẳng vuông góc với trục và parabol)

Giả sử sân bóng có chiều dài a chiều rộng b

Suy ra số tiền cần là:4 .300 2 300 40

a

b = ab = triệu

Câu 22. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng

cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên Biết AB =5cm, OH =4

cm Tính diện tích bề mặt hoa văn đó

2

14cm

Diện tích của hình vuông là S hv =100 cm2

Vậy diện tích bề mặt hoa văn là 2

AC=BD= m Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá

là 1200000đồng/m2, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000đồng/m2

Hỏi tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A 11445000(đồng) B 7368000(đồng) C 4077000(đồng) D 11370000(đồng)

Lời giải Chọn A

Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho AB trùng Ox, A trùng O khi đó parabol có đỉnh G( )2; 4 và

đi qua gốc tọa độ

Gọi phương trình của parabol là y=ax2+bx c+

c

a b

b c

Diện tích phần xiên hoa là S xh = −S S CDEF =10, 67 6,14− =4, 53(m2)

Nên tiền là hai cánh cổng là 6,14.1200000=7368000 đ( )

và tiền làm phần xiên hoa là 4, 53.900000=4077000 đ( )

Vậy tổng chi phí là 11445000 đồng

Câu 24. Cho các số thực a , b, c thỏa mãn a b c và hàm số y= f x( ) Biết hàm số '( )

y= f x có

đồ thị như hình vẽ

Khẳng định nào sau đây là đúng?

max

3

2019 16

Giả sử A a a ; ( ; 2) B b b( ; 2), (b sao cho a) AB =2019

Phương trình đường thẳng d là: y= +(a b x ab) − Khi đó

20196



2

74



2

34



2

38



( 4 4 )2



Câu 28 Trong mặt phẳng Oxy,cho hình (H)giới hạn bởi các đường y=xln ,x y=0, x 1,= x=e. Cho

hình (H)quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng (be3 2)

x

−

=+ , trục hoành, hai đường thẳng 1

x = , x = Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình 2 ( )H quay xung quanh trục

 = = − a b = − 2

Vậy chọn đáp án D

Câu 30. Cho hình ( )H giới hạn bởi parabol y=2x x− và trục hoành 2 Ox Thể tích khối tròn xoay khi

hình ( )H quay xung quanh trục Oxbằng:

y= x−x y= x= x= Thể tích của khối tròn xoay khi hình ( )H quay xung quanh Ox là:

1

2 4 1

f = − Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số

( )

y= f x , y =0 quanh trục Ox

Thể tích khối tròn xoay sinh ra là: 1( )

2 2

đậm màu đen ở hình vẽ bên)

Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành bằng

Phương trình hoành độ giao điểm của y=2x và y 1 x

x x x

x

 =

Phương trình hoành độ giao điểm của y=2x và y =0 là: 2x =0 20

2 2

1 0

3 2

1 0 2

1

2 ln1

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 3

x + = + x 0

1

x x

Thể tích khối tròn xoay của hình phẳng tạo bởi các đường y= f x( ), trục hoành Ox, x = , 0

Câu 37. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = và 1 x = , biết rằng khi cắt 3

vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1 x 3) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và 3x − 2 2

1

25 13

=  − 

1243

x , biết rằng thiết diện của

vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0

Câu 39. Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30 cm , thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai

đáy có bán kính là 40 cm , chiều cao thùng rượu là 1 m (hình vẽ) Biết rằng mặt phẳng chứa trục

và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít)

( )

2 5

5

1

4 dy 425, 2 425, 225

Câu 40. Một cái trống (hình vẽ dưới) có đường kính 1 m, hai mặt trống có đường kính 0,7 m và chiều

cao của trống là 1 m Thể tích khối giới hạn bởi bề mặt của trống gần với số nào?

Câu 41. Một hình cầu có bán kính 6dm, người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng song song và

cùng vuông góc với đường kính để làm mặt xung quanh của một chiếc lu chứa nước (như hình vẽ) Tính thể tích V mà chiếc lu chứa được, biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu 4dm

A 368 ( )3

dm3

192 dm

dm3

khác ta tạo hình phẳng ( )H giới hạn bởi nửa phần trên trục hoành của ( )C , trục Ox và các

đường thẳng x= −4,x=4; sau đó quay ( )H quanh trục Ox ta được khối tròn xoay chính là

chiếc lu trong đề bài

cm

Câu 43. Cho hai đường tròn (O1;5) và (O2;3) cắt nhau tại hai điểm A, Bsao cho AB là một đường

kính của đường tròn (O2;3) Gọi ( )D là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài

đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ) Quay ( )D quanh trục O O ta được một 1 2

khối tròn xoay Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành

y = 20x

y = 1

20x

2

Chọn hệ tọa độ Oxy với O2  , O O C2 Ox, O A Oy2 

Kí hiệu ( )H2 là hình phẳng giới hạn bởi các đường y= 9−x2 , trục Ox, x =0, x =3

Phần hình phẳng giới hạn bởi các đường trên có tính đối xứng qua trục Ox, khi đó thể tích V

cần tính chính bằng thể tích V2 của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( )H2 xung quanh trục Ox trừ đi thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình 1 ( )H xung quanh trục 1 Ox

3

x x

Câu 44. Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay với đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là 2

và 4 Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay khi quay đường cong

Vì đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là 2 và 4 nên bán kính của đáy bình và miệng bình lần lượt là 1 và 2

Câu 45. Một đồ chơi được thiết kế gồm hai mặt cầu ( )S , 1 ( )S2 có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất:

tâm của ( )S thuộc 1 ( )S2 và ngược lại (xem hình vẽ) Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi ( )S và 1 (S2)