1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN để TÍNH DIỆN TÍCH

63 30 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 63
Dung lượng 3,17 MB

Nội dung

Chun Đề:Tích Phân Ứng Dụng ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH Diện tích hình phẳng a)Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f ( x) liên tục đoạn a; b , trục hoành b hai đường thẳng x a , x b xác định: S f ( x) dx a y y = f ( x) O a c1 c2 y = f ( x)  y = (H )  x = a  x = b c3 b x b S =  f ( x ) dx a b)Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f ( x) , y g ( x) liên tục đoạn a; b b hai đường thẳng x a , x b xác định: S f ( x) g ( x) dx a y (C1 ) : y = f1 ( x )  (C ) : y = f2 ( x ) (H )  x = a x = b  (C1 ) (C2 ) b O c2 a c1 x b S =  f1 ( x ) − f ( x ) dx a Chú ý: b - Nếu đoạn [a; b] , hàm số f ( x) khơng đổi dấu thì: b f ( x) dx a f ( x)dx a - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích hình phẳng giới hạn đường x g ( y) , x h( y) hai đường thẳng y c , d y d xác định: S g ( y) h( y) dy c DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ PHƯƠNG PHÁP: Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn b đường y f ( x), y g ( x), x a, x b S f ( x) g ( x) dx a Phương pháp giải tốn +) Giải phương trình f ( x) g ( x) (1) b +) Nếu (1) vơ nghiệm S f ( x) g ( x) dx a b +) Nếu (1) có nghiệm thuộc a; b giả sử S f ( x) g ( x) dx f ( x) g ( x) dx a Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f ( x) g ( x) đoạn a; b dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y f ( x), y g ( x) S phương trình f ( x) g ( x) a Phương pháp giải toán Bước Giải phương trình f ( x) Bước Tính S f ( x) g ( x) dx Trong , nghiệm nhỏ lớn b g ( x) tìm giá trị , f ( x) g ( x) dx trường hợp HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1:Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) Câu Viết cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) b A b f ( x ) dx  B a  b f ( x ) dx C a  b f ( x ) dx D   f ( x ) dx a a Hướng dẫn giải Chọn A Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên Hình phẳng đánh dấu hình vẽ bên có diện tích y = f ( x) a b A  c f ( x ) dx −  f ( x ) dx B a b b b y b c x O c  f ( x ) dx +  f ( x ) dx a b c b C −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx a D b b  f ( x ) dx −  f ( x ) dx a c Hướng dẫn giải Chọn A Ta có f ( x )  x   a;b f ( x )  x  b; c  nên diện tích hình phẳng b  a c f ( x ) dx −  f ( x ) dx b Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục , có đồ thị hình vẽ Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f ( x ) , trục hoành trục tung Khẳng định sau đúng? GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng y c d x O y = f ( x) d d A S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx c B S = −  f ( x ) dx −  f ( x ) dx d c d c d C S = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx d d c d D S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx Hướng dẫn giải Chọn A d c c d Ta có S =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx Quan sát đồ thị hàm số ta thấy f ( x )  với x   c; d  f ( x )  với x   d ;0 d c d Do S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx Câu Diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b ( a  b ) (phần tơ đậm hình vẽ) tính theo cơng thức: b A S =  f ( x ) dx c B S = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx a a b C S = b  f ( x ) dx a c c b a c D S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx Hướng dẫn giải Chọn B Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có: b c b c b a a c a c S =  f ( x ) dx =  0 − f ( x ) dx +   f ( x ) − 0 dx = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị ( C ) đường cong hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) , trục hoành hai đường thẳng x = , x = (phần tô đen) GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng y O x 2 B − f ( x ) dx +  f ( x ) dx  f ( x ) dx C  f ( x ) dx −  f ( x ) dx D  f ( x ) dx A 1 2 Hướng dẫn giải Chọn C Dựa vào hình vẽ ta nhận thấy: x  ( 0;1) f ( x )  , x  (1; ) f ( x )   f ( x ) dx −  f ( x ) dx Vậy S = Câu Gọi S diện tích miền hình phẳng tơ đậm hình vẽ bên Cơng thức tính S y y = f ( x) −1 −1 O A S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx C S = x −1 B S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx  f ( x ) dx D S = −  f ( x ) dx −1 −1 Hướng dẫn giải Chọn B Ta thấy miền hình phẳng giới hạn từ x = −1 đến x = trục hoành → mang dấu dương  S1 = +  f ( x ) dx −1 Miền hình phẳng giới hạn từ x = đến x = trục hoành → mang dấu âm  S2 = −  f ( x ) dx 1 −1 Vậy S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y thẳng x , x 51 49 53 A B C 4 Hướng dẫn giải x [1;4] Ta có x3 3x2 Khi diện tích hình phẳng GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu x3 3x , trục hoành hai đường D 25 P a g e | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng S x 3x dx (x x4 4 3x )dx (x 3x )dx 3 x Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y đường thẳng x , x 142 143 144 A B C 5 Hướng dẫn giải x [0;3] Ta có x 3x Khi diện tích hình phẳng x 3x dx S x5 x 3x 27 51 4 , trục hoành hai D 141 ( x 3x 4)dx x5 4x x x 3 ( x 3x 4)dx x4 48 96 144 5 x3 x Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x A 2ln x , trục hoành đường thẳng x B ln C 2ln D ln Hướng dẫn giải 2 x 1 S dx dx x ln x 2ln x nên Ta có x 1 x x Câu 10 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cos x , trục tung, trục hoành đường thẳng x =  A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = cos x trục hồnh nghiệm phương trình   cos x =  x = + k Xét  0;   suy x = 2    Diện tích hình phẳng cần tính S =  cos xdx −  cos xdx = Câu 11 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y cos x , trục hoành hai đường thẳng x 0, x A C Hướng dẫn giải B Ta có cos x x Nên S 4 cos x dx 0; D cos xdx cos xdx sin x sin x 2 4 Câu 12 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = e + e− x , trục hoành, trục tung đường thẳng x = −2 x GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng A S = e4 + (đvdt) e2 B S = e4 − e2 − (đvdt) C S = (đvdt) e e Hướng dẫn giải D S = e4 − (đvdt) e2 Chọn D Ta có: S =  e x + e− x dx = ( e x − e− x ) −2 e4 − 1 = (đvdt) =e − e2 e −2 Câu 13 Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , trục hoành Ox , đường thẳng x = , x = A S = B S = C S = D S = 3 Hướng dẫn giải Chọn A 2 Diện tích hình phẳng S =  x dx =  x dx = 1 x3 = − = 3 Câu 14 Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y = x x + , trục Ox đường thẳng x = a b − ln(1 + b ) với a, b, c số nguyên dương Khi giá trị a + b + c c A 11 B 12 C 13 D 14 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có S =x x + 1dx =  ( x + x)d 0 ( x2 + ) = ( x3 + x) x + −  x + 1(3 x + 1)dx 0 = 2 − 3S −  x + 1dx Tiếp tục sử dụng công thức tích phân phần để tính T =  x + 1dx a = 3, b = 2, c = Câu 15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = b được: S = a ln − Chọn đáp án c A a+b+c=8 B a>b x +1 trục tọa độ Ox, Oy ta x−2 C a-b+c=1 Hướng dẫn giải D a+2b-9=c Chọn A Đồ thị hàm số cắt trục hồnh ( -1;0) Do đó: Câu 16 Cho parabol ( P ) có đồ thị hình vẽ: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng y x O −1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) với trục hoành A Hướng dẫn giải B C D Chọn D Từ đồ thị ta có phương trình parabol y = x − x + Parabol ( P ) cắt Ox hai điểm có hồnh độ x = , x = Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) với trục hồnh ta có S=  x3  x − x + dx =  ( x − x + 3) dx =  − x + 3x  =  1 3 2 Câu 17 Diện tích S hình phẳng giới hạn đường y = x3 + x + , trục hoành, x = x = 31 49 21 39 A S = B S = C S = D S = 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A 31 Diện tích hình phẳng cần tìm S =  x3 + x + dx = x2 , đường thẳng x , trục tung Câu 18 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y trục hoành 22 32 25 23 A B C D 3 3 Hướng dẫn giải Xét pt x2 đoạn 0;3 có nghiệm x 2 23 Câu 19 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x3 − x , trục hoành hai đường thẳng x = −3, x = 203 202 201 201 A B C D Hướng dẫn giải Xét pt x x đoạn 3; có nghiệm x 2; x 0; x x dx Suy S x dx x3 x dx Suy S x3 x dx x3 x dx Câu 20 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y A e2 B e2 201 x ln x , trục hoành đường thẳng x e x3 x dx e2 Hướng dẫn giải GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu C D e2 P a g e | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Xét pt x ln x khoảng 0;e có nghiệm x e2 Câu 21 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành hai đường thẳng x = −1 , x = biết đơn vị dài trục tọa độ cm 15 17 A 15 (cm2 ) B C D 17 (cm2 ) (cm ) (cm ) 4 Lời giải Chọn D Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành hai đường thẳng x = −1 , x = 2 x x 17 3 S =  x dx = −  x dx +  x3dx = − + = ( dvdt ) −1 4 −1 −1 e Suy S x ln xdx Do đơn vị dài trục tọa độ cm nên diện tích cần tìm S = 17 ( cm2 ) Câu 22 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x = e A ln x , trục hoành đường thẳng x Hướng dẫn giải B C D Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm: ln x =  x = x e Diện tích hình phẳng giới hạn là:  e e ln x ln x dx =  ln xd ( ln x ) = = x 2 Câu 23 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x + x − trục hoành 13 A B C D 2 Hướng dẫn giải Chọn C Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số trục hồnh nghiệm phương trình: x = x2 + x − =    x = −2 y O -2 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu x P a g e | 63 Chun Đề:Tích Phân Ứng Dụng Diện tích hình phẳng S =  −2 x + x − dx = −  ( x + x − ) dx = −2 Câu 24 Hình phẳng giới hạn đường y = x − , x = Ox có diện tích 16 20 A B C D 3 Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm đường y = x − Ox là: x2 − =  x = 1 Diện tích hình phẳng là: 3  x3   x3 3 S =  x − dx =  − x + dx +  x − dx =  − + x  +  − x  =   −1  1 −1 −1 x +1 Câu 25 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = , trục hoành đường thẳng x = x+2 A + 2ln B + ln C − 2ln D − ln Hướng dẫn giải Chọn C 2 x +1   x +1 dx =  1 − Ta có: =  x = −1 Vậy S =   dx = ( x − ln x + ) −1 = − 2ln x+2 x+2 x+2 −1 −1  Câu 26 Cho hình phẳng H giới hạn đường y = x ; y = ; x = Diện tích S hình phẳng H 16 15 17 A S = B S = C S = D S = Hướng dẫn giải Chọn A Xét phương trình x =  x = ( Ta có S =  ) ( ) 16 xdx = x x = 3 Câu 27 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x = , x = đường cong có phương trình y = x A 76 B 152 C 76 D 152 Hướng dẫn giải Chọn D GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e | 63 Chun Đề:Tích Phân Ứng Dụng Vì x   4;9  y =  8x Vậy S = 2 xdx = 152 Câu 28 Cho hình thang cong ( H ) giới hạn đường y = e x , y = , x = , x = ln8 Đường thẳng x = k (  k  ln 8) chia ( H ) thành hai phần có diện tích S1 S Tìm k để S1 = S2 A k = ln B k = ln C k = ln Hướng dẫn giải D k = ln Chọn B ln8 Ta có S1 + S2 =  e dx = ( e x x ) ln8 k = ; S1 =  e x dx = ( e x ) = ek − k 7  ek − =  k = ln 2 Câu 29 Cho hình phẳng ( H ) hình vẽ Tính diện tích hình phẳng ( H ) Mà S1 = S2  S1 = A ln − ln − 2 Hướng dẫn giải B C D ln + Chọn A Diện tích hình phẳng ( H ) là: S =  x ln xdx GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 10 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng (b − a )  x2 x3  S =  ( a + b ) x − ab − x  dx = ( a + b ) − abx −  = a a  b b 2 2 Mặt khác ( b − a ) ( b − a ) + 1 = nên b − a = b − a  ( b − a ) +  Vậy (b − a ) S=  23 Vậy Smax = GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 49 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Dạng 4:Tính diện tích hình phẳng giới hạn nhiều đường cong (>2 đường cong) Câu 106 Cho parabol ( P ) : y = x + hai tiếp tuyến ( P ) điểm M ( −1;3) N ( 2;6 ) Diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) hai tiếp tuyến A B 13 Hướng dẫn giải C D 21 Chọn A Phương trình tiếp tuyến M ( −1;3) d1 : y = −2 x + Phương trình tiếp tuyến N ( 2;6 ) d2 : y = x − Phương trình hồnh độ giao điểm d1 d : −2 x + = x −  x = Vậy S =  −1 x + + x − dx +  x + − x + dx = Câu 107 Cho ( H ) hình phẳng tơ đậm hình vẽ giới hạn đường có phương trình y = x  − x 10 Diện tích ( H ) bằng? x − x2 , y =   x − x  y O x −1 A 11 B 13 11 Hướng dẫn giải C D 14 Chọn B Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = − x y = x − − x = x −  x = Diện tích hình phẳng cần tính  10   10  S =   x − x + x  dx +   x − x − x +  dx 3   0 1  13  7   S =   x − x  dx +   x − x +  dx 3   0 1  13  7   S =   x − x  dx +   x − x +  dx 3   0 1  13 x3   S =  x2 −  3 6 3 7  x3 13 +  x2 − + 2x  = 6 1 Câu 108 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − nửa đường tròn x + y = bằng?  A − B  −1 C  Hướng dẫn giải GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu −1 D  −1 P a g e 50 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Chọn A  x − x  y = x −1 =  1 − x x  x2 + y =  y =  − x tính nửa đường tròn nên ta lấy y = − x Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − nửa đường tròn x + y = phần tơ màu vàng hình vẽ Cách 1: Diện tích hình phẳng là: 1  1 S =  R − 1.1 = − ( diện tích hình tròn – diện tích tam giác vuông cân) 4 Cách 2: Diện tích hình phẳng là: 1  x2  S =   − x − (1 − x )  dx =  − x dx +  ( x − 1) dx = I1 +  − x  = I1 −    0 0 1 Tính I1 =  − x dx    Đặt x = sin t , t   − ;  ; dx = cos t.dt  2  Đổi cận x =  t = ; x =  t =     2 0 + cos 2t dt 2 I1 =  − x dx =  − sin t cos t.dt =  cos t cos t.dt =  cos t.dt =    sin 2t   = t +  = 2 0  Vậy S = − Câu 109 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x , y = x , y = miền x  0, y  1 A B C D 12 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: y Ta có: y = x  x = ; y = x  x = y (do x  ) Suy ra: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 51 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng S=  y− y (Bấm máy trực tiếp xét dấu bỏ dy = 12 ) Cách 2: x = Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 = x  x2 − x =  x = x = Phương trình hồnh độ giao điểm: x =    x = −1 Phương trình hồnh độ giao điểm: x =  x = Từ hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm 1 1  x3   x3  2 S =  ( x − x ) dx +  (1 − x ) dx =  x −  +  x −  = 12 3 3   0 2 Câu 110 Cho hình phẳng giới hạn đường y = − x , y = , y = x có diện tích S = a + b. Chọn kết đúng: A a  , b  B a + b  C a + 2b = D a + 4b2  Hướng dẫn giải Chọn D y -3 -2 -1 O1 x Các phương trình hồnh độ giao điểm:  x  x   * − x2 = x    2  x = 4 − x = x * − x2 =  x = * x = GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 52 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng  (2 − Diện tích cần tính là: S = = ( 2x )  x2  +  2x −  2  ) − x dx + 2 2  − x dx = 2 + − 2 −  − x dx = − Ta có     4 0 − x dx Đặt x = 2sin t  dx = 2cos tdt Đổi cận: x =  t = ; x =  t = 2  ( − x ) dx =  2dx +  ( − x ) dx −  −  − x dx  − x dx =  − 4sin t cos tdx =  cos tdx =  (1 + cos 2t ) dx     1  =  t + sin 2t  =  +  = +    2  Vậy S = − − = −  2 Theo kí hiệu tốn ta suy a = , b = − Do mệnh đề a + 4b2  2 27 Câu 111 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x ; y x ;y 27 x A 27 ln B 27 ln C 28ln D 29ln Hướng dẫn giải x2 27 x 27 x 0; x x 3; x Xét pthđgđ x 27 x 27 x Suy x2 S x2 dx 27 27 x x2 dx 27 ln 27 Câu 112 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y = x − x + 12 tiếp tuyến điểm A (1;7 ) B ( −1;19 ) A B 3 Hướng dẫn giải C D Chọn B Ta có y = x − GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 53 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Gọi tiếp tuyến điểm A (1;7 ) d1 Suy d1 : y = y (1)( x − 1) + = −4 x + 11 Gọi tiếp tuyến điểm B ( −1;19 ) d Suy d : y = y ( −1)( x + 1) + 19 = −8x + 11 Ta có phương trình hồnh độ giao điểm d1 parabol x2 − x + 12 = −4 x + 11  x = Ta có phương trình hồnh độ giao điểm d parabol x2 − x + 12 = −8x + 11  x = −1 Ta có phương trình hồnh độ giao điểm d d1 −4x + 11 = −8x + 11  x = Vậy diện tích hình phẳng cần tính 1 S =  x − x + 12 + x − 11 dx +  x − x + 12 + x − 11 dx = + = 3 −1 Câu 113 Diện tích hình phẳng giới hạn y = x ; y = x ; y = miền x  ; y  1 A B C D 12 Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm x =  x = ; x =  x = Hình phẳng cần tính tạo từ hai hình ( H1 ) ( H )   y = 2x  Trong ( H1 )  y = x  S1 =  x − x dx = 24   x = 0; x =   y =1  Và ( H ) =  y = x  S2 =  − x dx = 24  x = ; x =  5 Vậy diện tích hình phẳng cần tính S = S1 + S2 = + = 24 24 12 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 54 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Câu 114 Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng a y 8x, y x đồ thị hàm số y x3 Khi a b b A 68 B 67 C 66 D 65 Hướng dẫn giải Ta có x x x x x 0;8 x x3 ; x x3 x x 2 Nên S 2 8x x3 dx x x dx 63 Câu 115 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y 1, y miền x 0, y A a Khi b a b B C Hướng dẫn giải x đồ thị hàm số y x2 D Ta có x x 1; x x2 x 0;1 x2 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu x P a g e 55 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Nên S x2 x dx x2 dx Câu 116 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( P ) : y = x2 − x + tiếp tuyến ( P) A (1; ) B ( 4;5) A B 9 Hướng dẫn giải C D Chọn A Ta có y = x − Tiếp tuyến ( P ) A B y = −2 x + ; y = x − 11 5  Giao điểm hai tiếp tuyến M  ; −1 2  Khi đó, dựa hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 56 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng S =  ( x − x + + x − ) dx +  ( x − x + − x + 11) dx = Câu 117 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ln x , y = , y = 1− x 1 A S = e − B S = e − C S = e + D S = e + 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A y () y = ln x y=1 O e y=1 e x2 Ta có S =  1 − (1 − x )  dx +  (1 − ln x ) dx = 1 x x e e 1 + x (1 − ln x ) −  xd (1 − ln x ) −1 1 = − −  x dx = − + x = − + ( e − 1) = e − x 2 1 Câu 118 Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng y = x a , y = x đồ thị hàm số y = x3 phân số tối giản Khi a + b b A 62 B 67 C 33 D 66 Hướng dẫn giải Chọn B 28 y 27 e e -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 -1 -1 -2 -3 -4 x Ta có GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 57 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng x = loại x = −2 x3 = x    x = 2 x = x3 = x   loại x = −1  x = 1 2  8x2 x4   x2 x4  63 Suy S =  (8 x − x )dx −  ( x − x ) dx =  −  −  −  = 16 − = 4 0   0 0 Khi a + b = 67 Câu 119 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x + ( P ) 2 3 3  tiếp tuyến kẻ từ điểm A  ; −3  đến đồ thị ( P ) Giá trị S 2  9 A B C Hướng dẫn giải Chọn C D y O x A 2 3   Giả sử  đường thẳng qua A  ; −3  có hệ số góc k ,  : y = k  x −  − 3 2   Để đường thẳng  tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x − x + hệ phương trình 2 x − = k   3  x − 4x + = k  x −  −    (1) ( 2) có nghiệm x = 3  Thay (1) vào (2) ta x − x + = ( x − )  x −  −  x2 − 3x =   2  x = Với x = k = −4 , phương trình tiếp tuyến y = −4 x + Với x = k = , phương trình tiếp tuyến y = x − Diện thích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x + hai tiếp tuyến y = −4 x + y = x − 3 3 S =  ( x − x + + x − 3) dx +  ( x − x + − x + ) dx =  x dx +  ( x − x + ) dx 2 3 x ( x − 3) = + 3 3 = 2 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 58 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Câu 120 Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) : y = x hai đường thẳng y = a , y = b (0  a  b) (hình vẽ) Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P ) đường thẳng y = a (phần tô đen); ( S2 ) diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P ) đường thẳng y = b (phần gạch chéo) Với điều kiện sau a b S1 = S2 ? A b = 4a B b = 2a C b = 3a Hướng dẫn giải D b = 6a Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm parabol ( P ) : y = x với đường thẳng y = b x2 = b  x =  b Phương trình hồnh độ giao điểm parabol ( P ) : y = x với đường thẳng y = a x2 = a  x =  a Diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P ) : y = x đường thẳng y = b  b b  4b b  x3  S =  ( b − x ) d x =  bx −  =  b b − =  3 0   Diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P ) : y = x đường thẳng y = a (phần tô màu đen) b b  a a  4a a  x3  S1 =  ( a − x ) d x =  ax −  =  a a − =  3 0   a a ( ) ( ) 3 4b b 4a a =  b = a  b = a  b = 4a 3 Câu 121 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x + x trục hoành Hai đường Do S = 2S1  thẳng y = m y = n chia ( H ) thành phần có diện tích (tham khảo hình vẽ) GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 59 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Giá trị biểu thức T = ( − m ) + ( − n ) A T = 320 B T = 75 C T = 512 15 D T = 450 Hướng dẫn giải Chọn A Sử dụng cơng thức: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ax + bx + c trục hoành S = 3 , với a   = b2 − 4ac  6a x = Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành − x2 + x =   x = 4 32 Diện tích hình ( H ) S =  ( − x + x ) dx = Từ đó, diện tích S1 giới hạn đồ thị hàm số y = − x + x đường thẳng y = m (16 − 4m ) 13 S1 = = = S 6a diện tích S giới hạn đồ thị hàm số y = − x + x đường thẳng y = n (16 − 4n ) 32 S2 = = = S 6a 3  (16 − 4m )   64  32  ( − m ) =   =      Từ   128   (16 − 4n )3 64  − n = )   =  ( 43     320 3 Suy T = ( − m ) + ( − n ) = Câu 122 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x , y = A 63 B 27 ln − 63 C 27 ln Hướng dẫn giải x2 27 , y= x D 27 ln − 63 Chọn C GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 60 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x2 x 27 27 =  x = ; x2 = x=0 ;  x = x2 = 8 x x   27 x  x2  Ta có : S HP =   x −  dx +   −  dx  x  0 3 S HP  x3 x3   x3  63 63 = 27ln =  −  +  27 ln x −  = + 27 ln − 24   24   Câu 123 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đường y = ( x − 3) , trục tung trục hoành Gọi k1 , k ( k1  k2 ) hệ số góc hai đường thẳng qua điểm A ( 0;9 ) chia ( H ) làm ba phần có diện tích Tính k1 − k2 13 A B 25 Hướng dẫn giải C D 27 Chọn D Gọi d1 : y = k1 x + , d2 : y = k2 x + ( k1  k2 )      9 Gọi M = d1  Ox  M  − ;0  ; N = d  Ox  N  − ;0   −  −  k1   k1   k2   k2 Giao điểm ( P ) : y = ( x − 3) với hai trục tọa độ C ( 3;0 ) , A ( 0;9 ) Theo giả thiết ta có SAON = SANM  OM = 2ON  − 18 = −  k2 = 2k1 k1 k2 243 27 Lại có S( H ) = 3SAON   ( x − 3) dx = .OA.ON  = −  k2 = − 2k 2 27 27 Suy k1 = −  k1 − k2 = 4 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 61 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Câu 124 Tính diện tích S hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị ( d1 ) : y = x − , x ( d2 ) : y = + , ( P ) : y = x2 − x + 189 13 487 27 A S = B S = C S = D S = 16 48 Hướng dẫn giải Chọn A  x= x 2  Phương trình hồnh độ giao điểm: + = x − x +  x − x + =   2 x = x = Phương trình hoành độ giao điểm: x − = x2 − x +  x2 − x + =   x = x Phương trình hồnh độ giao điểm: x − = +  x − =  x = 2 H Diện tích hình phẳng ( ) : x  S =   + − ( x − x + ) dx +   x − − ( x − x + )  dx  2 2 1 2  x3    =   − x + x −  dx +  ( − x + x − ) dx =  − + x − x   1  1 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu  x3  189 +  − + 3x2 − x  =   16 P a g e 62 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Dạng 5:Diện tích S giới hạn đường: - Đồ thị x = g ( y ) , x = h ( y ) , h ( y ) liên tục đoạn  c, d  - Hai đường thẳng x = c, x = d d S =  g ( y ) − h ( y ) dy c Câu 125 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y 2 y x 0, x y 9 11 A B C D 2 Hướng dẫn giải y 2 y, x y Biến đổi hàm số theo biến số y x Xét pt tung độ giao điểm ( y 2 y) y có nghiệm y 0, y 3 0 Câu 126 Diện tích hình phẳng hình vẽ sau Vậy S A y y dy Ta có y y y dy B y 11 y , Nên S y Hướng dẫn giải 10 ( y y )dy GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu C D 10 P a g e 63 | 63 ... Hướng dẫn giải Chọn A Theo định nghĩa ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng Câu 46 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục thỏa mãn f ( )   f ( −1) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y =... Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 29 | 63 Chuyên Đề :Tích Phân Ứng Dụng Tức S =  −  ( ) − x − 3x dx y = 3x Câu 71 Gọi S diện tích giới hạn đường:  Tìm m để diện tích S=4? y = mx A m=6 B m=-6 C m=  D... P a g e | 63 Chuyên Đề :Tích Phân Ứng Dụng Diện tích hình phẳng S =  −2 x + x − dx = −  ( x + x − ) dx = −2 Câu 24 Hình phẳng giới hạn đường y = x − , x = Ox có diện tích 16 20 A B C D

Ngày đăng: 30/03/2020, 15:57

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w