A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đường b y = f(x), x = a, x = b trục hồnh S = ò f(x) dx a Phương pháp giải tốn Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) đoạn [a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ò f(x) dx a Diện tích hình phẳng 2.1 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường b ò f(x) - y = f(x), y = g(x), x = a, x = b S = g(x) dx a Phương pháp giải tốn Bước Tìm nghiệm thuộc [a;b] giả sử có nghiệm ( a £ a < b £ b ) a b ò f(x) - S= g(x) dx = a Bước ò(f(x) - ò f(x) - g(x) dx + b g(x))dx + g(x) dx + ò f(x) - g(x) dx b b ò(f(x) - g(x))dx + a a ò f(x) - b a a a = b ò(f(x) - g(x))dx b *Ngồi ta dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối 2.2 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường b y = f(x), y = g(x) S = ò f(x) - g(x) dx Trong a, b nghiệm nhỏ lớn phương a trình f(x) = g(x) ( a £ a < b £ b ) 2.3.Tính hình phẳng giới hạn nhiều đường Xét đại diện đường (C1),(C2),(C3),(C4) Phương pháp: dùng đồ thị B1 vẽ đồ thị lên mp B2 xđ giao điểm chúng giả sử x1,x2,x3,x4 B3: B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y = f(x) ³ " x Ỵ [ a; b ] , y = , x = a b x = b (a < b) quay quanh trục Ox V = pò f (x)dx a Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường x = g(y) ³ " y Ỵ [ c; d ] , x = , y = c d y = d (c < d) quay quanh trục Oy V = pò g2 (y)dy c Bài tập Tính diện tích hình phẳng: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y = x2 - 2x + 4, y - = x; c) y = x2 - 2x + 2, y = -x2 - x + 3; e) y = x2 - 2x + 4, y - = x; g) y = x3 - 12x, y = x2; b) y = x2 - 2x + 3, y = - x; d) y = x3 - 3x, y = x; f) y = 2x - x2, x + y = 2; h) y = 2x3 - x2 - 8x + 1, y = 2x − 10x − 12 Bài 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thò hàm số y = đường thẳng y = x+2 − x2 + x Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thò hàm số y = trục hoành x +1 Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thò hàm số y = x + 3x2, trục hoành đường thẳng x = -2, x = -1 Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, trục tung, đồ thò hàm số y = x - 3x + đường thẳng x = -1 2x + Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn trục tung, trục hoành đồ thò hàm số y = x +1 Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thò hàm số y = e x, y = đường thẳng x = Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x y = x + sin2x với x ∈ [0; π] Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thò hàm số y = cosx đoạn [0; 2π], trục hoành, trục tung đường thẳng x = 2π Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y = x3, x + y = 2, y = 0; b) y = x, y = 0, y = - x; c) y = −2 x , y = e-x, x = 1; e d) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1 Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y = x3 - tiếp tuyến đồ thò hàm số y = x3 - điểm (-1; -2) b) (P): y = -x2 + 6x - 8, tiếp tuyến đỉnh parabol (P) trục tung c) y = x3 - 3x tiếp tuyến với đường cong điểm có hoành độ x = - 2 Thể tích vật thể tròn xoay: Bài 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox a) y = x + 1, y = 0, x = -1, x = 2; b) y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = Bài 2: Tính thể tích hình tròn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) y = 5x - x2, y = 0; b) y = -3x2 + 3, y = Bài 3: Tính thể tích hình tròn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) y = - x2, y = 1; b) y = 2x - x2, y = x; c) y = x3, y = x = Bài 4: Tính thể tích hình tròn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường (C) y = x + 1, x = tiếp tuyến (C) điểm (1; 2) quay quanh trục Ox Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: 1) y = x2 - 2x + 2, y = 0, x = -1, x = a) y = sin x cos x, x = 0, x = π , y = 2) y = x2 - 2x, y = 0, x = -1, x = 3) y = -x2 + 4x, y = 4) y = x2 + x + 2, y = 2x + 5) y = x2 - 2x + 2, y = -x2 - x + 2 6) y = x , y = x + 3x 2 b) y = x; y = x − 7) y = x, y = 0, y = - x c) y = x ( P ); y = ,tiếp tuyến (P) x= 2 8) y = x2, y = x , y = x 9) y = x − x + , y = 2 10) y = x − x + , y = x + 11) (P): y = x2, x = tiếp tuyến với (P) điểm có hoành độ x = 13) (P): y = -x2 + 4x - tiếp tuyến (P) điểm M1(0; -3), M2(3; 0) 14) (P): y = -x2 + 4x tiếp tuyến (P) qua điểm A( ; 6) π 15) y = tgx, y = 0, x = 0, x = 16) y = lnx, y = 0, x = , x = e e x 17) y = ,y= 1+ x2 18) y = - − x , x2 + 3y = x2 x2 19) y = − ,y= 4 20) y = x + x , x = 0, x = 1 21) y = − x , y = ex, x = e 22) y = 2x, y = x, y = 0, y = 23) y2 = 2x + 1, y = x - 24) y = x , x + y - = Bài 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau: 1) y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2, quay xung quanh trục Ox 2) y = tgx, y = 0, x = 0, x = π , quay xung quanh trục Ox 4 , y = 0, x = 1, x = 4, quay xung quanh trục Ox x 4) y = xlnx, y = 0, x = 1, x = e, quay xung quanh trục Ox x3 5) y = , y = x2, quay xung quanh trục Ox 6) y = 2x2, y = 2x + 4, quay xung quanh trục Ox 7) y = 5x - x2, y = 0, quay xung quanh trục Ox 8) y2 = 4x, y = x, quay xung quanh trục Ox 3) y = 9) y = x ln(1 + x ) , y = 0, x = 1, quay xung quanh trục Ox x 10) y = e x , y = 0, x = 1, x = 2, quay xung quanh trục Ox Tổng hợp: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng a) y = x + 3x, y = - x + 5, x = - x b) y = (e + 1)x; y = (1 + e )x p c) y = x; y = x(1 + t an x); x = d) y = x - 3x + 3x - 1(C); y = ,tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ x=3 e) y = x - 1; y = 2x + 1; f) y = x - 3x; y = 6x - 12 3; p g) y = sin x, x = 0, x = , y = y = x, y = x, y = h) k) y = x + sin x, y = x, x = 0, x = p x2 l) y = - x , y = 2 m) x + y = 8, y = x Bài 2:a)Xét hình phẳng (H) bị chắn (P) : y=x phía dt qua A(1;4) có hsg k Tìm K để (H) có diện tích nhỏ 3 b) Cho (C) y = x3 + mx − x − 2m − Tìm m ∈ (0; ) cho hình phẳng giới hạn (C);x=0;x=2;y=0 có S = Bài 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh Ox a) y = x cos x + sin x , y = 0, x = 0, x = π b) y = xe x , y = 0, x = 0, x = c) y = x ln(1 + x ), y = 0, x = d) y = − x , y = + x e) y = x − x + 6, y = − x − x + f) y = x , y = − x, y = g) y = + cos4 x + sin x , y = 0, x = 0, x = h) ( x − 2) + y = l) y = −3x + 10, y = 1, y = x π