ON THI THPTQGCHU DE UNG DUNG TICH PHAN tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả cá...
Chuyên đề nghiên cứu MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I. CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN 1. Một số công thức cơ tính đạo hàm [c]’ = 0 [x]’ = 1 [x α ]’ = αx α – 1 [sinx]’ = cosx [cosx]’ = –sinx [tanx]’ = 1 cos 2 x [cotx]’ = -1 sin 2 x [lnx]’ = 1 x [log a x ]’ = [af(x)]’ = a.f’(x) [f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x) [f(x).g(x)]’ = f’(x).g(x) + f(x).g’(x) f(x) g(x) ' = f'(x).g(x) - g'(x).f(x) [g(x)] 2 [f(g(x))]’ = g’(x).f’(g) 2. Vi phân Từ đạo hàm của hàm số y = f(x) kí hiệu là dy dx = f'(x) ta suy ra dy = f’(x).dx dy ta gọi là vi phân của hàm số dx ta gọi là vi phân của đối số (biến) Như vậy: Vi phân của hàm số bằng tích của đạo hàm của hàm số đó với vi phân của biến. 3. Tích phân S = f(x).dx = g(x) + C Trong dấu tích phân là một hàm số và một vi phân. Vi phân của biến nào thì tính tích phân theo biến đó, tất cả các đại lượng khác biến đều được xem là hằng số. Từ các đạo hàm cơ bản, hãy viết các tích phân cơ bản: dx = x + c x α dx = 1 α x α + 1 + c … … … … … … … … VD Trong việc tính tích phân S = dx 1-3x ta nghĩ đến công thức dx x = ln|x| + C. Tuy nhiên công thức này phải hiểu là: thương số giữa vi phân của biến dx với biến x. Còn với tích phân cần tìm thì, thương số giữa vi phân của biến dx với một hàm của biến 1 – 3x. Ta có thể khắc phục điều này bằng cách đặt ẩn phụ X = 1 – 3x, khi đó trong tích phân cũng phải có vi phân của ẩn phụ X, đó là dX = X’(x).dx Hay dX = -3dx Suy ra dx = -dX 3 Thay trở lại tích phân cần tìm ta được dạng của công thức: S = -1 3 dX X Bây giờ thì áp dụng được công thức, ta tính được S = -1 3 (ln|X| + C) = -1 3 (ln|1 - 3x| + C) Bây giờ hãy thử tự mình tính một số tích phân sau : a) S = 1 2 1 + x 2 .xdx b) S = 0 π 3 cos(t + π)dt DẠNG 1: TỪ CÁC PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN, THIẾT LẬP PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 1. Các phƣơng trình cơ bản Cơ học: + Định luật II Niu-tơn: F 1 + F 2 + … = ma + Định luật bảo toàn động lượng: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ’ + m 2 v 2 ’ + Định lí động năng: 1 2 mv 2 2 - 1 2 mv 1 2 = A Điện học: + Định luật Ôm cho đoạn mạch + I(R + r) = U Nhiệt học: + Nguyên lí I: Xét một quá trình rất nhỏ của sự biến đổi một khối khí Nhiệt lượng được truyền dQ Nội năng biến đổi một lượng dU Khí thực hiện công dA dQ = dU + dA 2. Các vi phân cơ bản Chuyên đề nghiên cứu a = dv dt v = dx dt I = dq dt =- dΦ dt C = dQ dT (C là nhiệt dung bằng đạo hàm của nhiệt lượng theo nhiệt độ tuyệt đối) 3. Áp dụng + Lập phương trình cơ bản + Đưa về dạng vi phân: Mỗi vế có một vi phân, biến của vi phân nào thì nằm cùng vế với vi phân đó + Tích phân hai vế theo các cận xác định Bài 1 Một vật khối lượng m = 1 kg, vận tốc ban đầu v 0 = 10 m/s, chịu lực cản có độ lớn F c = kv, v là vận tốc của vật, hằng số k = 1 kg/s). 1. Viết biểu thức vận tốc của vật tại thời điểm t 2. Chứng minh rằng vận tốc của vật giảm dần theo hàm số bậc nhất của đường đi. 3. Tính quãng đường vật đi được cho tới lúc dừng. Giải 1. Vận tốc theo thời gian t Bài toán đang xét vật chuyển động dưới tác dụng của một lực, đó là F c + Chọn chiều dương là chiều chuyển động + Định luật II Niu-tơn -F c = ma -kv = m dv dt Bây giờ ta đưa vi phân dt và dv về hai vế, đồng thời biến v về cùng vế với vi phân dv dt = - m k . dv v Do ta xét chuyển động của vật từ thời điểm ban đầu t = 0 đến thời điểm t nào đó, thì vận tốc cũng từ v 0 đến giá trị v nào đó, tích phân hai vế theo các cận này: 0 t dt = - v 0 v m k dv v t = - m k (lnv - lnv 0 ) = m k ln v 0 v v = v 0 e -k m t 2. Vận tốc theo quãng đường s Ta chỉ xét chuyển động cho đến khi dừng lại, tức là chuyển động theo một chiều, nên quãng đường có thể xem như tọa độ của vật s = x Từ công hệ thức đã có ở ý 1: -kv = m dv dt Với v = ds dt ta suy ra -kds = mdv Tích phân hai vế v 0 v dv = - k m 0 s ds v = - k m s + v 0 3. Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia năm 2017 An Trường THPT Hải III, ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Tính diện tích hình phẳng Note: Diện tích hình phẳng giới hạn đường b S = ∫ f (x) − g(x) dx a y = f(x); y = g(x); x = a; x = b (a < b) là: Chú ý: Nếu toán cho thiếu hai đường thẳng x = a x = b hai ta phải giải phương trình f(x) = g(x) để tìm chúng Tính thể tích vật thể tròn xoay Note: Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f(x) ; y = ; x = a ; x = b (a < b) quanh Ox là: b VOx = π ∫ [ f (x)]2 dx a Câu Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường A B e - 2( dvdt ) C e - 1( dvdt ) , là: y = ( e + 1) x y = + ex x ( x = 0, x = A p B ( dvdt) B p Câu 4: Cho hình phẳng thẳng x=2 e + 1( dvdt ) y = sin2x, y = cosx hai đường thẳng : (H) C ( dvdt) Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn A D e - 1( dvdt ) Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường ) y = x, y = sin2 x + x C p (H) : ( < x < p) (C ) : y = ex ( dvdt) có kết D 2p giới hạn đường cong Diện tích hình phẳng D ( dvdt) , trục p Ox , trục Oy đường Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia năm 2017 An A B e+ Trường THPT Hải C e2 - e + Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn là: Câu 6: Cho (C ) thị A : 1 y = x3 + mx2 - 2x - 2m 3 C + ln2 Giá trị D – ln2 cho hình phẳng giới hạn đồ æ 5ö ÷ mÎ ç 0; ÷ ç ÷ ç ÷ è 6ø , có diện tích là: y = , x = , x = C ( ) m=2 B m= Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn A x ;y = x 1- x2 B – ln2 e2 - y= A D e2 +3 B C y = ex - e- x ;Ox;x = 1 e+ - e D m= C e+ m=- là: D e Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn e+ - e có kết là: y = + x , y = x - 1, x = 0, x = A B 29 Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn A B e - 2e + C 26 y =| ln x |;y = 1 e+ - e C D 25 là: D e + 2e - Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn đường , là: x y= x 4 2 y = 4A 2p + ( dvdt ) B 2p + ( dvdt) 27 C p + ( dvdt ) D 2p - ( dvdt) Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia năm 2017 An Câu 11: Với giá trị A m Trường THPT Hải dương diện tích hình phẳng giới hạn hai đường B m=1 m=2 C D m= 3 Câu 13: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số hàm số A ( 1;2) B ( 4;5) B có kết dạng 13 12 Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn đường A 28 y = mx B 25 a b C y = - x + 3x - 3x + Khi x2 y= bằng: D 22 tiếp tuyến hai tiếp tuyến với đồ thị D C a +b 13 Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn đường , là: x = 0, x = a (a < 0) D y = x2 - 4x + y = 4- x m= đồ thị giao điểm đồ thị trục tung? A B C 27 23 4 12 đơn vị diện tích? Câu 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số A y = x2 y = x + 2x trục 26 Ox hai đường thẳng Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia năm 2017 An A B a3 + a2 Câu 16: Diện tích hình phẳng A Trường THPT Hải C - a3 + a2 (H ) giới hạn đường B (a + 1)3 C D a + 3a - 3a - A 2- ( dvdt) e B y = x + ax - a y=x với a