ON THI THPTQGCHU DE MAT CAU

ON THI THPTQGCHU DE MAT CAU tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực...

Chuyên đề : Mặt cầu 1. Bài toán I (Về phương trình mặt cầu ) Có hai cách lựa chọn : - Nếu dùng phương trình + + =z z(S) : 2 2 2 2 0 0 0 (x- x ) (y- y ) ( - ) R , thì nói chung cần hệ 4 phương trình với 4 ẩn là z 0 0 0 x ,y , ,R - Nếu dùng phương trình + + + 2 z z (S) : 2 2 x y 2ax + 2by + 2c + d = 0 , thì nói chung cần hệ 4 phương trình với 4 ẩn là a, b, c, d Ví dụ 1 : Lập phương trình mặt cầu đi qua A(0,1,0), B(1,0,0), C(0,0,1) và tâm I nằm trên + + − =z(P):x y 3 0 Giải Xét phương trình của mặt cầu (S ) theo dạng + + + 2 z z (S) : 2 2 x y 2ax + 2by + 2c + d = 0 ( + + > 2 2 2 a b c d ). Vì (S ) đi qua A, B, C nên ta có  + + =  + + =   + + =  1 2b d 0(1) 1 2a d 0(2) 1 2c d 0(3) , (S ) có tâm I(-a, -b, -c), mà I thuộc (P), nên có – a – b – c – 3 = 0 hay a + b + c = - 3 (4) Giải hệ (1) (2) (3) (4) và có a = -1 , b = -1, c = -1, d = 1, tức là + + − − − 2 z z (S) : 2 2 x y 2x 2y 2 + 1 = 0 Ví dụ 2 : Lập phương trình mặt cầu đi qua A(3, 1, 0), B(5, 5, 0) và tâm nằm trên trục Ox ? Giải Gọi tâm là I, thì I(a,0,0). Vậy mặt cầu (S ) có dạng + + =z(S) : 2 2 2 2 (x- a) y R Theo bài ra ta có hệ phương trình  − + =  − + =  2 2 2 2 (3 a) 1 R (5 a) 25 R , giải ra ta có a = 10, R 2 = 50. Vậy phương trình (S )là + + =z(S) : 2 2 2 (x-10) y 50 Ví dụ 3 : Cho họ mặt phẳng cong (S m ) có phương trình (S m ) + + − − − + 2 z z 2 2 2 : x y 4mx 2my 6 + m 4m = 0 Trang 1 a) Tìm m để (S m ) là một họ mặt cầu b) Chứng minh rằng tâm của (S m ) luôn nằm trên một đường thẳng cố định Giải a) Viết lại họ dưới dạng + + = + + − − = − +z 2 2 2 2 2 2 2 (x- 2m) (y- m) ( - 3) 4m m 9 m 4m 4m 4m 9 Vì ∆' = 4 – 36 < 0, nên − + > ∀ 2 4m 4m 9 0 m . Vậy ∀m thì (S m ) luôn là một họ mặt cầu b) Tâm I của (S m ) là I(2m,m,3). Do đó nếu gọi m )z m m I(x ,y , là tâm của (S m ), thì với mọi m ta có  =  =  = ⇒   =   =  m m z z m m m x 2m x 2ym y m 3 3 . Vậy I luôn nằm trên đường thẳng sau  =  − = ⇔   = =   z z x 2y x 2y 0 d: 3 3 Ví dụ 4 : Cho họ mặt phẳng cong (S α ) có phương trình : (S α ) + + − α − α − 2 z 2 2 : x y 2xsin 2ycos 3 = 0 a) Tìm điều kiện α để (S α ) là một mặt cầu b) Chứng minh rằng tâm của họ (S α ) luôn nằm trên một đường tròn cố định Giải a) Viết lại họ (S α ) dưới dạng α + α + =z 2 2 2 (x- sin ) (y- cos ) 4 . Vậy ∀α thì (S α ) là phương trình của mặt cầu b) Gọi α I là tâm của mặt cầu (S α ), ta có α α α α )zI (x ,y , , ở đây α α α  = α  = α   =  z x sin y cos 0 . Từ đây suy ra ∀α , thì α I thuộc mặt phẳng xOy. Trên mặt phẳng này ta có α α + = 2 2 x y 1 , vậy α I nằm trên đường tròn tâm tại O, và bán kính bằng 1. Đường tròn này nằm trong mặt phẳng xOy Ví dụ 5 : Cho hai đường thẳng d 1 , d 2 có phương trình Trang 2  =  + =  =   + + =   =  z z 1 2 x 2t x y- 3 0 (d ): y t (d ): 4x 4y 3 -12 0 4 a) Chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau b) Lập phương trình mặt cầu (S ) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ) Giải a) (d 1 ) là đường thẳng qua M 1 (0,0,4) và có véc tơ chỉ phương = uur 1 u (2,1,0) , (d 2 ) là đường thẳng qua M 2 (3,0,0) và có véc tơ chỉ phương = − uur 2 u (1, 1,0) . Rõ ràng (d 1 ) không song song với (d 2 ) (vì uur 1 u không song song uur 2 u ). Xét hệ phương trình  + − =  = ⇔   + + − = =   2t t 3 0 t 1 8t 4t 12 12 0 t 0 Vậy hệ vô nghiệm, tức là (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau Chú ý: Dĩ nhiên có thể chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau bằng cách tính và thấy   ≠   uur uur uuuuur 1 2 1 2 u ,u .M M 0 b) Xét hai đường thẳng đã cho dưới dạng tham số  =  =   = = −     = =   z z 1 2 x 2t x 2s (d ): y t (d ): y s 4 0 . Gọi M, N tương ứng là chân đoạn vuông góc chung trên (d 1 ), (d 2 ). Ta có M(2t, t, 4), N(3+s,-s, 0) ⇒ = − + − − − uuur MN (s 2t 3, s t, 4) . Vì ⊥ ⊥ uuur uur uuur uur 1 2 MN u và MN u , nên ta có hệ phương trình sau để xác định t và s  − + − + =  − = −  = ⇔ ⇔ cng ụn thi THPT Quc Gia nm 2017 An Trng THPT Hi Dng toỏn 4.PHNG TRèNH MT CUV BI TON LIấN QUAN A PHNG PHP GII TON vit phng trỡnh mt cu (S), ta cn tỡm tõm I (a;b;c) v bỏn kớnh R ỡù T õm: I (a;b;c) (S) : ùớ ị (S) : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R ì ùù Bỏn kớnh : R ợ Phng trỡnh (S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = trỡnh mt cu tõm I (a;b;c), vi a2 + b2 + c2 - d > l phng bỏn kớnh: R = a2 + b2 + c2 - d B CC DNG BI TON PHNG TRèNH NG THNG BT Vit phng trỡnh mt cu Mt cu P2 ắắắ đ ỡù T õm : I (a;b;c) (S) : ùớ ị (S) : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R ì ùù Bỏn kớnh : R = IA ợ BT Vit phng trỡnh mt cu Mt cu P2 ắắắ đ cú ng kớnh AB, vi: (S) ỡù Tâ m: I trung điểm AB ùù (S): ùù Bán kính: R = IA = AB ùợ BT Vit phng trỡnh mt cu cú tõm I v i qua im A, vi: (S) Goi mt cu co dang ngoi tip t din (S) ABCD, : (S) x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = Thay ln lt toa ụ cua cac iờm A, B, C, D vao Gii hờ o ta tim c BT Vit phng trỡnh mt cu vi: Goi mt cu co dang vi: a, b, c, d ( S) ( S) Thay vao i qua ba im : (*), A, B,C ta c phng trinh suy mt cu x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = Kờt hp viờc thay toa ụ tõm I (a,b,c) (S) v tõm nm trờn mt phng Thay ln lt toa ụ cua cac iờm A, B, C vao c phng trinh th t (*) (*) (*) (P ), (*) ta c phng trinh vao phng trinh mt phng (P), ta Gii hờ o ta tim c BT Vit phng trỡnh mt cu phng (P ) (S) Thay vao (*), suy mt cu Mt cu ắắắ đ cú tõm I v tip xỳc vi mt I P I ( S) cú tõm I v tip xỳc vi ng thng trờn ng thng BT Vit phng trỡnh mt cu (S) R = IH cú tõm I v tip xỳc vi mt cu cua mt cu (T ) Xac inh tõm J va ban kớnh p dung iu kiờn tiờp xuc tim ban kớnh R cua mt cu RÂ (T ) (S) J I R' R ỡù I ( - 5;1;1) ù ùù (T ) : x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z + = ùợ R I ỡù I ( - 3;2;2) ù ùù (T ) : x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 8z + = ùợ theo dõy cung (S) AB = k cú tõm I v ct ng thng cho trc cỏc trng hp sau: Cn tim ban kớnh cua mt cu J R - R Â = IJ BT Vit phng trỡnh mt cu D cho trc, vi: R + R Â= IJ R' b) Tim toa ụ D Phng trinh mt cu co tõm la I, ban kớnh Tiờp xuc H ỡù T âm: I (a;b;c) (S) : ùớ ùù Bán kí nh: R = d(I ,(P )) = IH ợ hinh chiờu H cua Tiờp xuc ngoai: R BT Vit phng trỡnh mt cu a) (S) cho trc: P2 a, b, c, d Tớnh d(I , D) = IH R = IB ? cng ụn thi THPT Quc Gia nm 2017 An Trng THPT Hi Theo pitago, co ban kớnh: ổ AB ữ ữ R = IB = IH + ỗ ì ỗ ữ ữ ỗ ố ứ Lu ý: Thay vi cho ụ dai dõy cung, bai co thờ cho tam giac vuụng, cõn, u hoc diờn tớch Khi o ta cn dựng hờ thc lng tim R = I B BT Vit phng trỡnh mt cu tõm Tớnh khong cach Tớnh ban kớnh mt cu I, ct (P ) theo mt ng trũn (C ), cú bỏn kớnh r d(I ,(P )) = IH R = IH + r A Cho mtcu (S): C BI TP TRC NGHIM cútõm I vbỏnkớnh R l: 2 x + y + z - 2x + 4y + = B I ( 1;- 2;0) , R = C I ( 1;- 2;1) , R = Trong khụng gian Oxyz, cho mt cu tõm I v bỏn kớnh R ca mt cu l: A B I ( - 1;2;0) ; R = I ( 1;- 2;0) ;R = Cho mt cu A I ( 1;- 2;1) , R = B A(- 1;3;2) Trong (S) C C khụng gian Bit A A m < - hay m > Trong m < - hay m > khụng (S ) : x m B m gian vi Oxyz O l gc ta ) l D.Khụng xỏc nh A(- 2;6;4) , phng trỡnh l phng trỡnh ca mt m < - hay m > - ta + y2 + z2 - 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = giỏ tr ca m l: , ( I ( 1;2;0) ; R = bng bao nhiờu ? C h OA Ta ? x2 + y2 + z2 - 2mx + 2(m - 2)y - 2(m + 3)z + 8m + 37 = cu Khi ú giỏ tr ca tham s D I ( - 1;2;0) ;R = Tỡm ta im A(2;- 6;- 4) I ( 1;- 2;0) , R = ( S ) : 2x2 + 2y2 + 2z2 + 4x - 8y + = (S) : x2 + y2 + z2 - 2x + 6y + 4z = ng kớnh ca mt cu D D m Ê - hay m Oxyz, gi s mt cu cú bỏn kớnh nh nht Khi ú A B C D TrongkhụnggianvihtaOxyz, cúphngtrỡnh A M nmtrong ( x - 1) 2 + ( y + 2) + z = 19 B M nmtrong ( S) choim ( S) C M nmtrờn ( S) A (2;-1;-1) thỡcúbaonhiờuimnmtrongmtcu (S) B C A C C (S):x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z = D.M trựngvitõmca ( S) Trongbaim (0;0;0); (1;2;3) v D D.Av B uỳng (x - 1) + (y - 2) + (z - 3) = Phngtrỡnhmtcui qua im 2 2 2 , B x + y + z + 6x + 8y - 4z = B 3 ( ;- ; ) 2 11 A 12 v x2 + y2 + z2 + 3x + 4y - 2z = A(1;1;1);B (1;2;1);C (3;3;3);D(3;- 3;3) C 3 ( ; ; ) 2 O ( 0,0,0) l: x2 + y2 + z2 - 3x - 4y + 2z = D Tatõmmtcui qua im , A ( 3,0,0) B ( 0,4,0) C ( 0,0, - 2) x + y + z - 6x - 8y + 4z = 10 A ( S) Phngtrỡnhmtcutõm I(1; 2; 3) vbỏnkớnh R=3 l: B 2 x + y + z - 2x - 4y - 6z + = (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 9 A vmtcu Tỡmkhngnhỳng ? Cho mtcu M (1;- 1;3) (3;3;3) D l : (3;- 3;3) TrongkhụnggianvihtaOxyzchocỏcim A(1 ;0 ;0) ; B(0 ;1 ;0) ;C(0 ;0 ;1), D(1 ;1 ;1) Bỏnkớnhmtcui qua bnim ABCD l : B C D 3 Cho A(2;0;0) cúbỏnkớnh , B (0;2;0) , C (0;0;2) , D(2;2;2) Mtcungoitiptdin ABCD cng ụn thi THPT Quc Gia nm 2017 An A Trng THPT Hi B C D 3 Cho mt cu (S) cú tõm I(4;2;-2), bỏn kớnh R Bit (S) tip xỳc (P): 12x 5z 19 =0 Bỏn kớnh R l? A B C D R = 39 R = 13 R =3 R = 13 13 Mt cu (S) tõm I(1 ;2 ;2) v tip xỳc vi 14 (P ) : x + 2y + 2z - = cú bỏn kớnh l : A B 15 Cho (S) l mt (P ) : x - 2y + 2z + = A A C B 16 C cu tõm D I (1;2;3) v tip xỳc vi mt phng Bỏn kớnh ca (S) l: C D Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P): x+ y+z+1=0 Vit phng trỡnh mt cu cú tõm I(1;1;0) v tip xỳc vi mp(P) B ( x - 1) + ( y - 1) + z2 = ( x + 1) 2 ( x - 1) + ( y ...Chuyên đề : Mặt cầu Phần 2 3. Bài toán III (Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu ) Xét mặt cầu ( ) + + =z zS 2 2 2 2 0 0 0 :(x-x ) (y- y ) ( - ) R và mặt phẳng (P) với phương trình + + + =z(P): Ax By C D 0 . Như vậy (S ) có tâm tại 0 z 0 0 I(x ,y , ) và bán kính R. Khi đó khoảng cách h từ tâm I tới (P) là : + + + = + + 0 z 0 0 2 2 2 Ax By C D h A B C + nếu h > R, thì (S ) và (P) không giao nhau + nếu h = R, thì (P) là tiếp diện của mặt cầu, tức là (P) và (S ) tiếp xúc với nhau. Nếu gọi T là tiếp điểm, thì ⊥IT (P) và IT = R + nếu h < R, thì (P) và (S ) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (C), vậy (C) xác định bởi hệ phương trình ( )  + + =  + + + =  z z z C 2 2 2 2 0 0 0 (x- x ) (y-y ) ( - ) R : Ax By C D 0 Lúc này tâm J của đường tròn giao tuyến (C) chính là hình chiếu của I lên (P). Gọi r là bán kính của (C), thì r được tính theo công thức sau: = − 2 2 r R h Ví dụ 1. Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d)  + − =  − =  zx 1 0 (d): y 2 0 , và cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 4, ở đây − =z(P):y 0 Bài giải Vì (C) cắt (P) theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 4, tức là bán kính của hình cầu bằng 4. Vì giao tuyến là đường tròn lớn, nên tâm I của hình cầu nằm trên (P), I lại nằm trên (d’), vì thế ta có hệ phương trình sau để xác định tọa độ của I Trang 1  + − =  = −   − = ⇔ =     − = =   z z z x 1 0 x 1 y 2 0 y 2 y 0 2 . Vậy I(-1,2,2) là tâm của mặt cầu (S ). Kết hợp với R = 4, suy ra (S ) có phương trình ( ) + + + =zS 2 2 2 :(x 1) (y-2) ( -2) 16 Ví dụ 2. Cho − + − =z(P):5x 4y 6 0 và − + + =z(Q):2x y 7 0 và  − + − =  − + + =  z z x y 2 3 0 (d): x 3y 0 Viết phương trình mặt cầu (S ), biết rằng tâm I của mặt cầu là giao điểm của (d) với (P), ngoài ra mặt phẳng (Q) cắt hình cầu (S ) theo thiết diện là hình tròn với diện tích π 20 Bài giải Trước hết tìm giao điểm I của mặt cầu. Vì nó là giao điểm của (d) với (P), nên ta có hệ phương trình sau để xác định tọa độ của I  − + − =  =   − + + = ⇔ =     − + − = =   z z z z x y 2 3 0 x 1 x 3y 0 y 0 5x 4y 6 0 1 . Vậy I(1,0,1) là tâm của mặt cầu (S ) Khoảng cách h từ I tới (Q) là + + = = + + 2 1 7 10 h 4 1 1 6 Gọi r là bán kính hình tròn thiết diện, ta có π = π ⇒ = 2 2 .r 20 r 20 . Khi đó nếu gọi R là bán kính của (S ), thì = + = + = 2 2 2 100 110 R r h 20 6 3 Vậy mặt cầu (S ) có phương trình ( ) + + =zS 2 2 2 :(x-1) y ( -1) 110/3 Ví dụ 3. Cho điểm I(1,2,-2), đường thẳng (d)  − − =  − + =  z 2x y 5 0 (d): y 3 0 và mặt phẳng + + + =z(P):2x 2y 5 0 a) Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm là I, sao cho (P) cắt (S ) theo đường tròn giao tuyến có chu vi bằng π8 b) Lập phương trình mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc với (S ) Trang 2 c) Chứng minh rằng (d) tiếp xúc với (S ) Bài giải Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến, ta có π = π ⇒ =2 r 8 r 4 Khoảng cách từ I tới (P) là h, với + − + = = + + 2 4 2 5 h 3 4 4 1 Vậy (S ) có bán kính = + = + = 2 2 R h r 9 16 5 Vì lẽ đó (S ) có phương trình ( ) + + + =zS 2 2 2 :(x-1) (y-2) ( 2) 25 b) Gọi (Q) là tiếp diện. Vì (Q) chứa (d), nên (Q) thuộc chùm mặt phẳng ( ) ( ) α − − +β − + =z2x y 5 y 3 0 Rõ ràng α ≠ 0 , nên có thể viết lại chùm mặt phẳng dưới dạng ( ) ( ) − − + − + =z2x y 5 m y 3 0 hay + − − + − =z2x (m 1)y m 3m 5 0 Ta có phương trình sau để xác định m + − + + − = ⇔ − = − + + − + 2 2 2 2 2(m 1) 2m 3m 5 5 7m 5 5 2m 2m 5 4 (m 1) m ⇔ − + = − + ⇔ + + = 2 2 2 49m 70m 25 50m 50m 125 m 20m 100 0 ⇔ + = ⇒ = − 2 (m 10) 0 m 10 Vậy tiếp diện (Q) có phương trình − + − =z2x 11y 10 35 0 c) (d) có véc tơ chỉ phương   − − = =  ÷  ÷ − −   r 1 0 0 2 2 1 u , , (1,2,2) 1 1 1 0 0 1 Rõ ràng điểm M(0,-5,-2) thuộc (d). Vậy khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng (d) là h 1 , với     = uur r r 1 IM,u h u . Trang 3 Do = − − uur IM ( 1, 7,0) nên   −   = = − − −  ÷  ÷   − − −   uur r 7 0 0 1 1 2 IM,u , , ( 14, 2, 5) 2 2 2 1 1 7 Do vậy + + = = = = + + 1 196 4 25 15 h 5 R 3 1 4 4 Từ h 1 = R, suy ra đường thẳng (d) tiếp http://mathblog.org Chương 12 Mặt cầu và khối tròn xoay 12.1 Mặt cầu, khối cầu  Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp; điều kiện cần và đủ để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là một hình lăng trụ đứng và có đáy là một đa giác có đường tr òn ngoại tiếp. Phương pháp chung để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và khối lăng trụ là : (i) Xác định tâm (đườn g tròn ngoại tiếp) của đa giác đáy. (ii) Xác định trục của đáy (là đường thẳng qua tâm đáy và vuông góc với đáy). (iii) Xác định mặt trung trực của một cạnh bên. Mặt trung trực này cắt trụ c của đáy tại đâu thì đó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp. Chú ý : 1. Nếu có một c ạ nh bên nào đó vuông góc với đáy (tổng quát là đồng phẳng với trục của đáy), ta thay việc dựng mặt phẳng trung trực bởi dựng đường trung trực của cạnh bên này trong mặt phẳng tạo bởi đường trung trực và trục của đáy. 2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp cũng có thể xác định là giao của trục của đa giác đáy và trục c ủa một mặt bên. Bài 12.1 : Cho tam giác cân ABC có BAC = 120 ◦ và đường cao AH = a √ 2. Trên đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tạ i A lấy hai điểm I và J ở về hai phía của điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân. 1. Tính theo a độ dài các cạnh của tam giác ABC. 2. Tính theo a độ dài AI, AJ. 3. Chứng minh rằng BIJ, CIJ là các tam giác vuông. 4. Xác định tâm và tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC. 5. Xác định tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC. Bài 12.2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và S A vuông góc với mặt phẳng đ áy. Gọi B ′ , C ′ , D ′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên S B, SC, SD. Chứng minh rằng 1. Các điểm A, B ′ , C ′ , D ′ đồng phẳng. 2. Bảy điểm A, B, C, D, B ′ , C ′ , D ′ nằm trên một mặt cầu . 3. Hình chóp S.ABCD nội tiếp một mặt cầu. 239 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 12.3 : Cho tam giác ABC vuông tại C. Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt p hẳng (ABC) tại A. Điểm S thay đổi trên ∆ (S khác A). Hạ AD⊥SC và AE⊥S B. Chứng minh rằng 1. Các điểm A, B, C, D, E thuộc cùng một mặt cầu. 2. Bốn điểm B, C, D, E cùng một đường tròn. Bài 12.4 : Cho hình chóp tam g iá c đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc ϕ. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 12.5 : Cho tứ diện ABCD có bán kính mặt cầu nội tiếp r. Gọi S tp là tổng diện tích các mặt của tứ diện; h A , h B , h C , h D lần lượt là độ dài đường cao xuất phát từ A, B, C, D của tứ diện. Chứng minh rằng 1. V ABCD = 1 3 r.S tp . 2. 1 r = 1 h A + 1 h B + 1 h C + 1 h D . Bài 12.6 : Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của S B và S D. Biết AM⊥CN. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bài 12.7 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy, cạnh bên S B = a √ 3. 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 2. Chứng minh rằng trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bài 12.8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều, AB = 2a, BC = CD = DA = a, S A vuông góc với đáy, S A = h. Mặt phẳng qua A vuông góc với S B, cắt S B, SC, S D lần lượt tại B ′ , C ′ , D ′ . 1. Chứng minh rằng tứ giác A, B ′ , C ′ , D ′ nội tiếp một đường tròn. 2. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B ′ , C ′ , D ′ thuộc cùng một mặt cầu. 3. Tính thể tích khối chóp S.AB ′ C ′ D ′ . 4. Tính diện tích tứ giác AB ′ C ′ D ′ . Bài 12.9 : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = c, AD = BC = a, AC = BD = b. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Bài 12.10 : Cho tứ diện OABC vuông tại O, OA = a, OB = b, OC = c. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Bài 12.11 : Cho tứ diện OABC vuông tại O. Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp, chiều cao kẻ từ O của tứ Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1 mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Phần 1: Lý thuyết I. Định nghĩa : Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện (Đ) gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện (Đ). Từ định nghĩa suy ra : Tâm mặt cầu là điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình đa diện. II. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và hình lăng trụ 1.Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a.Trục của đờng tròn ( O; R ) : Đờng thẳng d gọi là trục của đờng tròn (O; R) khi và chỉ khi d qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa đờng tròn đó. b. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp : Hình chóp S.A 1 A 2 A n nội tiếp mặt cầu (S) khi và chỉ khi đáy của nó là một đa giác nội tiếp một đờng tròn. Chứng minh: Giả sử hình chóp S.A 1 A 2 A n nội tiếp trong mặt cầu (S). Khi đó, các đỉnh A 1 , A 2 , , A n của hình chóp nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp và đồng thời nằm trên đờng tròn giao tuyến của mặt phẳng đáy và mặt mặt cầu. Do vậy, đa giác đáy nội tiếp trong đờng tròn đó. Ngợc lại, S.A 1 A 2 A n có đáy A 1 , A 2 , , A n nội tiếp trong đờng tròn (C) thì ta gọi là trục của đờng tròn đó và gọi O là giao điểm của với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên, chẳng hạn SA 1 . Khi đó, OS = OA 1 = OA 2 = = OA n . Vậy hình chóp có hình cầu ngoại tiếp, đó là mặt cầu tâm O, bán kính R. c. Nhận xét Phần thứ hai của việc chứng minh bài toán trên cũng chính là một trong những cách xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp ( trong tr- ờng hợp ta đã biết hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp ). Việc xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp sẽ dễ hơn nếu ta biết trục của đờng tròn ngoại tiếp đa giác đáy đồng phẳng với một cạnh bên bất kỳ. Khi đó, mặt phẳng trung trực của một cạnh bên sẽ đợc thay thế bằng đờng trung trực của cạnh bên đồng phẳng với Ta cũng có thể xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo định nghĩa, tức là xác định điểm O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp, thông thờng là các đỉnh của hình chóp nhìn một đoạn thẳng dới một góc 90 0 , hoặc là phải dựa vào các yếu tố cân, đều của hình chóp 2. Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ a. Chứng minh rằng một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng và đáy là một đa giác nội tiếp một đờng tròn. Chứng minh : Nếu (H) là một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì các mặt bên là những hình bình hành có đờng tròn ngoại tiếp nên phải là hình chữ nhật. Vậy (H) phải là 1 Đặng Việt Hùng giáo viên trờng THPT Tiên Du số 1 hình lăng trụ đứng. ngoài ra, vì (H) có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải là một đa giác có đờng tròn ngoại tiếp. Ngợc lại, cho (H) là hình lăng trụ đứng có các đờng tròn (C), (C) ngoại tiếp hai đa giác đáy. Gọi I, I lần lợt là tâm hai đờng tròn đó thì II là trục của hai đờng tròn. Vì vậy, gọi O là trung điểm của đoạn II, suy ra O cách đều tất cả các đỉnh của hình lăng trụ đã cho. Vậy hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp. b. Nhận xét - Việc chứng minh ý hai của bài toán trên cũng chính là một trong những cách xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. - Cũng tơng tự hình chóp ta còn tìm một điểm O cách đều tất cả các đỉnh của hình lăng trụ. *********************************** Phần 2: Một số dạng bài tập áp dụng Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Trong dạng bài tập này ta sẽ xét một số bài tập xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều, hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy, hình lăng trụ đứng có đáy là các đa giác dễ xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp nó. Bài 1: (Hình chóp đều) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy là . Lời giải: Giả sử S.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy a. Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó, theo giả thiết của bài toán thì SG chính là trục của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và SMG = . Gọi I là trung điểm SA, kẻ đờng trung trực của ... nht Khi ú A B C D TrongkhụnggianvihtaOxyz, cúphngtrỡnh A M nmtrong ( x - 1) 2 + ( y + 2) + z = 19 B M nmtrong ( S) choim ( S) C M nmtrờn ( S) A (2;-1;-1) thỡcúbaonhiờuimnmtrongmtcu (S) B C A C... I ( 1;- 2;1) , R = Trong khụng gian Oxyz, cho mt cu tõm I v bỏn kớnh R ca mt cu l: A B I ( - 1;2;0) ; R = I ( 1;- 2;0) ;R = Cho mt cu A I ( 1;- 2;1) , R = B A(- 1;3;2) Trong (S) C C khụng gian... trũn cú chu vi l: B C 4p 4p mt cu A C D Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P): 23 A 2y + 6z + 14 = n mt phng (P) l B Cho (S): 22 ( P ) : 3x - Khong cỏch t tõm I ca mt cu (S) ct 2p 2x