1 I KHỐI TRỤ – www.MATHVN.com I KHỐI TRỤ Câu Gọi l , h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ Đẳng thức A l = h Câu B R = h C l = h + R D R = h + l Gọi l , h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ (T) Diện tích xung quanh S xq hình trụ (T) A S xq = 2π Rl Câu B S xq = π Rh C S xq = π Rl D S xq = π R h Gọi l , h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ (T) Diện tích toàn phần Stp hình trụ (T) A Stp = 2π Rl + 2π R Câu B Stp = π Rl + π R C Stp = π Rl + 2π R D Stp = π Rh + π R Gọi l , h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy khối trụ (T) Thể tích V khối trụ (T) A V = π R h B V = π R 2l C V = 4π R D V = π R h Câu Cho hình trụ có bán kính đáy cm chiều cao cm Diện tích toàn phần hình trụ A 90π (cm ) B 92π (cm ) C 94π (cm ) D 96π (cm ) Câu Cho hình trụ có bán kính đáy cm, đường cao 4cm, diện tích xung quanh hình trụ A 24π (cm ) B 22π (cm ) C 26π (cm ) D 20π (cm ) Câu Một hình trụ có bán kính đáy cm, chiều cao 10 cm Thể tích khối trụ A 360π (cm3 ) B 320π (cm3 ) C 340π (cm3 ) D 300π (cm3 ) Câu Thể tích V khối trụ có chiều cao a đường kính đáy a 1 A V = π a B V = π a C V = π a D V = π a 3 Câu Hình trụ (T) sinh quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB Biết AC = 2a ACB = 450 Diện tích toàn phần Stp hình trụ(T) A Stp = 16π a B Stp = 10π a C Stp = 12π a D Stp = 8π a Câu 10 Gọi l , h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ Đẳng thức A l = h B R = h C l = h + R D R = h + l Câu 11 Gọi l , h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ (T) Diện tích xung quanh S xq hình trụ (T) A S xq = 2π Rl B S xq = π Rh C S xq = π Rl D S xq = π R h Câu 12 Gọi l , h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ (T) Diện tích toàn phần Stp hình trụ (T) A Stp = 2π Rl + 2π R B Stp = π Rl + π R C Stp = π Rl + 2π R Facebook.com/mathvncom D Stp = π Rh + π R 2 I KHỐI TRỤ – www.MATHVN.com Câu 13 Gọi l , h, R độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy khối trụ (T) Thể tích V khối trụ (T) A V = π R h B V = π R 2l C V = 4π R D V = π R h 3 Câu 14 Cho hình trụ có bán kính đáy cm, đường cao 4cm, diện tích xung quanh hình trụ A 24π (cm ) B 22π (cm ) C 26π (cm ) D 20π (cm ) Câu 15 Cho hình trụ có bán kính đáy cm chiều cao cm Diện tích toàn phần hình trụ A 90π (cm ) B 92π (cm ) C 94π (cm ) D 96π (cm ) Câu 16 Một hình trụ có bán kính đáy cm, chiều cao 10 cm Thể tích khối trụ A 360π (cm3 ) B 320π (cm3 ) C 340π (cm3 ) D 300π (cm3 ) Câu 17 Thể tích V khối trụ có chiều cao a đường kính đáy a 1 A V = π a B V = π a C V = π a D V = π a 3 Câu 18 Hình trụ (T) sinh quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB Biết AC = 2a ACB = 450 Diện tích toàn phần Stp hình trụ (T) A Stp = 16π a B Stp = 10π a C Stp = 12π a Câu 19 Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao trục hình trụ cách trục khoảng D Stp = 8π a 3R Mặt phằng (α ) song song với R Diện tích thiết diện hình trụ với mp (α ) A 3R B 2R2 3 C 3R 2 D 2R2 Câu 20 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA’ = 2a Tam giác ABC vuông A có BC = 2a Thề tích hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ A 6π a B 4π a C 2π a D 8π a Câu 21 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, mặt bên hình vuông Diện tích toàn phần hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ A 2π a ( + 1) B 4π a C 2π a D 3π a 2 Câu 22 Cho hình trụ có có bán kính R AB, CD hai dây cung song song với nằm hai đường tròn đáy có độ dài R Mặt phẳng (ABCD) không song song không chứa trục hình trụ Khi tứ giác ABCD hình A hình chữ nhật B hình bình hành C hình vuông D hình thoi Câu 23 Cho hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy a chiều cao h Khi thể tích khối trụ nội tiếp lăng trụ A π 12 B π C 2π Facebook.com/mathvncom D 4π 3 I KHỐI TRỤ – www.MATHVN.com Câu 24 Thiết diện qua trục hình trụ (T) hình vuông có cạnh a Diện tích xung quanh S xq hình trụ (T) A S xq = π a B S xq = π a 2 C S xq = 2π a D S xq = a Câu 25 Một hình trụ (T ) có diện tích xung quanh 4π thiết diện qua trục hình trụ hình vuông Diện tích toàn phần (T ) A 6π B 12π C 10π D 8π Câu 26 Cho lăng trụ lục giác ABCDEF có cạnh đáy a Các mặt bên hình chữ nhật có diện tíchbằng 2a Thề h Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia năm 2017 An Tr ường THPT H ải CHỦ ĐỀ 3: MẶT TRÒN XOAY VÀ KHỐI TRÒN XOAY A – TỔNG HỢP LÝ THUYẾT I – MẶT CẦU VÀ KHỐI CẦU r { M không gian IM = R } MMặt cầu tâm I, bán kính R Định R nghĩa: O { M không gian IM ≤ R} Khối cầu tâm I, bán kính R P h Diện tích mặt cầu: S = 4π R V = π R3 M Thể tích khối cầu: H Giao mặt cầu với đường thẳng I ∆ B Trong không gian cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R đường thẳng A Gọi H hình chiếu tâm I ∆ • Nếu IH > R • Nếu IH = R • Nếu IH < R ∆ ∆ ∆ điểm chung với (S) tiếp xúc với (S) H(Trong trường hợp ta nói ∆ tiếp tuyến (S) H) cắt (S) hai điểm phân biệt Giao mặt cầu với mặt phẳng R không gian cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R mặt phẳng (P) Trong Gọi H hình chiếu tâm I (P) • Nếu IH > R (P) điểm chung với (S) • Nếu IH = R (P) tiếp xúc với (S) H Trong trường hợp ta nói (P) tiếp diện (S) H • Nếu IH < R (P) cắt (S) theo đường tròn (C) có tâm H, bán kính r = R − IH l II – HÌNH NÓN VÀ KHỐI NÓN I1 Định nghĩa hình nón khối nón ∆OIM ĐN1: Cho vuông I quay quanh cạnh OI Khi đường gấp khúc OMI tạo hình nón I O gọi đỉnh hình nón • Điểm • Đoạn OI gọi chiều cao hình nón • Đoạn OM gọi đường sinh hình nón • Cạnh IM quay quanh OI tạo mặt đáy hình nón • Cạnh OM quay quanh OI tạo mặt xung quanh hình nón ĐN2: Khối nón phần không gian giới hạn hình nón kể hình nón S xq = π Rl Diện tích xung quanh hình nón : Stp = S xq + Sđáy = π Rl + π R Diện tích toàn phần hình nón : Thể tích khối nón: V = π R2h III –OHÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia năm 2017 An Tr ường THPT H ải Định nghĩa hình trụ khối trụ ĐN1: Cho hình chữ nhật OABI quay quanh cạnh OI Khi đường gấp khúc OABI tạo hình trụ • Đoạn OI gọi chiều cao hình trụ • Đoạn R AB gọi đường sinh hình trụ • Hai cạnh OA IB quay quanh OI tạo hai mặt đáy hình trụ • Cạnh AB quay quanh OI tạo mặt xung quanh hình trụ ĐN2: Khối trụ phần không gian giới hạn hình trụ kể hình trụ l S xq = 2π Rl Diện tích xung quanh hình trụ : Stp = S xq + Sđáy = 2π Rl + 2π R Diện tích toàn phần hình trụ : V = π R 2h Thể tích khối trụ: B - BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng 1: Hình nón khối nón Bài Tính thể tích khối nón có chiều cao a góc đỉnh ĐS: V =πa 1200 Bài Tính thể tích khối nón có độ dài đường sinh 2a,diện tích xung quanh bằng V= 2π a π a3 3 ĐS: Bài Trong không gian cho tam giác vuông OAB O có OA = 4, OB = Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA đường gấp khúc OAB tạo thành hình nón tròn xoay a) Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón π π π ĐS: Sxq =15 ; Stp = 24 ;V =12 Bài Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a a) Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón π πa3 v= π ĐS: Sxq a2; Stp = 23 a2; Bài Một hình nón có chiều cao a thiết diện qua trục tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón π π πa3 v= ĐS: Sxq = a2 ; Stp = (1 + ) a2 ; Dạng 2: Hình trụ khối trụ Bài Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích toàn phần khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 3a cạnh bên 4b V = 12a 2bπ ĐS: Bài Một hình trụ có bán kính đáy R thiết diện qua trục hình vuông.Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình trụ.Tính thể tích khối trụ π π ĐS: Sxq =4 R ; Stp = R ; V = = 2πR3 Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia năm 2017 An Tr ường THPT H ải Bài Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm khoảng cách hai đáy 7cm a) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình trụ tính thể tích khối trụ b) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trụ 3cm Hãy tính diện tích thiết diện tạo nên π π ĐS: a) Sxq = 70 (cm2); π Stp = 20 (cm2); V = 175 (cm3) b) S = 56 (cm2) Dạng 3: Mặt cầu khối cầu Bài Cho tứ diện ABCD có DA=5a vuông góc với (ABC), ∆ABC vuông B AB = 3a, BC = 4a a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu 5a = 125 2πa3 = = 50πa2 ĐS: R ;S ; V Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu a 2 π a3π ĐS: R = ; S = 2a2 ; V = Bài Cho hình chóp S.ABC có đỉnh nằm mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c ba cạnh SA, SB, SC đôi vuông góc Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu ĐS: S= 6πa2 ; V= πa3 C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM l , h, R Câu Gọi độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy khối nón (N) Thể tích V khối nón (N) là: 1 V = π R2h V = π R 2l 2 V =πR h V =πR l 3 B C D A Câu Cho hình nón có bán kính đáy 3a, chiều cao 4a thể tích hình nón là: 15π a 36π a3 12π a 12π a B C D A l , h, R Câu Gọi độ dài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình trụ (T) Diện tích toàn phần Stp hình trụ (T) là: Stp = π Rl + π R Stp = 2π Rl + 2π R Stp = π Rl + 2π R Stp = π Rh + π R B C D A Câu Cho hình trụ có bán kính đáy cm, đường cao 4cm, diện tích xung quanh hình trụ là: 24π (cm ) 22π (cm ) 26π (cm ) 20π (cm ) B C D A Câu Một hình trụ có bán kính đáy cm, chiều cao 10 cm Thể tích khối trụ là: 360π (cm3 ) 320π (cm3 ) 340π (cm3 ) 300π (cm3 ) B C D A Câu Gọi R bán kính , S diện ... Quang hình Bài tập vật lí 9 Bài 1 Vẽ các tia sáng còn lại trong trờng hợp sau Bài 2 Vẽ ảnh của vật AB qua thấu kinh sau Bai 3Xác định quang tâm ,loại thấu kính tiêu điểm tiểu cự của thấu kinh trong trờng hợp sau Bài 4 Đặt vật AB vuông góc với trục chính của thấu hội tụ có tiêu cự f= 24cm ,sao cho điểm A nằm trên trục chính của thấu kính và cách thấu kính một khoảng d .Hãy xác định vị trí , tính chất của ảnh trong các trờng hợp sau a) d=36cm b) d=12cm Bài 5 Đặt vật AB vuông góc với trục chính của thấu hội tụ có tiêu cự f=12 cm , thì thấy ảnh A B của AB là ảnh thật gấp 3 lần vật .Hãy xác định vị trí của vật và ảnh so với thấu kính Bài 6 Đặt vật AB vuông góc với trục chính của thấu hội tụ có tiêu cự f=24 cm và cách thấu kính một khoảng là d=36 cm a) Hãy vẽ hình và xác định tính chất của ảnh b) Xác định khoảng cách từ ảnh đến thấu kính Bài 7 Đặt vật AB vuông góc với trục chính của thấu phân kì có tiêu cự f=12cm và cách thấu kính một khoảng d= 36cm a) Hãy vẽ ảnh của vật qua thấu kính b) Cho vật cao 1cm thì ảnh của nó cao bao nhiêu ? Bài8 Đặt vật AB vuông góc với trục chính của thấu phân kì sao cho A nằm trên trục chính của thấu kínhvà cách thấu kính một khoảng là 6ocm thì ảnh qua thấu kính cao 24cm . a) Tính tiêu cự của thấu kính . b) Biết AB = 1,5 cm .Tìm chiều cao của ảnh . Bài 9Đặt vật AB vuông góc với trục chính của thấu phân kì có tiêu cự f=32cm sao cho AB vuông góc với trục chính của thấu kính ,A nằm trên trục chính của thấu kính .Biết ảnh AB chỉ cao bằng 1/4 vật AB xác định vị trí của vật và ảnh cng ụn thi THPT Quc Gia nm 2017 An Trng THPT Hi II, TCH PHN Khỏi nim tich phõn Cho ham sụ ham cua liờn tuc trờn f (x) f (x) trờn thi K c ki hiờu la K va F (b) - F (a) c goi la nguyờn f (x) Khi o: t vi b ũ f (x)dx a a ờn b va goi la cõn b I = ũ f (x) ìdx = F (x) = F (b) - F (a), a a a b F (x) c goi la tich phõn cua b di, Ham sụ a, b ẻ K la cõn trờn ụi vi biờn sụ lõy tich phõn, ta co thờ chon bõt ki mụt ch khac thay cho x , nghia la: b b b I = ũ f (x) ìdx = ũ f (t) ìdt = ũ f (u) ìdu = ììììì= F (b) - F (a) a a Nờu ham sụ a liờn tuc va khụng õm trờn oan y = f (x) thang cong gii han bi ụ thi cua x = a, x = b truc y = f (x), Ox ộa;bự ỷ ỳ thi diờn tich S cua hinh va hai ng thng la: b S = ũ f (x) ìdx ì a Tinh chõt cua tich phõn va b a a ũ f (x)dx = - ũ f (x)dx a ũ f (x)dx = b vi b b ũkf (x)dx = kũ f (x)dx, a a (k 0) a b b b b ũ ộờởf (x) g(x)ựỳỷdx = ũ f (x)dx ũ g(x)dx a a c b ũ f (x)dx = ũ f (x)dx + ũ f (x)dx a a a c Dng toỏn TNH TCH PHN BNG PHNG PHP DNG BNG NGUYấN HM ũ Cõu Nờu A 17 f ( x) dx = 10 ũ va B 170 f ( x) dx = ũ f ( x) dx thi co gia tri la: C D ũ f ( x)dx = ũ f ( t)dt = - ũ f ( u)du Cõu Cho A. 2 va B co gia tri la : C D cng ụn thi THPT Quc Gia nm 2017 An 5 2 Trng THPT Hi ũ f ( x) dx = 3; ũ g( x) dx = Cõu Cho biờt A Cha xac inh Gia tri ca C B 12 b A = ũộ f x + g( x) ự dx ỳ ở( ) ỷ la D b ũ f (x)dx = ũ f (x)dx = a Cõu Gi s A c va B ộ0;10ự ỷ ỳ liờn tc trờn on a va a < b < c thi C f ( x) Cõu Cho ham s ũ f (x)dx c 10 ũ bng? D f ( x) dx = 7, ũ f ( x) dx = tho: Khi o, gia tri 10 P = ũ f ( x) dx + ũ f ( x) dx ca A P =1 B P =4 la C P =3 D P =2 ũ f '( x) dx = 17 f ( 1) = 12 f '( x) Cõu Nờu A 29 , liờn tc va B Gia tri ca C 15 Cõu Nờu A 29 ũ f ( 2x) dx liờn tc va bng D 19 ũ f ( x) dx = 10 f ( x) f ( 4) thi bng B C D 19 d ũ f ( x) dx = d a Cõu Nờu A va ũ f ( x) dx = b b f ( x) dx , vi a < d < b thi ũ co gia tri la: a C - B D ộa;bự ỳ ỷ ng thc nao sau õy sai? Cõu Cho f (x) la ham s liờn tc trờn b A C a b ũ f (x)dx = - ũ f (x)dx a B b b c b a a c ( b ) ũ f (x)dx = ũ f (x)dx + ũ f (x)dx, c ẻ ộởờa;bựỷỳ D ũkdx = k(b - a)" k ẻ Ă a a ũ f (x)dx = ũ f (x)dx a b b ũ( 2x - 4) dx = 0 Cõu 10 A Biờt ộ b=1 ờ b= B , o ộ b= ờ b= b nhn gia tri bng ộ b=1 ờ b= C m Cõu 11 A Tim m ũ( 2x + 5)dx = , biờt m = 1, m = - m = 1, m = B D ộ b= ờ b= cng ụn thi THPT Quc Gia nm 2017 An Trng THPT Hi m = - 1, m = - m = - 1, m = C D x F (x) = ũ(t2 + t)dt F (x) Cõu 12 A Cho Gia tri nh nht ca trờn B C 2 ũ f ( x) dx = ũ ộờở4f ( x) - Cõu 13 Cho A ộ- 1;1ự Chuyên đề nghiên cứu MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I. CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN 1. Một số công thức cơ tính đạo hàm [c]’ = 0 [x]’ = 1 [x α ]’ = αx α – 1 [sinx]’ = cosx [cosx]’ = –sinx [tanx]’ = 1 cos 2 x [cotx]’ = -1 sin 2 x [lnx]’ = 1 x [log a x ]’ = [af(x)]’ = a.f’(x) [f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x) [f(x).g(x)]’ = f’(x).g(x) + f(x).g’(x) f(x) g(x) ' = f'(x).g(x) - g'(x).f(x) [g(x)] 2 [f(g(x))]’ = g’(x).f’(g) 2. Vi phân Từ đạo hàm của hàm số y = f(x) kí hiệu là dy dx = f'(x) ta suy ra dy = f’(x).dx dy ta gọi là vi phân của hàm số dx ta gọi là vi phân của đối số (biến) Như vậy: Vi phân của hàm số bằng tích của đạo hàm của hàm số đó với vi phân của biến. 3. Tích phân S = f(x).dx = g(x) + C Trong dấu tích phân là một hàm số và một vi phân. Vi phân của biến nào thì tính tích phân theo biến đó, tất cả các đại lượng khác biến đều được xem là hằng số. Từ các đạo hàm cơ bản, hãy viết các tích phân cơ bản: dx = x + c x α dx = 1 α x α + 1 + c … … … … … … … … VD Trong việc tính tích phân S = dx 1-3x ta nghĩ đến công thức dx x = ln|x| + C. Tuy nhiên công thức này phải hiểu là: thương số giữa vi phân của biến dx với biến x. Còn với tích phân cần tìm thì, thương số giữa vi phân của biến dx với một hàm của biến 1 – 3x. Ta có thể khắc phục điều này bằng cách đặt ẩn phụ X = 1 – 3x, khi đó trong tích phân cũng phải có vi phân của ẩn phụ X, đó là dX = X’(x).dx Hay dX = -3dx Suy ra dx = -dX 3 Thay trở lại tích phân cần tìm ta được dạng của công thức: S = -1 3 dX X Bây giờ thì áp dụng được công thức, ta tính được S = -1 3 (ln|X| + C) = -1 3 (ln|1 - 3x| + C) Bây giờ hãy thử tự mình tính một số tích phân sau : a) S = 1 2 1 + x 2 .xdx b) S = 0 π 3 cos(t + π)dt DẠNG 1: TỪ CÁC PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN, THIẾT LẬP PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 1. Các phƣơng trình cơ bản Cơ học: + Định luật II Niu-tơn: F 1 + F 2 + … = ma + Định luật bảo toàn động lượng: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ’ + m 2 v 2 ’ + Định lí động năng: 1 2 mv 2 2 - 1 2 mv 1 2 = A Điện học: + Định luật Ôm cho đoạn mạch + I(R + r) = U Nhiệt học: + Nguyên lí I: Xét một quá trình rất nhỏ của sự biến đổi một khối khí Nhiệt lượng được truyền dQ Nội năng biến đổi một lượng dU Khí thực hiện công dA dQ = dU + dA 2. Các vi phân cơ bản Chuyên đề nghiên cứu a = dv dt v = dx dt I = dq dt =- dΦ dt C = dQ dT (C là nhiệt dung bằng đạo hàm của nhiệt lượng theo nhiệt độ tuyệt đối) 3. Áp dụng + Lập phương trình cơ bản + Đưa về dạng vi phân: Mỗi vế có một vi phân, biến của vi phân nào thì nằm cùng vế với vi phân đó + Tích phân hai vế theo các cận xác định Bài 1 Một vật khối lượng m = 1 kg, vận tốc ban đầu v 0 = 10 m/s, chịu lực cản có độ lớn F c = kv, v là vận tốc của vật, hằng số k = 1 kg/s). 1. Viết biểu thức vận tốc của vật tại thời điểm t 2. Chứng minh rằng vận tốc của vật giảm dần theo hàm số bậc nhất của đường đi. 3. Tính quãng đường vật đi được cho tới lúc dừng. Giải 1. Vận tốc theo thời gian t Bài toán đang xét vật chuyển động dưới tác dụng của một lực, đó là F c + Chọn chiều dương là chiều chuyển động + Định luật II Niu-tơn -F c = ma -kv = m dv dt Bây giờ ta đưa vi phân dt và dv về hai vế, đồng thời biến v về cùng vế với vi phân dv dt = - m k . dv v Do ta xét chuyển động của vật từ thời điểm ban đầu t = 0 đến thời điểm t nào đó, thì vận tốc cũng từ v 0 đến giá trị v nào đó, tích phân hai vế theo các cận này: 0 t dt = - v 0 v m k dv v t = - m k (lnv - lnv 0 ) = m k ln v 0 v v = v 0 e -k m t 2. Vận tốc theo quãng đường s Ta chỉ xét chuyển động cho đến khi dừng lại, tức là chuyển động theo một chiều, nên quãng đường có thể xem như tọa độ của vật s = x Từ công hệ thức đã có ở ý 1: -kv = m dv dt Với v = ds dt ta suy ra -kds = mdv Tích phân hai vế v 0 v dv = - k m 0 s ds v = - k m s + v 0 3. DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRÒ GIỎI” A. NGUYÊN HÀM 1 Nguyên hàm : 1.1 Định nghĩa Hàm số ( ) F x gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K nếu ( ) ( ) ;F x f x x K ′ = ∀ ∈ . 1.2 Định lý : Nếu ( ) F x là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K thì mọi hàm số có dạng ( ) F x C + cũng là nguyên hàm của ( ) f x trên K và chỉ những hàm số có dạng ( ) F x C+ mới là nguyên hàm của ( ) f x trên K . Ta gọi ( ) F x C+ là họ nguyên hàm của ( ) f x trên K và ký hiệu là ( ) f x dx ∫ . Vậy : ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ . 1.3 Tính chất : 1.3.1 Tính chất 1 : ( ) ( ) ( ) 0kf x dx k f x dx k = ≠ ∫ ∫ . 1.3.2 Tính chất 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ . 1.4 Nguyên hàm của những hàm số thường gặp : ( ) , ; 0m n m∈ ≠¡ dx x C = + ∫ kdx kx C = + ∫ ( ) 1 1 1 x x α α α α + = ≠ − + ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 mx n mx n dx C m α α α α + + + = + ≠ − + ∫ ln dx x C x = + ∫ 1 ln dx mx n C mx n m = + + + ∫ x x e dx e C = + ∫ 1 mx n mx n e dx e C m + + = + ∫ ln x x a a dx C a = + ∫ 1 ln mx n mx n a a dx C m a + + = + ∫ sin cosxdx x C= + ∫ ( ) ( ) 1 sin cosmx n dx mx n C m + = + + ∫ cos sinxdx x C = − + ∫ ( ) ( ) 1 cos sinmx n dx mx n C m + = − + + ∫ 2 tan cos dx x C x = + ∫ ( ) ( ) 2 1 tan cos dx mx n C mx n m = + + + ∫ Chuyên đề: Nguyên hàm & tích phân * Trang 1 * GV: Nguyễn Văn Huy NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Chuyên đề 4 : DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRÒ GIỎI” 2 cot sin dx x C x = − + ∫ ( ) ( ) 2 1 cot sin dx mx n C mx n m = − + + + ∫ Chú ý : Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa, ta phải biến đổi hàm số này thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản đã biết hoặc có thể tìm được nguyên hàm. 2 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số : 2.1 Định lý : Nếu ( ) ( ) f u du F u C = + ∫ và ( ) u u x= là hàm số có đạo hàm liên tục thì : ( ) ( ) ( ) f u x u x dx F u x C ′ = + ∫ . 2.2 Các dạng nguyên hàm tính bằng phương pháp đổi biến số thường gặp : Dạng nguyên hàm cần tìm Cách đặt biến số ( ) sin cosf x xdx ∫ sin sint x t m x n = ∨ = + ( ) cos sinf x xdx ∫ cos cost x t m x n = ∨ = + ( ) 1 lnf x dx x ∫ ln lnt x t m x n = ∨ = + ( ) 2 1 tan cos f x dx x ∫ tan tant x t m x n = ∨ = + ( ) 2 1 cot sin f x dx x ∫ cot cott x t m x n = ∨ = + ( ) 1k k f x x dx − ∫ k k t x t mx m = ∨ = + ( ) x x f e e dx ∫ x x t e t me n = ∨ = + Chú ý : Nếu hàm số dưới dấu nguyên hàm có chứa dấu căn ( ) n thì thường ta đặt : n t = 3 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần. 3.1 Công thức : udv uv vdu = − ∫ ∫ 3.2 Các dạng nguyên hàm tính bằng phương pháp từng phần thường gặp : 3.2.1 Dạng 1 : ( ) ( ) p x q x dx ∫ (trong đó ( ) p x là hs đa thức; ( ) q x là hàm số ( ) sin x α hoặc ( ) cos x α hoặc ( ) x e α ) Trong trường hợp này ta đặt : ( ) ( ) u p x dv q x dx = = Chuyên đề: Nguyên hàm & tích phân * Trang 2 * GV: Nguyễn Văn Huy DẠY KÈM TẠI NHÀ - ĐT: 0909 64 65 97 “THẦY GIỎI – TRÒ GIỎI” 3.2.2 Dạng 2 : ( ) ( ) p x q x dx ∫ (trong đó ( ) p x là hs đa thức; ( ) q x là hàm số logarit) Trong trường hợp này ta đặt : ( ) ( ) u q x dv p x dx = = 4 Bài tập : 4.1 Bài 1 : Chứng minh rằng hàm số ( ) ( ) 2 1 x F x e x = + là nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 2 1 x f x e x = + . 4.2 Bài 2 : Chứng minh rằng hàm số ( ) ln 3F x x x x = − + là nguyên hàm của hàm số ( ) lnf x x= . 4.3 Bài 3 : Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) cos 2 3tanf x x x = − . 4.4 Bài 4 : Tìm nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 2 1 2x f x x + = thỏa cng ụn thi THPT Quc Gia nm 2017 Trng THPT Hi An Ch 7: NGUYấN HM - TCH PHN - NG DNG CA TCH PHN I, Nguyờn hm A- Túm tt lý thuyt Khỏi nim nguyờn hm v tớnh cht Khỏi nim nguyờn hm Cho ham s xac inh trờn Ham s c goi la nguyờn hm cua ham f (x) K F (x) s f (x) Nờu f (x) trờn F (x) trờn nờu: K F Â(x) = f (x), " x ẻ K la mụt nguyờn ham cua K trờn thi ho nguyờn hm cua ham s K la: ũ f (x) ìdx = F (x) +C , const = C ẻ f (x) Tớnh cht: Nờu la ham s liờn tc trờn f (x), g(x) ã Ă ã ũ f Â(x)dx = f (x) +C ã ũ ộờởf (x) g(x)ựỳỷdx = ũ f (x)dx ũ g(x)dx K va kạ thi ta luụn cú: ũkf (x)dx = kũ f Chuyên đề : Mặt cầu 1. Bài toán I (Về phương trình mặt cầu ) Có hai cách lựa chọn : - Nếu dùng phương trình + + =z z(S) : 2 2 2 2 0 0 0 (x- x ) (y- y ) ( - ) R , thì nói chung cần hệ 4 phương trình với 4 ẩn là z 0 0 0 x ,y , ,R - Nếu dùng phương trình + + + 2 z z (S) : 2 2 x y 2ax + 2by + 2c + d = 0 , thì nói chung cần hệ 4 phương trình với 4 ẩn là a, b, c, d Ví dụ 1 : Lập phương trình mặt cầu đi qua A(0,1,0), B(1,0,0), C(0,0,1) và tâm I nằm trên + + − =z(P):x y 3 0 Giải Xét phương trình của mặt cầu (S ) theo dạng + + + 2 z z (S) : 2 2 x y 2ax + 2by + 2c + d = 0 ( + + > 2 2 2 a b c d ). Vì (S ) đi qua A, B, C nên ta có + + = + + = + + = 1 2b d 0(1) 1 2a d 0(2) 1 2c d 0(3) , (S ) có tâm I(-a, -b, -c), mà I thuộc (P), nên có – a – b – c – 3 = 0 hay a + b + c = - 3 (4) Giải hệ (1) (2) (3) (4) và có a = -1 , b = -1, c = -1, d = 1, tức là + + − − − 2 z z (S) : 2 2 x y 2x 2y 2 + 1 = 0 Ví dụ 2 : Lập phương trình mặt cầu đi qua A(3, 1, 0), B(5, 5, 0) và tâm nằm trên trục Ox ? Giải Gọi tâm là I, thì I(a,0,0). Vậy mặt cầu (S ) có dạng + + =z(S) : 2 2 2 2 (x- a) y R Theo bài ra ta có hệ phương trình − + = − + = 2 2 2 2 (3 a) 1 R (5 a) 25 R , giải ra ta có a = 10, R 2 = 50. Vậy phương trình (S )là + + =z(S) : 2 2 2 (x-10) y 50 Ví dụ 3 : Cho họ mặt phẳng cong (S m ) có phương trình (S m ) + + − − − + 2 z z 2 2 2 : x y 4mx 2my 6 + m 4m = 0 Trang 1 a) Tìm m để (S m ) là một họ mặt cầu b) Chứng minh rằng tâm của (S m ) luôn nằm trên một đường thẳng cố định Giải a) Viết lại họ dưới dạng + + = + + − − = − +z 2 2 2 2 2 2 2 (x- 2m) (y- m) ( - 3) 4m m 9 m 4m 4m 4m 9 Vì ∆' = 4 – 36 < 0, nên − + > ∀ 2 4m 4m 9 0 m . Vậy ∀m thì (S m ) luôn là một họ mặt cầu b) Tâm I của (S m ) là I(2m,m,3). Do đó nếu gọi m )z m m I(x ,y , là tâm của (S m ), thì với mọi m ta có = = = ⇒ = = m m z z m m m x 2m x 2ym y m 3 3 . Vậy I luôn nằm trên đường thẳng sau = − = ⇔ = = z z x 2y x 2y 0 d: 3 3 Ví dụ 4 : Cho họ mặt phẳng cong (S α ) có phương trình : (S α ) + + − α − α − 2 z 2 2 : x y 2xsin 2ycos 3 = 0 a) Tìm điều kiện α để (S α ) là một mặt cầu b) Chứng minh rằng tâm của họ (S α ) luôn nằm trên một đường tròn cố định Giải a) Viết lại họ (S α ) dưới dạng α + α + =z 2 2 2 (x- sin ) (y- cos ) 4 . Vậy ∀α thì (S α ) là phương trình của mặt cầu b) Gọi α I là tâm của mặt cầu (S α ), ta có α α α α )zI (x ,y , , ở đây α α α = α = α = z x sin y cos 0 . Từ đây suy ra ∀α , thì α I thuộc mặt phẳng xOy. Trên mặt phẳng này ta có α α + = 2 2 x y 1 , vậy α I nằm trên đường tròn tâm tại O, và bán kính bằng 1. Đường tròn này nằm trong mặt phẳng xOy Ví dụ 5 : Cho hai đường thẳng d 1 , d 2 có phương trình Trang 2 = + = = + + = = z z 1 2 x 2t x y- 3 0 (d ): y t (d ): 4x 4y 3 -12 0 4 a) Chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau b) Lập phương trình mặt cầu (S ) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ) Giải a) (d 1 ) là đường thẳng qua M 1 (0,0,4) và có véc tơ chỉ phương = uur 1 u (2,1,0) , (d 2 ) là đường thẳng qua M 2 (3,0,0) và có véc tơ chỉ phương = − uur 2 u (1, 1,0) . Rõ ràng (d 1 ) không song song với (d 2 ) (vì uur 1 u không song song uur 2 u ). Xét hệ phương trình + − = = ⇔ + + − = = 2t t 3 0 t 1 8t 4t 12 12 0 t 0 Vậy hệ vô nghiệm, tức là (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau Chú ý: Dĩ nhiên có thể chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau bằng cách tính và thấy ≠ uur uur uuuuur 1 2 1 2 u ,u .M M 0 b) Xét hai đường thẳng đã cho dưới dạng tham số = = = = − = = z z 1 2 x 2t x 2s (d ): y t (d ): y s 4 0 . Gọi M, N tương ứng là chân đoạn vuông góc chung trên (d 1 ), (d 2 ). Ta có M(2t, t, 4), N(3+s,-s, 0) ⇒ = − + − − − uuur MN (s 2t 3, s t, 4) . Vì ⊥ ⊥ uuur uur uuur uur 1 2 MN u và MN u , nên ta có hệ phương trình sau để xác định t và s − + − + = − = − = ⇔ ⇔ cng ụn thi THPT Quc Gia nm 2017 An Trng THPT Hi Dng toỏn 4.PHNG TRèNH MT CUV BI TON LIấN QUAN A PHNG PHP GII TON vit phng trỡnh mt cu (S), ta cn tỡm ... tích toàn phần hình trụ tính thể tích khối trụ b) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trụ 3cm Hãy tính diện tích thi t diện tạo nên π π ĐS: a) Sxq = 70 (cm2); π Stp = 20 (cm2); V = 175... bán kính đáy R thi t diện qua trục hình vuông.Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình trụ.Tính thể tích khối trụ π π ĐS: Sxq =4 R ; Stp = R ; V = = 2πR3 Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia... có thi t diện qua trục tam giác cạnh 2a a) Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón π πa3 v= π ĐS: Sxq a2; Stp = 23 a2; Bài Một hình nón có chiều cao a thi t