Ôn tập nguyên hàm tích phân

Xin chµo C¸c Em häc Xin chµo C¸c Em häc sinh! sinh! C¸c ph ¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n C¸c ph ¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n I. Ph ¬ng ph¸p ®æi biÕn sè II. Ph ¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn Ph ơng pháp đổi biến số Ph ơng pháp đổi biến số Đổi biến số dạng 1: +Quy tắc: B ớc 1: Chọn ( một cách thích hợp ) B ớc 2: - Lấy vi phân - Đổi cận : Giả sử Khi đó B ớc 3: Tính ( )x u t= '( )dx u t dt= x a t x b t = = = = ( ). '( )I f ut u t dt = ( ). '( )I f ut u t dt = ( ) b a I f x dx= Tính Tính §æi biÕn sè d¹ng 1 §æi biÕn sè d¹ng 1 • Mét sè dÊu hiÖu dÉn tíi viÖc lùa chon u(t) 2 2 a x− [ ] sin , - ; 2 2 cos , 0; x a t t x a t t π π π    = ∈        = ∈  2 2 a x+ ( ) , - ; 2 2 cot , 0; x atgt t x a gt t π π π    = ∈  ÷      = ∈  2 2 ( )a x+ DÊu hiÖu C¸ch chän Bµi 1: Bµi 1: TÝnh TÝnh c¸c tÝch ph©n sau c¸c tÝch ph©n sau 1 2 3 1 0 1I x x dx= − ∫ 2 3 2 1 2 2 dx I x x = − + ∫ I. Ph ¬ng ph¸p ®æi biÕn sè 2 2 2 1 4 dx I x = − ∫ 1 2 4 0 1I x x dx= + ∫ 2 3 ( 1 )t x= − ( 2sin )x t= ( )x tgt= ( 1 )x tgt− = 2 2 1 ( 1) 1 dx x = − + ∫ 2 ( 1)t x= + Bµi gi¶i Bµi gi¶i §Æt: 2 3 2 2 3 3 1 1 1t x t x x t= − ⇒ = − ⇒ = − Ta cã: 2 2 3xdx t dt= − 0 1 1 0 x t x t = ⇒ = = ⇒ = VËy: 0 2 1 1 3 ( ) 2 I t t dt= − ∫ 1 2 3 1 0 1I x x dx= − ∫ 1 3 0 3 2 t dt= ∫ 4 1 0 3 8 t= 2 3 2 xdx t dt⇒ = − 3 8 = C¸ch 2 C¸ch 2 1 2 3 1 0 1I x x dx= − ∫ 1 1 2 2 3 0 1 (1 ) (1 ) 2 x d x= − − − ∫ 4 2 1 3 0 3 (1 ) 8 x= − − 3 8 = 2 2 2 1 dx 4 I x = − ∫ 2sin , t - ; 2 2 x t π π   = ∈     2 6 2 2 2cos 4 4sin tdt I t π π = − ∫ 1 ; 2 6 2 2cos x t x t dx tdt π π = ⇒ = = ⇒ = = §Æt: Ta cã: VËy: 2 2 6 2cos 2 1 sin tdt t π π = − ∫ 2 6 2cos = 2cos tdt t π π ∫ 2 2 6 6 2 6 3 dt t π π π π π π π = = = − = ∫ 1 , t ; 2 2 x tgt π π   − = ∈ −  ÷   ( ) 2 2 1 0 1 1 co ; 2 4 s dx dt tg t dt x x t x t π = = + = ⇒ = = ⇒ = §Æt: Ta cã: VËy: 2 2 4 4 4 0 2 2 1 0 0 (1 ) ( 1) 1 1 4 dx tg t dt dt t x tg t π π π π + = = = = − + + ∫ ∫ ∫ 2 2 3 2 2 1 1 2 2 ( 1) 1 dx dx I x x x = = − + − + ∫ ∫ [...]... Khi sử dụng ph ơng pháp tích phân từng phần cần chú ý: 1, Lựa chọn phép đặt dv sao cho v đợc xác định một cách dễ dàng 2, Tích phân sau phải đơn giản hơn tích phân trớc Một số dạng cơ bản: b P( x)ln f ( x)dx Đặt: u = ln f ( x) a b P ( x)e x dx a b P( x)sin xdx a b u = P ( x) e Đặt: u = sin x x e a } Đặt: x sin xdx II Phơng pháp tích phân từng phần Bài 3: Tính các tích phân sau 1 I1 = x ln(3 +... Tính các tích phân sau 1 1, 3 x 5 1 x 3 dx 2, 0 0 (t = 1 x ) 3 (t = x + 1) sin x cos 3 x 3, dx 2 1 + cos x 0 2 e 4, 1 5, x 0 3 1 x dx ( x = sin t ) 2 (t = 1 x ) 2 1 + 3ln x ln x dx x (t = 1 + 3ln x ) (t = cos x + 1) 2 1 x2 + 1 dx x +1 3 6, 0 1 (1 + x ) 2 3 dx ( x = tgt ) Bo lc Phơng pháp tích phân từng phần b a Sử dụng công thức: b a udv = uv b vdu (1) a Bớc 1: Biến đổi tích phân ban... 1 = (3 4cos 2t + cos 4t )dt = 80 4 2 Vậy: I 4 = 2 I I 4 ' 4 3 2 2I4 = 2 3 = 2 I4 4 3 2 I4 = 4 Bài tập: Tính các tích phân sau: 2 1 cos x 1, x dx e +1 1 2, 0 cos x dx sin x + cos x 2 3, x cos 0 2 x sin xdx 4, x cos 0 3 xdx ứng dụng của tích phân I Tính diện tích hình phẳng II Tính thể tích của vật thể tròn xoay ... Có thể đặt 0 Với I = f ( x)dx x = t 0 Với I= 2 f ( x) dx 0 Với b I = f ( x)dx a Tính các tích phân sau: 1 I1 = x 2006 sin xdx 1 Đặt: x = t Ta có: dx = dt x = 1 t = 1 x = 1 t = -1 1 1 Vậy: I1 = (t ) 2006 sin(t )(dt ) = t 2006 sin tdt 1 1 1 = x 1 2006 sin xdx = I1 2 I1 = 0 I1 = 0 (Tích phân không phụ thuộc vào biến) 2 sin n x I2 = n dx n sin x + cos x 0 Đặt: x = t 2 Ta có: dx = ... x = t 2 Ta có: dx = dt x = 0 t = ; x = t = 0 n sin ( t ) 2 0 I2 = 2 2 n sin ( t ) + cos ( t ) 2 2 n 2 2 (dt ) 2 cos n t cos n x = dt = dx n n n n cos t + sin t cos x + sin x 0 0 (Tích phân không phụ thuộc vào biến) 2 2 n n sin x cos x Vậy: 2 I 2 = dx + dx n n n n cos x + sin x cos x + sin x 0 0 2 = dx = x 0 I2 = 4 2 0 = 2 I 3 = x cos x sin xdx 2 3 0 Đặt: x = t Ta có: dx... u = e 2 x 1 dv = cos 2 xdx v = sin 2 x 2 1 2x Ta có: I = e sin 2 x e 2 x sin 2 xdx = I 0 4 2 0 1 2 1 Vậy: I 4 = e + I 4 2 2 1 1 2 2 I 4 = (1 e ) I 4 = (1 e 2 ) 2 4 ' 4 Bài 4: Tính các tích phân sau ( Sử dụng pp từng phần ) e lnx I1 = dx 2 1 ( x + 1) 1 I3 = 0 e (u = ln x) I2 = 2 0 x x sin dx 2 2 (u = x ) 2 ( x 2 + 2 x )e x dx (u = x + 2 x) 2 2 I 4 = e cos xdx 0 x 2 (u = e ) x Yờu . Bạo lực Bạo lực Ph ơng pháp tích phân từng phần Ph ơng pháp tích phân từng phần Sử dụng công thức: b b b a a a udv uv vdu= B ớc 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: 1 2 ( ) ( ) Khi sử dụng ph ơng pháp tích phân từng phần cần chú ý: 1, Lựa chọn phép đặt dv sao cho v đ ợc xác định một cách dễ dàng 2, Tích phân sau phải đơn giản hơn tích phân tr ớc ( ) b x a P. biến số Đổi biến số dạng 1: +Quy tắc: B ớc 1: Chọn ( một cách thích hợp ) B ớc 2: - Lấy vi phân - Đổi cận : Giả sử Khi đó B ớc 3: Tính ( )x u t= '( )dx u t dt= x a t x b