Chuyên đề Nguyên hàm Tích phân

Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang CHUYÊN ĐỀ NGHUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Trong chương trình Toán lớp 12 toán tính nguyên hàm- tích phân toán khó đại đa số học sinh Thực tế sau học sinh học xong phương pháp tính nguyên hàm - tích phân em chưa nắm tất dạng tập áp dụng phương pháp cách có hệ thống Nhằm giúp học sinh học tốt chủ đề nguyên hàm- tích phân, xin trình bày số cách biến đổi phù hợp với hàm số dấu tích phân cách khai thác giả thiết toán tích phân thường gặp kỳ thi tốt nghiệp phổ thông thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN tổng kết hệ thống dạng cách tính nguyên hàm tích phân hàm số, chuyên đề nầy nhằm vào đối tượng học sinh từ trung bình trở lên tài liệu cho giáo viên tham khảo Mặc dù có nhiều cố gắng khó tránh sai sót mong em học sinh thầy cô đóng góp thêm Phước Long ngày 10/5/2011 GV Lê Văn Quang Trang 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang Trang 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN PHẦN I NGUYÊN HÀM A Tóm tắt giáo khoa: Định nghĩa: f(x) F(x) hai hàm số xác định (a;b) F(x) nguyên hàm f(x) (a;b)  F’(x) = f(x) với x  (a; b) Nếu thay cho (a;b) đoạn  a; b  phải có thêm F '(a )  f (a) F '(b )  f (b) Định lí: Nếu F(x) nguyên hàm f(x) khoảng (a;b) : * F(x) + c c số tuỳ ý nguyên hàm f(x) * Mọi nguyên hàm f(x) có dạng F(x) + c với c số Họ nguyên hàm (đ/n tích phân bất định Nếu F(x) nguyên hàm f(x) F(x) + c họ nguyên hàm f(x) gọi tích phân bất định f(x) ký hiệu Vậy:  f ( x )dx :  f ( x )dx  F ( x )  c Các tính chất nguyên hàm (hay tích phân bất định) 1,   f ( x)dx  '  f ( x ) ; d  f ( x )dx  f ( x)dx 2,  af( x )dx  a  f ( x )dx (a  0) 3,  [f ( x )  g( x )]dx   f ( x )dx   g( x )dx 4,  f (t)dt  F(t)  c   f u( x) u '( x)dx  F u( x )  c Chú ý : Vì u '( x )dx  du nên đặt u = u(x) tính chất viết:  f (t)dt  F (t )  c   f (u)du  F (u)  c 5, Bảng nguyên hàm (xsgk) 6, Bảng nguyên hàm mở rộng:  1  ax  b    (ax  b) dx   c (  1, a  0) a  1 1  dx  ln ax  b  c (a  0) ax  b a axb ax  b  e dx  e  c (a  0) a  cos(ax  b )dx  sin(ax  b)  c (a  0) a  sin(ax  b )dx   cos(ax  b)  c ( a  0) a Trang 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang dx   1  tan (ax  b )  dx (ax  b )  tan(ax  b )  c ( a  0) a  dx   1  cot (ax  b) dx sin (ax  b)   cot(ax  b)  c (a  0) a  c os B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Sử dụng định nghĩa tính chất nguyên hàm:  Làm xuất biểu thức f(x) hàm số f1 ( x ), f2 ( x ), f3 ( x ) có  bảng ng/hàm biết   * * * Áp dụng tính chất nguyên hàm suy kết Vài cách biến đổi hàm số có bảng nguyên hàm n n x x *  x  n (n  1) n x tan x  (1  tan x )  cot x  (1  cot x )  ad b ax  b a c (chia tử cho mẫu)   cx  d c cx  d ax  bx  c (chia tử cho mẫu) a' x  b' * * f ( x )  af1 ( x )  bf2 ( x )  cf3 ( x )  Bài 1: Tìm họ nguyên hàm hàm số ssau: a) f ( x )  x  x  x  Giải:  f ( x )dx   ( x  x  x  7)dx  b) f ( x)  x   cot x x x x 5x x4    7x  c   x3  x  7x  c 4 Giải  cot x )dx =   x  x 2  1  cot x   1 dx x   x x 21 2 =  x  x   1 dx    cot x  x  c sin x  2    (x c)  f ( x)  x2  x x  x x = x 2 2 xx x xx Trang 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long Do ñoù  GV BS Lê Văn Quang x2  x x  x x  32  dx    x  x  x  dx   2 x x  c 2 2 x 2 2 x2  x   x c  x x   x x c 5 1   1 d) f ( x )    x x x 3x  x 1   1 Do đó: f ( x )   x  1 e)  1      12  x2 x3    dx    x  x  dx    c x    x  2 x  1 dx  Giải  4 x  x  1dx    x dx   x dx   1dx  x  x4  x  c x  x 4  g) f ( x )  Giải  h) x  x  dx  f ( x)   x  x 2  dx   x5 x 2   x  x  dx  Giải  x x dx  x3  c x  x dx   15 x dx   x 15 dx   x dx x  c  x7  c 7 3x   3x   3x   3x  3x   3x   f ( x)  i)  Do ñoù      3x   3x  3x   3x   3x   3x  2 f ( x )dx   3x   x  dx  1 1      x   dx   (3 x  2) dx  2    Trang 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang   2   x   1 (3 x  4)     c 3 3   2   1  3x     3x      c 4x   2 (Do chia tử cho mẫu) 2x  2x   4x   Do đó:  dx   2  dx  x  ln x   c  2x  x  1  k) f ( x )  4x2  6x  1  2x   (do chia tử cho mẫu) 2x  2x  4x2  6x  1 Do đó:  dx   (2 x   )dx  x  x  ln x   c 2x  2x  x x x x x m) f ( x )  (3  )    2.6 l) f ( x )  Do đó: x x x x x  (3  ) dx   dx   dx  2 dx  n) f ( x )  9x 4x 6x  2 c ln ln ln e2  x   e 6 x  e  x x e dx   e  x dx   e2 6 x  e x  c Nguyên hàm hàm số lượng giác  Dùng hệ thức bản, công thức hạ bậc đưa dạng tính nguyên hàm  Biến đổi hàm lượng giác thành tổng  Sau áp dụng công thức bảng nguyên hàm Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số: x x a) f ( x )  2sin b) cot x c) cos2 2 d) sin x cos2 x Do đó:  f ( x )dx   e e) f ( x )  sin2 x a) b) 2 6 x f) f ( x )  cos2 x Giải g) f ( x )  tan x x  2sin dx   (1  cos x)dx  x  s inx  c  cot x dx   (1  cot x )  1  cot x  x  c 2 x  cos x 1 dx   dx   (1  cos x )dx  ( x  s inx)  c 2 2 2 sin x  cos x dx dx d) dx   dx    2 2 sin x cos x sin x cos x cos x sin x  tan x  cot x  c c)  cos Trang 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long  1 e)  sin2 x dx   (1  cos2 x )dx   x  sin x   c  2  GV BS Lê Văn Quang 1 x  sin x  c 1 f)  cos2 x dx   (1  cos2 x )dx  ( x  sin x )  c 2 2 g )  tan x dx    (1  tan x )  1 dx        dx  tan x  x  c  cos x  Bài 2: Tìm họ nguyên hàm hàm số: a) f ( x )  sin3 x b) f ( x )  cos4 x c) f ( x )  tan x Tương tự f ( x )  sin x Giải a)  sin x dx   sin x s inx dx    (1  cos2 x )(cos x )' dx  2  (cos x  1) d (cos x )  cos3 x  cos x  c   cos2 x   cos x dx   (cos ) dx     dx   (1  2cos2 x  cos2 x )dx 1  cos x   (1  cos2 x  )dx   (3  cos2 x  cos4 x )dx  (3 x  sin x  sin x )  c 1 1  (3 x  2sin x  sin x )  c  x  sin x  sin x  c 8 32   c)  tan x dx   tan x tan x dx   tan x   1 dx  cos x  2 tan x  cos2 x dx   tan x dx     tan2 x d (tan x )     1 dx  tan x  c1  (tan x  x )  c2  cos x   tan3 x  tan x  x  c Bài 3: Tính: a)  sin n x cos x dx   sin n x(sin x )' dx   sin n d (sin x )  sin n1 x  c (n  1) n 1 b)  cosn x sin x dx    cosn x(cos x )' dx    cosn x d (cos x )  cosn1 x c (n  1) n 1 Bài 4: Tìm họ nguyên hàm hàm số: Trang  09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long a) f ( x )  sin 5x cos3x b) g( x )  cos 5x.cos3x Giải Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng sin a cos b  sin( a  b)  sin( a  b)  cos a cos b  cos( a  b)  cos( a  b)  sin a sin b  cos(a  b)  cos(a  b)  Ta có: a)  f ( x )dx   sin x cos3x dx   sin 8x  s in x  dx   1   cos8 x  cos2 x   c 2   GV BS Lê Văn Quang c) h( x )  sin 5x sin3x 1 cos8x  cos2 x  c 16  cos8 x  cos2 x  dx   1 1   sin 8x  sin x   c  sin 8x  sin x  c 16 8  c)  h( x )dx   sin 5x sin 3x dx    cos2 x  cos8 x  dx  1 1   sin x  sin 8x   c  sin x  sin 8x  c 2 16  Bài 5: Tìm họ nguyên hàm hàm số: a) f ( x )  sin x sin x sin x b) f ( x )  cos x cos2 x sin x Giải a) Ta biến đổi : f ( x )  s inx sin x sin x   cos x  cos3 x  sin x   1 1  cos x sin x  sin x cos3 x    (sin x  sin x )  (sin x  sin x ) 2 2  b)  g( x )dx   cos5 x cos3 x dx  (sin x  sin 3x  sin x  sin x ) Do đó:  f ( x )dx   (sin x  sin x  sin x  sin x ) dx 1 1  ( cos5x  cos3x  cos7x  cosx)  C 1 1   cos 5x  cos3 x  cos x  cos x  c 20 12 28 b) Ta biến đổi: f ( x )  cos x cos2x sin4x = (cos3 x  cos x )sin x  (sin x cos3x  sin x cos x )  Trang 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long  1   (sin x  sin x )  (sin x  sin 3x ) 2  GV BS Lê Văn Quang (sin x  sin 5x  sin 3x  sin x ) Do đó:  f ( x )dx   (sin x  sin x  sin x  sin x )dx 1 1   ( cos x  cos5x  cos3x  cos x )  c 1 1   cos7 x  cos5 x  cos3 x  cos x  c 28 20 12  Bài 6: Tìm họ nguyên hàm hàm số: a) f ( x )  sin3 x cos x b) f ( x )  sin3 x sin 8x c) cos3 x cos10 x d) f ( x )  cos3 x sin x Giải Theo công thức nhân ta có: sin 3x  3sin x  4sin3 x sin3 x cos3x   3cos x  cos3 x Do đó: sin x  (3sin x  sin 3x ) cos3 x  (3cos x  cos3x ) Thay sin x cos3 x dùng công thức biến đổi tích thàh tổng => đpcm a) f ( x )  sin x cos6 x  (3sin x  sin x ) cos6 x (3sin x cos6 x  sin 3x cos6 x )  3 1   sin x  sin(5 x )  sin x  sin(3 x ) 2 2    3sin x  3sin x  sin x  sin x   1 3 1 Do đó:  sin3 x cos6 x dx    cos x  cos5x  cos9 x  cos3 x   c 8  b) c) giải tương tự a) d) f ( x )  cos3 x sin 8x  (3cos x  cos3 x )sin 8x  (3sin 8x cos x  sin x cos3 x )  3    sin x  sin x   (sin11x  sin 5x ) 2   Trang 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long  (3sin x  3sin x  sin11x  sin 5x ) Do đó:  cos x sin x dx  = GV BS Lê Văn Quang  1 3 1   cos9 x  cos x  cos11x  cos5 x   c 8 11   11 1    cos9 x  cos x  cos11x  cos5 x   c 83 11  Bài 7: Tính I   cos x sin x dx Giải: Ta thấy hàm dấu tích phân hàm lẻ cosx nên ta biến đổi sau: I   cos2 x sin x cos xdx    (1  sin x )sin x.(sin x )' dx   (sin x  sin x )d sin x Bài : Tìm nguyên hàm hàm số có dạng f ( x )  sin m x cosn x Giải 1, Nếu m hay n lẻ : Giả sử m lẻ : m = 2k + thì: I   sin k 1 x cosn xdx   (sin )k cosn x.sin xdx    (1  cos2 x )k cosn x d cos x Khai luỹ thừa k nhân cos n x vào  kết 2, Nếu m n chẳn ( xem chẳn) I   sin k x cos2 l x dx   (sin x )k (cos2 x )l dx  cos2 x  cos2 x ,cos2 x  ,sin x cos x  sin x 2 Suy kết Thay sin x  Bài 9: Tìm nguyên hàm hàm số dạng f ( x )  tan m x cot m x ; f ( x )  cosn x sin n x Giải:  cot m x  dx  hay I   sin2 x   1 Thay dx  d tan x ; dx  d ( cot x )  Kết cos x sin2 x hay I  cot m xdx  2) I   tan m xdx    m 2 Đặt tan x làm thừa số : I   tan x tan x dx 1) I  tan m x  cos2 x dx dx  d (tan x ) cos2 x   Ta : I   tan m2 x   1 dx    tan m2 x dx   cos x  Thay tan2 x  1 cos2 x ;  tan m 2 x d tan x Nếu số mũ tanm 2 x lớn ta tiếp tục để giảm bậc lấy nguyên hàm Nguyên hàm hàm số hữu tỉ: Các công thức cần nhớ: Trang 10 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long dx 1,   ln x  a  c x a dx 1 2,   c xa ( x  a) du 1 3,  n  c u (n  1) u n1 Bài toán 1: Tìm nguyên hàm hàm số y  GV BS Lê Văn Quang x  px  q dx Tam thức mẫu số có nghiệm  4x  1 A B ( A  B) x  A  B Giải: Biến đổi:     ( x  1)( x  3) x  x  ( x  1)( x  3) x  x  Ta có:  ( A  B) x  A  B với x Ví dụ 1: Tính x   A   A  B  Đồng hệ số ta có:     3 A  B  B   1 1  Do đó:     x  4x   x  x   Vậy dx dx  1       dx ( x  1)( x  3)  x  x    4x  1 x 3  ln x   ln x   ln c 2 x 1 x  dx trường hợp mẫu số có nghiệm kép  4x  dx dx 1  x  x    ( x  2)2  x   c Ví dụ 2: Tìm Giải:  Ví dụ 3: Tìm x x dx trường hợp mẫu số  4x  nghiệm thực dx dx Giải:   Đưa dạng x  4x  ( x  2)2  cần dùng để tính tích phân, ta biến đổi biến số dạng (Vì arctang chương trình bỏ) dx giải nhanh sau:  4x  để tính A,B 1 A B    (*) x  x  ( x  1)( x  3) x  x  Nhân vế (*) cho x –  ta được: B( x  1)  A x 3 x 3 1 Cho x = ta có  A   A  1 Trang 11 09/5/2011 Ví dụ 3: Tính x Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang Nhân vế (*) cho x –  ta Cho x = ta có : A( x  3)  B x 1 x 1 1  B  B  1 2x  dx  x2  2x 2x  2x  A B C     Phân tích: x ( x  1)( x  2) x x  x  x  x  2x Đồng tử số: x   A( x  1)( x  2)  Bx( x  2)  Cx( x  1) Bài 2: Tính I  x  x   ( A  B  C )x  ( A  2B  C )x  A x x  A   A  B  C  (1)      A  2B  C  (2)  B   2 A   (3)   C    Có thể tính A,B,C nhanh theo cách sau: 2x  Bx Cx Tính A:  A  ( x  1)( x  2) x 1 x  3 Cho x = :   A  A   2 2x  A( x  1) C ( x  1) Tính B:  B x ( x  2) x x 2 5 Cho x =   B   B 3 dx dx dx Do đó: I        x x 1 x    ln x  ln x   ln x   c x  2x  Bài 3: Tính I   dx ( x  1)( x  2)( x  4) x2  2x  A B C    ( x  1)( x  2)( x  4) x 1 x 1 x  Có thể quy đồng đồng vế để tỉnh A, B, C Có thể tính A, B, C nhanh theo cách: x2  2x  B( x  1) C ( x  1) Tính A:  A  x4 ( x  2)( x  4) x 2 1  Cho x = ta có:  A  A (1  2)(1  4) Giải: Phân tích : Tính B: x2  2x  A C  ( x  2)  B  ( x  2) ( x  1)( x  4) x  x 4 Cho x = ta có: 22  2.2   B  B  7 (2  1)(2  4) Trang 12 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang Cuối tính C: x  2x  A B  ( x  4)  ( x  4)  c ( x  1)( x  2) x 1 x 2 42  2.4  c  c5 (4  1)(4  2) I  dx   dx   dx x 1 x2 x4 Cho x = ta có: Vậy  3ln x   ln x   ln x   c  ln ( x  1)3 ( x  4)5 c ( x  2)7 Trang 13 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang PHẦN II TÍCH PHÂN A TÓM TẮT GIÁO KHOA : Định nghĩa : Cho hàm số y  f ( x ) liên tục  a ; b b  f ( x)dx b  F ( x ) a  F (b )  F (a ) a Với F(x) nguyên hàm f(x) Tính chất: 1,  a a f ( x )dx  a 2, b  f ( x )dx   b b 3,  f ( x )dx a b  Kf ( x) dx  K  f ( x) dx ( K  R ) a a b 4, b   f ( x)  g ( x) dx a c 5,  b  f ( x) dx b  f ( x)dx a c  f ( x)dx  a  g ( x)dx  a  f ( x)dx  a b b 6, f ( x)   a; b    f ( x)dx  a b 7, f ( x)  g ( x)  a; b   b  f ( x)dx a   g ( x)dx a b 8, M  f ( x)  M đoạn  a; b   m(b  a )   f ( x )dx  M (b  a ) a t 9, t biến thiên  a; b   G (t )   f ( x)dx nguyên hàm f(t) G(a) = a B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: b Vấn đề 1: Tính  f ( x )dx a Phương pháp :  Tìm nguyên hàm F(x) f(x)  Sử dụng công thức Niutơn – Leibnitz b  f ( x)dx b  F ( x) a  F (b)  F ( a ) a  Ví dụ 1: Đề TNPTTH Kì I năm 98 – 99 Tính  cos 4xdx Giải   cos  2 4xdx = 1  cos8x  dx 0 Trang 14 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang   1   x  sin 8x  2 0 1     sin 4   2    Ví dụ 2: Đề TNPTTH 93 - 94 Tính  sin xdx Giải:    sin xdx   sin x sin x dx    sin x  2  2 sin x dx    1  cos2 x   cos x  ' dx 0    2    1  2cos2 x  cos x  d (cos x)    cos x  cos3 x  cos5 x   0          cos  cos3  cos5    cos  cos3  cos5  2    15  10   1    15 15  Ví dụ 3: Tính 4sin x 0  cos x dx 1  cos x  s inx 4sin x 4sin x s inx    1  cos x  s inx  cos x  cos x  cos x    2 4sin x Nên  dx   sin xdx   sin 2xdx  cos x 0    4 cos x  cos 2x  02  (0  1)  (4  1)   Ví dụ 4: Đề TNTHCB Kì II năm 98 – 99 Tính:  sin x cos3 x dx f ( x)  sin m x cos n x với n lẻ Giải: Sử dụng nguyên hàm    sin x cos3 x dx   sin x cos x cos x dx    sin  2 x(1  sin x)(sin x) ' dx   (sin x  sin x) d ( sinx) 0  1    sin x  sin x   3 0 1   15 Ví dụ 5: Tìm số thực A B cho: A B ( A  B) x  A  B    ( x  2)( x  1) x  x  ( x  2)( x  1) Trang 15 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long A B ( A  b) x  A  B Giải: Ta có:    ( x  2)( x  1) x  x  ( x  2)( x  1) Đồng tử thức ta có:  ( A  B) x  A  B  x  A  A B       A  2B  B    5 GV BS Lê Văn Quang 5 dx dx dx I        ln( x  2)  ln( x  1)  ( x  2)( x  1) 3 x  3 x 1 3 Từ đó:  x2 1 1 ln  ln  ln   ln x 1 3 4 2 Ví dụ 6: Đề TNPTTH năm 97-98 (Kỳ 2) 2  x 1  1  x   dx  Giải: Tính tích phân: 2   1 1  x   dx    x 1  1  x   dx  1  x   ( x  2) 1   dx   9  9     x  6ln x       ln     1  6ln1   x   1      39  12ln   10   12ln 4  Ví dụ 7: Xem đề TNPTTH 2001: Tính  (sin 6x sin 2x  6)dx Giải: Xem phần nguyên hàm Vấn đề 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số: Tóm tắt giáo khoa (xem sgk) * Quy tắc đổi biến số dạng 1: 1, Đặt x = u(t) , u’(t) liên tục  ;   , f u (t ) xác định  ;   u( )  a , u ( )  b 2, Biến đổi f ( x) dx  f u (t )  u '(t ) dt  g (t )dt 3, Tìm nguyên hàm G (t ) g (t )  4, Tính  g (t )dt   G (t )   b 5, Kết luận:  f ( x )dx   G (t )  a Ví dụ 1: Xem lại ví dụ sgk Ví dụ 2: Tính tích phân sau: với a  a a dx a) I   a  x2 b) I   dx a  x2 Trang 16 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang  a   dt    t    dx  2 cos t  x   t   Tính cận:    x  a  t  1 cos t Tính    a  x a  a tan t a (1  tan t ) a2 Giải: Đặt x  a tan t    1   dt  t   a0 a 4a cos t a Vậy: I   dt a cos t       t    dx  a cos t dt 2  Tính cận: x   t  a  x   sin t   t  2 1 1       (vì t    ;  cos t  ) 2  2 a  x a  sin x a cos t a cos t b) Đặt x = a sin t    a cos tdt  Vậy J     dt  t 06  a cos t 0 Ví dụ 3: Tính  x2 x  1 dx dt cos2 t Tính cận: x   t   x  1 t  Đặt: x  tan t  dx  Do đó:  x x   1  dx =  tan t  tan sin t t  1 dt cos t dt  cos t  cos t    cos t     sin t.cos t dt  cos4 t     sin t cos tdt   sin 2t dt  40  1 4   (1  cos 4t ) dt   t  sin 4t  80 8 0 1 1   1     sin      sin   8 4  8  32 Trang 17 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang *Quy tắc đổi biến số dạng 2: 1, Đặt t  v( x) v( x) hàm số có đạo hàm liên tục 2, Biểu thị f(x)dx theo t dt Giả sử f ( x)dx  g (t )dt 3, Tìm nguyên hàm G (t ) g (t ) v (b) 4, Tính  v (b ) g (t )dt  G (t ) v ( a ) v ( a) b 5, Kết luận:  f ( x )dx v (b)  G (t ) v ( a ) a Ví dụ 1: Cho học sinh xem lại ví dụ SGK ví dụ làm theo phương pháp tìm nguyên hàm vấn đề Chỉ trình bày tập làm theo phương pháp nguyên hàm vấn đề phức tạp Ví dụ 2: Tính tích phân sau: (Đề TNPtTH 95 – 96) x dx I  x3  Giải: Cách 1: Đặt t  x3   dt  3x dx  x dx = dt Tính cận: Khi x =  t = Khi x =  t = 10 10 dt Do đó: I   33 t  t 10   10   x3   t  x3   2tdt  3x dx  x dx  tdt Tính cận: Khi x   t  x   t  10 Cách 2: Đặt t  Do đó: I  10  t dt  t 10  dt  2 t 10  3  10   Ví dụ 3: Tính I   x  x dx (Đề TNPTTH 96 – 97) Cách 1: Đặt t  x   t  x   2tdt  2xdx  tdt  xdx Tính cận: Khi x   t  Khi x   t  2 Do đó: I   x  x x dx   1   t5  t3   5 2  t (t  2) t dt   (t 2   2t )dt 8(2  2) 15 Cách 2: Đặt t  x   x  t   2xdx  dt  xdx  dt Làm tương tự  kết Trang 18 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang  Ví dụ 4: Tính I   sin x t anx dx ( Đề TNPTTH 96 – 97 kì II)    cos2 x   sin x.sinx Giải: I   dx   sin x dx cos x cos x 0 Đặt t  cos x  dt   sin xdx  sin xdx  dt Tính cận: Khi x   t   Khi x   t  2 1 t2 Do đó: I    dt   t 1 1  1 t2 t2  1  1 t dt  1  t  t  dt   ln t   2 1    ln   ln  2 8  Ví dụ 5: Tính I     Giải: I   cos3 x dx sinx  2 cos x cos x sin x  dx   1  sin x  cos dx sin x  Đặt t  sin x  dt  cosdx   Khi x   t  sin  6   Khi x   t  sin  2 1  1  1 t Do đó: I   dt    t  t  dt t 1  2  5   2.t  t  1  5 19   2 t  t  =  5 10  1 2  Ví dụ 6: Tính I   e dx cos  a  cos x dx   dx  cos x cos x 0 t  sin x  dt  cos x dx Khi x   t  Giải: I   Đặt Khi x  giải tương tự  s inx dx  cos x   sin x dx  t  2 Do đó: I  dt  1 t Trang 19 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long A B A  At  B  Bt ( B  A)t  A  B Phân tích:     1 t 1 t 1 t 1 t2 1 t2 Đồng tử thức ta được:  ( B  A)t  A  B t GV BS Lê Văn Quang  A  B  A       B  A  B   Từ đó: I  1 t  ln 1 t 2  2      dt  ln  t  ln  t  1 t 1 t  1  ln 2 1 2 1 2  ln 2 1 2  ln 2 Ví dụ 7: Tính I     2  ln    2  x2  dx x4  1   1 x 1   1 1 2 x 1 x   dx = x dx  x Giải: I   dx   dx   1 x    2   1 x 1 x  x   x  2 x2 x   x  1   Đặt t  x   dt  1   dx x  x  Tính cận: Khi x   t  Khi x   t    3 3 dt t 2 Do đó: I   ( Để tính tích phân dùng phương pháp biến đổi dạng 1)  sin x dx sin x  cos x   Giải: Đặt t   x  x   t  dx   dt 2  Tính cận : Khi x   t   Khi x  t 0 Ví dụ 8: Tính I   Trang 20 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang   sin   t    Do I    dt       sin   t   cos   t  2  2   sin x dx  sin x  cos x Suy ra: I   Vậy  cos t   dt  cos t  sin t  cos x 0 sin x  cos x dx      dx  x 02  cos x  sin x  cos x dx   I  sin x dx sin x  cos3 x Tương tự tính: I    sin n x dx sin n x  cos n x I  Mở tổng quát   cos x dx sin x dx J  s inx  cosx sin x  cos x 0   Để tính I ta đặt t   x  x   t  dx   dt 2   Tính cận: x   t  , x t 0 2     cos3   t  sin tdt 2  Do đó: I    dt    cos t  sin t      sin   t   cos   t  2  2  Như ta thấy I = J Ví dụ 9: Tính I     cos3 x dx sin xdx Từ đó: I  J  I     sin x  cos x s inx  cos x     sin xdx 0 cos x  sin x  cos3 x  sin x 0 sin x  cos x dx  cos x  sin x 1  sin x cos x  dx  sin x  cos x     2   1  sin 2x  dx   x  cos 2x    0 0   1   1    cos     cos   2  4   1 Vậy I  J  Ví dụ 10: Đề ĐH GTVT 2001  5cos x  4s inx dx (cos x  sin x ) x Tính I      x  x   t  dx   dt 2  Khi x   t  Trang 21 Giải: Đặt t  Tính cận: 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long  Khi x   t       t   4sin   t  5cos  2    dt  Do đó: I           cos  t  sin  t        2        5sin x  4cos x  (sin x  cos x) GV BS Lê Văn Quang  5sin t  4cos t  (sin t  cos t ) dt dx   5cos x  4sin x 5sin x  4cos x  Suy ra: I     dx = (cos x  sin x)3 (sin x  cos x)3     12 dx 12 Suy ra: I    (cos x  s inx)2 0  cos x  sin x  (cos x+sin x) dx    dx  dx 12 4         cos x  2cos2  x     4 4    2   tan  x   4 0   1  1    tan  tan      (1  1)   4 4   Phương pháp tích phân phần: Định lý 1: Nếu u(x) v(x) hai hàm số có đạo hàm u '( x) v '( x) liên tục  a; b  b b b  u ( x).v '( x) dx  u( x).v( x) a   v( x).u '( x)dx Với v '( x)dx  dv u '( x)dx  du ta a a có công thức gọn hơn: b b b  u dv  uv a   v.du a a Ví dụ 1: Làm tập sách giáo khoa Chú ý: Vài dạng thường gặp: 1, Nếu hàm số f(x) dấu tích phân có dạng P( x).e x , P ( x).sin x , P( x).cos x với P(x) đa thức đặt : u  P( x) , v '  e x (hoặc sin x, cos x ) 2, Nếu f(x) có dạng : P( x) ln x đặt u  ln x , v '  p ( x)  Ví dụ 2: Tính tích phân: a) x  2 cos xdx b)  Giải: a) I   x cos x dx Do đó: I  x s inx  Tính: I1   x sin xdx sin x dx   x sin xdx   x u  x du  2xdx Đặt    v  sin x  dv  cos xdx  e     x sin xdx u  x du1  dx Đặt     dv1  sin xdx v1   cos x Trang 22 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang       1 cos xdx   cos   sin x   0 2  Do đó: I1   x cos x 02  2 Vậy I  2  u  e x  du  e x dx Đặt     dv  sin xdx v   cos x b) I   e x sin xdx   Do đó: I   e x cos x   e x cos xdx   ( 1)   e x cos xdx 0     e x cos xdx  u1  e x  du1  e x dx Đặt     dv1  cos x dx v1  sin x x Tính I1   e cos xdx Do đó: I1  e x s inx    e x sin xdx     e   e x s inxdx  e  I    1 e Vậy: I   I1   e  I Suy I   e  I  Ví dụ 3: Tính I   x ln( x  1)dx Đề TNPT TH 95 – 96 dx  du   u  ln( x  1)  x 1 Giải: Đặt     dv  x dx v  x  Do đó: x3 I  ln( x  1) Tính I1   x3 dx  x 1  x3 dx 2 x  x3   2 x  dx     x  x  1   dx x    x3 x  105     x  ln x     ln  2 125  105 248.2 35  Vậy: I  ln    ln    248ln  105   ln  3  Ví dụ 4: Tính dx  ln x x Trang 23 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long dx  du  u  ln x    x Giải: Đặt  dx    dv  x v    x Ta có: I   ln x x GV BS Lê Văn Quang 2 dx 1 x  1 1  ln x    ln  x x1 2    xdx Ví dụ 5: Tính I    cos x (Giải tương tự: I    4 x dx ) sin x u  x du  dx  Giải: Đặt  dx   v  t anx  dv  cos x Ta có: I  x tan x       sin x   tan xdx  3  dx  cos x  4 4  3  ln cos x 12 =    3   ln 12  Ví dụ 6: Tính tích phân sau phương pháp tích phân phần: I   cos5 xdx  I   cos x.cos xdx Giải: u  cos x du  4 cos3 x sin xdx     dv  cos xdx v  s inx Đặt    Do đó: I  sin x cos x   sin x cos3 xdx   1  cos2 x  cos3 xdx    =  cos3 xdx   cos5 xdx   cos3 xdx  I 0    3cos x  cos 3x  dx  I   cos3 xdx    1 8  2  3sin x  sin 3x      I  3 15  0 Ví dụ 7: Tính tích phân (ĐH TC 78 – 79)   dx x cos x a) I   b) J   dx  s inx (1  sin x) 0   sinx dx =  sin x Giải: a) I        sin x dx sin xdx 0 cos2 x dx  0 cos2 x  0 cos2 x  d (cos x) 1  tan x       2 cos x cos x cos  cos 0  Trang 24 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang u  x du  dx x cos x   b) J   dx Đặt  cos xdx   (1  sin x)  dv  (1  s inx) v    sin x     x dx J       sin x 0  sin x Vậy J    ( Do câu a/ ) Trang 25 09/5/2011 [...]... hàm số có đạo hàm liên tục 2, Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f ( x)dx  g (t )dt 3, Tìm một nguyên hàm G (t ) của g (t ) v (b) 4, Tính  v (b ) g (t )dt  G (t ) v ( a ) v ( a) b 5, Kết luận:  f ( x )dx v (b)  G (t ) v ( a ) a Ví dụ 1: Cho học sinh xem lại các ví dụ ở SGK các ví dụ đó đều có thể làm theo phương pháp tìm nguyên hàm ở vấn đề 1 Chỉ trình bày những bài tập làm theo phương pháp nguyên. .. 6x sin 2x  6)dx 0 Giải: Xem bài 4 phần nguyên hàm Vấn đề 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1 Phương pháp đổi biến số: Tóm tắt giáo khoa (xem sgk) * Quy tắc đổi biến số dạng 1: 1, Đặt x = u(t) , u’(t) liên tục trên  ;   , f u (t ) xác định trên  ;   và u( )  a , u ( )  b 2, Biến đổi f ( x) dx  f u (t )  u '(t ) dt  g (t )dt 3, Tìm một nguyên hàm G (t ) của g (t )  4, Tính  g (t )dt... Phương pháp tích phân từng phần: Định lý 1: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm u '( x) và v '( x) liên tục trên  a; b  thì b b b  u ( x).v '( x) dx  u( x).v( x) a   v( x).u '( x)dx Với v '( x)dx  dv u '( x)dx  du ta a a có công thức gọn hơn: b b b  u dv  uv a   v.du a a Ví dụ 1: Làm các bài tập trong sách giáo khoa Chú ý: Vài dạng thường gặp: 1, Nếu hàm số f(x) dưới dấu tích phân có... x )dx  M (b  a ) a t 9, t biến thiên trên  a; b   G (t )   f ( x)dx là một nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0 a B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: b Vấn đề 1: Tính  f ( x )dx a Phương pháp :  Tìm một nguyên hàm F(x) của f(x)  Sử dụng công thức Niutơn – Leibnitz b  f ( x)dx b  F ( x) a  F (b)  F ( a ) a  2 Ví dụ 1: Đề TNPTTH Kì I năm 98 – 99 Tính  cos 2 4xdx 0 Giải  2  cos 0  2 2 4xdx = 1 1 ... Ví dụ 1: Cho học sinh xem lại các ví dụ ở SGK các ví dụ đó đều có thể làm theo phương pháp tìm nguyên hàm ở vấn đề 1 Chỉ trình bày những bài tập làm theo phương pháp nguyên hàm ở vấn đề 1 hơi phức tạp Ví dụ 2: Tính tích phân sau: (Đề TNPtTH 95 – 96) 2 x 2 dx I  x3  2 1 Giải: 1 Cách 1: Đặt t  x3  2  dt  3x 2 dx  x 2 dx = dt 3 Tính cận: Khi x = 1  t = 3 Khi x = 2  t = 10 10 1 dt Do đó: I  ...  c  ln ( x  1)3 ( x  4)5 c ( x  2)7 Trang 13 09/5/2011 Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang PHẦN II TÍCH PHÂN A TÓM TẮT GIÁO KHOA : 1 Định nghĩa : Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên  a ; b b  f ( x)dx b  F ( x ) a  F (b )  F (a ) a Với F(x) là một nguyên hàm của f(x) 2 Tính chất: 1,  a a f ( x )dx  0 a 2, b  f ( x )dx   b b 3,  f ( x )dx a b  Kf ( x) dx  K  f (... 1 3 3 2 4 3 2 2 Ví dụ 6: Đề TNPTTH năm 97-98 (Kỳ 2) 2 2  x 1  1  x  2  dx  Giải: Tính tích phân: 2 2 2 3   1 1  x  2  dx    x 1  1  x  2  dx 6 9  1  x  2  ( x  2) 1 2   dx  2 9  9  9     x  6ln x  2     2  6 ln 4  4    1  6ln1  1  x  2  1      1 39  12ln 2   10   12ln 2 4 4  6 Ví dụ 7: Xem đề TNPTTH 2001: Tính  (sin... t anx  dv  cos 2 x Ta có: I  x tan x  3  4  3    3 sin x   tan xdx  3  dx 3 4  cos x  4 4 4 3  3  ln cos x 12 =  3  4  4 3 3 1   ln 12 2  2 Ví dụ 6: Tính tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần: I   cos5 xdx 0  2 I   cos 4 x.cos xdx Giải: u  cos 4 x du  4 cos3 x sin xdx     dv  cos xdx v  s inx Đặt 0  2 0  2  2 Do đó: I  sin x cos 4 x  4...Tổ toán Trường THPT Phước Long dx 1,   ln x  a  c x a dx 1 2,   c 2 xa ( x  a) du 1 3,  n  c u (n  1) u n1 Bài toán 1: Tìm nguyên hàm của hàm số y  GV BS Lê Văn Quang 1 x  px  q 2 dx Tam thức mẫu số có 2 nghiệm  4x  3 1 1 A B ( A  B) x  3 A  B Giải: Biến đổi:     2 ( x  1)( x  3) x  4 x  3 ( x  1)( x  3) x  1 x... 2   2 2 4sin 3 x Nên  dx  4  sin xdx  2  sin 2xdx 1  cos x 0 0 0    4 cos x  cos 2x  02  (0  1)  (4  1)  2  2 Ví dụ 4: Đề TNTHCB Kì II năm 98 – 99 Tính:  sin 2 x cos3 x dx 0 f ( x)  sin m x cos n x với n lẻ Giải: Sử dụng bài 8 về nguyên hàm của  2  2  sin 2 x cos3 x dx  0  sin 2 x cos 2 x cos x dx 0  2   sin  2 2 x(1  sin 2 x)(sin x) ' dx   (sin 2 x  sin 4 x) d ... lí: Nếu F(x) nguyên hàm f(x) khoảng (a;b) : * F(x) + c c số tuỳ ý nguyên hàm f(x) * Mọi nguyên hàm f(x) có dạng F(x) + c với c số Họ nguyên hàm (đ/n tích phân bất định Nếu F(x) nguyên hàm f(x) F(x)... Nguyên hàm hàm số lượng giác  Dùng hệ thức bản, công thức hạ bậc đưa dạng tính nguyên hàm  Biến đổi hàm lượng giác thành tổng  Sau áp dụng công thức bảng nguyên hàm Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm... chất nguyên hàm:  Làm xuất biểu thức f(x) hàm số f1 ( x ), f2 ( x ), f3 ( x ) có  bảng ng /hàm biết   * * * Áp dụng tính chất nguyên hàm suy kết Vài cách biến đổi hàm số có bảng nguyên hàm