LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 1. Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu '( ) ( ) F x f x = , ∀x ∈ K • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) là ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ , C ∈ R. • M ọ i hàm s ố f(x) liên t ụ c trên K đề u có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất • '( ) ( ) f x dx f x C = + ∫ • [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) ( 0) kf x dx k f x dx k = ≠ ∫ ∫ 3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp • 0 dx C = ∫ • dx x C = + ∫ • 1 , ( 1) 1 x x dx C + = + ≠ − + ∫ α α α α • 1 ln dx x C x = + ∫ • x x e dx e C = + ∫ • (0 1) ln x x a a dx C a a = + < ≠ ∫ • cos sin xdx x C = + ∫ • sin cos xdx x C = − + ∫ • 2 1 tan cos dx x C x = + ∫ • 2 1 cot sin dx x C x = − + ∫ • 1 cos( ) sin( ) ( 0) ax b dx ax b C a a + = + + ≠ ∫ • 1 sin( ) cos( ) ( 0) ax b dx ax b C a a + = − + + ≠ ∫ • 1 , ( 0) ax b ax b e dx e C a a + + = + ≠ ∫ • 1 1 ln dx ax b C ax b a = + + + ∫ Ví dụ 1. Ch ứ ng minh F(x) là m ộ t nguyên hàm c ủ a hàm s ố f(x) bi ế t r ằ ng a) ( ) (4 5) ( ) (4 1) x x F x x e f x x e = − = − b) 4 5 3 ( ) tan 3 5 ( ) 4tan 4tan 3 F x x x f x x x = + − = + + c) 2 2 2 2 4 ( ) ln 3 2 ( ) ( 4)( 3) x F x x x f x x x + = + − = + + d) 2 2 2 4 2 1 ( ) ln 2 1 2 2( 1) ( ) 1 x x F x x x x f x x − + = + + − = + Tài li ệ u bài gi ả ng: 01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm sau 1) 2 1 – 3 x x dx x + = ∫ 2) 4 2 2 3 x dx x + = ∫ 3) 2 1 x dx x − = ∫ 4) 2 2 2 ( 1) x dx x − = ∫ 5) ( ) 3 4 x x x dx+ + = ∫ 6) 3 1 2 dx x x − = ∫ 7) 2 2sin 2 x dx = ∫ 8) 2 tan xdx = ∫ 9) 2 cos xdx = ∫ 10) 2 2 1 sin .cos dx x x = ∫ 11) 2 2 cos2 sin .cos x dx x x = ∫ 12) 2sin3 cos2 x xdx = ∫ 13) ( ) – 1 x x e e dx = ∫ 14) 2 2 cos x x e e dx x − + = ∫ 15) 3 1 2 1 x x e dx x + + = − ∫ Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm F(x) c ủ a hàm s ố f(x) tho ả đ i ề u ki ệ n cho tr ướ c: a) 3 ( ) 4 5; (1) 3 f x x x F = − + = b) π = − = ( ) 3 5cos ; ( ) 2 f x x F c) 2 3 5 ( ) ; ( ) 1 x f x F e x − = = d) 2 1 3 ( ) ; (1) 2 x f x F x + = = e) − = − = 3 2 1 ( ) ; ( 2) 0 x f x F x f) 1 ( ) ; (1) 2 f x x x F x = + = − g) π = = ( ) sin2 .cos ; ' 0 3 f x x x F h) 4 3 2 3 2 5 ( ) ; (1) 2 x x f x F x − + = = LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 i) 3 3 2 3 3 7 ( ) ; (0) 8 ( 1) x x x f x F x + + − = = + k) 2 π π ( ) sin ; 2 2 4 x f x F = = Ví dụ 4. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) π = + = = 2 ( ) cos ; ( ) sin ; 3 2 g x x x x f x x x F b) π = + = = 2 ( ) sin ; ( ) cos ; ( ) 0 g x x x x f x x x F c) 2 ( ) ln ; ( ) ln ; (2) 2 g x x x x f x x F = + = = − Ví dụ 5. Tìm đ i ề u ki ệ n c ủ a tham s ố để hàm s ố F(x) là m ộ t nguyên hàm c ủ a hàm s ố f(x): a) 3 2 2 ( ) (3 2) 4 3 . . ( ) 3 10 4 F x mx m x x Tìm m f x x x = + + − + = + − b) 2 2 ( ) ln 5 . . 2 3 ( ) 3 5 F x x mx Tìm m x f x x x = − + + = + + c) 2 2 2 ( ) ( ) 4 . , , . ( ) ( 2) 4 F x ax bx c x x Tìm a b c f x x x x = + + − = − − d) 2 ( ) ( ) . , , . ( ) ( 3) x x F x ax bx c e Tìm a b c f x x e = + + = − e) 2 2 2 2 ( ) ( ) . , , . ( ) (2 8 7) x x F x ax bx c e Tìm a b c f x x x e − − = + + = − − + f) 2 2 ( ) ( ) . , , . ( ) ( 3 2) x x F x ax bx c e Tìm a b c f x x x e − − = + + = − + g) ( ) ( 1)sin sin2 sin3 . , , . 2 3 ( ) cos b c F x a x x x Tìm a b c f x x = + + + = h) 2 2 ( ) ( ) 2 3 . , , . 20 30 7 ( ) 2 3 F x ax bx c x Tìm a b c x x f x x = + + − − + = − . + − = + Tài li ệ u bài gi ả ng: 01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile:. Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 1. Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của. ∈ K • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) là ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ , C ∈ R. • M ọ i hàm s ố f(x) liên t ụ c trên K đề u có nguyên hàm trên K. 2. Tính