Bài 1. Mở đầu về Nguyên hàm

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức = = = ( ) ' '( ) dy df x y dx f x dx Ví d ụ :  d(x 2 – 2x + 2) = (x 2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx  d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx    Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau  ( ) ( ) 1 2 2 2 2 d x dx dx d x = ⇒ =  ( ) ( ) 1 3 3 3 3 d x dx dx d x = ⇒ =  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 x xdx d d x d x a d a x   = = = ± = − −        ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 3 1 1 1 3 3 3 3 x x dx d d x d x a d a x   = = = ± = − −        ( ) ( ) ( ) ax 1 1 ln ax ln ax d b dx dx d b d x ax b a b a x + = = + → = + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 sin ax sin ax ax cos ax sin 2 os2 2 b dx b d b d b xdx d c x a a + = + + = − + → = −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 cos cos sin cos2 sin2 2 ax b dx ax b d ax b d ax b xdx d x a a + = + + = + → =  ( ) ( ) ( ) ax 2 2 1 1 1 ax 2 b ax b ax b x x e dx e d b d e e dx d e a a + + + = + = → =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ax 1 1 1 tan tan2 2 cos cos cos 2 d b dx dx d ax b d x a a ax b ax b x + = =  +  → =   + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ax 1 1 1 cot cot2 2 sin sin sin 2 d b dx dx d ax b d x a a ax b ax b x + = = −  +  → = −   + + II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm s ố f(x) liên t ụ c trên m ộ t kho ả ng (a; b). Hàm F(x) đượ c g ọ i là nguyên hàm c ủ a hàm s ố f(x) n ế u F’(x) = f(x) và đượ c vi ế t là ( ) f x dx ∫ . T ừ đ ó ta có : ( ) ( ) f x dx F x = ∫ Nh ậ n xét: V ớ i C là m ộ t h ằ ng s ố nào đ ó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên t ổ ng quát hóa ta vi ế t ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ , khi đ ó F(x) + C đượ c g ọ i là m ộ t h ọ nguyên hàm c ủ a hàm s ố f(x). V ớ i m ộ t giá tr ị c ụ th ể c ủ a C thì ta đượ c m ộ t nguyên hàm c ủ a hàm s ố đ ã cho. Ví d ụ :  Hàm s ố f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x 2 + C, vì (x 2 + C)’ = 2x  Hàm s ố f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho các hàm s ố f(x) và g(x) liên t ụ c và t ồ n t ạ i các nguyên hàm t ươ ng ứ ng F(x) và G(x), khi đ ó ta có các tính ch ấ t sau: a) Tính ch ấ t 1: ( ) ( ) ( ) f x dx f x ′ = ∫ Chứng minh: Tài liệu tham khảo: 01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx F x f x ′ ′ = = ⇒ ∫ đpcm. b) Tính chất 2: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ Ch ứ ng minh: Theo tính ch ấ t 1 ta có, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x ′ ′ ′ + = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ Theo đị nh ngh ĩ a nguyên hàm thì v ế ph ả i chính là nguyên hàm c ủ a f(x) + g(x). T ừ đ ó ta có [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ c) Tính chất 3: ( ) . ( ) ( ) , 0 k f x dx k f x dx k = ∀ ≠ ∫ ∫ Ch ứ ng minh: T ươ ng t ự nh ư tính ch ấ t 2, ta xét ( ) ( ) . ( ) . ( ) ( ) k f x dx k f x k f x dx k f x dx ′ = → = ⇒ ∫ ∫ ∫ đ pcm. d) Tính chất 4: ( ) ( ) ( ) f x dx f t dt f u du = = ∫ ∫ ∫ Tính ch ấ t trên đượ c g ọ i là tính bất biến c ủ a nguyên hàm, t ứ c là nguyên hàm c ủ a m ộ t hàm s ố ch ỉ ph ụ thu ộ c vào hàm, mà không ph ụ thu ộ c vào bi ế n. IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM    Công thức 1: dx x C = + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) 1 x C dx x C ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c du u C = + ∫    Công thức 2: n 1 n x x dx C n 1 + = + + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do 1 1 1 1 n n n n x x C x x dx C n n + + ′   + = ⇒ = +   + +   ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c 1 1 n n u u du C n + = + + ∫ + V ớ i 1 2 2 2 2 2 dx dx du n x C u C x x u = − ⇒ = = + ←→ = + ∫ ∫ ∫ + V ớ i 2 2 1 1 2 dx du n C C x x u u = − ⇒ = − + ←→ = − + ∫ ∫ Ví dụ: a) 3 2 3 x x dx C = + ∫ b) ( ) 5 4 4 2 2 2 5 x x x dx x dx xdx x C + = + = + + ∫ ∫ ∫ c) 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 2 2 2 3 x x x x x x x dx dx xdx x dx C x C x x − − = − = − = − + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ d) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 4 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 5 n u du x I x dx x d x I C + = + = + + → = + ∫ ∫ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 e) ( ) ( ) ( ) ( ) 2011 2010 2010 1 3 1 1 3 1 3 1 3 3 2011 n u du x I x dx x d x I C − = − = − − − → = − + ∫ ∫ f) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 du u d x dx I I C C x x x x + = = → = − + = − + + + + + ∫ ∫ g) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 2 3 4 5 4 5 4 5 . 4 5 4 5 4 4 3 8 I x dx x d x I x C x C = + = + + ⇒ = + + = + + ∫ ∫    Công thức 3: ln dx x C x = + ∫ Chứng minh: Thật vậy, do ( ) 1 ln ln dx x C x C x x ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp ( ) u u x = , ta được ln du u C u = + ∫ + ( ) 1 ln 2 1 1 2x 2 ln ax 1 ax ax ln 2 2 2 dx x k C d ax b dx k b C dx b a b a k x C k x  = + +  +  + = = + + →  + +  = − − +  −  ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) 4 3 3 1 1 1 2 ln 4 dx x x dx x dx dx x x C x x x x   + + = + + = + + +     ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) 3 2 1 1 ln 3 2 3 2 3 3 2 3 du u d x dx I I x C x x + = = → = + + + + ∫ ∫ c) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 3 3 3 2 2 3 ln 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 d x x x dx dx x dx xdx x x x C x x x x + + +   = + = + = + = + + +   + + + +   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫    Công thức 4: sinx cos dx x C = − + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) cos sin x sinx cos x C dx x C ′ − + = ⇒ = − + ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c sinu cos du u C = − + ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 sin ax sin ax ax cos ax sin2 os2 2 b dx b d b b C xdx c x C a a + = + + = − + + → = − + ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) ( ) 3 2 2 1 1 1 sinx sinx cos 2 1 2 1 2 2 1 d x dx x x dx x xdx dx x dx x x x x −   + + = + + = − + =   − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 5 2 2 1 cos ln 2 1 5 2 x x x C = − + − + b) ( ) ( ) 4 3 3 1 3 1 3 sin2 sin 2 3 sin2 2 os2 ln 4 3 4 3 4 3 2 4 4 3 2 4 d x dx x dx xdx xd x c x x C x x x −   + = + = + = − + − +   − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ c) sin sinx sin3 2 x x dx   + +     ∫ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 ; 2 2 2 ; 3 3 3 2 2 2 2 3 x x d dx dx d d x dx dx d x d x dx dx d x     = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =         T ừ đó : ( ) ( ) 1 1 sin sinx sin3 sin sin 2 sin3 2 sin sin 2 2 sin3 3 2 2 2 2 2 3 x x x x x dx dx xdx xdx d xd x xd x     + + = + + = + +         ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 4 1 1 2cos os2 os3 2 2 3 x c x c x C = − − − +    Công thức 5: cos sin xdx x C = + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) in cos cosx inx s x C x dx s C ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c cosu sin du u C = + ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 os ax os ax ax sin ax os2 sin 2 2 c b dx c b d b b C c xdx x C a a + = + + = + + → = + ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) 4 1 5 cos sin cos sin x 4 sinx cos 4 5ln 1 1 1 x x x dx xdx dx dx x x x C x x −     − + = − + − = + + − + +     + +     ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) 2 1 cos2 sin x os2 sinx sin 2 cos 2 2 x x x dx c xdx dx xdx x x C + − = + − = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ c) ( ) 2 1 os2 1 1 1 1 1 1 sin os2 os2 2 sin 2 2 2 2 2 4 2 4 c x xdx dx c x dx x c xd x x x C −   = = − = − = − +     ∫ ∫ ∫ ∫    Công thức 6: 2 tan cos dx x C x = + ∫ Chứng minh: Thật vậy, do ( ) 2 2 1 tan tan x cos cos dx x C C x x ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp ( ) u u x = , ta được 2 tanu os du C c u = + ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 tan tan2 cos cos cos 2 2 d ax b dx dx ax b C x C ax b a ax b a x + = = + + → = + + + ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) 2 2 1 1 cos sin 2 cos sin2 tan sin cos2 cos cos 2 dx x x dx xdx xdx x x x C x x   + − = + − = + + +     ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 5 4 1 2 1 2 2 cos 2 1 5 4 cos 2 1 5 4 2 cos 2 1 4 5 4 d x d x dx dx I dx x x x x x x   − − = + = + = −     − − − − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 os 1 1 tan 2 1 ln 5 4 2 2 du c u x x C → = − − − + c) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 os 2 2 3 2 1 1 tan 3 2 cos 3 2 2 cos 3 2 2 du c u d x dx I I x C x x − = = − → = − − + − − ∫ ∫    Công thức 7: 2 cot x sin dx C x = − + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) 2 2 1 cot cot x sin dx x C C sin x x ′ − + = ⇒ = − + ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c 2 cotu sin du C u = − + ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ax 1 1 1 cot ax cot2 sin ax sin ax sin 2 2 d b dx dx b C x C b a b a x + = = − + + → = − + + + ∫ ∫ ∫ Ví dụ: LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 5 a) 6 5 5 2 2 1 1 cos2 2 cos2 2 sin2 cot sin sin 2 3 dx x x x dx xdx x dx x x C x x   − + = − + = + + +     ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin 2 2 1 3 1 1 1 cot 1 3 cot 1 3 sin 1 3 3 sin 1 3 3 3 du u d x dx I I x C x C x x − = = − → = − − −  + = − +   − − ∫ ∫ c) 2 sin 2 2 2 2 2cot 2 sin sin 2 2 du u x d dx x I I C x x         = = → = − +                 ∫ ∫    Công thức 8: x x e dx e C = + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) x x x x e C e e dx e C ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c u u e du e C = + ∫ + ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 ax 1 2 x k x k ax b ax b ax b k x k x e dx e C e dx e d b e C a a e dx e C + + + + + − −  = +   = + = + →   = − +   ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 1 4 4 1 1 2 1 4.2 sin 3 sin 3 2 3 sin 3 x x x d x dx e dx e dx dx e d x x x x x x x − + − + − +   − + = − + = − − + − +     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 1 1 cot3 8 2 3 x e x x C − + = − + + + b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 4 1 4 os 1 3 4 os 1 3 3 2 os 1 3 1 3 3 3 x x x e c x dx e dx c x dx e d x c x d x + + + + − = + − = + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 3 2 4 1 sin 1 3 3 3 x e x C + = − − +    Công thức 9: ln x x a a dx C a = + ∫ Chứng minh: Thật vậy, do ln ln ln ln x x x x x a a a a C a a dx C a a a ′   + = = ⇒ = +     ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c u u a du a C = + ∫ + ( ) 1 1 kx m kx m kx m a dx a d kx m a C k k + + + = + = + ∫ ∫ Ví dụ: a) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3ln2 2ln3 u x x a dux x x x x x I dx dx dx d x d x I C = + = + = + → = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 4 3 1 3 2 3 2 2 3 2 1 2 4 3 2 4 2ln2 4 x x x x x x x x e dx dx e dx d x e d x e C − − + − + − + + − = − = − − − + = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) ( ) 5 1 2 I x x dx = + ∫ 2) 3 5 2 7 1 3 I x dx x   = −     ∫ 3) ( ) 5 2 3 3 3 4 2 I x x x dx = − + ∫ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 6 4) 3 4 2 5 1 2 4 x I x dx x x   = − +       ∫ 5) 5 1 x+ dx x I   =     ∫ 6) 4 6 2 2 3 x I dx x + = ∫ 7) ( ) 2 7 1x I dx x − = ∫ 8) ( ) 2 3 8 2 1 I x dx = − ∫ 9) ( ) 2 2 9 2 4x I dx x + = ∫ 10) 4 3 2 10 2 3 2 1 x x x I dx x + − + = ∫ 11) 2 11 x x x x I dx x − − = ∫ 12) 12 3 1 1 I dx x x   = −     ∫ 13) 3 13 1 I x dx x   = −     ∫ 14) 2 14 3 1 I x dx x   = +     ∫ 15) ( ) 2 3 15 2 3x x I dx x − = ∫ 16) ( ) ( ) 4 16 2 I x x x x dx = − − ∫ 17) 17 5 1 (2 3) I dx x = − ∫ 18) 18 4 1 ( 3) x I dx x + = − ∫ 19) 19 π sin 2 7 x I dx   = +     ∫ 20) 20 sin2 sin 3 x I x dx   = +     ∫ 21) 21 sin 2 x I x dx   = +     ∫ 22) 22 π 1 sin 3 sin 4 2 x I x dx   +   = + −         ∫ 23) 2 23 cos 2 x I dx = ∫ 24) 2 24 sin 2 x I dx = ∫ 26) 26 2 cos 4 dx I x = ∫ 27) ( ) 27 2 cos 2 1 dx I x = − ∫ 28) ( ) 2 28 tan 2 I x x dx = + ∫ 29) 4 29 tan I x dx = ∫ 30) 2 30 cot I xdx = ∫ 31) ( ) 31 2 sin 2 3 dx I x = + ∫ 32) 32 1 cos6 dx I x = − ∫ 33) 2 2 33 2 1 cot dx I x x x   = + +     ∫ 34) 2 34 1 dx 3 2 I x x   = +   +   ∫ 35) 2 35 1 sin 2 5 I x dx x   = −   −   ∫ 36) 36 2 dx 3 x I x + = − ∫ 37) 37 2 1 4 3 x I dx x − = + ∫ 38) 38 6 5 x I dx x = − ∫ 39) 2 39 11 3 x x I dx x + + = + ∫ 40) 2 40 2 5 1 x x I dx x − + = − ∫ 41) 3 2 41 3 2 1 2 x x x I dx x + + + = + ∫ 42) 3 2 42 4 4 1 2 1 x x I dx x + − = + ∫ 43) 2 43 4 6 1 2 1 x x I dx x + + = + ∫ 44) 2x 3 44 I e dx − + = ∫ 45) 3 1 45 cos(1 ) x I x e dx −   = − +   ∫ 46) 2 1 46 . x I x e dx − + = ∫ 47) 47 2 2 sin (3 1) x I e dx x −   = +   +   ∫ 48) 48 2 2 cos x x e I e dx x −   = +     ∫ 49) ( ) 1 2 4 3 49 2 x x I e dx − + = − ∫ 50) 50 1 2 x I dx = ∫ 51) 51 2 7 x x I dx = ∫ 52) 2 1 52 3 x I dx + = ∫ . 0985.074.8 31 3 e) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 011 2 010 2 010 1 3 1 1 3 1 3 1 3 3 2 011 n u du x I x dx x d x I C − = − = − − − → = − + ∫ ∫ f) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 du u d. dx x + = ∫ 10 ) 4 3 2 10 2 3 2 1 x x x I dx x + − + = ∫ 11 ) 2 11 x x x x I dx x − − = ∫ 12 ) 12 3 1 1 I dx x x   = −     ∫ 13 ) 3 13 1 I x dx x   = −     ∫ 14 ) 2 14 3 1 I x dx x . dx x   = +     ∫ 15 ) ( ) 2 3 15 2 3x x I dx x − = ∫ 16 ) ( ) ( ) 4 16 2 I x x x x dx = − − ∫ 17 ) 17 5 1 (2 3) I dx x = − ∫ 18 ) 18 4 1 ( 3) x I dx x + = − ∫ 19 ) 19 π sin 2 7 x I dx 