NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN(Bản Full)

1 GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15 Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai! CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Bài 1. NGUYÊN HÀM I. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP     1 ax b 1 ax b dx . C a 1          dx 1 ln ax b C ax b a      ax b ax b 1 e dx e C a          1 sin ax b dx cos ax b C a           2 dx 1 1 . C a ax b ax b       2 dx 1 C x x         1 cos ax b dx sin ax b C a      dx 2 ax b C a ax b      dx 2 x C x        2 dx 1 tan ax b C cos ax b a          2 dx 1 cot ax b C sin ax b a       Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm sau: a)   5 2x 1 dx   b)   3 1 dx 2x 1  c) 3x 3dx   d) dx 25 3x   Bài giải: a)     6 5 2x 1 2x 1 dx C 12      b)     3 3 1 dx 2x 1 dx 2x 1           2 2 2x 1 1 C C 4 4 2x 1          c)   1 2 3x 3dx 3x 3 dx        1 2 2 3x 3 2 C C 3 3 3x 3          d) dx 2 25 3x C 3 25 3x       Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm sau: a) 1 dx 3x 2   b) x 2 e dx   c)   2cos3x 3sin 2x dx   d) 2 dx cos 3x  Bài giải: a) ln 3x 2 1 dx C 3x 2 3      b) x x 2 2 e dx 2e C       c)   2sin3x 3cos2x 2cos3x 3sin 2x dx C 3 2      d) 2 dx tan 3x C cos 3x 3    Hai ví dụ tiếp theo, trình bày phương pháp sử dụng các phép biến đổi đại số, các phép biến đổi lượng giác để đưa nguyên hàm cần tìm về những nguyên hàm đơn giản hơn. 2 GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15 Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai! Ví dụ 3. Tìm các nguyên hàm sau: a) 2 3 x 2x dx x   b) x 1 xdx   c) 1 dx x 1 x 1     d) x x e e 2dx     Bài giải: a) 2 3 2 x 2x 1 2 2 dx dx ln x C x x x x               b)     1 2 x 1 xdx 1 1 x 1 x dx                1 3 2 2 2 1 x dx 1 x dx 2 1 x C 1 x             c) 1 x 1 x 1 dx dx 2 x 1 x 1              1 1 2 2 1 1 1 x 1 x 1 dx C 2 x 1 x 1                  d) x x x x e 1 e e 2dx dx e        x x 2 2 e e dx           Ví dụ 4. Tìm các nguyên hàm sau: a) cos3x cos5xdx  b) 2 sin xdx  c) 4 cos xdx  d) 1 sin 2x cos2x dx sinx cosx     Bài giải: a)   1 cos3x cos5xdx cos8x cos2x dx 2     sin8x sin 2x C 16 4    b) 2 1 cos2x x sin 2x sin xdx dx C 2 2 4        c) 2 4 1 cos2x cos xdx dx 2           2 1 2cos2x cos 2x 3x sin 2x sin 4x dx C 4 8 4 32         d) 2 1 sin 2x cos2x 2sin x cosx 2sin x dx dx sinx cosx sinx cosx         2sin xdx 2cosx C      Các ví dụ tiếp theo, trình bày phương pháp biến đổi vi phân để tìm nguyên hàm. Ví dụ 5. Tìm các nguyên hàm sau: a) 2 1 x e xdx   b) cosx e sin xdx  c) x 2x x e e dx 1 e    d) x x x e dx e e    Bài giải: a)   2 2 2 1 x 1 x 1 x 2 1 e e xdx e d 1 x C 2 2            d)   2x x 2x x x 2x ln e 1 e e dx dx C e e e 1 2          b)   cosx cosx cosx e sin xdx e d cosx e C        c)   x x 2x x x x 2 1 e e e dx e dx 1 e 1 e           x x 2ln 1 e e C     3 GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15 Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai! Ví dụ 6. Tìm các nguyên hàm sau: a) 5 sin xcosxdx  b) sinx dx 1 3cos x   c)   sin ln x dx x  d) 1 dx x 1 ln x  Bài giải: a)   6 5 5 sin x sin xcosxdx sin xd sinx C 6      d)   d 1 ln x 1 dx 2 1 ln x C x 1 ln x 1 ln x          b)     d 1 3cos x ln 1 3cos x 1 C 3 1 3cosx 3          c)       sin ln x dx sin ln x dln x cos ln x C x       Ví dụ 7. Tìm các nguyên hàm sau: a)   3 sinx cosx dx sinx cosx    b) 3 2 x dx x 1   c) 2 sin 2x dx cos x 1   d) 2 2 sin x dx cos x 1 cos x  Bài giải: a)     3 3 sinx cos x d sinx cos x dx sinx cosx sinx cos x            1 3 sinx cosx d sinx cosx        2 3 3 sinx cos x C 2    b)     2 2 2 2 d x 1 ln x 1 x 1 dx C x 1 2 x 1 2          c)     2 2 2 d cos x 1 ln cos x 1 C cos x 1          d)   2 2 2 tan xd tan x sin x dx 1 cos x 1 cos x 1 cos x          2 2 2 2 d 2 tan x tan xd tan x 2 tan x C 2 tan x 2 2 tan x           II. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ Dạng 1.    mx n I dx ax b cx d      . Viết    mx n A B ax b cx d ax b cx d        và tìm các hệ số A, B. Dạng 2.   2 mx n I dx ax b     . Viết     2 2 mx n A B ax b ax b ax b       và tìm các hệ số A, B. Dạng 3.       m n f x I dx ax b cx d     . Sử dụng phương pháp hệ số bất định tương tự hai dạng trên. Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu những ví dụ cụ thể. 4 GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15 Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai! Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm sau: a) 2 1 dx x 3x 2    b) 2 2x 3 dx 2x 5x 3     c) 2 2 x 5x 12 dx x 5x 6      Bài giải: a) 2 1 dx x 3x 2              x 1 x 2 dx dx x 1 x 2 x 1 x 2            x 2 ln C x 1     b) Ta có:    2x 3 A B x 1 2x 3 x 1 2x 3          2A B 2 A 5 2x 3 2A B x 3A B 3A B 3 B 12                       Do đó, I 5ln x 1 6ln 2x 1 C       Có thể giải theo cách khác như sau:   2 2 2 2 ln 2x 5x 3 2x 3 1 4x 5 11 dx 11 x 1 I dx dx ln C 2x 5x 3 2 2x 5x 3 2 2x 5x 3 2 2 2x 3                      c) Ta có: 2 2 2 x 5x 12 10x 6 dx 1 dx x 26ln x 2 36ln x 3 C x 5x 6 x 5x 6                        Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm sau: a) 2 1 dx 4x 4x 1    b) 2 3x 4 dx x 2x 1     c)   2 2 x 5x 12 dx 1 x     Bài giải: a)     2 2 1 dx 1 dx C 4x 4x 1 2 2x 1 2x 1           b) Ta có:       2 2 A 3 3x 4 A B 3x 4 A x 1 B B 7 x 1 x 1 x 1                  . Do đó, 7 I 3ln x 1 C x 1      Có thể giải theo cách khác như sau:   2 2 2 3x 4 3 2x 2 dx 7 I dx dx 7 3ln x 1 C x 2x 1 2 x 2x 1 x 1 x 1                   c) Ta có:     2 2 2 x 5x 12 7x 11 18 dx 1 dx x 7ln 1 x C x 1 1 x 1 x                        5 GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15 Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai! Ví dụ 3. Tìm các nguyên hàm sau: a) 2 3 2 6x 7x 5 dx x 3x 2x      b)    2 1 dx x 3 x 1   c) 3 7x 4 dx x 3x 2     d) 3 2 4 3 x x 4x 1 dx x x      Bài giải: a) 2 3 2 6x 7x 5 A B C A 1,B 2,C 3 x 3x 2x x x 1 x 2              . Do đó, I ln x 2ln x 1 3ln x 2 C       b)      2 2 1 A B C 3 3 1 A ,B ,C x 3 x 1 4 4 2 x 3 x 1 x 1              . c)   2 3 7x 4 A B C A 2,B 1,C 2 x 3x 2 x 1 x 2 x 1               d) 3 2 4 3 2 3 x x 4x 1 A B C D A 2,B 3,C 1,D 1 x x x x x x 1                  Ví dụ 4. Tìm các nguyên hàm sau: a)   3 2 8 x dx x 4  b) 2 4 x 1 dx x 1    c) 3 1 dx x 3x   d) 2 4 3 2 x 1 dx x 5x 4x 5x 1       Bài giải: a)   3 2 8 x dx x 4  . Đặt 4 u x  đưa về   2 2 1 du 4 u 4   b)         2 3 2 2 2 2 2 d x 1 dx xdx 1 dx x 3x 2 x x 3 x x 3 x x 3            . Đặt 2 u x  đưa về   1 du 1 u ln C 2 u u 3 6 u 3      c) 2 2 2 4 2 2 1 1 d x 1 x 1 x x dx dx 1 x 1 1 x x 2 x x                         . Đặt 1 u x x   đưa về 2 du 1 u 2 ln C u 2 2 2 u 2       d) 2 2 2 4 3 2 2 2 1 1 d x 1 x 1 x x dx dx 5 1 x 5x 4x 5x 1 1 1 x 5x 4 x 5 x 6 x x x x                                       6 GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15 Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai! Bài 2. TÍCH PHÂN I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dạng 1. Đổi biến u =  f(x)  . Khi đó, u  = f ( x ) ⇒ n.u  du = f′ ( x ) dx Phương pháp này thường dùng với tích phân của hàm số chứa căn thức. Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: a)   7/3 3 0 x 1 dx 3x 1    b) 2 2 2/ 3 dx x x 1   c) 2 1 x dx 1 x 1    d) 4 0 4x 1 dx 2x 1 2     Bài giải a) Đặt 3 2 3 u 3x 1 u 3x 1 u du dx        Đổi cận: x 0 u 1    và 7 x u 2 3    Khi đó,     3 2 2 2 4 1 1 u 3 u du 1 1 I u 3u 3 u 3       2 5 2 1 1 u 3u 107 3 5 2 30          c) Đặt 2 u x 1 u x 1 2udu dx        Đổi cận: x 1 u 0    và x 2 u 1    Khi đó,   2 1 1 2 0 0 u 1 udu 2 I 2 2 u u 2 du u 1 u 1                 1 3 2 0 u u 11 2 2u 2ln u 1 4ln 2 3 2 3              b) Đặt 2 2 2 u x 1 u x 1 udu xdx        Đổi cận: 2 1 x u 3 3    và x 2 u 3    Khi đó, 3 3 1 3 1 3 du I ln u 1 ln 3 u 1       d) Đặt 2 u 2x 1 u 2x 1 udu dx        Đổi cận: x 0 u 1    và x 4 u 3    Khi đó,   2 3 3 2 1 1 2u 3 udu 10 I 2u 4u 5 du u 2 u 2                 3 3 2 1 2u 34 3 2u 5u 10ln x 2 10ln 3 3 5             Ví dụ 2. Tính các tích phân sau: a) /2 2 2 0 sin x cos xdx 2cos x 5sin x    b) /2 2 /3 cosxdx sinx 1 cos x     c) /2 6 3 5 0 1 cos x sin x cos xdx    d)   /2 0 sin 2x sin x dx 3cos x 1     a) Đặt 2 2 2 2 2 u 2cos x 5sin x u 2cos x 5sin x        2udu 4cosxsin x 10sin x cosx dx     udu 3sin x cosxdx   Đổi cận: x 0 u 2    và x u 5 2     5 2 1 5 2 I du 3 3     b) Đặt 2 2 2 u 1 cos x u 1 cos x      udu cosxsin xdx    Đổi cận: 5 x u 3 2     và x u 1 2     Khi đó, 1 1 2 5 5 2 2 du 1 u 2 I ln u 2 2 2 u 2         1 ln 10 5 2 2 4 2     7 GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15 Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai! c) Đặt 6 3 6 3 u 1 cos x u 1 cos x      5 2 2u du cos xsinxdx   Đổi cận: x 0 u 0    và x u 1 2     Khi đó,     1 1 2 6 2 8 0 0 I 2 u 1 u du 2 u u du       1 3 9 0 u u 4 2 3 9 9          d) Đặt 2 u 3cosx 1 u 3cosx 1      2udu 3sinxdx    Đổi cận: x 0 u 2    và x u 1 2     Khi đó,     2 2 2 2 1 1 2u 1 udu 2 2 I 2u 1 du 9 u 9       2 3 1 2 2u 34 u 9 3 27          Ví dụ 3. Tính các tích phân sau: a) 3 e 2 1 ln xdx x 1 ln x   b) e 1 3 2ln x dx x 2ln x 1    c) e 1 1 3ln x.ln x dx x   d) e 3 2 1 ln x 2 ln x dx x   Bài giải a) Đặt 2 u 1 ln x u 1 lnx      dx 2udu x   Đổi cận: x 1 u 1    và 3 x e u 2        2 2 2 2 4 2 1 1 I 2 u 1 du 2 u 2u 1 du        2 5 3 1 u 2u 76 2 u 5 3 15           b) Đặt 2 u 2ln x 1 u 2lnx 1      dx udu x   Đổi cận: x 1 u 1    và x e u 2      2 2 3 2 1 1 u I 4 u du 4u 3 2 4 3              c) Đặt 2 3dx u 1 3ln x u 1 3ln x 2udu x        Đổi cận: x 1 u 1    và x e u 2        2 2 2 2 4 2 1 1 2 I u 1 u du 2 u u du 9       2 5 3 1 2 u u 96 9 5 3 135          d) Đặt 3 2 3 2 u 2 ln x u 2 ln x      2 dx 3u du 2ln x x   Đổi cận: 3 x 1 u 2    và 3 x e u 3      3 3 3 3 3 3 4 3 33 2 2 3 3u 3 I u du 3 3 2 2 2 8 8      Ví dụ 4. Tính các tích phân sau: a)   ln 2 x 3 x 0 e dx e 1   b) ln8 x 2x ln3 e 1.e dx   a) Đặt     3 3 x 2 x u e 1 u e 1        2 x x 2udu 3 e 1 e dx    . Đổi cận: x 0 u 2 2    và x ln2 u 3 3    ĐS 5 I 72   b) ĐS 1076 I 15  8 GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15 Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai! Dạng 2. Đổi biến: u =MS. Đây là phương pháp sử dụng cho các tích phân có dạng phân thức và tử số chứa đạo hàm của mẫu số. Ví dụ 5. Tính các tích phân sau: a)   4 0 xsin x x 1 cosx dx xsin x cosx      b) ln2 x 0 dx e 5   c) 3 2 2 0 sin xcos x dx 1 cos x    d) 4 0 cos2x dx sin x cosx 2     Bài giải a) Ta có: 4 1 0 xcosx I 1 dx I xsin x cosx 4               Với 4 1 0 xcosx I dx xsin x cosx     Đặt u xsinx cosx du xcosxdx     Đổi cận: x 0 u 1    và 2 x u 1 4 2 4             2 1 2 4 2 1 2 4 1 1 1 du 2 I ln u ln 1 u 2 4                                   Vậy 2 I ln 1 4 2 4                  b) Đặt x x u e 5 du e dx     Đổi cận: x 0 u 6    và x ln 2 u 7    Biến đổi:   ln2 x x x 0 e dx I e e 5    Do đó,   7 7 6 6 du 1 u 5 1 12 I ln ln u u 5 5 u 5 7       c) Đặt 2 u 1 cos x du 2cos xsin xdx      Đổi cận: x 0 u 2    và x u 1 2     Biến đổi: 2 2 2 0 sin xcosx.cos x I dx 1 cos x       2 2 2 1 1 1 u 1 1 I du 1 du u ln u 1 ln 2 u u                 d) Đặt   u sinx cos x 2 du cos x sinx dx       Đổi cận: x 0 u 3    và x u 2 2 4      Biến đổi:    4 0 cosx sinx cosx sinx I dx sinx cosx 2        2 2 2 2 3 3 u 2 2 I du 1 du u u                 2 2 3 3 u 2ln u 2 1 2ln 2 2        Dạng 3. Đổi biến: u =f ( x ) . Khi đó, du =f′ ( x ) dx Ở đây f ( x ) có thể là hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số siêu việt (mũ – logarit) . Ví dụ 6. Tính các tích phân sau: a) 2 2 2 1 x ln(x 4) dx x 4     b)   1 2 2 2 1 x 1 dx x 1     c)   1 9 0 2xdx 1 x   d)   1 7 5 2 0 x dx 1 x  Bài giải 9 GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15 Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai! a) Đặt 2 u x 4 du 2xdx     . Đổi cận: x 1 u 5     và x 2 u 8    . Khi đó,   8 8 8 2 2 2 5 5 5 1 lnu 1 ln u ln 8 ln 5 I du ln ud ln u 2 u 2 4 4        Có thể giải theo cách khác như sau: Đặt   2 2 2x u ln x 4 du dx x 4      . Đổi cận: x 1 u ln5     và x 2 u ln8    . Khi đó, ln8 ln8 2 2 2 ln5 ln5 1 u ln 8 ln 5 I udu 2 4 4      b) Ta có:   1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x 1 x I dx dx 1 x 1 x x                 Đặt 2 1 1 u x du 1 dx x x            . Đổi cận: x 1 u 2      và x 1 u 2    . Khi đó, 2 2 2 2 2 du 1 I 1 u u         c) Đặt u 1 x du dx     . Đổi cận: x 0 u 1    và x 1 u 2    . Khi đó,     2 2 2 2 1 1 2 u 1 du 1 I 2 1 du 2 u ln u 8 u u                 d) Ta có:       3 2 1 1 7 5 5 2 2 0 0 x. x x dx I dx 1 x 1 x       Đặt 2 u 1 x du 2xdx     . Đổi cận: x 0 u 1    và x 1 u 2    . Khi đó,   3 2 2 2 3 2 3 4 5 5 5 2 1 1 1 u 1 du 1 1 u 3u 3u 1 1 1 I du 3u 3u u du 2 u 2 u 2 u                       2 2 3 4 1 1 1 3 1 1 31 2 u 2u u 4u 128             Ví dụ 7. Tính các tích phân sau: a) 2 0 sin2xcosx dx 1 cosx    b) 3 2 2 0 cos x dx 1 sin x    c) 4 2 0 sin 4x dx 1 cos x    d) 26 0 1 sin x dx cos x    Bài giải 10 GV. Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh. Mobi: 01677.10.19.15 Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai! a) Ta có: 2 2 2 0 0 sin 2x cos x 2sin x cos x I dx dx 1 cosx 1 cos x         Đặt u 1 cos x du sinxdx      . Đổi cận: x 0 u 2    và x u 1 2     . Khi đó,   2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 u 1 du u 2u 1 1 u I 2 du 2 u 2 du 2 2u ln u 2ln 2 1 u u u 2                             b) Ta có:   2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 c x 1 sin x c x c xcos x I dx dx dx 1 sin x 1 sin x 1 sin x              3 os os os Đặt u sinx du cosxdx    . Đổi cận: x 0 u 0    và x u 1 2     . Khi đó, 1 1 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 1 u 2 du I du 1 du 2 u 1 1 u 1 u 1 u 2                      c) Ta có:   2 4 4 2 2 0 0 2sin 2x 2c x 1 2sin 2xc 2x I dx dx 1 cos x 1 cos x          os os Đặt 2 u 1 cos x du 2cosxsinxdx sin 2xdx        . Đổi cận: x 0 u 2    và 3 x u 4 2     . Khi đó,     2 2 2 3 23 3 2 2 2 2u 3 du 3 3 I 2 2 du 2 2u 3ln u 2 6ln u u 4                 d) Ta có: 2 2 6 6 6 6 1 1 0 0 0 0 1 s 2 c 2 1 I dx dx cos x dx 2I s 2I cosx cos x cosx 2                        in x os x inx Tính 6 6 6 1 2 2 0 0 0 dx cosxdx cos xdx I cosx cos x 1 sin x           Đặt u sinx du cosxdx    . Đổi cận: x 0 u 0    và 1 x u 6 2     . Khi đó, 1 1 2 2 1 2 0 0 du 1 1 u 1 I ln ln3 1 u 2 1 u 2        . Do đó, 1 I ln3 2   [...]... dt Đổi cận: x   dt   I2  I2  0 Do đó, I  I1  I 2       t  và x   t   Khi đó, 2 2 2 2 ln 3 2 II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN LIÊN KẾT Để tính tích phân I ta có thể sử dụng tích phân liên kết J Ta tính + và − rồi từ đó suy ra tích phân I Ví dụ 13 Tính các tích phân sau:  2  2 2 a) I   sin xdx 0 4 cos xdx b)  4 4 0 sin x  cos x  6 sin 2 xdx c)  0 s inx  3 cos x Bài giải Đừng để... 2 t  tan 2 t   6 6 6 4 4 dt Dạng 5 Đổi biến: x = a − t Khi đó, dx = −dt + Đổi biến x = π − t hoặc x = − t Phương pháp nay thường sử dụng cho các tích phân của hàm số lượng giác + Đổi biến x = −t Khi đó, dx = −dt a Phương pháp này sử dụng cho các tích phân có cận đối xứng I   f  x  dx a Chú ý sin(π − t) = sin t , cos(π − t) = −cost và sin − t = cos t , cos − t = sint Đừng để những thất bại... x  a.tant ,    a  t   dx  dt 2 2 cos 2 t Chú ý: 1  sin 2 t  cos 2 t , 1  co s 2 t  sin 2 t , 1  tan 2 t  1 cos 2 t Phương pháp này thường dùng với tích phân của hàm số chứa các căn thức dạng: a2  x2 , a2  x2 Ví dụ 9 Tính các tích phân sau: 1 a)  0 x b)  x 2 4  3x 2 dx dx 4  x2 c)  6 8sin t cos tdt 4  4sin 2 t 0 3x 2  4 dx x3     t  Suy ra, dx  2 cos t.dt Đổi cận: x ...   1  cos  x   3 3 3 3      6  6  6    6  và I  3J   s inx  3 cos x dx   cos x  3 s inx  0  6  1  3 Từ đó, I  0 1  4 3ln 3  4 16 III PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ví dụ 14 Tính các tích phân sau: e 2 3  a)   2x   ln xdx x 1 e ln x b)  3 dx x 1 e 3 2 c)  x ln xdx d) 1 2   x ln x  dx 1 Bài giải e e e e e ln x 3 dx   2x ln xdx  3 ln xd ln x  I1 ... 2 2 dx 2 1 1  1 2 x dx 0 Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai! 22 GV Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh Mobi: 01677.10.19.15 TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH - CĐ  4 ĐH – 2011 A  x sin x   x  1 cos x x sin x  cos x 0 1 ĐH – 2010 A 2 x  3 dx B e 2 x x  e  2x e  1  2ex dx 0 B ĐH – 2009 A   cos x 1 cos xdx 2 B  xe  ex dx B  2... 4  4   ln 2     1  tan t   2  Khi đó, I   ln 1  tan   t   dt   ln  1   dt   ln   dt  ln 2  dt  I  I  8  4   1  tan t   1  tan t   0 0 0 0 Ví dụ 12 Tính các tích phân sau:  2 1 a) e 1 x 2 sin xdx b) cos x dx x 1  2012   2 1 c)  ln 1 2011 x   x 2  1 dx  2 d) x  cos x dx 2 x  4  sin   2 Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt... 3 t    4 2  16 3 Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai! 13 GV Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh Mobi: 01677.10.19.15 Ví dụ 10 Tính các tích phân sau: 3 a) x 1 dx 2 1 b) I  1 x2  1 1 dx c) 2 2 1  x  x 0 2 dx  x 1 Bài giải a) Đặt x  tan t ,   3   dt    t  Suy ra, dx  Đổi cận: x  1  t  và x  3  t  2 2 2 cos...11 GV Đinh Văn Trường – THPT Nghèn – Hà Tĩnh Mobi: 01677.10.19.15 Ví dụ 8 Tính các tích phân sau:  4 a)  4 tan 3 x  cos x 0 dx 1  cos 2 x  4 ln 2 s inx b)  dx 2 0 2 cos x  5s inx.cos x c) e 0  4 tan 3 x  2e x x  3 dx  2e x  3 1 d) x 2  e x  2x 2 ex  1  2ex dx 0  4... u  ln x 5e 2  1 x 4 ln x 1 3 e4 x 4 3e 4  1  Đặt   Ta có: I1  Vậy I    x dx    3 4 32 4 1 41 4 16 1 16 dv  x dx v  x   4 d) Làm tương tự câu c) I  3e3  2 27 Ví dụ 15 Tính các tích phân sau: 1 a)   x  2 e 2x 0 b) dx 0  xe 2x 1  3 2 3 x2 c)  x e dx  x  1 dx 1 d)  x.e  x 2 dx 0 0 Bài giải 1 du  dx 1 2x u  x  2 e 2x e e2 e 2x  2x Ta có: I   x  2  a) Đặt... x 2de x  x 2e x   xe x dx    e x dx 2   20 2 2 20 2 2 0 0 2 d) Ta có: I  2  xde 0  x 2  2xe  x 2 2 2 1  0 1 2 2 x  4 8  2  e dx    4e 2  4  e e 0 0 0  x 2 Ví dụ 16 Tính các tích phân sau: a) /2  ex cos 2 xdx 0 b)  4 2  0 x.sin xdx c) x tan 2 xdx  0 Bài giải Đừng để những thất bại của ngày hôm nay làm phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai! 18 GV Đinh Văn Trường . phai nhạt những giấc mơ rực sáng của ngày mai! CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Bài 1. NGUYÊN HÀM I. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP     1 ax b 1 ax b dx . C a 1    .  II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN LIÊN KẾT. Để tính tích phân I ta có thể sử dụng tích phân liên kết J. Ta tính  +  và  −  rồi từ đó suy ra tích phân I. Ví dụ 13. Tính các tích phân sau: a).     Các ví dụ tiếp theo, trình bày phương pháp biến đổi vi phân để tìm nguyên hàm. Ví dụ 5. Tìm các nguyên hàm sau: a) 2 1 x e xdx   b) cosx e sin xdx  c) x 2x x e e dx 1 e   