Thông tin tài liệu
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TOÁN 15: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f x F x xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số gọi f x F� x f x với x �K nguyên hàm hàm số K Các công thức nguyên hàm hàm số lượng giác 1) sin xdx cos x C � sin(ax b)dx cos(ax b) C � a 2) 3) cos xdx sin x C � cos ax b dx sin ax b C � a 4) 1 1 dx � tan x dx tan x C � 5) cos x dx tan ax b C � cos ax b a 6) dx � cot x dx cot x C � 7) sin x sin x tan xdx � dx ln cos x C � cos x 9) dx cot ax b C � sin ax b 8) 2 cos x cot xdx � dx ln sin x C � sin x 10) Một số phương pháp tìm nguyên hàm: Phương pháp đổi biến số: Cơ sở phương pháp đổi biến số định lý sau: Cho hàm số u u ( x) có y f u đạo hàm liên tục K hàm số liên tục cho f [u ( x)] xác định K Khi F f (u )du F (u ) C f [u ( x)]u � ( x)dx � f [u ( x )]du ( x) F [u ( x )] C nguyên hàm f, tức � � Phương pháp lấy nguyên hàm phần: Định lý: Nếu u u ( x) v v( x) hai hàm có đạo hàm liên tục K u ( x).v� ( x)dx u ( x ).v( x) � u� ( x ).v( x)dx � hay u.dv u.v � v.du � II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Lý thuyết nguyên hàm Tính nguyên hàm phương pháp đổi biến số Tính nguyên hàm hàm dạng đối xứng Tính nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phân … BÀI TẬP MẪU f x cos x (ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Tìm nguyên hàm hàm số 1 f x dx sin x C f x dx sin x C � � 2 A B C f x dx 2sin x C � f x dx 2 sin x C D � Phân tích hướng dẫn giải TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm nguyên hàm hàm số lượng giác HƯỚNG GIẢI: cos(ax b)dx sin(ax b) C � a Ta sử dụng cơng thức để giải tốn Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A cos(ax b)dx sin( ax b) C � a Tự luận: Áp dụng công thức với a �0 ; thay a b để có kết Trắc nghiệm: Nhập vào biểu thức vào máy tính d �1 � � sin x � �x A shift Sto A cos2 A dx �2 chọn đáp án A Bài tập tương tự phát triển: Mức độ Câu Cho hàm số F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K Các mệnh đề sau, mệnh đề sai f ( x)dx F ( x ) C A � � f ( x)dx f ( x ) � B � f ( x) dx f � ( x) � C � f ( x)dx F � ( x) � D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn C Câu f ( x )dx F ( x) C � F ' x f x Ta có � nên phương án A, B, D Khẳng định sau đúng? x x sin dx cos C tan xdx ln cos x C � 2 A � B C cot xdx ln sin x C � x x cos dx 2sin C � 2 D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A ln cos x C ' cos x ' sin x cos x Xét Vậy khẳng định A Câu cos x tan x � � f ( x) cos � 3x � �? � Tìm họ nguyên hàm hàm số � � � � f ( x )dx sin � 3x � C f ( x ).dx sin � 3x � C � � 6 6� � � � A B C � � f ( x) dx sin � x � C � � 6� TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA D Lời giải � � f ( x)dx sin � 3x � C � � 6� Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D �� � �1 � � f ( x )dx � cos � 3x � d� 3x � sin � 3x � C � 6�� 6�3 � 6� � Câu Cặp hàm số sau có tính chất: Có hàm số nguyên hàm hàm số lại? g x f x sin x g x cos x f x tan x cos x A B C f x ex g x e x D Lời giải f x sin x g x sin x GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D sin x Vì / 2sin x cos x sin x y f� ( x) Cho hàm số f ( x) cos x Tìm họ nguyên hàm hàm số x x ydx sin x C ydx sin x C � � 4 A B Câu 1 ydx x sin x C � C ydx x sin x C � D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A f '( x ) (cos x ) ' sin x ; y ( f '( x )) ( sin x) sin x cos x cos x x dx sin x C 2 ydx � � Câu cos x dx x ” Bạn An giải phương pháp đổi biến sau: � Thầy giáo cho tốn “ Tìm sin + Bước 1: Đặt u sin x , ta có du cos xdx cos x du dx �2 C � u u + Bước 2: sin x cos x dx C x x � + Bước 3: Kết luận sin Hỏi bạn An sai bước nào? A Bước B Bước C Bước D Không sai Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn C Dễ thấy bước 1,2 cos x 1 dx C C x u sin x � Bước sai đưa biến cũ sai, phải sin Câu f ( x) Hàm số A 4sin x cos x sin x có nguyên hàm F ( x) 4 B 4sin x C sin x TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 4 D sin x Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn B cos x 1 dx � d (sin x) C x sin x 4sin x f ( x)dx � � sin Câu F x Tìm nguyên hàm hàm số y x sin x x x F x cos x sin x F x cos x sin x 2 A B x F x cos x sin x 2 C x F x cos x sin x D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D x sin xdx Ta có: � Câu du dx � ux � � �� � dv sin xdx � v cos x � � Đặt: 1 x x sin x x cos x � cos xdx cos x sin x C � 2 Khi đó: f ( x ) x cos x Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x )dx x sin x cos x C � f ( x)dx x sin x cos x C C � f ( x )dx x sin x cos x C � f ( x )dx x sin x cos x C D � A B Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D ux du dx � � �� � dv cos xdx � v sin x Tự luận: Đặt � �� x cos xdx x sin x - � sin xdx x sin x cos x C F ( x) � x sin xdx Câu 10 Kết A F ( x) sin x x cos x C C B F ( x) x sin x cos x C D F ( x) x sin x cos x C F ( x) sin x x cos x C Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A ux du dx � � �� � dv sin xdx � v cos x Đặt � Theo công thức tính ngun hàm phần, ta có F ( x) x cos x � cos xdx x cos x sin x C Mức độ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Tính F ( x) � x sin x cos xdx 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn kết đúng: x F ( x) sin x cos x C A x F ( x) sin x cos x C C B D F ( x) x cos x sin x C F ( x) 1 x sin x cos x C Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A F ( x) � x sin x cos xdx �x sin xdx � du dx � � u x � � �� � � dv sin xdx � v cos x � � Đặt 1 1 ( ) cos � cos 2xdx cos x sin x C 4 Câu F ( x) � x cos xdx Tính F ( x) ( x 2) sin x x cos x C A x x B F ( x) x sin x x cos x sin x C 2 C F ( x) x sin x x cos x 2sin x C D F ( x) (2 x x ) cos x x sin x C Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A du xdx � u x2 � �� � F ( x) � x cos xdx v sin x dv cos xdx � Đặt � F ( x) x sin x � x sin xdx u 2x du 2dx � � �� � dv sin xdx � v cos x Đặt � F ( x) x sin x 2 x cos x � cos xdx x sin x x cos x 2sin x C Câu sin x � dx ta kết sau đây? Tính cos x sin x dx sin x C � cos x A cos x sin x dx sin x C � cos x B cos x sin x dx cos x C � cos x C cos x sin x dx cos x C � cos x D cos x Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn C cos x sin x sin x sin x sin x dx � dx � dx � cos3 x cos x cos x Đặt cos x t � sin xdx dt TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU cos x sin xdx t �� �t cos x 2 Câu 2 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ t 1 � 1� dt � dt � 1 � dt t C cos x C � t t � � t cos x f x x cos x ? Hàm số nguyên hàm hàm số A B C D F x x x sin x x cos x 12 F x x x cos x x sin x x sin x cos x C x cos x sin x C F x x x sin x x cos x 12 F x x x cos x x sin x x sin x cos x C x cos x sin x C Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A I � 2t cos tdt Đặt t x suy � � u 2t du 6t dt � � dv cos tdt v sin t � � Đặt suy Suy I 2t sin t � 6t costdt Tiếp tục tích phân phần lần ta Vậy Câu F x x x sin x x cos x 12 F t 2t sin t 6t cos t -12 t sin t cos t C x sin x cos x C Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) ( x 1).sin x f ( x )dx (sin x cos x x ) C � A B f ( x )dx (sin x cos x x) C � C 1 1 f ( x )dx ( x 1) cos x sin x C � 2 f ( x )dx ( x 1) cos x sin x C � D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D du dx � u x 1 � � �� � dv sin xdx � v cos2x � � Đặt 1 1 ( x 1).sin xdx ( x 1) cos x � cos xdx ( x 1) cos x sin x C � 2 Khi sinx Câu Tính �cos sinx A �cos C �cos x sinx x x dx sinx B �cos D �cos dx 3 cos x C x sinx dx 3 cos x C x dx 3 cos x C dx 3 cos x C Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn C Đặt cos x t � sin xdx dt sin x Câu dt t3 �� dx � � t dt C 3 t C 3 cos x C 3 cos x t cos x sin x �sin x cos x dx Tính cos x sin x A �sin x cos x dx C �sin x cos x dx cos x sin x sin x cos x C cos x sin x sin x cos x C B �sin x cos x dx 2 cos x sin x D Lời giải �sin x cos x dx 3 sin x cos x C sin x cos x C GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A sin x cos x t � sin x cos x t , cos x sin x dx 2tdt Đặt cos x sin x 2t dt 2t C sin x cos x C �sin x cos x dx �t dt 2� Câu x cos xdx ta kết sau đây? Tính � x sin x cos x C x sin x cos x C A B x sin x cos x C x sin x sin x C C D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A u 1 x du dx � � �� � v sin x Đặt �dv cos xdx � �� sin xdx x sin x cos x C x cos xdx x sin x � Câu Tính x sin x 1 dx � x cos x 1 sin x 1 C A x cos x 1 sin x 1 C C x cos x 1 sin x 1 C B x cos x 1 sin x 1 C D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D dx du � �x u � �� � sin x 1 dx dv v cos x 1 � � � Đặt: x x �� x.sin x 1 dx cos x 1 � cos x 1 dx cos x 1 sin x 1 C 2 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU x Câu 10 � Tính cos x � A cos x x � C cos x x dx 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ dx x tan x ln cos x C dx x tan x ln cos x C x � B cos � D cos x x x dx x tan x ln sin x C dx x tan x ln sin x C Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn C ux � du dx � � �� � v tan x dv dx � � cos x Đặt: � x � � dx x tan x � tan xdx x tan x ln cos x C cos x Mức độ Câu Biết F x � � F� � Tính �2 � � � � � F � � F � � C �2 � D �2 � f x sin x cos x nguyên hàm � � � � F � � F � � A �2 � B �2 � Lời giải F 0 GVSB: Trần Đơng; GVPB: Hải Quan Chọn C Có F x � f x dx � sin x cos xdx � sin xd sin x sin x C sin C � C sin 4 sin x � � F x � F � � 4 �2 � F 0 � Câu Cho hàm số f ( x) (ax b).cosx thỏa mãn f ( x)dx x.sin x 2sin x cos x C � Tính S a b ? 2 A S 3 B S C S D S Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn C u ax b � �du adx �� � dv cos xdx � v sin x Đặt � f ( x )dx (ax b).sin x � a sin xdx Khi � (ax b)sin x acosx C ax.sin x b sin x a cos x C � a 1, b Câu Biết F ( x) nguyên hàm hàm số TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA f ( x) x cos x F (0) thỏa Tính F ( ) Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU F ( ) � A B F ( ) 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 2 1 � F ( ) � F ( ) � 4 C D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn B x cos x 1 x x x cos x � F ( x) � f ( x) dx � x x cos x dx 2 2 ux � �du dx �� � dv cos xdx � v sin x Đặt � f ( x ) x cos F x � f x dx � �x � �x x sin x sin xdx � x sin x cos x � C � � � �2 � �2 � � �x 1 F ( x ) � x sin x cos x � F (0) � C � C �2 � 2 Vì Vậy � � F ( ) � 1� �2 � Do Câu là: Gọi A F x nguyên hàm hàm số F f x x cos x Biết F 0 , giá trị F 1 F F F B C D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn B ux � � Đặt �dv cos xdx suy Khi du dx � � � sin x v � � F x � x cos xdx x sin x sin x x sin x cos x � dx C 2 F 0 nên C Do F Từ suy Câu � � f�� Cho hàm số f ( x) biết f '( x ) x sin x f ( ) Tính �3 � � � 7 f � � � � A 7 � � f � � � � C 7 � � f � � � � B � � 7 f � � � � D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ f ( x) � x sin xdx � xd ( cos x) x cos x sin x C , f ( ) � C � f ( x) x cos x sin x � � 7 f � � Nên �3 � I � e x cos3 xdx=e x a cos x b sin x c Câu Biết tổng a b có giá trị là: A 13 B 13 , a, b, c số Khi đó, C 13 D 13 Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn C 1 2x cos3xd e x e x cos 3x � e d cos x � 2 Ta có: (từng phần lần 1) 2x e x cos x � e sin xdx e x cos x � sin xd e x 2 e x cos x e x sin 3x I 4 (từng phần lần 2) I � e x cos3 xdx �2 � I e2 x � cos x sin x �� a , b � a b 13 13 � � 13 13 13 Suy y f x Cho hàm số y f x hàm số hàm số sau? A f x x ln f x sin x dx - f x cos x � cosx dx � x Câu thỏa mãn hệ thức B f x Hỏi x f x x ln f x x ln ln C D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn B f x sinxdx = � f x d cos x Ta có � Áp dụng cơng thức nguyên hàm phần ta có: f x sin xdx = � f x d cos x f x cos x � cos xd f x � f x cos x � f� x cosxdx f x sin x dx - f x cos x � cosx dx Mà theo giả thiết � x x C ln Suy Một ô tô chạy với tốc độ 10m / s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển f� x dx x x � f x � Câu v t 5t 10 m / s động chậm dần với , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét? A 0, 2m B 2m C 10m D 20m Lời giải GVSB: Trần Đơng; GVPB: Hải Quan TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn C Quãng đường vật di chuyển s t � v t dt � 5t 10 dt 5t 10t C 5t 5 s t 10t t 10 �10 s t 2 Tại thời điểm t , C 10 m Xe dừng hẳn quãng đường kể từ lúc đạp phanh v t t �t �30 m / s Câu Một ô tô đường với vận tốc Giả sử thời điểm t s Phương trình thể quãng đường theo thời gian ô tô A s t m B s t m Lời giải s t3 m C D 2t m GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A 1 t2 s t � v t dt � t dt � 2t dt t C 1 sin x cos x 1 C dx n � sin x cos x sin x cos x m cos x Câu 10 Cho A A B A với m, n �� Tính A m n C A D A Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn C cos x sin x sin x cos x sin x cos x sin x cos x u sin x cos x � du cos x sin x dx Đặt cos x cos x � sin x cos x u 2 1 u 1 sin x cos x dx � du C C C u u u u sin x cos x � m 1; n � A Mức độ Câu Nguyên hàm sin x cos x I � dx cos x ta kết có dạng cos x a cos x b ln cos x 1 C a A b a 1 B b a a 4 1 C b D b Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn B cos x sin x cos x 2sin x cos x cos x sinxdx I � dx � dx � cos x cos x cos x Ta có 2� f cos x sin xdx TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 11 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Đặt: � t cosx � �t � � t2 t2 t d t C I 2� dt � dt � t ln t � � � � t 1 � t t � � � Suy ra: 2 I t 2t ln t C cos x cos x ln cos x 1 C Đổi lại biến số x , ta được: a a 2, b 2 � 1 b Câu sin x dx I � 3cos x 4sin x Xác định nguyên hàm: abcd ? A 20 B 21 có dạng a 3cos x c.sin x d C b D 23 C 22 Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn B 2 2 Đặt: t 3cos x 4sin x � t 3cos x 4sin x 2tdt 6cos x sin x 8sin x cos x dx 7sin xdx � sin xdx tdt tdt 2 I �7 � dt t C 3cos x 4sin x C t 7 Suy ra: Vậy a 2, b 7, c 4, d � a b c d 21 Câu Xác định nguyên hàm: I � sin x cos4 x sin xdx ? ta thu kết có dạng cos x cos3 x C a b Khi a b ? A 28 B 30 C 28 D 30 Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A Không phải lúc áp dụng công thức hạ bậc vào nguyên hàm khó đổi biến số, mà nên rút gọn thử xem biểu thức dấu ngun hàm đơn giản khơng sin Ta có: 2 2 x cos x sin x sin x cos x 2sin x cos x sin x � � � sin x �sin x � � �1 � cos 2 x � sin x � sin x cos x sin x � �2 � �1 � I � sin xdx � cos x � �2 � Suy ra: ; đặt t cos x � dt 2 sin xdx �1 � �1 � �1 � I � sin xdx � t dt � cos x � � t � � dt � � �2 � �2 � �2 � Suy TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 12 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ � t3 � � t � C 4� � � t3 � cos x cos3 x I � t � C C 4� � 12 Đổi lại biến số: Câu Khi a 4, b 12 � a b 28 Xác định nguyên hàm cos x sin x dx I � sin x ta thu kết I arctan m.sin x n.cos x C Khi A m2 n2 ? B 13 C Lời giải D GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D Đây dạng nguyên hàm lượng lượng giác đối xứng Ta biến đổi sau: cos x sin x dx cos x sin x dx cos x sin x dx I � � sin x sin x cos x � sin x cos x Đặt t sin x cos x � dt (cos x sin x)dx cos x sin x dx dt arctan t C arctan sin x cos x C I � � sin x t2 1 Suy ra: Câu Khi 2 Vậy m 1, n 1� m n sin x cos x dx sin x cos x C I � I arcsin sin x k Xác định nguyên hàm: ( k số vô tỉ) k 16 ? A 19 B C Lời giải 31 D 17 GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A Đây dạng nguyên hàm lượng lượng giác đối xứng sin x cos x dx sin x cos x dx sin x cos x dx I � �3 (1 2sin x cos x) � sin x sin x cos x Ta biến đổi sau: Đặt t sin x cos x � dt (cos x sin x)dx sin x cos x dx dt arcsin t C arcsin sin x cos x C I � �3 t sin x 3 Câu c sin x sin x cos x dx ln C I � 3 b a sin x sin x cos x Xác định nguyên hàm: ? ta thu kết có dạng Khi a b c ? A B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C D Trang 13 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn B Đây dạng nguyên hàm hàm lượng giác đối xứng (sin x cos x)dx (sin x cos x)dx I � � sin x cos x (sin x cos x)(1 sin x.cos x) Ta có: dt (cos x sin x)dx � � t sin x cos x � � t 1 sin x.cos x � � Đặt: dt dt I � �2 t 1 t (t 3) t (1 ) Suy ra: � 1 1� 1 � � dt ln | t | ln | t | C � �6(t 3) 6(t 3) 3t � �I t2 3 (sin x cos x) sin x ln C ln C ln C t (sin x cos x) sin x a 1, b 6, c Câu sin x a c tan x I � dx arctan(tan x) arctan( )C cos x 2sin x b d Nguyên hàm với a, b, c, d a c số tự nhiên b , d phân số tối giản Khẳng định sau đúng? A c a 2b B c a 2b C c a 2b D c a 2b Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A Biểu thức dấu nguyên hàm hàm lượng giác đẳng cấp, dễ dàng đưa hàm “tan” cách chia tử mẫu cho bậc cao hàm “cos” sau: tan x tan x 2(tan x 1) tan x cos x dx I � d x � �tan x dx tan x 3(tan x 1) tan x cos x Đến ta tiến hành đặt: t tan x � dt d(tan x) dt dx (tan x 1)dx � dx 2 cos x t 1 3t dt (3t 2)dt I �2 t t2 1 � (t 4)(t 1) Suy ra: Đến túy nguyên hàm phân thức Ta có: 10 3t At B Ct D 23 2 (t 4)(t 1) t t t t dt 10 dt t arctan t arctan C 2 � � t 1 t 3 tan x arctan(tan x) arctan( ) C 3 I TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 14 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Vậy a 1, b 3, c Câu Nguyên hàm hàm x � x � I a tan ln �tan 1� 2.x C � � với A a � 3, 1 B a sin x cos x I � dx cos x số có dạng: số tự nhiên Khẳng định sau đúng? a � 1, C Lời giải a � 3,5 D 1,3 GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D x� � tan � � x 2dt 2� t tan � dt dx � dx � dx x 2 1 t2 cos 2 Đặt 2t 1 t2 sin x ;cos x 1 t2 1 t Khi ta có: 2t 1 t2 2 1 t2 t 2dt 2t 2t dt I � 1 t2 1 t2 � 1 t2 1 1 t2 Suy 2t � 2t � �I � dt 2t � dt �2 � 1 t � 1 t � 2t 2t I 2t �2 dt 2t � dt 4� dt 2t ln t 4.arctan t C 2 t 1 t 1 t 1 x � x � I 2 tan ln �tan 1� x C � � Đổi lại biến số: Vậy a Câu a2 b ? 4sin x cos x I � dx I x 3ln sin x a.cos x b C sin x cos x Tính ngun hàm: Khi A B C Lời giải D GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn C 4sin x cos x � sin x cos x 1 cos x 2sin x Tách tử số theo mẫu số � 4sin x cos x � sin x 2 cos x 4 � 2 � � � �� 2 � � � � 0 � � 4sin x cos x cos x 2sin x � � I � dx � 23 dx � � sin x cos x sin x cos x � � Suy � I x 3ln sin x cos x C TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 15 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Vậy a 2, b 3sin x cos x I � dx 2sin x cos x Câu 10 Tính nguyên hàm: ta được? x I x ln 2sin x cos x ln tan C 5 10 A B I x x ln 2sin x cos x ln tan C 5 10 x I x ln 2sin x cos x ln tan C 5 10 C x I x ln 2sin x cos x ln tan C 5 10 D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D 3sin x cos x � 2sin x cos x 1 cos x sin x Tách tử số theo mẫu số � 3sin x cos x � 2 sin x cos x � � 2 � � � � �� 2 � � � � 1 � � � � �8 cos x sin x � I � dx � � 5 sin x cos x 2sin x cos x � � Suy x ln 2sin x cos x I1 5 x 2dt I1 � dx t tan � dx 2sin x cos x ; ta đặt t 1 Với �I Khi sin x 2t 1 t2 ;cos x 1 t 1 t 2dt dt 1 x I1 � t � ln 2t ln tan 2t 1 t 2t 2 2 1 2 1 t 1 t Suy x I x ln 2sin x cos x ln tan C 5 10 Thay vào I ta TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 16 ... arcsin sin x k Xác định nguyên hàm: ( k số vô tỉ) k 16 ? A 19 B C Lời giải 31 D 17 GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A Đây dạng nguyên hàm lượng lượng giác đối xứng sin x cos... ĐỘ GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D �� � �1 � � f ( x )dx � cos � 3x � d� 3x � sin � 3x � C � 6�� 6�3 � 6� � Câu Cặp hàm số sau có tính chất: Có hàm số nguyên hàm hàm số. .. sin x g x sin x GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D sin x Vì / 2sin x cos x sin x y f� ( x) Cho hàm số f ( x) cos x Tìm họ nguyên hàm hàm số x x ydx sin x C
Ngày đăng: 24/06/2021, 16:47
Xem thêm:
