NW359 360 DẠNG 14 NGUYÊN hàm đa THỨC GV

DẠNG TOÁN 14: NGUYÊN HÀM HÀM ĐA THỨC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số f ( x ) xác định K Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) K F ' ( x ) = f ( x ) ∀x ∈ K Tính chất nguyên hàm    ∫ f ' ( x )dx = f ( x ) + C ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x )dx với k ≠ ∫ [ f ( x ) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x)dx Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp Nguyên hàm Nguyên hàm mở rộng α +1 • ∫ 0dx = C ax + b ) • ∫ ( ax + b ) α dx = ( + C , α ≠ −1 a α +1 1.dx = x + C •∫ 1 α +1 dx = ln ax + b + C •∫ x ax + b a • ∫ xα dx = + C, (α ≠ −1) α +1 1 dx = − +C • ∫ a ax + b ax + b ( ) • ∫ dx = ln x + C ; x x x • ∫ e ax +b dx = e ax +b + C , (a ≠ 0) • ∫ e dx = e + C a x a • ∫ a x dx = + C (0 < a ≠ 1) • ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ≠ 0) ln a a • ∫ cos xdx = sin x + C • ∫ sin( ax + b)dx = − cos( ax + b) + C a • ∫ sin xdx = − cos x + C 1 dx = tan ( ax + b ) + C • ∫ cos ( ax + b ) a dx = tan x + C •∫ cos x 1 dx = − cot ( ax + xb ) + C •∫ sin ( ax + b ) a • ∫ dx = − cot x + C sin x 4) Một số phương pháp tính nguyên hàm a) Áp dụng bảng nguyên hàm b) Phương pháp đổi biến  Định lí: Cho ị f (u) du = F (u) +C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục thì ị f éêëu(x)ùúûu¢(x)dx = F éêëu(x)ùúû+C Có sẵn Tách từ hàm Nhân thêm Một số dạng đổi biến thường gặp Trang PP éI = f (ax + b)n x dx ắắ ắ đ t = ax + b Þ dt = a dx ê ị ê m ỉ xn ê ÷ PP ỗ ữ I = ỗ n+1 dx ắắ ắ đ t = xn+1 + Þ dt = (n + 1)xndx , vi m, n ẻ  ữ ũỗ ữ ỗ ốax + 1ứ PP ờI = f (ax2 + b)n x dx ắắ ắ đ t = ax2 + b Þ dt = 2ax dx ê ò ë n n- n PP  I = ũ n f (x).f Â(x) dx ắắ ắ đ t t = f (x) Þ t = f (x) Þ nt dt = f ¢(x)dx é é êI = f (ln x) dx êt = ln x Þ dt = dx ê ị ê x x PP × t ắắ ắ đ ờI = f (a + bln x) dx êt = a + bln x Þ dt = b dx ê ị ê x x ë ë ét = ex Þ dt = ex dx x x ê PP ×  I = ị f (e ).e dx ắắ ắ đ t t = a + bex Þ dt = bexdx ê ë ét = cosx Þ dt = - sin x dx ê PP  I = ò f (cosx).sin x dx ắắ t ắ đ ờt = a + bcosx ị dt = - bsin x dx × ê ë ét = sin x Þ dt = cosx dx ê PP  I = ị f (sin x).cosx dx ¾¾ Đặt ắ đ ờt = a + bsin x ị dt = b cosx dx × ê ë  I = ò f (tan x) dx PP dx = (1 + tan2 x)dx ắắ ắ đ t t = tan x Þ dt = 2 cos x cos x dx dx PP = - (1 + cot2 x)dx ¾¾ ắ đ t t = cot x ị dt = sin x sin2 x ét = sin2 x Þ dt = sin2x dx 2 ê PP ×  I = ị f (sin x;cos x).sin2x dx ¾¾ ¾ ® Đặt ê t = cos2 x Þ dt = - sin2x dx ê ë  I = ò f (cot x) PP  I = ò f (sin x cosx).(sin x mcosx)dx ắắ ắ đ t t = sin x ± cosx  Lưu ý: Sau đổi biến tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu x  Nhóm PP  I = f ( ax + b ) n xdx → t = ax + b ⇒ dt = adx ∫  m  n   x PP n +1 n I =  ∫  ax n+1 + ÷ dx → t = ax + ⇒ dt = a ( n + 1) x dx, m, n ∈ Z   PP  I = f ax + b n xdx → t = ax + b ⇒ dt = 2axdx ∫   Nhóm Hai cơng thức thường sử dụng là: dx 2 ∫ ax + b = a ax + b + C ∫ ax + bdx = 3a ( ax + b ) + C  Nhóm 1 +Nếu : I = ∫ f ( ln x ) dx Đặt : t = ln x → dt = dx x x b + Nếu : I = ∫ f ( a + b ln x ) dx Đặt : t = a + b ln x → dt = dx x x ( ) Trang  Nhóm t = e x ⇒ dt = e x dx x x PP I = f (e ).e d x × Tìm → Đặt  ∫ x x t = a + b e ⇒ d t = b e d x   Nhóm Nhóm đổi biến hàm số lượng giác c) Phương pháp phần  Định lý: Nếu hai hàm số u = u ( x ) v = v ( x ) có đạo hàm liên tục K thì I = ∫ u ( x ) v′ ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − ∫ v ( x ) u ′ ( x ) dx hay I = ∫ udv = uv − ∫ vdu  Vận dụng giải toán: Nhận dạng: Tích hai hàm nhân khác nhau, ví dụ: ∫e x sin xdx, ∫ x ln xdx, u = du = dx ⇒ Suy I = ∫ udv = uv − ∫ vdu dv = dx v = + Đặt  + Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ dv = phần lại + Lưu ý: Bậc đa thức bậc ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm + Dạng mũ nhân lượng giác dạng nguyên hàm phần luân hồi 5) Nguyên hàm hàm ẩn Nhóm Sử dụng định nghĩa F ¢(x) = f (x) Nhóm Sử dụng định nghĩa giải toán nguyên hàm hàm ẩn ị f ¢(x)dx = f (x) +C , ò f ¢¢(x)dx = f ¢(x) +C , vào dạng sau: g ị n.u u¢dx = ị(u )¢dx = u +C ị(u¢v + v¢u)¢dx = ị(u.v)¢dx = uv +C Vận dụng tính chất g n-  ổ uÂv - vÂu uử u ữ ỗ ữ g ũ dx = ũỗ dx = + C ữ ỗ ữ v v ốv ứ g u ò2 u dx = ò( u)¢dx = u +C n n g u¢ ¢ ị u dx = ị ln u dx = ln u + C g ũ- ( )  ổ1ử u ữ ỗ ữ d x = dx = + C ỗ ữ ũ ỗ ữ u u ốu ứ II CC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: *Tính nguyên hàm địng nghĩa bảng nguyên hàm *Nguyên hàm hàm hữu tỉ *Nguyên hàm phần *Nguyên hàm đổi biến *Nguyên hàm hàm ẩn BÀI TẬP MẪU Câu 14 (ĐỀ THAM KHẢO BDG NĂM 2021) sau, khẳng định A ∫ f ( x ) dx = 3x − x + C C ∫ f ( x ) dx = x − x+C Cho hàm số f ( x ) = 3x − Trong khẳng định B ∫ f ( x ) dx = x − x +C D ∫ f ( x ) dx = x −C Lời giải Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm ngun hàm hàm đa thức Trang HƯỚNG GIẢI: Sử dụng sử dụng bảng nguyên hàm tính chất nguyên hàm Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 3x − 1) dx = x3 - x + C=x − x + C Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − 3x + Câu x3 3x − + x+C C x3 − 3x + x + C x 3x − +1+ C D 2x − + C Lời giải A B Chọn A x3 3x − + x+C ∫ 2021x Cho hàm số f ( x ) = e Nguyên hàm ∫ f ( x ) dx f ( x ) dx = ∫ ( x − 3x + 1) dx = Câu f ( x ) dx = e 2021x + C A ∫ C ∫ f ( x ) dx = 2021e 2021 x +C B ∫ D ∫ e 2021x +C 2021x 2021x f ( x ) dx = e +C 2021 f ( x ) dx = Lời giải Chọn D Ta có ∫ f ( x ) dx = 2021 e 2021 x +C x Câu Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e + x A e x + x3 +C B e x + x + C x x3 e + +C x C D e x + x + C Lời giải Chọn A x x Ta có ∫ ( e + x ) dx = e + Câu x3 + C Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x A −1 sin x + C B C −2sin 2x + C D 2sin 2x + C sin x + C Lời giải Chọn D Ta có: ∫ f ( x ) dx = sin x + C Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = 5x − Trang dx A ∫ x − = ln x − + C C ∫ x − = ln x − + C dx dx B ∫ x − = ln 5x − + C D ∫ x − = − ln x − + C dx Lời giải Chọn B Đặt u = x − ⇒ du = 5dx ⇒ du 1 = ln u + C = ln x − + C u 5 x x Họ tất nguyên hàm hàm số: f ( x ) = + là: Ta có: Câu du = dx dx ∫ 5x − = ∫ 2x 3x A + +C ln ln 2x 3x C − +C ln ln B x.ln + 3x.ln + C D x + 3x + C Lời giải Chọn A ∫ 2x 3x f ( x ) dx = + +C ln ln Câu Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3cos x − 8x A 3sin x − x + C B −3sin x − x + C C 3sin x − x + C Lời giải D 3cos x − x + C Chọn C Ta có ∫ f ( x ) dx = 3sin x − x +C Câu Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + khoảng ( 0;+∞ ) x A x + ln x + C B + ln x + C ` C − + C D x − + C x x2 Lời giải Chọn A Ta có: f x dx = x + ln x + C ∫ ( ) Câu Tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = A ln ( x + 3) + C B ln x + + C 2x + C ln x + + C D ln x + + C Lời giải Chọn B Ta có: Câu 1 1 ∫ f ( x ) dx = ∫ x + 3dx = ∫ x + 3d ( x + 3) = ln x + + C Biết F ( 1) = Giá trị F ( ) x −1 B F ( ) = ln + C F ( ) = ln − D F ( ) = ln + Lời giải Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = A F ( ) = ln − Trang Chọn D Ta có 1 ∫ f ( x ) dx = ∫ x −1 dx = ln x − + C ( C ∈ ¡ ) F ( 1) = ⇒ C = ln x − + 2 Suy F ( ) = ln + 2 ⇒ F ( x) = Câu 10 Nguyên hàm f ( x ) = A x x +C B x − x +C −2 C x +C D x +C Lời giải Chọn C Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ x − x dx = ∫ x dx = x − − 2 +C = −2 +C x  Mức độ Câu 1 3 Hàm số f ( x ) = ( x + 1) có nguyên hàm F ( x ) thỏa F  ÷ = Tính P = F  ÷  2 2 A P = 32 B P = 34 C P = 18 D P = 30 Lời giải Chọn B ( x + 1) ( x + 1) ∫ ( x + 1) dx = + C = + C 4 1 F  ÷ = ⇒ + C = ⇔ C = ⇒ F ( x ) = ( x + 1) + 2 3 Do đó F  ÷ = 34 2 Câu Hàm F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = xe x ? x2 A F ( x ) = e + x2 C F ( x ) = − e + C ( ) x2 e +5 x2 D F ( x ) = − − e Lời giải B F ( x ) = ( ) Chọn C Ta có Khi đó Câu → dt = xdx → xdx = dt dx Đặt t = x  1 f ( x ) dx = ∫ e t dt = e t + C = e x + C 2 ∫ f ( x ) dx = ∫ xe ∫ Tìm nguyên hàm A x2 ò x( x 16 x + 7) + C ( 2 + 7)15 dx B - 16 x + 7) + C ( 32 Trang C 16 x + 7) + C ( 16 D 16 x + 7) + C ( 32 Lời giải Chọn D Đặt t = x + Þ dt = xdx Þ xdx = dt 16 15 t 16 t d t = + C = ( x + 7) + C ò 2 16 32 2x 2x Câu Cho biết ∫ xe dx = G ( x ) = e ( ax + b ) + C , đó a, b ∈¢ C số thỏa mãn Ta có 15 ò x( x + 7) dx = G ( 0) =- Mệnh đề A a + 2b + C = B b > a C ab + 4C = −5 D 2a − b = Lời giải Chọn C Đặt u = x ⇒ du = dx , dv = e x dx ⇒ v = xe x e2 x xe x e2 x e2 x −∫ dx = − +C = ( x − 1) + C Suy a = , b = −1 2 4 e0 G ( 0) =- Þ ( 2.0 - 1) + C =- Û C =- 4 x Cho F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) e F ( ) = Tính F ( ln ) Ta có Câu e2 x 2x ∫ xe d x = A F ( 1) = 5e − B F ( ln ) = 10e − C F ( ln ) = 10 ln − D F ( ln ) = 5ln − Lời giải Chọn C x Ta có F ( x ) = ∫ ( x + 1) e dx u = x + du = 5dx ⇒ Đặt  x x  dv = e d x  v=e F ( x ) = ( x + 1) e x − ∫ 5e x dx = ( x + 1) e x − 5e x + C = ( x − ) e x + C Mặt khác F ( ) = ⇔ −4 + C = ⇔ C = ⇒ F ( x ) = ( 5x − 4) e x + Vậy F ( ln ) = ( 5.ln − ) + = 10 ln − Câu Nếu ∫ f ( x ) dx = e A e x − cos x x + sin x + C thì f ( x ) B e x + sin x C e x − sin x Lời giải D e x + cos x Chọn D Ta có: f ( x ) = ( e x + sin x + C ) ′ = e x + cos x Câu Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = F ( ) = Khi đó F ( 3) x −1 Trang A ln + B ln C ln D Lời giải Chọn A Ta có F ( x ) = f ( x ) dx = dx = ln x − + C ∫ ∫ x −1 Nên F ( ) = ⇔ ln − + C = ⇔ C = ⇒ F ( x ) = ln x − + Do đó F ( 3) = ln + Câu Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x sin x thì: sin x sin x − +C 14 cos 3x cos x − +C C F ( x ) = 14 sin x cos x − +C 14 cos 3x cos x + +C D F ( x ) = 14 A F ( x ) = B F ( x ) = Lời giải Chọn A Ta có: f ( x ) = 2sin x sin x = cos ( − ) x − cos ( + ) x = cos x − cos x sin 3x sin x sin x sin x − + C ⇔ ∫ f ( x ) dx = − +C 14 π  Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x) = sin x , biết F  ÷ = 6 Suy : ∫ f ( x ) dx = Câu A F ( x ) = cos x − −1 C F ( x ) = cos x 2 B F ( x ) = sin x − −1 π D F ( x ) = cos x + Lời giải Chọn B 1 π  Ta có : F ( x ) = ∫ sin xdx = − cos x + C ; F  ÷ = ⇒ C = 6 1 1 2 Vậy F ( x ) = − cos x + = − ( − 2sin x ) + = sin x − 4 Câu 10 Nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x A x sin x + +C 2 B x sin x + +C C x sin x − +C 2 D x sin x − +C Lời giải Chọn D ∫ sin xdx = ∫ − cos x x sin x dx = − +C 2  Mức độ Câu ( ) x x Cho ∫ e e − dx = A H = −4 a x a (e − 1)m + C (với a, b ∈ Z , phân số tối giản) Tìm H = a + b − m b b B H = −1 C H = D H = Lời giải Chọn D Trang − 1) dx = ∫ (e x − 1)3 d (e x − 1) = (e x − 1) + C  a =1  ⇒  b = ⇒ H = a + b − c = 12 + − = m =  ∫e ( e x x Câu Hãy xác định hàm số F ( x ) = ax + bx + cx + Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( 1) = , f ( ) = f ( 3) = A F ( x ) = x + x + x + B F ( x ) = x + x + x + 3 D F ( x ) = x + x + x + Lời giải C F ( x ) = x + Chọn C f ( x ) = 3ax + 2bx + c a = 3a + 2b + c =    Theo để 12a + 4b + c = ⇔ b =  27 a + 6b + c =   c = Vậy f ( x ) = x + Câu thỏa mãn F ( ) = 10 Tìm F ( x ) 2e + B F ( x ) = x + 10 − ln ( 2e x + 3) Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = A F ( x) = ( ) x ( ln x − ln ( 2e x + 3) + 3 1  x  C F ( x ) =  x − ln  e + ÷÷+ 10 + ln 3   ) 1 ln − ln  x  D F ( x ) =  x − ln  e + ÷÷+ 10 − 3   Lời giải Chọn A F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ex d x = ∫ ( 2e x + 3) e x dx 2e x + Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx Suy 1 1  F ( x) = ∫ dt = ∫  − ÷dt = ( ln t − ln 2t + ) + C  t 2t +  ( 2t + 3) t = Vì F ( ) = 10 nên C = ) ln ) ln x − ln ( 2e x + 3) + 3 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục đoạn [1;2] thỏa mãn f (1) = Vậy F ( x ) = Câu ( ( x − ln ( 2e x + 3) + C f (x) = xf ¢(x) - 2x3 - 3x2 Giá trị f (2) A C 15 B 10 D 20 Lời giải Trang Chọn D Ta có: f (x) = xf ¢(x) - 2x3 - 3x2 Û xf ¢(x) - f (x) = 2x3 + 3x2 = x2(2x + 3) xf ¢(x) - f (x) Û = 2x + x2  ổf (x)ử f (x) ữ ỗ ữ dx = ò( 2x + 3) dx Û = x2 + 3x + C ũỗỗố x ứữ ữ x Do f (1) = Þ = 1+ + C Þ C = Þ f (x) = x3 + 3x2 ị f (2) = 20  ổf (x)ử f ( 2) ữ ỗ ữ dx = 2x + 3) dx Û - f( 1) = ỗ ( ũỗố x ứữ ũ ữ 1 Cách khác: Câu ( 2) = 20 Hàm số F ( x ) = ( ax + b ) x + ( a, b số thực) nguyên hàm f ( x) = A 12 x Tính a + b 4x + B C D Lời giải Chọn B Ta có F ′ ( x ) = a x + + ( ax + b ) 6ax + a + 2b = 4x +1 4x +1 Để F ( x ) nguyên hàm f ( x ) thì 6ax + a + 2b 12 x 6a = 12 a = = ⇔ ⇔ 4x +1 4x +1 a + 2b = b = − Do đó a + b = Câu Nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = A F ( x ) = C F ( x ) ln x + ln x ( + ln x ) = 2 + + ln x (với x > ) thỏa F ( 1) = x B F ( x ) = x + ln x + 2 D F ( x ) = x + ln x + 2 Lời giải Chọn A t2 dx Khi đó F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ tdt = + C = ( + ln x ) + C x 2 1 Do F ( 1) = nên + C = ⇔ C = − 2 Đặt t = + ln x ta có dt = Vậy F ( x ) = ( + ln x ) 1 − = ln x + ln x 2 2 Câu7.Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = (với x > ) thỏa mãn F ( ) = 2x −1 A F ( x ) = 2 x − B F ( x ) = 2 x − + C F ( x ) = x − + D F ( x ) = x − − 10 Lời giải Chọn B Đặt t = x − ⇒ dt = Suy F ( x ) = ∫ dx ⇒ tdt = dx 2x −1 tdt dx = 2∫ = ∫ dt = 2t + C = 2 x − + C x −1 t Trang 10 Do F ( ) = nên + C = ⇒ C = Vậy F ( x ) = 2 x − + Câu Nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = e +1 3 + C F ( x ) = − x e +1 A F ( x ) = − x thỏa F ( ) = e + e− x + 1 + B F ( x ) = − x e +1 + D F ( x ) = − x e +1 Lời giải x Chọn B dt dt = dx hay = dx x e t dt dt =∫ dt 1 =∫ +C = − x +C   =∫ Khi đó F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = − t t + + 2÷ t + 1) ( t + 2t + t +1 e +1  t  x Đặt t = e x , suy dt = e dx ⇒ 1 +C = ⇔ C = e +1 1 + Vậy F ( x ) = − x e +1 −x Câu Tìm nguyên hàm F ( x ) ( x − 1) e biết F ( 0) = Do F ( ) = nên − −x A I = ( x − 1) e + −x B I = − ( x − 1) e + −x C I = − ( x − 3) e + −x D I = − ( x + 1) e + Lời giải Chọn D u = x − du = 2dx ⇒ Đặt   −x −x  d v = e dx  v = − e −x −x −x −x −x Khi đó I = ∫ ( x − 1) e dx = − ( x − 1) e + ∫ 2e dx = − ( x − 1) e − 2e + C −x −x Ta có F ( x ) = − ( x − 1) e − 2e + C , F ( ) = ⇔ C = Þ F ( x ) =- ( x - 1) e- x - 2e- x +1 = - ( x +1) e- x +1 Câu 10 3x Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = xe F ( ) = Hãy tính F ( −1) A − 82 + 9e3 B 82 + 9e C − 82 − 9e D 82 − 9e Lời giải Chọn A 3x Ta có I = ∫ f ( x ) dx = ∫ xe dx  du = dx u = x  ⇒ Đặt  3x 3x  dv = e dx v = e  1 1 1 ⇒ I = xe3 x − ∫ e3 x dx = xe3 x − ∫ e3 x d ( 3x ) = xe3 x − e3 x + C 3 9 82 Theo giả thiết ta có F ( ) = suy C = Trang 11 1 82 82 ⇒ F ( −1) = − e −3 − e −3 + =− + 9 9e  Mức độ Câu 1 x Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = e cos x F ( 0) = Khi đó phương trình F ( x) = A 2e x sin x có nghiệm x thuộc đoạn [ 0; 2p] B C Lời giải D Chọn B ìï u = cos x x Þ Ta có F ( x) = ị e cos xdx Đặt ïí ïïỵ dv = e x dx ìï du =- 2sin xdx ïí ïïỵ v = e x x x x Khi đó F ( x ) = e cos x + ò e sin xdx = e cos x + I ( *) ïì u = sin x x Þ Tính I = ị e sin x Đặt ïí ïỵï dv = e x dx ïìï du = 2cos xdx í ïỵï v = e x x x x Khi đó I = e sin x - 2ò e cos xdx = e sin x - F ( x ) ( 2*) Thay ( 2*) vào ( *) ta được: F ( x ) = e x cos x + ( e x sin x - F ( x ) ) Û F ( x ) = ( cos x + 2sin x ) e x +C ( cos x + 2sin x) e x 1 Suy F ( 0) = Û + C = Û C = Þ F ( x ) = 5 5 x ( cos x + 2sin x) e 2e x sin x 2e x sin x p kp Khi đó F ( x ) = Û = Û cos x = Û x = + 5 Do x ẻ [ 0; 2p] ị k Î { 0;1; 2;3} Þ có giá trị Câu Cho F ( x ) = ∫( x C ∫ ( x A 4 f ( x) Tìm nguyên hàm x − x f '( x ) nguyên hàm x x − x ) f '( x) = − x − x + C − x ) f '( x) =2 x − x + C ( ∫( x D ∫ ( x B 4 ) − x ) f '( x) =2 x + x + C − x ) f '( x) = − x + x + C Lời giải Chọn C f ( x) 2 ′ f ( x) ⇒ f ( x) = − Áp dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ), Ta có:  ÷ = ⇒− = x x x x x  Ta tìm I = ∫ ( x − x ) f ′ ( x ) dx du = ( x3 − x ) dx u = x − x  ⇒ Chọn  −2 dv = f ′ ( x ) dx  v = f ( x ) = x  2 ⇒ I = − ( x − x3 ) + ∫ ( x − x ) dx = −2 x + x + ∫ ( x − ) dx = x x 2 = −2 x + x + x − x + C = x − x + C Vậy ∫( x − x ) f ′ ( x ) dx = x − x + C Trang 12 ⇒ ∫ ( x − x ) f ' ( x ) dx = ∫ ( x − 1) dx = x − x + C x3 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ \{0; −1}, thỏa mãn x( x + 1) f ′( x) + f ( x ) = x + x với Cách khác: f ' ( x ) = Câu x ∈ ¡ \ {0; −1} f (1) = −2 ln Biết f (2) = a + b ln với a, b ∈ ¤ Giá trị tổng a + b 13 A 0,5 B 0, 75 C D 4,5 Lời giải Chọn D Ta có: x( x + 1) f ′( x) + f ( x ) = x + x ⇔ ( x + 1) f ( x) + x x x ′ x  f ′( x) = ⇔  f ( x) ÷= x +1 x +1  x +1  x +1 x ′ x x Suy ∫  f ( x ) dx ⇔ f ( x ) = x − ln x + + C ÷ dx = ∫ x +1  x +1 x +1  Mà f ( 1) = −2 ln ⇒ −2 ln ( ) = − ln + C ⇔ C = −1 x +1 x +1 x +1 ln x + − = x− − ln x + Do đó f ( x ) = x + − x x x x 3 3 2 Ta có f (2) = − − ln = − ln suy a = ; b = ⇒ a + b = 2 2 2 Cách khác: x ′ x 3  ∫1  f ( x ) x + ÷ dx = ∫1 x + dx ⇔ f ( ) − f ( 1) = + ln − ln ⇒ f ( ) = − ln Câu Cho y = f (x) xác định ¡ \ {2} thỏa mãn f ¢(x) = ln3 Tính P = f(- 7) + (11) A P = ln162 B P = ln18 Lời giải Chọn A ; f (0) = ln6 3x - f (3) = C P = 2ln3 D P = + ln2 ìï ïï ln(x - 2) + C x > 1 ¢ dx = ln x - +C = ïí Ta có: f (x) = ò f (x)dx = ò ïï 3x - ïï ln(2 - x) + C x < ïỵ ìï ìï ì ïï f (0) = ln6 ïï ln(2 - 0) + C = ln6 ïïï C = ln3 3 Þ ïí Û ïí Do ïí ïï ïï ïï 4 ïï f (3) = ln3 ïï ln(3 - 2) + C = ln3 ïï C = ln2 + ln3 3 ỵï ỵï ỵï ïìï x > ï ln(x - 2) + ln3 ï 3 Þ f (x) = í ïï ïï ln(2 - x) + ln2 + ln3 x < ïỵ ỉ é1 ù 4 ÷ ê ú ÷ ln[2 ( 7)] + ln2 + ln3 + ln(11 2) + ln3 ỗ Khi o: P = f(- 7) + (11) = ỗ ữ ỗ ỳ ữ 3 è3 ø ë û Trang 13 = 4ln3 + ln2 = ln162 x  π π Câu Cho f ( x ) =  − ; ÷ F ( x ) nguyên hàm xf ′ ( x ) thỏa mãn F ( ) = cos x  2  π π Biết a ∈  − ; ÷ thỏa mãn tan a = Tính F ( a ) − 10a + 3a  2 1 A − ln10 B − ln10 C ln10 Lời giải Chọn C Ta có: F ( x ) = ∫ xf ′ ( x ) dx = ∫ xd f ( x ) = xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx Ta lại có: x ∫ f ( x ) dx = ∫ cos x D ln10 dx = ∫ xd ( tan x ) = x tan x − ∫ tan xdx = x tan x − ∫ sin x dx cos x d ( cos x ) = x tan x + ln cos x + C ⇒ F ( x ) = xf ( x ) − x tan x − ln cos x + C cos x Lại có: F ( ) = ⇒ C = , đó: F ( x ) = xf ( x ) − x tan x − ln cos x = x tan x + ∫ ⇒ F ( a ) = af ( a ) − a tan a − ln cos a ( ) a = a + tan a = 10a cos a 1 ⇔ cos a = = + tan a = 10 ⇔ cos a = cos a 10 10 Khi đó f ( a ) = 2 Vậy F ( a ) − 10a + 3a = 10a − 3a − ln Câu 1 − 10a + 3a = ln10 10 Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ Biết cos x nguyên hàm hàm số f ( x ) e2 x , họ 2x tất nguyên hàm hàm số f ' ( x ) e A sin x − cos x + C C − sin x + cos x + C B sin x + cos x + C D − sin x − cos x + C Lời giải Chọn D 2x Vì cos x nguyên hàm hàm số f ( x ) e nên: ⇒ f ( x ) e x = ( cos x ) ' = −2 cos x.sin x = − sin x 2x Tính I = ∫ f ' ( x ) e dx u = e x  du = 2e2 x dx   ⇒ Đặt  dv = f ' ( x ) dx  v = f ( x )  ⇒ I = f ( x ) e x − ∫ f ( x ) e x dx = − sin x − cos x + C Câu7 Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x phương trình F ( x ) + ln ( e + 1) = là? A B thỏa mãn F ( ) = − ln Số nghiệm e +1 x C D Lời giải Chọn C Trang 14 dt = e x dx  Đặt t = e + ⇒  x  e = t − Ta được: ex dt  1 F ( x) = ∫ x dx = ∫ x x dx = ∫ = ∫ − ÷dt e +1 t ( t − 1) e ( e + 1)  t −1 t  x = ln t − − ln t + C = ln t −1 ex + C = ln x +C t e +1 e0 + C = − ln ⇒ C = Mà: F ( ) = − ln ⇒ ln e +1 Suy ra: F ( x ) = ln ex ex + Giải phương trình: F ( x ) + ln ( e x + 1) = ⇔ ln Vậy tập nghiệm PT là: S = { 3} ex + ln ( e x + 1) = ⇔ ln e x = ⇔ x = ex + Câu Cho hàm số f ( x ) ≠ ; f ′ ( x ) = ( x + 1) f ( x ) f ( 1) = −0,5 Tính tổng f ( 1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2017 ) = định a A < −1 b B a ∈ ( −2017; 2017 ) a a ; ( a ∈ ¢; b ∈ ¥ ) với tối giản Chọn khẳng b b C b − a = 4035 D a + b = −1 Lời giải Chọn C Ta có: f ′ ( x ) = ( x + 1) f ( x ) ⇔ ⇔− f ′( x) f ( x) = 2x + ⇔ ∫ f ′( x) f ( x) dx = ∫ ( x + 1) dx 1 = x2 + x + C ⇒ = − x2 − x − C f ( x) f ( x) Lại có: f ( 1) = −0,5 ⇒ −2 = −12 − − C ⇒ C = Vậy 1 = − ( x + x ) = − x ( x + 1) hay − f ( x ) = f ( x) x ( x + 1) Ta có: − f ( 1) − f ( ) − f ( 3) − − f ( 2017 ) = 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 2017.2018 1 1 1 1 2017 = − + − + − + + − = 1− = 2 3 2017 2018 2018 2018 Vậy f ( 1) + f ( ) + f ( ) + + f ( 2017 ) = −2017 hay a = −2017 , b = 2018 ⇒ b − a = 4035 2018 Câu Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x )  f ( x )  trình f ( x ) = − A có nghiệm? e B 2018 = x.e x với x ∈ ¡ f ( 1) = Hỏi phương C Lời giải D Chọn D Ta có: ∫ f ′ ( x )  f ( x )  2018 dx = ∫ x.e x dx ⇔ ∫  f ( x )  2018 df ( x ) = ( x − 1) e x + C Trang 15 ⇔ 2019 2019  f ( x )  = ( x − 1) e x + C ⇔  f ( x )  = 2019 ( x − 1) e x + 2019C 2019 = 2019 ( x − 1) e x + Do f ( 1) = nên 2019C = hay  f ( x )  2019 1 = − 2019 ⇔ 2019 ( x − 1) e x + + 2019 = Ta có: f ( x ) = − ⇔  f ( x )  e e e x Xét hàm số g ( x ) = 2019 ( x − 1) e + + 2019 ¡ e g ( x ) = +∞ , g ′ ( x ) = 2019 x.e x , g ′ ( x ) = ⇔ x = , g ( ) = −2019 + + 2019 < , xlim →+∞ e 2019 lim g ( x ) = + >0 e Bảng biến thiên hàm số: 2019 x →−∞ Do đó phương trình f ( x ) = − Câu 10 có nghiệm e Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn  xf ′ ( x )  + = x 1 − f ( x ) f ′′ ( x )  với x dương Biết f ( 1) = f ′ ( 1) = Giá trị f ( ) A f ( ) = ln + B f ( ) = ln + C f ( ) = ln + D f ( ) = ln + Lời giải Chọn B Ta có:  xf ′ ( x )  + = x 1 − f ( x ) f " ( x )  ; x > ⇔ x  f ' ( x )  + = x 1 − f ( x ) f " ( x )  = 1− f ( x ) f "( x ) x2 ⇔  f ' ( x )  + f ( x ) f " ( x ) = − x ' ⇔  f ( x ) f ' ( x )  = − x '   Do đó: ∫  f ( x ) f ' ( x )  dx = ∫  − ÷.dx ⇒ f ( x ) f ' ( x ) = x + + c1 x  x  ⇔  f ' ( x )  + Vì f ( 1) = f ' ( 1) = ⇒ = + c1 ⇔ c1 = −1 Nên   ∫ f ( x ) f ' ( x ) dx = ∫  x + x − 1÷.dx   ⇔ ∫ f ( x ) d ( f ( x ) ) = ∫  x + − 1÷.dx x   1 f ( x ) x2 ⇒ = + ln x − x + c2 Vì f ( 1) = ⇒ = − + c2 ⇔ c2 = 2 2 Vậy f ( x ) x2 = + ln x − x + ⇒ f ( ) = ln + 2 Trang 16 Câu 11 Biết F ( x ) nguyên hàm ¡ hàm số f ( x ) = 2020 x (x + 1) 2021 thỏa mãn F ( 1) = Tìm giá trị nhỏ m F ( x ) A m = − B m = − 2020 22021 C m = + 22020 22021 D m = Lời giải Chọn B Ta có =− ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + 1) 2020 2020 x (x + 1) dx 2021 (x = 1010 −2021 2020 = x + 1) d ( x + 1) ( ∫ 2 + 1) −2020 −2020 +C + C = F ( x) 1 + C = ⇒ C = 2021 2020 2.2 1 + 2021 suy 2020 Do đó F ( x ) = − 2.( x + 1) Mà F ( 1) = ⇒ − F ( x ) đạt giá trị nhỏ ( x + 1) 2020 lớn ⇔ ( x + 1) nhỏ ⇔ x = 1 − 2020 Vậy m = − + 2021 = 2021 2  Mức độ Câu 1 x Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = e cos x F ( 0) = Khi đó phương trình 2e x sin x có nghiệm x thuộc đoạn [ 0; 2p] F ( x) = A B C Lời giải Chọn B ìï u = cos x ìï du =- 2sin xdx x Þ ïí Ta có F ( x) = ị e cos xdx Đặt ïí ïỵï dv = e x dx ïỵï v = e x D x x x Khi đó F ( x ) = e cos x + ò e sin xdx = e cos x + I ( *) ïì u = sin x x Þ Tính I = ị e sin x Đặt ïí ïỵï dv = e x dx ïìï du = 2cos xdx í ïỵï v = e x x x x Khi đó I = e sin x - 2ò e cos xdx = e sin x - F ( x ) ( 2*) Thay ( 2*) vào ( *) ta được: F ( x ) = e x cos x + ( e x sin x - F ( x ) ) Û F ( x ) = ( cos x + 2sin x ) e x ( cos x + 2sin x) e 1 Suy F ( 0) = Û + C = Û C = Þ F ( x ) = 5 5 +C x Trang 17 ( cos x + 2sin x) e x 2e x sin x 2e x sin x p kp Khi đó F ( x ) = Û = Û cos x = Û x = + 5 Do x ẻ [ 0; 2p] ị k ẻ { 0;1; 2;3} Þ có giá trị Câu Cho F ( x ) = ∫( x C ∫ ( x A 4 f ( x) Tìm nguyên hàm x − x f '( x ) nguyên hàm x x ( − x ) f '( x) = − x − x + C − x ) f '( x) =2 x − x + C ∫( x D ∫ ( x B 4 ) − x ) f '( x) =2 x + x + C − x ) f '( x) = − x + x + C Lời giải Chọn C f ( x) 2 ′ f ( x) ⇒ f ( x) = − Áp dụng định nghĩa nguyên hàm, ta có:  ÷ = ⇒− = x x x x x  Ta tìm I = ∫ ( x − x ) f ′ ( x ) dx du = ( x3 − x ) dx u = x − x  ⇒ Chọn  −2 dv = f ′ ( x ) dx  v = f ( x ) = x  2 ⇒ I = − ( x − x ) + ∫ ( x − 3x ) dx = −2 x + x + ∫ ( x − ) dx x x 2 = −2 x + x + x − x + C = x − x + C Vậy Câu ∫( x − x ) f ′ ( x ) dx = x − x + C Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ \{0; −1}, thỏa mãn x( x + 1) f ′( x) + f ( x ) = x + x với x ∈ ¡ \ {0; −1} f (1) = −2 ln Biết f (2) = a + b ln vi a, b Ô Giỏ tr tổng a + b 13 A 0,5 B 0, 75 C D 4,5 Lời giải Chọn D f ( x) + f ′( x) = Ta có x( x + 1) f ′( x) + f ( x ) = x + x ⇔ x ( x + 1) ⇔ ( x + 1) f ( x) + x x x  x ′ f ′( x) = ⇔ f ( x) ÷ = x +1 x +1  x +1  x +1 x x x ′ Suy ∫  f ( x ) ÷ dx = ∫ dx ⇔ f ( x ) = x − ln x + + C x +1 x +1  x +1  Mà f ( 1) = −2 ln ⇒ ( −2 ln ) = − ln + C ⇔ C = −1 x +1 x +1 x +1 ln x + − = x− − ln x + Do đó f ( x ) = x + − x x x x 3 3 2 Ta có f (2) = − − ln = − ln Suy a = ; b = − ⇒ a + b = 2 2 2 Câu Cho y = f (x) xác định ¡ \ {2} thỏa mãn f ¢(x) = ; f (0) = ln6 3x - Trang 18 ln3 Tính P = f(- 7) + (11) A P = ln162 B P = ln18 f (3) = C P = 2ln3 Lời giải D P = + ln2 Chọn A Câu ìï ïï ln(x - 2) + C x > 1 dx = ln x - +C = ïí Ta có: f (x) = ị f ¢(x)dx = ị ïï 3x - ïï ln(2 - x) + C x < ïỵ ìï ïìï ïìï 4 ï f (0) = ln6 ï ln(2 - 0) + C = ln6 ïï C = ln3 3 Þ ïí Û ïí Do ïí ïï ïï ïï 4 ïï f (3) = ln3 ïï ln(3 - 2) + C = ln3 ïï C = ln2 + ln3 3 ỵï ỵï ỵï ìï ïï ln(x - 2) + ln3 x > Þ f (x) = ïí ïï ïï ln(2 - x) + ln2 + ln3 x < ïỵ ỉ é1 ù 4 ÷ + ê ln(11- 2) + ln3ỳ ỗ ln[2 - (- 7)]+ ln2 + ln3ữ Khi o: P = f(- 7) + (11) = ỗ ữ ỳ ữ ỗ 3 ố3 ứ ở3 û = 4ln3 + ln2 = ln162 x  π π Cho f ( x ) =  − ; ÷ F ( x ) nguyên hàm xf ′ ( x ) thỏa mãn cos x  2  π π F ( ) = Biết a ∈  − ; ÷ thỏa mãn tan a = Tính F ( a ) − 10a + 3a  2 1 A − ln10 B − ln10 C ln10 D ln10 Lời giải Chọn C Ta có: F ( x ) = ∫ xf ′ ( x ) dx = ∫ xd f ( x ) = xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx Ta lại có: x ∫ f ( x ) dx = ∫ cos x dx = ∫ xd ( tan x ) = x tan x − ∫ tan xdx = x tan x − ∫ sin x dx cos x d ( cos x ) = x tan x + ln cos x + C ⇒ F ( x ) = xf ( x ) − x tan x − ln cos x + C cos x Lại có: F ( ) = ⇒ C = , đó: F ( x ) = xf ( x ) − x tan x − ln cos x = x tan x + ∫ ⇒ F ( a ) = af ( a ) − a tan a − ln cos a ( ) a = a + tan a = 10a cos a 1 2 ⇔ cos a = = + tan a ⇔ cos a = = 10 cos a 10 10 Khi đó f ( a ) = 2 Vậy F ( a ) − 10a + 3a = 10a − 3a − ln Câu 1 − 10a + 3a = ln10 10 Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ Biết cos x nguyên hàm hàm số f ( x) e x , họ tất 2x nguyên hàm hàm số f ' ( x ) e A sin x − cos x + C B sin x + cos x + C Trang 19 C − sin x + cos x + C D − sin x − cos x + C Lời giải Chọn D 2x Vì cos x nguyên hàm hàm số f ( x ) e nên: ⇒ f ( x ) e x = ( cos x ) ' = −2 cos x.sin x = − sin x 2x Tính I = ∫ f ' ( x ) e dx u = e x  du = 2e x dx   ⇒ Đặt  dv = f ' ( x ) dx  v = f ( x )  ⇒ I = f ( x ) e x − ∫ f ( x ) e x dx = − sin x − cos x + C Câu7 Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x nghiệm S phương trình F ( x ) + ln ( e + 1) = thỏa mãn F ( ) = − ln Tìm tập e +1 x Lời giải dt = e dx  x Đặt t = e + ⇒  x  e = t − Ta được: ex dt  1 dx = ∫ e x + ∫ e x ( e x + 1) dx = ∫ t ( t − 1) = ∫  t − − t ÷ dt x = ln t − − ln t + C = ln t −1 ex + C = ln x +C t e +1 e0 + C = − ln ⇒ C = Mà: F ( ) = − ln ⇒ ln e +1 Suy ra: F ( x ) = ln ex ex + Giải phương trình: F ( x ) + ln ( e x + 1) = ⇔ ln Vậy tập nghiệm PT là: S = { 3} Câu Cho hàm số f ( x) ≠ ; f ′ ( x ) = ( x + 1) f ( x ) f ( 1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2017 ) = A a < −1 b ex + ln ( e x + 1) = ⇔ ln e x = ⇔ x = ex + f ( 1) = −0,5 Tính tổng a a ; ( a Â; b Ơ ) vi ti giản Chọn khẳng định b b B a ∈ ( −2017; 2017 ) C b − a = 4035 D a + b = −1 Lời giải Chọn C Ta có: f ′ ( x ) = ( x + 1) f ( x ) ⇔ ⇔− f ′( x) f ( x) = 2x + ⇔ ∫ f ′( x) f ( x) dx = ∫ ( x + 1) dx 1 = x2 + x + C ⇒ = − x2 − x − C f ( x) f ( x) Lại có: f ( 1) = −0,5 ⇒ −2 = −12 − − C ⇒ C = Trang 20 1 = − ( x + x ) = − x ( x + 1) hay − f ( x ) = f ( x) x ( x + 1) Vậy Ta có: − f ( 1) − f ( ) − f ( 3) − − f ( 2017 ) = 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 2017.2018 1 1 1 1 2017 = − + − + − + + − = 1− = 2 3 2017 2018 2018 2018 Vậy f ( 1) + f ( ) + f ( ) + + f ( 2017 ) = −2017 hay a = −2017 , b = 2018 ⇒ b − a = 4035 2018 Câu Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x )  f ( x )  trình f ( x ) = − A có nghiệm? e B 2018 = x.e x với x ∈ ¡ f ( 1) = Hỏi phương C Lời giải D Chọn D Ta có: ⇔ ∫ f ′ ( x )  f ( x )  2018 dx = ∫ x.e x dx ⇔ ∫  f ( x )  2018 df ( x ) = ( x − 1) e x + C 2019 2019  f ( x )  = ( x − 1) e x + C ⇔  f ( x )  = 2019 ( x − 1) e x + 2019C 2019 = 2019 ( x − 1) e x + Do f ( 1) = nên 2019C = hay  f ( x )  2019 1 = − 2019 ⇔ 2019 ( x − 1) e x + + 2019 = Ta có: f ( x ) = − ⇔  f ( x )  e e e x Xét hàm số g ( x ) = 2019 ( x − 1) e + + 2019 ¡ e g ( x ) = +∞ , g ′ ( x ) = 2019 x.e x , g ′ ( x ) = ⇔ x = , g ( ) = −2019 + + 2019 < , xlim →+∞ e 2019 lim g ( x ) = + >0 e Bảng biến thiên hàm số: 2019 x →−∞ Do đó phương trình f ( x ) = − Câu 10 có nghiệm e Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn  xf ′ ( x )  + = x 1 − f ( x ) f ′′ ( x )  với x dương Biết f ( 1) = f ′ ( 1) = Giá trị f ( ) A f ( ) = ln + B f ( ) = ln + C f ( ) = ln + D f ( ) = ln + Lời giải Chọn B Ta có:  xf ′ ( x )  + = x 1 − f ( x ) f " ( x )  ; x > ⇔ x  f ' ( x )  + = x 1 − f ( x ) f " ( x )  Trang 21 = 1− f ( x ) f "( x ) x2 ⇔  f ' ( x )  + f ( x ) f " ( x ) = − x ' ⇔  f ( x ) f ' ( x )  = − x '   Do đó: ∫  f ( x ) f ' ( x )  dx = ∫ 1 − ÷.dx ⇒ f ( x ) f ' ( x ) = x + + C1 x  x  ⇔  f ' ( x )  + Vì f ( 1) = f ' ( 1) = ⇒ = + C1 ⇔ C1 = −1     f x f ' x d x = x + − d x ⇔ f x d f x = x + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ÷  ∫ ∫ x  ∫ ∫  x − 1÷.dx 1 f ( x ) x2 ⇒ = + ln x − x + C2 Vì f ( 1) = ⇒ = − + C2 ⇔ C2 = 2 2 Nên Vậy f ( x ) x2 = + ln x − x + ⇒ f ( ) = ln + 2 Câu 11 Biết F ( x ) nguyên hàm ¡ hàm số f ( x ) = 2020 x (x + 1) 2021 thỏa mãn F ( 1) = Tìm giá trị nhỏ m F ( x ) A m = − B m = − 2020 22021 C m = + 22020 22021 D m = Lời giải Chọn B ∫ f ( x ) dx = ∫ Ta có =− ( x + 1) 2020 2020 x (x + 1) 2021 dx = −2021 2020 x + d ( x + 1) ( ) ∫ (x = 1010 + 1) −2020 −2020 +C + C = F ( x) 1 + C = ⇒ C = 2021 2020 2.2 1 + 2021 suy 2020 Do đó F ( x ) = − 2 2.( x + 1) Mà F ( 1) = ⇒ − F ( x ) đạt giá trị nhỏ ( x + 1) 2020 lớn ⇔ ( x + 1) nhỏ ⇔ x = 1 − 2020 Vậy m = − + 2021 = 2021 2 Trang 22 ... u èu ø II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: *Tính nguyên hàm địng nghĩa bảng nguyên hàm *Nguyên hàm hàm hữu tỉ *Nguyên hàm phần *Nguyên hàm đổi biến *Nguyên hàm hàm ẩn BÀI TẬP MẪU Câu 14 (ĐỀ THAM KHẢO... lượng – mũ dv = phần lại + Lưu ý: Bậc đa thức bậc ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm + Dạng mũ nhân lượng giác dạng nguyên hàm phần luân hồi 5) Nguyên hàm hàm ẩn Nhóm Sử dụng định nghĩa F ¢(x)... bảng nguyên hàm tính chất nguyên hàm Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn B ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 3x − 1) dx = x3 - x + C=x − x + C Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Nguyên hàm hàm số