NW359 360 DẠNG 09 rút gọn BIỂU THỨC LÔGARIT đơn GIẢN GV

DẠNG TỐN 09: RÚT GỌN BIỂU THỨC LƠGARIT ĐƠN GIẢN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định nghĩa:  Cho hai số dương a , b với a �1 Số  thỏa mãn đẳng thức a  b được gọi là lôgarit số a của  b và kí hiệu là log a b Ta viết   log a b � a  b Các tính chất: Cho a  , b  , a �1 ta co  log a a  1, log a  log a b  b, log a (a )    a Lôgarit của một tích: Cho số dương a , b1 , b2 với a �1 , ta co  log a (b1.b2 )  log a b1  log a b2 Lôgarit của một thương: Cho số dương a , b1 , b2 với a �1 , ta co b log a  log a b1  log a b2 b2   Đặc biệt với a, b  0, a �1 log a   log a b b Lôgarit của lũy thừa: Cho a  , b  , a �1 , với mọi  , ta co   log a b   log a b  Đặc biệt log a n b  log a b n Công thức đổi sô: Cho số dương a , b , c với a �1 , c �1 ta co log c b log a b  log c a  1 log a b  log a b log c a và   Đặc biệt , với  �0  Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên log a c   Lôgarit thập phân là lôgarit số 10, ta viết log10 b  log b  lg b  Lôgarit tự nhiên là lôgarit số e , ta viết log e b  ln b II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tính giá trị biểu thức chứa lôgarit  Các mệnh đề liên quan đến lôgarit … BÀI TẬP MẪU log  9a  (ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Với a là số thực dương tùy ý,  log3 a  log3 a  A B log a C D  log a Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn: Rút gọn biểu thức lơgarit đơn giản HƯỚNG GIẢI: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang log a  b.c   log a b  log a c B1: Áp dụng công thức log  9a   log  log a   log3 a B2: Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn D log a  b.c   log a b  log a c Áp dụng công thức log3  9a   log  log a   log a Do đo Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu log  a  a Với là số thực dương tùy ý, A  log a B 2log a  log a C Lời giải log a D Chọn B Câu log  a   log a  log a Với a  log  2a  Với a là số thực dương tùy ý, A  log a B 2log a log a D C  log a Lời giải Chọn C log  2a   log 2  log a   log a Với a  Câu log  8a  a Với là số thực dương tùy ý, A  log a B  log a  log a C Lời giải log a D Chọn B Câu log  8a   log  log  a    log a Với a  Cho a  log m với m  , m �1 Đẳng thức nào dưới đúng? 3 a log m 8m  log m 8m    a  a a A B C log m 8m  3 a a log m 8m    a  a D Lời giải Chọn A Ta co log m 8m  log m m  log m   log m   3log m Câu  1 log  a b  b a Với , là số thực dương tùy ý,  log  a.b  A B log a  log b C log a  b Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 3 a  a a D log  a.b  Trang Chọn B log  a b   log  a   log b  log a  log b a  b  Với , Câu Cho log x  m Tính giá trị của biểu thức m  A B m A  log x  log x3  log x m C Lời giải theo m D  m Chọn A Câu A  log x  log x3  log x  log x  3log x  log x   log x  m 2 Ta co = 16 log a Với a là số thực dương tùy ý, A  log a B 2log a C  log a Lời giải D 16  log a Chọn C Với a  Câu Câu log 16 a  log 16  log a   log a log a b Cho a, b là số thực dương với a �1 , biểu diễn theo log a b là 1  log a b log a b  log b a A B C D log a b Lời giải Chọn D log a b  �1 � � log a b  � log a b �2 � Với a, b  và a �1 , ta co P  log a  x y  Với x  , y  , a  và a �1 , cho log a x  1 và log a y  Tính A P  B P  10 C P  14 D P  65 Lời giải Chọn B Với x  , y  , a  và a �1 , ta co P log a  x y   log a x  log a y  log a x  3log a y  10 �a � log � � �b �bằng Câu 10 Với a , b là số thực dương tùy ý, A 2a  4b B log a  log b C log a  log b D log a  b Lời giải Chọn B �a � log � � �b � log  a   log  b   log a  log b Với a  , b   Mức đợ Câu Với số thực dương a , b Mệnh đề nào dưới đúng? TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang �2a3 � log � �  3log a  log b �b � A C �2a3 � log � �  3log a  log b �b � �2a3 � log � �  log a  log b �b � B D Lời giải �2a3 � log � �  log a  log b �b � Chọn A �2a � log � � 3 �b � log  2a   log  b   log 2  log a  log b   3log a  log b Ta co Câu Cho a  , b  và a �1 Khẳng định nào dưới là khẳng định đúng? 1 log a  ab   log a b log a  ab   log a b A B C log a2  ab   log a  ab    log a b D Lời giải 1  log a b 2 Chọn D 1  log a  ab    log a a  log a b     log a b  log ab   2 2 a Với a  , b  và a �1 ta co  Câu 1  log a b 2 Cho log  a Tính log theo a a2 a2 A a B a 2a C a Lời giải a D  a Chọn C Ta co Câu log  log  2.3 �a 2 2a log  2.3 � log   a � log  a 15 tính theo a và b là Cho log  a , log  b Khi đo giá trị của 5a  b  5a  b  5a  b  5a  b  2 2 A B C D Lời giải Chọn A log log 5 22 2 22 log 1  log 1  1 1  a  log  log 5 2  2 2 log  log 15 5 5 2 Ta co 1 5a  b   a b  2 2 Câu Cho log  a , log  b Biểu diễn log 2016 theo a và b A log 2016   3a  2b B log 2016   2a  b C log 2016   2a  3b TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA D log 2016   3a  2b Lời giải Trang Chọn B  log  25.32.7   log 25  log 32  log   log  log log 2016 Ta co Do đo log 2016   2a  b Câu Cho Cho a 0, b  0, A  log a (b ).log b ( bc )  log a (c) A log a c B c0 và a �1 , b �1 Rút biểu thức nào sau đây? C log a b gọn biểu thức D log a bc Lời giải Chọn C  log a b log b  bc   log a  c  Ta co A  log a (b ).log b ( bc )  log a (c)  logb b  log b c   log a  c   log a b   log b c   log a c  log a b  log a b.log b c  log a c  log a b  log a c  log a c  log a b  log a b Câu P  log a2 b  log b a Cho a  , b  và a �1 , b �1 Đặt log a b  m , tính theo m giá trị của 4m  A 2m m  12 B 2m m2  12 m C Lời giải m2  D 2m Chọn B � logb a  log b  m � log b  m a a m Do b �1 nên Khi đo  log a b  log b a 1 m  12  log b  log a  m   a b P  log a2 b  log b a 2 m 2m Ta co Câu Câu Cho log a c  x  và log b c  y  Khi đo giá trị của log ab c theo x , y là 1 xy  A x y B xy C x  y D x  y Lời giải Chọn C 1   1 1 1 xy log ab c      log c ab log c a  log c b log a c logb c x y x  y Ta co Cho log  a , log  b Khi đo log tính theo a và b là ab A a  b B a  b 2 C a  b Lời giải D a  b Chọn A 1    log  2.3  log5  log5 Ta co log log TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA  1 1 1 ab    log log a b a  b Trang Câu 10 Với log 27  a , log  b và log  c , giá trị của log6 35 tính theo a , b , c là  3a  b  c  3a  b  c  3a  b  c  3b  a  c A  b B  c C  a D  c Lời giải Chọn B � log  a � log  3a log  a 27 3 Ta co 3a  b log 35 log  log   3a  b  c     log  c 1 c Khi đo log 35 log3  Mức độ 2 Câu Cho a  , b  thỏa mãn 4a  9b  13ab Chọn mệnh đề mệnh đề sau �2a  3b � log � �  log a  log b  � � A log  2a  3b   3log a  log b B �2a  3b � log � �  log a  log b  � � D C log 2a  3b  log a  log b Lời giải Chọn A Ta co  Câu 2a  3b  ab ab   log a  log b  4a  9b  13ab �  2a  3b   25ab �  �2a  3b � log � � log � � Lấy logarit thập phân 2 Cho a  , b  thỏa mãn a  b  14ab Chọn mệnh đề mệnh đề sau ab log   log a  log b  log3 a  log b   log  14ab  A B  C log  a  b    log a  log b  log  a  b    D Lời giải  log3 a  log b  Chọn A 2 �  a  b Ta co a  b  14ab �a  b � �� � ab  16ab �4 � �a  b � ab log �  log a  log b � log  ab  � log �4 � Lấy logarit số hai vế ta được � log Câu ab   log a  log b  log a  bc   log b  ca   Cho số dương a, b, c khác thỏa mãn , Tính giá trị của biểu log c  ab  thức A B 10 C Lời giải D Chọn B Ta co TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang log a  bc   và Câu � log b  ca   log c  bc  log c a � 2 � log c  ca  log c b  log c b 2 � log c a  log c b  (1) log c a 4 �  log c a 4 � log c a  log c b  1 (2) log c b � log c a  � � � � log c b   � log ab   logc a  log c b   c Từ (1) và (2) ta co � Cho log 27  a; log8  b , log  c Giá trị của log12 35 3b  2ac A c  3b  2ac B c  3b  3ac C c  Lời giải 3b  3ac D c  Chọn D Ta co log 27  a � log  3a log  b � log  3b log  log 3.log  3ac Ta co log12 35 Câu  log 35 log  log 3b  3ac   log 12 log  log c2 Cho a  log , b  log , c  log Tính theo a , b , c A I  c  2ac  2c  b B I c  2ac  2c  b I 1 � 149 � log  log  log   log � � log126 � 150 � C Lời giải I  2c  2ac  2c  b D I  c  2ac  2c  b Chọn A Từ giả thiết suy log  log 3log  a.c 1 � 149 � 1 �1 149 � log150 I log  log  log   log log � � � � log126 � 150 � log126 �2 150 � log126 Ta co  log126 150 Câu  log 150  log  2log  c  2ac   log 126  2log  log  2c  b Đặt a  log , b  log5 Hãy biểu diễn log12 80 theo a và b a  2ab 2a  2ab log12 80  log12 80  ab  b ab A B C log12 80  2a  2ab ab  b log12 80  D Lời giải a  2ab ab Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang b log  42.5   log  log 80 log 80 a  2ab  log12 80      log  4.3 log 12 log 12  log a ab  b Ta co Cho x, y, z là số thực dương tùy ý khác và xyz �1 Đặt a  log x y , b  log z y Mệnh đề nào sau đúng? 3ab  2a 3ab  2b log xyz  y z   log xyz  y z   a  b 1 ab  a  b A B 2 Câu C log xyz  y z   3ab  2a ab  a  b D Lời giải log xyz  y z   3ab  2b a  b 1 Chọn C a log x z  log x y.log y z  log y z  a  log y b  log y x z b, b Do , nên a 3a  b log x  y z  3.log y  2.log z  x x 3ab  2a a log xyz   1 a   log x  xyz   log y  log z b ab  a  b x x Ta co Câu C  log log Tính A n 5 5 ( n dấu căn) theo n B 3n C 3n Lời giải D 2n Chọn A �1 � � � n �� �5 � � n � C  log � �1 � log 5 �1 �  log � � � � � 5  5� �5 � � � �5 � n n 5 Ta co Câu log 2a b  log b2 c  log a Cho a , b , c là số thực thỏa c  b  a  và nào sau đúng? A log b c  log a b  B log b c  log a b  C 3log a b  log b c  D 3log a b  log b c  c c  log b  b b Mệnh đề Lời giải Chọn A log 2a b  log b2 c  log a c c  log b  � log 2a b  logb2 c  log a c  log a b  log b c  b b Ta co � log 2a b  log b2 c  log a b � logb c  log a b  log b c  Đặt x  log a b , y  log b c x  y  xy  x  y  � x    y  x  y  y   Ta co     y   24   y  y  1  25 y  50 y  25  25  y  1 Khi đo � y    y  1 � 1 y x x � � 3x  y  � 12 � �� �� y  2x  y 1 � y    y  1 � � x  x  � � 12 Suy � TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Vì c  b  a  nên x  log a b  log a a  và y  log b c  log b b  Suy x  y  nên nhận y  x  � log b c  log a b  � log b c  2log a b  1    log n n ! Câu 10 Cho n  là số nguyên Giá trị của biểu thức log n ! log n ! A B n C n ! D Lời giải Chọn D 1 1     log n n ! Vì n  , n �� nên log n ! log n ! log n !  log n!  log n!  log n!   log n! n  log n!  2.3.4 n   log n! n !   Mức độ Câu Co tất số log a  log a  log a  log a.log a.log a A B dương a thỏa C Lời giải mãn đẳng thức D Chọn A Ta co log a  log a  log a  log a.log a.log a � log a  log 2.log a  log 2.log a  log a.log 5.log a.log a � log a   log  log   log a.log 5.log 52 a log a  � �� � log a   log  log  log 5.log a    log3  log  log 5.log 52 a  � Câu a 1 � a 1 � � ��  log  log � � 1 log3  log log a  � � � log3 � log a5 � � Vậy co số dương a thỏa mãn đẳng thức log a  log a  log a  log a.log a.log a Cho a  , a �1 , tìm sớ ngun dương n cho log a 2021  22 log a 2021  32 log a 2021   n log n a 2021  1010 �20212 log a 2021 A 1010 B 2021 C 2020 Lời giải Chọn C n log n a 2021  n n.log a 2021  n3 log a 2021 Ta co , suy log a 2021  22 log a D 1011   2021  32 log a 2021   n log n a 2021  13  23   n log a 2021 n(n  1) � � � log a 2021 � � � Do đo log a 2021  22 log a 2021  32 log a 2021   n log n a 2021  1010 �20212 log a 2021 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 2 n(n  1) � n(n  1) � � � �� log a 2021  10102 �20212 log a 2021 � �  10102 �20212 � � 2 � � � � � n (n  1)  20202 �20212 � n  2020 (với n là số nguyên dương) Câu Cho a , b là số dương thỏa mãn b  và a �b  a Tìm giá trị lớn của biểu thức �a � P  log a a  log b � � �b � b A B C Lời giải D Chọn C P Ta co: log b a   log b a  1 log b a a    log b a  1 log b log b a  b �logb Đặt t  log b a , đo a �b  a t P   t  1 t � 1;  t 1 Ta co , với  a logb a � t 1 t � 1 t  2 1 t f� (t )  4   t  1 t  t � 1;     t 1 Xét hàm số với , với � t � �� 1 � t �  t  1  � (t )  Ta co f � f (t )  Bảng biến thiên của hàm số f (t )  t   t  1 t � 1;  t 1 với �3 � f  t   f � �  1;2  �2 � Từ bảng biến thiên suy Vậy giá trị nhỏ của biểu thức P Câu 2 Cho a , b , x là số dương, khác và thỏa mãn log a x  3logb x  8log a x.log b x (*) Khi đo mệnh đề (*) tương đương với mệnh đề nào sau đây? 2 2 A a  b B x  ab C a  b D a  b hoặc a  b Lời giải Chọn D Đặt m  log a x , n  log b x ; đo x �1 nên m �0 , n �0 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 �m � m � � �   2 2 �n � n Ta co log a x  3logb x  8log a x.log b x trở thành 4m  3n  8mn m � �n  2m  n � �� � � m n m � �   � �3 �n hoặc � log a x  log b x � a  b2 Ta co 2m  n 1 1 m  n � log a x  log b x � a3  b2 Ta co Câu 2 Cho x , y là số thực dương thỏa mãn ln x  ln y  ln x.ln y Giá trị của biểu thức  log x  3log y M 2  log  x  y  1 M  M M A B M  C D Lời giải Chọn D 2 2 �  ln x  3ln y   Ta co ln x  ln y  ln x.ln y � ln x  ln x.ln y  ln y  �  ln x  3ln y   � ln x  3ln y  � ln x  3ln y � ln x  ln y � x  y  log x  log y  log x  3log y  log x  log x  log x  M   2  log  x  y  2  log x  y 2  log  x  x  2  log  10 x  Ta co     log x  log x   2   log x  log x 2 Câu �3 bc � log  bc   log a � b c  �   c  4� � Cho a  , b  , c  và thỏa mãn Số a  a, b, c  A thỏa mãn điều kiện đã cho là B C Lời giải D Vô số Chọn B 1� �2 � 1� bc bc b c  bc  � bc � bc  ��0 b c   b c  bc � b3c3  �b 2c � � � 2� 4 Ta co nên , 3 �3 bc � log  bc   log a � b c  �   c �log 2a  bc   log a b c    c � � mà a  đo a 2 �3 bc � log  bc   log a � b c  �   c � log a  bc      c �0 � � nên co a �3 bc � log  bc   log a � b c  �   c  � � Mặt khác a TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 11 � �a  log a  bc   2 � � � � �� 4c  �� b � � �3 bc � log 2a  bc   log a � b c  �   c  � bc  c2 � � � � � nên a, b, c  Co sớ  thỏa mãn bài tốn log  log x   log  log x   log x  Câu Cho x  và thỏa mãn Khi đo giá trị của A B C 27 Lời giải D 3 Chọn C log  log x   log  log x  �1 � � log � log x � log �3 �   log x � log x  log x Ta co � log 23 x  log x � log x  27 log x � log x  27 2 27 (do log x  ) Vậy Câu  log x  Cho hàm  27 số �1 � T f� � �2021 � A T 2021 � 17 � f ( x)  log � x   x  x  � � � � � �2 � f�   � �2021 � Tính giá trị của biểu thức �2020 � f� � �2021 � B T  2021 C T  2020 Lời giải D T  1010 Chọn C �  log � 1 x   � f 1 x � Ta co   1 x  1 x  � � 17 � 17 � �  log � x x  �x  � � � � � � � � 2� � � , nên � � � 17 � 17 � �  log � x   x2  x  �  log � x  x   �x  � � � � � � � � 2� f  x  f  1 x � � � � � � � � 17 1� 17 � �  log � x  x   x  x  x   x  � � � � � � � � � � 2� � 2� � � � � � � log  Do đo �1 � T f� � �2021 � �1 �  f� � �2021 � Câu �2 � f�   � �2021 � �2020 � f� � �2021 � �2020 � f� � �2021 � �2 � f� � �2021 � �2019 � f� �  �2021 � 1010 � � f� � �2021 � �1011 � f� � �2021 � 1010.2  2020 1   2020 log a log b b a  b  a b a Cho số thực , thỏa mãn và Giá trị của biểu thức P 1  log ab b log ab a TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 12 A 2014 B 2016 C 2018 Lời giải D 2020 Chọn B Do a  b  nên log a b  , log b a  và log b a  log a b 1   2020 � log b a  log a b  2020 � log b2 a  log 2a b   2020 log a log b b a Ta co � log b2 a  log 2a b  2018 Khi đo P  log b ab  log a ab  log b a  log b b  log a a  log a b  log b a  log a b P   log b a  log a b   log b2 a  log 2a b   2018   2016 � P  2016 1 1 A     log 22021 x log32021 x log 20202021 x log 20212021 x Câu 10 Cho x  2021! Tính giá trị của Nên A A  2021 B A  4042 C A  2020 Lời giải D A  1010 Chọn B A log 22021 x  log32021 x   log 20202021 x  log 20212021 x  log x 22021  log x 32021   log x 2020 2021  log x 20212021  2021.log x  2021.log x   2021.log x 2020  2021.log x 2021  2021  log x  log x   log x 2020  log x 2020   2021.log x  2.3 2020.2021  2021.log 2021!  2021!  2021.2  4042 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 13 ...  log a (b ).log b ( bc )  log a (c) A log a c B c0 và a �1 , b �1 Rút biểu thức nào sau đây? C log a b gọn biểu thức D log a bc Lời giải Chọn C  log a b log b  bc   log a  c...  Câu Câu log 16 a  log 16  log a   log a log a b Cho a, b là số thực dương với a �1 , biểu diễn theo log a b là 1  log a b log a b  log b a A B C D log a b Lời giải Chọn D log... log  log 5 2  2 2 log  log 15 5 5 2 Ta co 1 5a  b   a b  2 2 Câu Cho log  a , log  b Biểu diễn log 2016 theo a và b A log 2016   3a  2b B log 2016   2a  b C log 2016   2a