NW359 360 DẠNG 09 rút gọn BIỂU THỨC LÔGARIT đơn GIẢN GV

DẠNG TỐN 09: RÚT GỌN BIỂU THỨC LƠGARIT ĐƠN GIẢN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định nghĩa: a ≠1 a b α a aα = b Cho hai số dương , với Số thỏa mãn đẳng thức được gọi là lôgarit số của b và kí hiệu là log a b α = log a b ⇔ aα = b Ta viết a > b > a ≠1 Các tính chất: Cho , , ta co log a a = 1, log a = • log a b α a = b, log a ( a ) = α • a ≠1 a b1 b2 Lôgarit của một tích: Cho số dương , , với , ta co log a (b1.b2 ) = log a b1 + log a b2 • a ≠1 a b1 b2 Lôgarit của một thương: Cho số dương , , với , ta co b log a = log a b1 − log a b2 b2 • log a = − log a b a, b > 0, a ≠ b • Đặc biệt với a > b > a ≠1 α Lôgarit của lũy thừa: Cho , , , với mọi , ta co log a bα = α log a b • log a n b = log a b n • Đặc biệt a ≠1 c ≠1 a b c Công thức đổi sô: Cho số dương , , với , ta co log c b log a b = log c a • 1 log a c = log aα b = log a b log c a α ≠0 α • Đặc biệt và , với  Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên log10 b = log b = lg b  Lôgarit thập phân là lôgarit số 10, ta viết log e b = ln b e  Lôgarit tự nhiên là lôgarit số , ta viết II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tính giá trị biểu thức chứa lơgarit TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang  Các mệnh đề liên quan đến lôgarit … BÀI TẬP MẪU log ( 9a ) a (ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Với là số thực dương tùy ý, + log a ( log a ) log a A B C Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn: Rút gọn biểu thức lôgarit đơn giản HƯỚNG GIẢI: log a ( b.c ) = log a b + log a c B1: Áp dụng công thức log ( 9a ) = log + log a = + log3 a B2: Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn D log a ( b.c ) = log a b + log a c Áp dụng công thức log3 ( 9a ) = log + log a = + log a Do đo Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Với A a là số thực dương tùy ý, + log a Chọn B Với Câu Với A a>0 a B 2log a + log a C Lời giải B log ( 2a ) 2log a D + log a log ( a ) = log a = log a là số thực dương tùy ý, + log a log ( a ) D log a + log a C Lời giải D log a Chọn C Với Câu Với A a>0 a log ( 2a ) = log 2 + log a = + log a là số thực dương tùy ý, + log a B log ( 8a + log a ) + log a C Lời giải D log a Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Với Câu log ( 8a ) = log + log ( a ) = + log a a>0 a = log m Cho với 3+ a log m 8m = a A 3− a log m 8m = a C m > m ≠1 , Đẳng thức nào dưới đúng? B log m 8m = ( − a ) a log m 8m = ( + a ) a D Lời giải Chọn A Ta co Câu Câu 3+ a log m 8m = log m m + log m = + log m 23 = + 3log m = + a = a log ( a b ) a b Với , là số thực dương tùy ý, + log ( a.b ) log ( a.b ) log a + log b log a + b A B C D Lời giải Chọn B log ( a b ) = log ( a ) + log b = log a + log b a>0 b>0 Với , log x = m Cho − A m A = log x + log x3 + log x Tính giá trị của biểu thức B m C Lời giải m theo D −m m Chọn A Ta co Câu A = log x + log x3 + log x = log x − 3log x + log x = − log x 2 16 log a a Với là số thực dương tùy ý, − log a 2log a A B − = m − log a C Lời giải D 16 − log a Chọn C Với Câu Cho a>0 log 16 a = log 16 − log a = − log a a, b a ≠ log a b là số thực dương với , − log a b −2 log a b A B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA biểu diễn theo log a b C Lời giải log a b là D log a b Trang Chọn D Với Câu a, b > a ≠1 , ta co x>0 y>0 a>0 Với A và , P=3 , và B log a b = 1 log a b =  ÷ log a b  a ≠1 , cho P = 10 log a x = −1 log a y = và P = −14 C Lời giải Tính P = log a ( x y ) D P = 65 Chọn B Với P= x>0 y>0 a>0 , log a ( x y , ) = log a và a ≠1 , ta co x + log a y = log a x + 3log a y = 10 a  log  ÷ b  Câu 10 a b , là số thực dương tùy ý, log a − log b log a − log b 2a − 4b A B C Lời giải Chọn B Với Với  Mức đợ Câu a>0 b>0 ,  a2  log  ÷  b  = log ( a ) − log ( b ) = log a − log b Với số thực dương A C D log a − b a b , Mệnh đề nào dưới đúng?  2a  log  ÷ = + 3log a − log b b    2a  log  ÷ = + 3log a + log b  b  B D Lời giải  2a  log  ÷ = + log a − log b  b   2a  log  ÷ = + log a + log b  b  Chọn A Ta co Câu Cho  2a  log  ÷  b  = log ( 2a ) − log ( b ) = log 2 + log a − log b = + 3log a − log b a>0 b>0 , và a ≠1 Khẳng định nào dưới là khẳng định đúng? 1 log a ( ab ) = log a b log a ( ab ) = log a b A B 1 log a2 ( ab ) = + log a b log a ( ab ) = + log a b 2 C D Lời giải Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Với = Câu a>0 b>0 , và a ≠1 ta co 1 log a2 ( ab ) = log a ( ab ) = ( log a a + log a b ) = ( + log a b ) 1 + log a b 2 log = a Cho a+2 a A log a theo a−2 a B Tính C Lời giải 2−a a D a 2−a Chọn C log = log ( 2.3) Ta co ⇔a= log ( 2.3) ⇔ log + = log Câu log 5 log 21 = log 12 = 1 1 = a − log − log 5 2 = 2 2 log − log 15 5 5 2 Ta co 1 5a − b − = a− b− = 2 2 log = a log = b log 2016 b a Cho , Biểu diễn theo và log 2016 = + 3a + 2b log 2016 = + 2a + b A B log 2016 = + 2a + 3b log 2016 = + 3a + 2b C D Lời giải Chọn B Ta co Do đo Câu 15 log = a log = b b a Cho , Khi đo giá trị của tính theo và là 5a − b − 5a − b + 5a + b − 5a + b + 2 2 A B C D Lời giải Chọn A Câu 2−a ⇔ log = a a Cho log 2016 = log ( ) = log 25 + log 32 + log = + log + log log 2016 = + 2a + b a>0 Cho , b>0 , A = log a (b ).log b ( bc ) − log a (c) c>0 và a ≠1 , b ≠1 Rút gọn biểu thức A log a c B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA biểu thức nào sau đây? log a b C Lời giải D log a bc Trang Chọn C = log a b log b ( bc ) − log a ( c ) A = log a (b ).log b ( bc ) − log a (c) 2 Ta co = log a b ( logb b + log b c ) − log a ( c ) = log a b ( + log b c ) − log a c = log a b + log a b.log b c − log a c = log a b + log a c − log a c = log a b Câu Cho a>0 b>0 , và a ≠1 b ≠1 , Đặt log a b = m , tính theo m giá trị của P = log a2 b − log b a3 A 4m − 2m B m − 12 2m C Lời giải m − 12 m D m2 − 2m Chọn B Do m log a b = m Khi đo = log a b − log b a 1 m − 12 = log b − log a = m − = a b P = log a b − log b a 2 m 2m b ≠1 nên log a b = m ≠ ⇒ logb a = Câu Câu Ta co log a c = x > log b c = y > log ab c x y Cho và Khi đo giá trị của theo , là 1 xy + x+ y x y xy x+ y A B C D Lời giải Chọn C 1 = = 1 1 1 xy log ab c = = + + = log c ab log c a + log c b log a c logb c x y x + y Ta co log = a log = b log b a Cho , Khi đo tính theo và là ab a + b2 a +b a+b a+b A B C D Lời giải Chọn A 1 = 1 1 =1 ab = = = + log log log ( 2.3 ) log5 + log log log3 a + b = a + b Ta co log 27 = a log = b log = c log6 35 a b c Câu 10 Với , và , giá trị của tính theo , , là TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang ( 3a + b ) c 1+ b A ( 3a + b ) c 1+ c B ( 3a + b ) c C Lời giải 1+ a ( 3b + a ) c D 1+ c Chọn B Ta co ⇔ log = a ⇔ log = 3a log 27 = a 3 Khi đo  Mức độ Câu a>0 b>0 Cho A C 3a + b log3 35 log + log = ( 3a + b ) c = = +1 = log 35 log3 log3 + c 1+ c 4a + 9b = 13ab , thỏa mãn  2a + 3b  log  ÷ = ( log a + log b )   Chọn mệnh đề mệnh đề sau log 2a + 3b = log a + log b log ( 2a + 3b ) = 3log a + log b B  2a + 3b  log  ÷ = ( log a + log b )   D Lời giải Chọn A 4a + 9b = 13ab ⇔ ( 2a + 3b ) = 25ab ⇔ Ta co Lấy logarit thập phân Câu a>0 b>0  2a + 3b  log  ÷ = log   ( ) 2a + 3b = ab ab = ( log a + log b ) a + b = 14ab , thỏa mãn Chọn mệnh đề mệnh đề sau a+b log = ( log a + log b ) ( log a + log b ) = log ( 14ab ) A B log a + b − = ( ) ( log a + log b ) log ( a + b ) = ( log a + log b ) C D Lời giải Chọn A Cho 2 Ta co a + b = 14ab ⇔ ( a + b )  a+b ⇔ ÷ = ab = 16ab   Lấy logarit số ⇔ log 3 hai vế ta được a+b = ( log a + log b ) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA  a+b a+b log  = log a + log b ÷ = log ( ab ) ⇔ log   Trang Câu a, b, c Cho số dương log c ( ab ) thức A B log a ( bc ) = log a ( bc ) = log b ( ca ) = thỏa mãn , Tính giá trị của biểu Chọn B Ta co và khác ⇒ log b ( ca ) = log c ( bc ) log c a ⇔ =2 ⇔ log c ( ca ) log c b 10 C Lời giải + log c b =2 ⇔ log c a − log c b = log c a =4 ⇔ D + log c a =4 ⇔ log c a − log c b = −1 log c b Từ (1) và (2) ta co log 27 = a; log = b log = c log12 35 Cho , Giá trị của 3b + 2ac 3b + 2ac 3b + 3ac c+3 c+2 c +1 A B C Lời giải Chọn D log 27 = a ⇒ log = 3a Ta co log = b ⇒ log = 3b log = log 3.log = 3ac Ta co log12 35 = (2) D 3b + 3ac c+2 log 35 log + log 3b + 3ac = = log 12 log + log c+2 I= Câu (1)  log c a =  log b = = + = ⇒ log ab ( ) = log a + log b  c c c c 7 Câu −1  149   log + log + log + + log ÷ log126  150  a = log b = log c = log , , Tính a b c theo , , + c + 2ac c + 2ac + 2c + 2ac I= I= I= + 2c + b + 2c + b + 2c + b A B C Lời giải Chọn A log = log 3log = a.c Từ giả thiết suy Cho TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA I= D + c − 2ac + 2c + b Trang I= Ta co −1  149  −1  149  log150 log   log + log + log + + log ÷= ÷= log126  150  log126  150  log126 = log126 150 Câu Câu Câu = log 150 + log + log + c + 2ac = = log 126 + log + log + 2c + b a = log b = log5 log12 80 b a , Hãy biểu diễn theo và a + 2ab 2a − 2ab log12 80 = log12 80 = ab + b ab A B a + 2ab 2a − 2ab log12 80 = log12 80 = ab ab + b C D Lời giải Chọn A 2+ b log ( 42.5 ) + log = log 80 log 80 a + 2ab = log12 80 = = = 1+ = log ( 4.3) log 12 log 12 + log a ab + b Ta co a = log x y b = log z y x, y , z xyz ≠ 1 Cho là số thực dương tùy ý khác và Đặt , Mệnh đề nào sau đúng? 3ab + a 3ab + 2b log xyz ( y z ) = log xyz ( y z ) = a + b +1 ab + a + b A B 3ab + 2a 3ab + 2b log xyz ( y z ) = log xyz ( y z ) = ab + a + b a + b +1 C D Lời giải Chọn C a log x z = log x y.log y z = log y z = a = log x y b = log z y b b Do , nên , a 3a + b log x ( y z ) 3.log y + 2.log z = x x 3ab + 2a a log xyz = = 1+ a + = log x ( xyz ) + log x y + log x z b ab + a + b Ta co Đặt C = log log 5 5 Tính − n A 5 ( B 3n n dấu căn) theo n C Lời giải −3n D 2n Chọn A 1   ÷  ⇒ C = log log 5   n 5 Ta co 1 n 5 = 5 ÷ TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA  n  1  = log  ÷   = −n Trang log 2a b − log b2 c = log a Câu c c − log b − b b c > b > a >1 a b c Cho , , là số thực thỏa và Mệnh đề nào sau đúng? log b c = log a b + log b c = log a b − A B 3log a b + log b c = 3log a b − log b c = C D Lời giải Chọn A c c log 2a b − log b2 c = log a − log b − ⇔ log 2a b − logb2 c = log a c − log a b − log b c + b b Ta co ⇔ log 2a b − log b2 c = log a b ×logb c − log a b − log b c + x = log a b y = log b c Đặt , 2 x − y = xy − x − y + ⇔ x + ( − y ) x − y + y − = Ta co ∆ = ( − y ) − 24 ( − y + y − 1) = 25 y − 50 y + 25 = 25 ( y − 1) Khi đo Suy  y − − ( y − 1) 1− y  x= x =  3 x + y = 12  ⇔ ⇔ y − + ( y − 1)   y − 2x =  x = y −1  x =  12 y = log b c > log b b = x = log a b > log a a = nên và 3x + y > y − x = ⇔ log b c − log a b = ⇔ log b c = 2log a b + Suy nên nhận 1 + + + log n ! log n ! log n n ! n >1 Câu 10 Cho là số nguyên Giá trị của biểu thức n ! n A B C D Lời giải Chọn D 1 1 + + + + log n ! log n ! log n ! log n n ! n >1 n∈¢ Vì , nên Vì c > b > a >1 = log n! + log n! + log n! + + log n! n = log n! ( 2.3.4 n ) = log n! n ! =  Mức độ Câu Co tất số dương a thỏa mãn đẳng thức log a + log a + log a = log a.log a.log a A B C Lời giải D Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 Ta co log a + log a + log a = log a.log a.log a ⇔ log a + log 2.log a + log5 2.log a = log a.log 5.log a.log a ⇔ log a ( + log + log ) = log a.log 5.log 52 a  log a = ⇔  ⇔ log a ( + log + log − log 5.log 52 a ) = 1 + log + log − log 5.log a = a = a =  ⇔ + log + log ⇔  ± log a = ±   log a =   Vậy co số dương Câu 1+ log3 + log log log a + log a + log a = log a.log a.log a a thỏa mãn đẳng thức a > a ≠1 n Cho , , tìm sớ ngun dương cho log a 2021 + 22 log a 2021 + 32 log a 2021 + + n log n a 2021 = 1010 × 20212 log a 2021 A 1010 Chọn C n log Ta co B n a 2021 C Lời giải 2021 = n n.log a 2021 = n3 log a 2021 log a 2021 + log D , suy 1011 ( ) 2021 + log a 2021 + + n log n a 2021 = 13 + 23 + + n log a 2021 a 2020 2  n(n + 1)  = log a 2021   log a 2021 + log a 2021 + 32 log a 2021 + + n log n a 2021 = 1010 × 20212 log a 2021 Do đo 2  n(n + 1)   n(n + 1)  ⇔ log a 2021 = 10102 × 20212 log a 2021 ⇔  = 10102 × 20212       ⇔ n (n + 1) = 20202 × 20212 ⇒ n = 2020 Câu Cho (với b >1 a b , là số dương thỏa mãn và a P = log a a + log b  ÷ b b A n là sớ ngun dương) a ≤b c > Cho , ( a, b, c ) A , và thỏa mãn thỏa mãn điều kiện đã cho là B bc   log 2a ( bc ) + log a  b3c + ÷ + + − c = 4  C Lời giải Số D Vô số Chọn B 1 1  2  bc b c + − b c = bc  b c − bc + ÷ = bc  bc − ÷ ≥ 4 2   b3c + 3 Ta co TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA nên bc ≥ b 2c , Trang 13 a >1 mà bc   log ( bc ) + log a  b3c + ÷ + + − c ≥ log 2a ( bc ) + log a b c + + − c   a đo 2 bc   log ( bc ) + log a  b3c + ÷ + + − c ≥ ( log a ( bc ) + ) + − c ≥   a nên co Mặt khác  a = log a ( bc ) = −2    ⇔ 4 − c = ⇒ b =  bc    log 2a ( bc ) + log a  b3c3 + ÷ + + − c = bc = c =     nên Co bc   log 2a ( bc ) + log a  b3c + ÷ + + − c = 4  số x >1 Câu Cho A ( a, b, c ) thỏa mãn bài toán và thỏa mãn log ( log x ) = log ( log x ) B Khi đo giá trị của C Lời giải 27 ( log x ) D 3 Chọn C 1  ⇔ log  log x ÷ = log log ( log x ) = log ( log x ) 3  Ta co ⇔ log 23 x = log x ⇔ log 23 x = 27 log x ⇔ log 2 x = 27 27 Vậy Câu ( log x ) Cho hàm A 2021 số ) log x ⇔ log x = log x (do log x > ) = 27   T= f ÷+  2021  T= (  17  f ( x) = log  x − + x − x + ÷ ÷     f ÷+ +  2021  B Tính giá trị của biểu thức  2020  f ÷  2021  T = 2021 T = 2020 C Lời giải D T = 1010 Chọn C Ta co  = log 1 − x − + f ( 1− x)  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ( 1− x) − ( 1− x) +  17  17   = log x − x + − x − ÷   ÷÷  ÷  ÷    , nên Trang 14   17  17   = log  x − + x − x + ÷ + log  x − x + −  x − ÷÷ ÷   ÷ f ( x) + f ( 1− x)     17  17    = log  x − x + + x − ÷ x − x + − x −  ÷÷ ÷   ÷ = log =   Do đo   T= f ÷+  2021    = f ÷+  2021  Câu   f ÷+ +  2021   2020    f ÷+ f  ÷+  2021   2021  Cho sớ thực 2014 A  2019  f ÷+ +  2021   1010  f ÷+  2021   1011  f ÷  2021  = 1010.2 = 2020 1 + = 2020 log b a log a b a > b >1 a b , thỏa mãn và 1 − log ab b log ab a P=  2020  f ÷  2021  Giá trị của biểu thức 2016 B 2018 C Lời giải 2020 D Chọn B log a b > log b a > log b a > log a b nên , và 1 + = 2020 ⇔ log b a + log a b = 2020 ⇔ log b2 a + log 2a b + = 2020 logb a log a b a > b >1 Do Ta co ⇔ log b2 a + log 2a b = 2018 P = log b ab − log a ab = log b a + log b b − log a a − log a b = log b a − log a b Khi đo P = ( log b a − log a b ) Nên Câu 10 Cho A x = 2021! A = 2021 2 a A= Tính giá trị của B = log a + log b − = 2018 − = 2016 ⇒ P = 2016 b A = 4042 log 22021 x + log 32021 x C Lời giải + + A = 2020 log 20202021 x + D log 20212021 x A = 1010 Chọn B A= log 22021 x + log 32021 x + + log 20202021 x + log 20212021 x = log x 22021 + log x 32021 + + log x 2020 2021 + log x 20212021 = 2021.log x + 2021.log x + + 2021.log x 2020 + 2021.log x 2021 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 15 = 2021 ( log x + log x + + log x 2020 + log x 2020 ) = 2021.log x ( 2.3 2020.2021) = 2021.log 2021! ( 2021!) = 2021.2 = 4042 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 16 ... đến lôgarit … BÀI TẬP MẪU log ( 9a ) a (ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Với là số thực dương tùy ý, + log a ( log a ) log a A B C Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn: Rút gọn. .. log a ) log a A B C Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn: Rút gọn biểu thức lơgarit đơn giản HƯỚNG GIẢI: log a ( b.c ) = log a b + log a c B1: Áp dụng công thức log ( 9a... , A = log a (b ).log b ( bc ) − log a (c) c>0 và a ≠1 , b ≠1 Rút gọn biểu thức A log a c B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA biểu thức nào sau đây? log a b C Lời giải D log a bc Trang Chọn