NW359 360 DẠNG 15 NGUYÊN hàm của hàm số LƯỢNG GIÁC GV

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TOÁN 15: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Nguyên hàm  Định nghĩa:  Cho hàm số f  x F  x xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số gọi f  x F�  x   f  x  với x �K nguyên hàm hàm số K Các công thức nguyên hàm hàm số lượng giác 1) sin xdx   cos x  C � sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C � a 2) 3) cos xdx  sin x  C � cos  ax  b  dx  sin  ax  b   C � a 4) 1 1 dx  �  tan x  dx  tan x  C  � 5) cos x dx  tan  ax  b   C � cos  ax  b  a 6) dx  �  cot x  dx   cot x  C  � 7) sin x sin x tan xdx  � dx   ln cos x  C � cos x 9) dx   cot  ax  b   C � sin  ax  b  8) 2 cos x cot xdx  � dx  ln sin x  C � sin x 10) Một số phương pháp tìm nguyên hàm:  Phương pháp đổi biến số: Cơ sở phương pháp đổi biến số định lý sau: Cho hàm số u  u ( x) có y  f  u đạo hàm liên tục K hàm số liên tục cho f [u ( x)] xác định K Khi F f (u )du  F (u )  C f [u ( x)]u � ( x)dx  � f [u ( x )]du ( x)  F [u ( x )]  C nguyên hàm f, tức � �  Phương pháp lấy nguyên hàm phần: Định lý: Nếu u  u ( x) v  v( x) hai hàm có đạo hàm liên tục K u ( x).v� ( x)dx  u ( x ).v( x)  � u� ( x ).v( x)dx � hay u.dv  u.v  � v.du � II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Lý thuyết nguyên hàm  Tính nguyên hàm phương pháp đổi biến số  Tính nguyên hàm hàm dạng đối xứng  Tính nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phân … BÀI TẬP MẪU f  x   cos x (ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Tìm nguyên hàm hàm số 1 f  x  dx   sin x  C f  x  dx  sin x  C � � 2 A B C f  x  dx  2sin x  C � f  x  dx  2 sin x  C D � Phân tích hướng dẫn giải TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm nguyên hàm hàm số lượng giác HƯỚNG GIẢI: cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C � a Ta sử dụng cơng thức để giải tốn Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A cos(ax  b)dx  sin( ax  b)  C � a Tự luận: Áp dụng công thức với a �0 ; thay a  b  để có kết Trắc nghiệm: Nhập vào biểu thức vào máy tính d �1 �  � sin x �  �x  A shift Sto A cos2 A  dx �2 chọn đáp án A Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Cho hàm số F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K Các mệnh đề sau, mệnh đề sai f ( x)dx F ( x )  C A � � f ( x)dx   f ( x )  � B � f ( x) dx   f � ( x)  � C � f ( x)dx   F � ( x)  � D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn C Câu f ( x )dx F ( x)  C � F '  x   f  x  Ta có � nên phương án A, B, D Khẳng định sau đúng? x x sin dx  cos  C tan xdx   ln cos x  C � 2 A � B C cot xdx   ln sin x  C � x x cos dx  2sin  C � 2 D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A   ln cos x  C  '    cos x  '  sin x cos x Xét Vậy khẳng định A Câu cos x  tan x � � f ( x)  cos � 3x  � �? � Tìm họ nguyên hàm hàm số � � � � f ( x )dx  sin � 3x  � C f ( x ).dx  sin � 3x  � C � � 6 6� � � � A B C � � f ( x) dx   sin � x  � C � � 6� TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA D Lời giải � � f ( x)dx  sin � 3x  � C � � 6� Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D  �� � �1 � � f ( x )dx  � cos � 3x  � d� 3x  � sin � 3x  � C � 6�� 6�3 � 6� � Câu Cặp hàm số sau có tính chất: Có hàm số nguyên hàm hàm số lại? g  x  f  x   sin x g  x   cos x f  x   tan x cos x A B C f  x   ex g  x   e x D Lời giải f  x   sin x g  x   sin x GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D  sin x  Vì /  2sin x cos x  sin x y f� ( x)  Cho hàm số f ( x)  cos x Tìm họ nguyên hàm hàm số x x ydx   sin x  C ydx   sin x  C � � 4 A B Câu 1 ydx  x  sin x  C � C ydx  x  sin x  C � D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A f '( x )  (cos x ) '   sin x ; y  ( f '( x ))  ( sin x)  sin x   cos x  cos x x dx   sin x  C 2 ydx  � � Câu cos x dx x ” Bạn An giải phương pháp đổi biến sau: � Thầy giáo cho tốn “ Tìm sin + Bước 1: Đặt u  sin x , ta có du  cos xdx cos x du dx  �2    C � u u + Bước 2: sin x cos x dx    C x x � + Bước 3: Kết luận sin Hỏi bạn An sai bước nào? A Bước B Bước C Bước D Không sai Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn C Dễ thấy bước 1,2 cos x 1 dx    C   C x u sin x � Bước sai đưa biến cũ sai, phải sin Câu f ( x)  Hàm số A 4sin x cos x sin x có nguyên hàm F ( x)  4 B 4sin x C sin x TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 4 D sin x Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn B cos x 1 dx  � d (sin x)   C x sin x 4sin x f ( x)dx  � � sin Câu F  x Tìm nguyên hàm hàm số y  x sin x x x F  x    cos x  sin x F  x   cos x  sin x 2 A B x F  x    cos x  sin x 2 C x F  x    cos x  sin x D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D x sin xdx Ta có: � Câu du  dx � ux � � �� � dv  sin xdx � v   cos x � � Đặt: 1 x x sin x   x cos x  � cos xdx   cos x  sin x  C � 2 Khi đó: f ( x )  x cos x Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x )dx  x sin x  cos x  C � f ( x)dx   x sin x  cos x  C C � f ( x )dx   x sin x  cos x  C � f ( x )dx  x sin x  cos x  C D � A B Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D ux du  dx � � �� � dv  cos xdx � v  sin x Tự luận: Đặt � �� x cos xdx  x sin x - � sin xdx x sin x  cos x  C F ( x)  � x sin xdx Câu 10 Kết A F ( x)  sin x  x cos x  C C B F ( x)  x sin x  cos x  C D F ( x)  x sin x  cos x  C F ( x)  sin x  x cos x  C Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A ux du  dx � � �� � dv  sin xdx � v   cos x Đặt � Theo công thức tính ngun hàm phần, ta có F ( x)   x cos x  � cos xdx   x cos x  sin x  C  Mức độ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Tính F ( x)  � x sin x cos xdx 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn kết đúng: x F ( x)  sin x  cos x  C A x F ( x)  sin x  cos x  C C B D F ( x)  x cos x  sin x  C F ( x)  1 x sin x  cos x  C Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A F ( x)  � x sin x cos xdx  �x sin xdx � du  dx � � u  x � � �� � � dv  sin xdx � v   cos x � � Đặt 1 1 ( ) cos  � cos 2xdx  cos x  sin x  C 4 Câu F ( x)  � x cos xdx Tính F ( x)  ( x  2) sin x  x cos x  C A x x B F ( x)  x sin x  x cos x  sin x  C 2 C F ( x)  x sin x  x cos x  2sin x  C D F ( x)  (2 x  x ) cos x  x sin x  C Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A du  xdx � u  x2 � �� � F ( x)  � x cos xdx v  sin x dv  cos xdx � Đặt � F ( x)  x sin x  � x sin xdx u  2x du  2dx � � �� � dv  sin xdx � v   cos x Đặt �   F ( x)  x sin x  2 x cos x  � cos xdx  x sin x  x cos x  2sin x  C Câu sin x � dx ta kết sau đây? Tính cos x sin x dx  sin x  C � cos x A cos x sin x dx  sin x  C � cos x B cos x sin x dx  cos x  C � cos x C cos x sin x dx  cos x  C � cos x D cos x Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn C  cos x  sin x  sin x sin x sin x dx  � dx  � dx � cos3 x cos x cos x Đặt cos x  t �  sin xdx  dt TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU   cos x  sin xdx    t �� �t cos x 2 Câu 2 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ t 1 � 1� dt  � dt  � 1 � dt  t   C  cos x   C � t t � � t cos x f  x   x cos x ? Hàm số nguyên hàm hàm số A B C D F  x   x x sin x  x cos x  12 F  x   x x cos x  x sin x    x sin x  cos x  C  x cos x  sin x  C F  x   x x sin x  x cos x  12 F  x   x x cos x  x sin x      x sin x  cos x  C  x cos x  sin x  C Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A I � 2t cos tdt Đặt t  x suy � � u  2t du  6t dt � � dv  cos tdt v  sin t � � Đặt suy Suy I  2t sin t  � 6t costdt Tiếp tục tích phân phần lần ta Vậy Câu F  x   x x sin x  x cos x  12  F  t   2t sin t  6t cos t -12  t sin t  cos t   C  x sin x  cos x  C Tìm nguyên hàm hàm số f ( x)  ( x  1).sin x f ( x )dx  (sin x  cos x  x )  C � A B f ( x )dx  (sin x  cos x  x)  C � C 1 1 f ( x )dx   ( x  1) cos x  sin x  C � 2 f ( x )dx   ( x  1) cos x  sin x  C � D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D du  dx � u  x 1 � � �� � dv  sin xdx � v   cos2x � � Đặt 1 1 ( x  1).sin xdx   ( x  1) cos x  � cos xdx   ( x  1) cos x  sin x  C � 2 Khi sinx Câu Tính �cos sinx A �cos C �cos x sinx x x dx sinx B �cos D �cos dx  3 cos x  C x sinx dx  3 cos x  C x dx  3 cos x  C dx  3 cos x  C Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn C Đặt cos x  t �  sin xdx  dt sin x Câu dt t3 �� dx  �   � t dt    C  3 t  C  3 cos x  C 3 cos x t cos x  sin x �sin x  cos x dx Tính cos x  sin x A �sin x  cos x dx  C �sin x  cos x dx  cos x  sin x  sin x  cos x  C cos x  sin x sin x  cos x  C B �sin x  cos x dx  2 cos x  sin x D Lời giải �sin x  cos x dx  3 sin x  cos x  C sin x  cos x  C GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A sin x  cos x  t � sin x  cos x  t ,  cos x  sin x  dx  2tdt Đặt cos x  sin x 2t dt  2t  C  sin x  cos x  C �sin x  cos x dx  �t dt  2� Câu   x  cos xdx ta kết sau đây? Tính �   x  sin x  cos x  C   x  sin x  cos x  C A B   x  sin x  cos x  C   x  sin x  sin x  C C D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A u  1 x du  dx � � �� � v  sin x Đặt �dv  cos xdx � �� sin xdx    x  sin x  cos x  C   x  cos xdx    x  sin x  � Câu Tính x sin  x  1 dx � x  cos  x  1  sin  x  1  C A x  cos  x  1  sin  x  1  C C x  cos  x  1  sin  x  1  C B x  cos  x  1  sin  x  1  C D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D dx  du � �x  u � �� � sin  x  1 dx  dv v   cos  x  1 � � � Đặt: x x �� x.sin  x  1 dx   cos  x  1  � cos  x  1 dx   cos  x  1  sin  x  1  C 2 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU x Câu 10 � Tính cos x � A cos x x � C cos x x dx 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ dx  x tan x  ln cos x  C dx  x tan x  ln cos x  C x � B cos � D cos x x x dx  x tan x  ln sin x  C dx  x tan x  ln sin x  C Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn C ux � du  dx � � �� � v  tan x dv  dx � � cos x Đặt: � x � � dx  x tan x  � tan xdx  x tan x  ln cos x  C cos x  Mức độ Câu Biết F  x � � F� � Tính �2 � � � � � F � �   F � �  C �2 � D �2 � f  x   sin x cos x nguyên hàm � � � � F � �  F � �   A �2 � B �2 � Lời giải F  0   GVSB: Trần Đơng; GVPB: Hải Quan Chọn C Có F  x  � f  x  dx  � sin x cos xdx  � sin xd  sin x   sin x C sin C  � C   sin 4 sin x � �    F  x    � F � � 4 �2 � F  0   � Câu Cho hàm số f ( x)  (ax  b).cosx thỏa mãn f ( x)dx x.sin x  2sin x  cos x  C � Tính S a b ? 2 A S 3 B S  C S  D S  Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn C u  ax  b � �du  adx �� � dv  cos xdx � v  sin x Đặt � f ( x )dx  (ax  b).sin x  � a sin xdx Khi �  (ax  b)sin x  acosx  C  ax.sin x  b sin x  a cos x  C � a  1, b  Câu Biết F ( x) nguyên hàm hàm số TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA f ( x)  x cos x F (0)  thỏa Tính F ( ) Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU F ( )    � A B F ( )  50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 2 1  � F ( )    � F ( )    � 4 C D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn B x  cos x 1  x   x  x cos x  � F ( x)  � f ( x) dx  �  x  x cos x  dx 2 2 ux � �du  dx �� � dv  cos xdx � v  sin x Đặt � f ( x )  x cos F  x  � f  x  dx  � �x � �x  x sin x  sin xdx  �  x sin x  cos x � C � � � �2 � �2 � � �x 1 F ( x )  �  x sin x  cos x � F (0)  �  C  � C  �2 � 2 Vì Vậy � � F ( )  �  1� �2 � Do Câu là: Gọi A F  x nguyên hàm hàm số F     f  x   x cos x Biết F  0  , giá trị F    1 F    F    F     B C D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn B ux � � Đặt �dv  cos xdx suy Khi du  dx � � � sin x v � � F  x  � x cos xdx  x sin x sin x x sin x cos x � dx    C 2 F  0  nên C  Do F    Từ suy Câu � � f�� Cho hàm số f ( x) biết f '( x )  x sin x f ( )  Tính �3 � � � 7 f � �  � � A 7 � � f � �   � � C 7 � � f � �   � � B � � 7 f � �  � � D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ f ( x)  � x sin xdx  � xd ( cos x)   x cos x  sin x  C , f ( )  � C   � f ( x)   x cos x  sin x   � � 7 f � �  Nên �3 � I � e x cos3 xdx=e x  a cos x  b sin x   c Câu Biết tổng a  b có giá trị là:  A 13 B  13 , a, b, c số Khi đó, C 13 D 13 Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn C 1 2x cos3xd  e x   e x cos 3x  � e d  cos x  � 2 Ta có: (từng phần lần 1) 2x  e x cos x  � e sin xdx  e x cos x  � sin xd  e x  2  e x cos x  e x sin 3x  I 4 (từng phần lần 2) I � e x cos3 xdx  �2 � I  e2 x � cos x  sin x �� a  , b  � a  b  13 13 � � 13 13 13 Suy y  f  x Cho hàm số y  f  x hàm số hàm số sau? A f  x   x ln  f  x  sin x dx  - f  x  cos x  �  cosx dx � x Câu thỏa mãn hệ thức B f  x  Hỏi x f  x    x ln  f  x    x ln  ln  C D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn B f  x  sinxdx =  � f  x  d  cos x  Ta có � Áp dụng cơng thức nguyên hàm phần ta có: f  x  sin xdx =  � f  x  d  cos x    f  x  cos x  � cos xd  f  x   �   f  x  cos x  � f�  x  cosxdx f  x  sin x dx  - f  x  cos x  �  cosx dx Mà theo giả thiết � x x C ln  Suy Một ô tô chạy với tốc độ 10m / s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển f�  x dx   x   x � f  x  � Câu v  t   5t  10  m / s  động chậm dần với , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét? A 0, 2m B 2m C 10m D 20m Lời giải GVSB: Trần Đơng; GVPB: Hải Quan TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn C Quãng đường vật di chuyển s t  � v  t  dt  �  5t  10  dt  5t  10t  C 5t 5 s t   10t   t    10 �10 s t    2 Tại thời điểm t  , C  10  m  Xe dừng hẳn quãng đường kể từ lúc đạp phanh v  t   t  �t �30   m / s  Câu Một ô tô đường với vận tốc Giả sử thời điểm t  s  Phương trình thể quãng đường theo thời gian ô tô A s t  m B s  t  m Lời giải s  t3  m C D 2t  m  GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A 1 t2 s t  � v  t  dt  � t dt  � 2t dt   t C 1  sin x  cos x  1  C dx   n �  sin x  cos x    sin x  cos x   m cos x Câu 10 Cho A A  B A  với m, n �� Tính A  m  n C A  D A  Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn C  cos x  sin x   sin x  cos x   sin x  cos x    sin x  cos x   u  sin x  cos x  � du   cos x  sin x  dx Đặt cos x  cos x �  sin x  cos x    u  2 1 u 1 sin x  cos x  dx  � du     C    C   C u u u u  sin x  cos x   � m  1; n  � A   Mức độ Câu Nguyên hàm sin x cos x I � dx  cos x ta kết có dạng cos x  a cos x  b ln  cos x  1  C a  A b a  1 B b a a 4 1 C b D b Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn B cos x sin x cos x 2sin x cos x cos x sinxdx I � dx  � dx  �  cos x  cos x  cos x Ta có  2� f  cos x  sin xdx TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 11 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Đặt: � t  cosx � �t � � t2 t2   t   d t   C I  2�  dt    � dt �  t  ln t  � � � � t 1 � t  t  � � � Suy ra: 2 I   t  2t  ln t   C  cos x  cos x  ln  cos x  1  C Đổi lại biến số x , ta được: a a  2, b  2 �  1 b Câu sin x dx I � 3cos x  4sin x  Xác định nguyên hàm: abcd  ? A 20 B 21 có dạng  a 3cos x  c.sin x  d  C b D 23 C 22 Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn B 2 2 Đặt: t  3cos x  4sin x  � t  3cos x  4sin x  2tdt   6cos x sin x  8sin x cos x  dx   7sin xdx � sin xdx   tdt  tdt 2 I  �7  � dt   t  C   3cos x  4sin x   C t 7 Suy ra: Vậy a  2, b  7, c  4, d  � a  b  c  d  21 Câu  Xác định nguyên hàm: I �  sin x  cos4 x  sin xdx ? ta thu kết có dạng cos x cos3 x  C a b Khi a  b  ? A 28 B 30 C 28 D 30 Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A Không phải lúc áp dụng công thức hạ bậc vào nguyên hàm khó đổi biến số, mà nên rút gọn thử xem biểu thức dấu ngun hàm đơn giản khơng  sin Ta có:    2 2 x  cos x  sin x  sin x  cos x  2sin x cos x sin x � � �  sin x �sin x � � �1 �   cos 2 x � sin x �  sin x  cos x  sin x � �2 � �1 � I � sin xdx �  cos x � �2 � Suy ra: ; đặt t  cos x � dt  2 sin xdx �1 � �1 � �1 � I � sin xdx  �  t  dt  �  cos x � � t � � dt �  � �2 � �2 � �2 � Suy TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 12 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ � t3 �  � t � C 4� � � t3 � cos x cos3 x I  � t � C    C 4� � 12 Đổi lại biến số: Câu Khi a  4, b  12 � a  b  28 Xác định nguyên hàm  cos x  sin x  dx I � sin x  ta thu kết I  arctan  m.sin x  n.cos x   C Khi A m2  n2  ? B 13 C Lời giải D GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D Đây dạng nguyên hàm lượng lượng giác đối xứng Ta biến đổi sau:  cos x  sin x  dx   cos x  sin x  dx   cos x  sin x  dx I � � sin x    sin x cos x   �  sin x  cos x   Đặt t  sin x  cos x � dt  (cos x  sin x)dx  cos x  sin x  dx  dt  arctan t  C  arctan sin x  cos x  C I �   � sin x  t2 1 Suy ra: Câu Khi 2 Vậy m  1, n  1� m  n   sin x  cos x  dx  sin x  cos x   C I � I  arcsin sin x  k Xác định nguyên hàm: ( k số vô tỉ) k  16  ? A 19 B C Lời giải 31 D 17 GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A Đây dạng nguyên hàm lượng lượng giác đối xứng  sin x  cos x  dx   sin x  cos x  dx   sin x  cos x  dx I � �3  (1  2sin x cos x) � sin x    sin x  cos x  Ta biến đổi sau: Đặt t  sin x  cos x � dt  (cos x  sin x)dx  sin x  cos x  dx  dt  arcsin t  C  arcsin  sin x  cos x   C I � �3  t sin x  3 Câu c  sin x  sin x  cos x  dx ln C I � 3 b a  sin x sin x  cos x Xác định nguyên hàm: ? ta thu kết có dạng Khi a  b  c  ? A B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C D Trang 13 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn B Đây dạng nguyên hàm hàm lượng giác đối xứng (sin x  cos x)dx (sin x  cos x)dx I � � sin x  cos x (sin x  cos x)(1  sin x.cos x) Ta có: dt  (cos x  sin x)dx � � t  sin x  cos x � � t 1 sin x.cos x  � � Đặt: dt dt I �  �2 t 1 t (t  3) t (1  ) Suy ra: � 1 1� 1 �   � dt  ln | t  |  ln | t | C � �6(t  3) 6(t  3) 3t � �I t2 3 (sin x  cos x)   sin x ln  C  ln  C  ln C t (sin x  cos x)  sin x a  1, b  6, c  Câu sin x  a c tan x I � dx   arctan(tan x)  arctan( )C cos x  2sin x  b d Nguyên hàm với a, b, c, d a c số tự nhiên b , d phân số tối giản Khẳng định sau đúng? A c  a  2b B c  a  2b C c  a  2b D c   a  2b Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A Biểu thức dấu nguyên hàm hàm lượng giác đẳng cấp, dễ dàng đưa hàm “tan” cách chia tử mẫu cho bậc cao hàm “cos” sau: tan x  tan x  2(tan x  1) tan x  cos x dx  I � d x  � �tan x  dx  tan x  3(tan x  1)  tan x  cos x Đến ta tiến hành đặt: t  tan x � dt  d(tan x)  dt dx  (tan x  1)dx � dx  2 cos x t 1 3t  dt (3t  2)dt I  �2  t  t2 1 � (t  4)(t  1) Suy ra: Đến túy nguyên hàm phân thức Ta có: 10  3t  At  B Ct  D     23 2 (t  4)(t  1) t  t  t  t  dt 10 dt t    arctan t  arctan  C 2 � � t 1 t  3 tan x   arctan(tan x)  arctan( ) C 3 I  TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 14 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Vậy a  1, b  3, c  Câu Nguyên hàm hàm x � x � I  a tan  ln �tan  1� 2.x  C � � với A a � 3, 1 B a sin x  cos x I � dx  cos x số có dạng: số tự nhiên Khẳng định sau đúng? a � 1,  C Lời giải a � 3,5  D  1,3  GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D x� �  tan � � x 2dt 2� t  tan � dt  dx  � dx � dx  x 2 1 t2 cos 2 Đặt 2t 1 t2 sin x  ;cos x  1 t2 1 t Khi ta có: 2t 1 t2  2 1 t2  t 2dt   2t  2t dt I � 1 t2 1 t2 � 1 t2 1 1 t2 Suy 2t  � 2t  � �I � dt  2t  � dt �2  � 1 t � 1 t � 2t  2t I  2t  �2 dt  2t  � dt  4� dt  2t  ln t   4.arctan t  C 2 t 1 t 1 t 1 x � x � I  2 tan  ln �tan  1� x  C � � Đổi lại biến số: Vậy a  Câu a2  b  ? 4sin x  cos x  I � dx I  x  3ln sin x  a.cos x  b  C sin x  cos x  Tính ngun hàm: Khi A B C Lời giải D GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn C 4sin x  cos x  �  sin x  cos x  1    cos x  2sin x    Tách tử số theo mẫu số � 4sin x  cos x  �     sin x   2    cos x           4 �  2 � � � �� 2    � �  � �     0 � � 4sin x  cos x  cos x  2sin x � � I � dx  � 23 dx � � sin x  cos x  sin x  cos x  � � Suy � I  x  3ln sin x  cos x   C TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 15 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Vậy a  2, b  3sin x  cos x  I � dx 2sin x  cos x  Câu 10 Tính nguyên hàm: ta được? x I  x  ln 2sin x  cos x   ln tan   C 5 10 A B I x x  ln 2sin x  cos x   ln tan   C 5 10 x I   x  ln 2sin x  cos x   ln tan   C 5 10 C x I  x  ln 2sin x  cos x   ln tan   C 5 10 D Lời giải GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D 3sin x  cos x  �  2sin x  cos x  1    cos x  sin x    Tách tử số theo mẫu số � 3sin x  cos x  � 2    sin x       cos x       �  � 2    � � � � ��   2  � �  � �   1 � �   � � �8 cos x  sin x � I �  dx � � 5 sin x  cos x  2sin x  cos x  � � Suy x  ln 2sin x  cos x   I1 5 x 2dt I1  � dx t  tan � dx  2sin x  cos x  ; ta đặt t 1 Với �I Khi sin x  2t 1 t2 ;cos x  1 t 1 t 2dt dt 1 x I1  �  t  �  ln 2t   ln tan  2t 1 t 2t  2 2  1 2 1 t 1 t Suy x I  x  ln 2sin x  cos x   ln tan   C 5 10 Thay vào I ta TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 16 ...  arcsin sin x  k Xác định nguyên hàm: ( k số vô tỉ) k  16  ? A 19 B C Lời giải 31 D 17 GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn A Đây dạng nguyên hàm lượng lượng giác đối xứng  sin x  cos... ĐỘ GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D  �� � �1 � � f ( x )dx  � cos � 3x  � d� 3x  � sin � 3x  � C � 6�� 6�3 � 6� � Câu Cặp hàm số sau có tính chất: Có hàm số nguyên hàm hàm số. ..  sin x g  x   sin x GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan Chọn D  sin x  Vì /  2sin x cos x  sin x y f� ( x)  Cho hàm số f ( x)  cos x Tìm họ nguyên hàm hàm số x x ydx   sin x  C