Nguyên hàm của hàm số lượng giác

 Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Nguyên hàm hàm số lượng giác 2020 MỤC LỤC Chủ đề ④ NGUYÊN HÀM hàm số Lượng giác I BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ THƯỜNG GẶP =I CÁC DẠNG TOÁN =I Dạng I  dx  sin  x  a  sin  x  b  a Phương pháp tính .1 b Chú ý c Ví dụ áp dụng 2 Dạng I  tan  x  a  tan  x  b  dx  a Phương pháp tính .3 b Chú ý c Ví dụ áp dụng Dạng I  https://luyenthitracnghiem.vn II dx  a sin x  b cos x a Phương pháp tính .6 b Ví dụ áp dụng Dạng I  dx  a sin x  b cos x  c Dạng I   a.sin dx x  b.sin x cos x  c.cos x a Phương pháp tính .8 b Ví dụ áp dụng Dạng I  a1 sin x  b1 cos x  a sin x  b cos x dx 2 a Phương pháp tính .9 b Ví dụ áp dụng c Chú ý .10 Dạng Biến đổi đưa nguyên hàm dạng 12 Ví dụ áp dụng 12 https://www.facebook.com/vietgold a Phương pháp tính .7 b Ví dụ áp dụng “Thành công nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB NGUYÊN HÀM hàm số Lượng giác Chủ đề ④ https://www.facebook.com/vietgold https://luyenthitracnghiem.vn I BẢNG NGUN HÀM CỦA MỘT SỐ THƯỜNG GẶP =I Nguyên hàm hàm số Nguyên hàm hàm số  hợp u  u  x  sơ cấp  Nguyên hàm hàm số hợp u  ax  b; a  0  sin xdx   cos x  C  sin udu   cos u  C  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C  cos xdx  sin x  C  cos udu  sin u  C  cos  ax  b  dx  a  sin  ax  b   C  tan x.dx   ln cos x  C  tan u.du   ln cos u  C  tan  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   C  cot x.dx  ln sin x  C  cot u.du  ln sin u  C  cot  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   C  sin2 x dx   cot x  C  sin2 u du   cot u  C  sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   C  cos2 x dx  tan x  C  cos2 u du  tan u  C  cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   C x  sin x dx  ln tan  C u  sin u du  ln tan  C u   du  ln tan     C x    2 4  cos x dx  ln tan     C cos u II 1 1 1 1 dx dx  sin  ax  b   a ln tg ax  b C  cos  ax  b   a ln tan ax  b   C CÁC DẠNG TOÁN =I Dạng I  dx  sin  x  a  sin  x  b  a Phương pháp tính Dùng đồng thức: sin  a  b  sin  x  a    x  b   sin  x  a  cos  x  b   cos  x  a  sin  x  b  1   sin  a  b  sin  a  b  sin  a  b  Từ suy ra: I sin  x  a  cos  x  b   cos  x  a  sin  x  b  dx  sin  a  b  sin  x  a  sin  x  b  Nguyên hàm hàm số lượng giác 2020  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB   cos  x  b  cos  x  a     dx sin  a  b    sin  x  b  sin  x  a    ln sin  x  b   ln sin  x  a    C sin  a  b   b Chú ý Với cách này, ta tìm nguyên hàm: •K  dx  cos  x  a  cos  x  b  cách dùng đồng thức  sin  a  b  sin  a  b  https://luyenthitracnghiem.vn •J  cos  a  b  dx cách dùng đồng thức   sin  x  a  cos  x  b  cos  a  b  c Ví dụ áp dụng Ví dụ Tìm ngun hàm sau đây: I  dx    sin x sin  x   6   Giải  sin  x     x              Ta có:    sin  x   cos x  cos  x   sin x   6 6     sin           sin x  cos x  cos x  sin x cos x           cos x 6 6       Từ đó: I  2 dx  2   dx   sin x     sin x sin  x   sin  x     6           d  sin  x    d  sin x   sin x   2  2   2ln C   sin x   sin  x   sin  x   6 6   sin https://www.facebook.com/vietgold Ví dụ Tìm ngun hàm sau đây: I   dx   cos3x cos  x   6   Giải Ta có:  sin  3x     3x     6     sin  3x    cos3x  cos  3x    sin 3x  1         6 6     sin sin Từ đó: “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB https://www.facebook.com/vietgold https://luyenthitracnghiem.vn         sin  3x   sin  3x   cos3 x  cos  x   sin x  sin 3x 6      dx   I  2  dx      cos3x dx   cos3x cos  3x   cos  x   6 6       d  cos  3x      d  cos3x  2 cos3 x        ln C   3 cos3x   cos  3x   cos  3x   6 6   Ví dụ Tìm nguyên hàm sau đây: I  dx       sin  x   cos  x   3  12    Giải  cos  x      x         3  12      Ta có:   cos cos            cos  x   cos  x    sin  x   sin  x    3  12  3  12              cos  x   cos  x    sin  x   sin  x   3  12  3  12    dx Từ đó: I       sin  x   cos  x   3  12       cos  x   sin  x   3 12     2 dx   dx     sin  x   cos  x   3 12              d  sin  x    d  cos  x    sin  x    12   3     2   2   ln C       sin  x   cos  x   cos  x   3 12  12     Dạng I   tan  x  a  tan  x  b  dx a Phương pháp tính Ta có: tan  x  a  tan  x  b    sin  x  a  sin  x  b  cos  x  a  cos  x  b  sin  x  a  sin  x  b   cos  x  a  cos  x  b  cos  a  b  1  1 cos  x  a  cos  x  b  cos  x  a  cos  x  b  Từ đó: I  cos  a  b  dx  cos  x  a  cos  x  b   Đến ta gặp tốn tìm ngun hàm Dạng Nguyên hàm hàm số lượng giác 2020  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB b Chú ý Với cách này, ta tính nguyên hàm: • J  cot  x  a  cot  x  b  dx  • K   tan  x  a  tan  x  b  dx c Ví dụ áp dụng Ví dụ       cot  x   dx 3  6 https://luyenthitracnghiem.vn  Tìm nguyên hàm sau đây: I  cot  x   Giải Ta có:     cos  x   cos  x      3  6   Ta có: cot  x   cot  x       3  6   sin  x   sin  x   3  6  https://www.facebook.com/vietgold         cos  x   cos  x    sin  x   sin  x   3  6 3  6    1     sin  x   sin  x   3  6       cos  x     x    3     1  1         sin  x   sin  x   sin  x   sin  x   3  6 3  6   3 Từ đó: I  dx  dx  I1  x  C       sin  x   sin  x   3  6  dx Tính I1       sin  x   sin  x   3  6   sin  x      x        sin  3       Ta có:   sin            sin  x   cos  x    cos  x   sin  x    3  6 3              sin  x   cos  x    cos  x   sin  x   3  6 3  6   dx Từ đó: I1  2     sin  x   sin  x   3  6  “Thành cơng nói khơng với lười biếng”       cos  x   cos  x   sin  x   6 3 6     2 dx  2 dx  2ln C       sin  x   sin  x   sin  x   6 3 3        sin  x   sin  x   6 6   2ln  x  C  ln  xC Suy ra: I      sin  x   sin  x   3 3   Ví dụ    Tìm nguyên hàm sau đây: K  tan  x      cot  x  dx 3  6  Giải     sin  x   cos  x      3  6   Ta có: tan  x   cot  x       3  6   cos  x   sin  x   3  6          sin  x   cos  x    cos  x   sin  x   3  6 3  6    1     cos  x   sin  x   3  6       sin  x     x    3   1   1 1         cos  x   sin  x   cos  x   sin  x   3  6 3  6   1 dx   dx  K1  x  C Từ đó: K      2  cos  x   sin  x   3  6  https://www.facebook.com/vietgold https://luyenthitracnghiem.vn  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Đến đây, cách tính Dạng 1, ta tính được:   sin  x   dx 6  K1    ln C       cos  x   sin  x   cos  x   3  6 3     sin  x   6  ln  xC Suy ra: K    cos  x   3  Nguyên hàm hàm số lượng giác 2020  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Dạng I  dx  a sin x  b cos x a Phương pháp tính   cos x  2 a  b2  a b   a sin x  b cos x  a  b2 sin  x    a Có: a sin x  b cos x  a  b  a  b2 dx  sin  x     b a  b2 ln tan x C https://luyenthitracnghiem.vn I  sin x  b Ví dụ áp dụng Ví dụ Tìm ngun hàm sau đây: I   2dx sin x  cos x  Giải 2dx dx dx     sin x  cos x sin x cos  cos x sin sin x  cos x 6 2    dx  x dx 6  C  ln tan  x     C     ln tan     2 12     sin  x   sin  x   6 6   I  Ví dụ Tìm ngun hàm sau đây: J  dx  cos x  sin x J  https://www.facebook.com/vietgold  Giải dx dx   cos x  sin x cos x  sin x 2   d   2x  dx dx         sin  cos x  cos  sin x     sin   x  sin   x  6 6  6    2x 1     ln tan  C   ln tan   x   C 4  12  “Thành công nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Dạng I  dx  a sin x  b cos x  c https://www.facebook.com/vietgold https://luyenthitracnghiem.vn a Phương pháp tính 2dt  dx   t  sin x  2t  x 1 t2 Đặt tan  t   2 cos x   t  1 t2  2t  tan x  1 t2  b Ví dụ áp dụng Ví dụ Tìm ngun hàm sau đây: I  dx  3cos x  5sin x   Giải 2dt  dx   t  x 2t  Đặt tan  t  sin x  1 t2   1 t2 cos x   1 t2  2dt 2dt 2dt 1 t2 Từ đó: I       3t  10t   3t  10t  1 t2 2t   1 t2 1 t2 d  5t  3 1 x    ln 5t   C  ln 5tan   C 5t  5 Ví dụ Tìm ngun hàm sau đây: J   Giải 2dt  dx   1 t2  x 2t  Đặt tan  t  sin x  1 t2   1 t2 cos x  1 t2  2dx  2sin x  cos x  Nguyên hàm hàm số lượng giác 2020  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB 2dt 4dt 4dt dt 1 t2 Từ đó: J       4t   t   t  2t  4t  t  t   2t 1 t2   1 t2 1 t2  x x 1     dt  ln t  ln t   C  ln tan  ln tan   C 2 t t 2 Ví dụ 10 dx  sin x  tan x https://luyenthitracnghiem.vn Tìm nguyên hàm sau đây: K   Giải https://www.facebook.com/vietgold 2dt  dx   1 t2  x 2t  Đặt tan  t  sin x  1 t2  2t   tan x   t  2dt 1 t2 dt 1  t Từ đó: K     dt     tdt 2t 2t t t  2 1 t 1 t 1 x x  ln t  t  C  ln tan  tan  C 2 dx Dạng I   a.sin x  b.sin x cos x  c.cos x a Phương pháp tính I  dx  a tan x  b tan x  c .cos2 x Đặt tan x  t  dt dx Suy I   dt  at  bt  c cos x b Ví dụ áp dụng Ví dụ 11 Tìm nguyên hàm sau đây: I  dx  3sin x  2sin x cos x  cos2 x  Giải •I  dx dx   3sin x  2sin x cos x  cos2 x   3tan x  tan x  1 cos2 x dx  dt cos x dt dt I   3t  2t   t  1 3t  1 Đặt tan x  t  “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB   dt d  3t  1     dt     t  3t   t   3t  1 t 1 tan x   ln  C  ln C 3t  3tan x   https://luyenthitracnghiem.vn Ví dụ 12 Tìm ngun hàm sau đây: J  dx  sin x  2sin x cos x  2cos2 x  Giải dx  dt cos x d  t  1 dt J   t  2t   t  1  Đặt tan x  t     ln t 1 C t 1  tan x   C tan x   a sin x  b1 cos x dx Dạng I   a2 sin x  b2 cos x  ln a Phương pháp tính Ta tìm A, B cho: https://www.facebook.com/vietgold a1 sin x  b1 cos x  A a2 sin x  b2 cos x   B  a2 cos x  b2 sin x  b Ví dụ áp dụng Ví dụ 13 Tìm ngun hàm sau đây: I  4sin x  3cos x  sin x  2cos x dx  Giải Ta tìm A, B cho: 4sin x  3cos x  A sin x  2cos x   B  cos x  2sin x   A  2B   A   4sin x  3cos x   A  B  sin x   A  B  cos x    2 A  B   B  1  sin x  2cos x    cos x  2sin x  Từ đó: I   dx sin x  2cos x d  sin x  2cos x   2 dx    x  ln sin x  2cos x  C sin x  2cos x Ví dụ 14 Tìm nguyên hàm sau đây: J   3cos x  2sin x dx cos x  4sin x  Giải Ta tìm A, B cho: 3cos x  2sin x  A cos x  4sin x   B   sin x  4cos x  Nguyên hàm hàm số lượng giác 2020  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  3cos x  2sin x   A  4B  cos x   4 A  B  sin x https://luyenthitracnghiem.vn 11  A    A  4B  17   4 A  B   B   10  17 11 10  cos x  4sin x     sin x  4cos x  17 Từ đó: J   17 dx cos x  4sin x 11 10 d  cos x  4sin x  11 10   dx    x  ln cos x  4sin x  C 17 17 cos x  4sin x 17 17 c Chú ý Nếu gặp I  a1 sin x  b1 cos x   a sin x  b cos x  dx ta tìm A, B cho: 2 a1 sin x  b1 cos x  A a2 sin x  b2 cos x   B  a2 cos x  b2 sin x  a sin x  b1 cos x  c1 dx ta tìm A, B cho: Nếu gặp I   a2 sin x  b2 cos x  c2 a1 sin x  b1 cos x  c1  A a2 sin x  b2 cos x  c2   B  a2 cos x  b2 sin x   C Ví dụ 15 Tìm nguyên hàm sau đây: I   8cos x  sin x  cos x  dx  Giải Ta tìm A, B cho:  3sin x  cos x  B  A  A  B      B  A  B   Từ đó: I   2 Tìm I1     https://www.facebook.com/vietgold   cos x  sin x   8cos x   A  B  sin x   A  B  cos x 8cos x  A  sin x  cos x    cos x  sin x sin x  cos x   dx  d sin x  cos x dx  3  I1  C sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x   dx dx dx     sin x cos   cos x sin  sin x  cos x sin x  cos x 6 2 10 “Thành cơng nói không với lười biếng” https://luyenthitracnghiem.vn  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB    dx  x dx 6  C  ln tan  x     C       ln tan     2 2 12     sin  x   sin  x   6 6   x   Vậy I  ln tan     C sin x  cos x  12  Ví dụ 16 Tìm ngun hàm sau đây: J  8sin x  cos x   2sin x  cos x  dx  Giải Ta tìm A, B, C cho: 8sin x  cos x   A 2sin x  cos x  1  B  2cos x  sin x   C  8sin x  cos x    A  B  sin x    A  2B  cos x  A  C 2 A  B  A      A  B    B  A  C  C    3 2sin x  cos x  1   2cos x  sin x   dx 2sin x  cos x  2cos x  sin x dx  3 dx  2 dx  2sin x  cos x  2sin x  cos x   3x  2ln 2sin x  cos x   J1 dx Tìm J1   2sin x  cos x  2dt  dx   t  x 2t  Đặt tan  t  sin x  1 t2   1 t2 cos x  1 t2  2dt dt dt 1  1 t2  J1        dt 2t 1 t t  2t t t  2  t t    1 1 t2 1 t2 x tan t C  ln  C  ln x t2 tan  2 x tan C Vậy: J  3x  2ln 2sin x  cos x   ln x tan  2 https://www.facebook.com/vietgold Từ đó: J  11  Nguyên hàm hàm số lượng giác 2020  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Dạng Biến đổi đưa nguyên hàm dạng Ví dụ áp dụng Ví dụ 17  Tìm ngun hàm sau đây: I  cos3x cos xdx  Giải  cos x  cos7 x  dx 2 1 1   cos xdx   cos7 xdx  sin x  sin x  C 2 14 I   cos3x cos xdx  https://luyenthitracnghiem.vn Ví dụ 18  Tìm ngun hàm sau đây: I  cos x sin x cos3xdx  Giải I   cos x sin x cos3xdx  sin x  cos x  cos x dx 2 1 sin x cos xdx   sin x cos xdx  2 1   sin xd  sin x      sin x  sin x dx 4 1  sin 2 x  cos x  cos6 x  C 8 24  Ví dụ 19      x  tan   x  dx 3  3   Tìm nguyên hàm sau đây: I  tan x tan   Giải Từ đó: I  https://www.facebook.com/vietgold     sin x sin   x  sin   x      3  3  Ta có: tan x tan   x  tan   x   3  3  cos x cos    x  cos    x      3  3  2  1   sin x  cos x  cos  sin x 1  2sin x    2     2  1   cos x  cos x  cos  cos x  2cos x     2   sin x   4sin x  3sin x  4sin x sin 3x    cos x  4cos x  3 4cos3 x  3cos x cos3x sin3x d  cos3x  dx     ln cos3x  C  cos3x  cos3x Ví dụ 20  Tìm ngun hàm sau đây: I  sin x sin3xdx  Giải Ta có: sin 3x  3sin x  4sin x  sin x  3sin x  sin 3x 12 “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB 3sin x  4sin 3x sin 3x 3  sin x sin 3x  sin 3x   cos x  cos x   1  cos6 x  4 8 3 1  cos x  cos x  cos6 x  8 8 1 3 Từ đó: I    cos x  cos x  cos6 x  dx 8 8 8 3 1  sin x  sin x  sin x  x  C 16 32 48 https://www.facebook.com/vietgold https://luyenthitracnghiem.vn  sin x sin 3x  Ví dụ 21 Tìm nguyên hàm sau đây: I    sin x cos3x  cos3 x sin 3x  dx  Giải 3sin x  sin 3x 3cos x  cos 3x cos3 x  3sin x  sin 3x 3cos x  cos3x Suy ra: sin x cos3x  cos3 x sin 3x  cos3x  sin 3x 4 3  sin x cos3x  sin 3x cos3x  cos x sin 3x  cos3x sin 3x 4 4 3  sin  2 x   sin x   sin  2 x   sin x    sin x 8 3 Vậy I    sin xdx  cos x  C Ta có: sin x  Ví dụ 22 Tìm nguyên hàm sau đây: I   dx sin x cos3 x  Giải I  dx dx 1 dx dx     tan x   2 sin x cos x tan x cos x tan x cos x cos x tan x cos2 x dx Đặt tan x  t   dt cos x t2  t dt 1 I  dt   tdt    t  ln t  C  tan x  ln tan x  C t t 2 Ví dụ 23 Tìm nguyên hàm sau đây: I   dx sin x cos x  Giải Đặt sin x  t  cos xdx  dt I   13 dt 1 t4  t4 1 t dt  dt  dt     4 t 1 t2 t 1  t  t 1  t  dt dt dt 1 t 1     t 3   ln C t t t t 1  t  1 t  1 Nguyên hàm hàm số lượng giác 2020  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  1 sin x    ln C 3sin x sin x sin x  Ví dụ 24 Tìm nguyên hàm sau đây: I   sin 3x sin x dx tan x  tan x  Giải I  https://luyenthitracnghiem.vn sin 3x sin x sin 3x sin x dx   dx   sin x cos x cos xdx sin 3x tan x  tan x cos x cos x 1    sin x  sin x  cos xdx   sin x cos xdx   sin x cos xdx 2 1    sin x  sin x  dx    sin 3x  sin x  dx 4 1 1   cos x  cos5 x  cos3x  cos x  C 28 20 12 Ví dụ 25 Tìm ngun hàm sau đây: I   dx sin x  Giải https://www.facebook.com/vietgold  cos x  u  sin x du   dx  Đặt  sin x dv  dx v   cot x  sin x cot x cot x.cos x cot x I   dx    I1 sin x sin x sin x cos x  sin x dx dx x Tính I1   dx   dx      I  ln tan  C sin x sin x sin x sin x cot x cot x x I   I1    I  ln tan  C sin x sin x x cot x x cot x  I  ln tan   C  I  ln tan  C sin x 2 2sin x 14 ... Đồn – QB NGUYÊN HÀM hàm số Lượng giác Chủ đề ④ https://www.facebook.com/vietgold https://luyenthitracnghiem.vn I BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ THƯỜNG GẶP =I Nguyên hàm hàm số Nguyên hàm hàm số  hợp... https://www.facebook.com/vietgold Từ đó: J  11  Nguyên hàm hàm số lượng giác 2020  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Dạng Biến đổi đưa nguyên hàm dạng Ví dụ áp dụng Ví dụ 17  Tìm nguyên hàm sau đây: I  cos3x cos xdx... a  cos  x  b   Đến ta gặp tốn tìm nguyên hàm Dạng Nguyên hàm hàm số lượng giác 2020  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB b Chú ý Với cách này, ta tính ngun hàm: • J  cot  x  a  cot  x  b 