+/ Phép thử ngẫu nhiên gọi tắt là phép thử là một thí nghiệm hay hành động mà - Kết quả của nó không đoán trước được.. - Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra c
Trang 1CHỦ ĐỀ 7: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1 Phép thử ngẫu nhiên
+/ Phép thử ngẫu nhiên ( gọi tắt là phép thử ) là một thí nghiệm hay hành động mà
- Kết quả của nó không đoán trước được
- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử, kí hiệu là
2/ Biến cố
+/ Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của
A tuỳ thuộc vào kết quả của T
Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra , được gọi là một kết quả thuận lợi cho A
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là A
Khi đó ta nói biểu cố A được mô tả bởi tập hợp A.
3/ Xác suất của biến cố
+/ Định nghĩa cổ điển
Giả sử phép thử T có không gian mẫu là một tập hợp hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng
Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T và A. là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A, thì xác suất của A là một số , ký hiệu là P(A), được tính bằng công thức;
P(A) = A
+/ Lưu ý / 0P(A)1
./ P() = 1 , P() = 0 +/ Định nghĩa thống kê xác suất
./ Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến phép thử đó Ta thực hiện N lần phép thử T
Số lần xuất hiện biến cố A được gọilà tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T
Tý số giữa tần số của A với số N được gọi là tần suất của A trong N lần thực hiệnphép thử T
./ Khi N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số xác định Số đó gọi lần xác suất của A theo nghĩa thống kê
Trong khoa học thử nghiệm , người ta thường lấy tần suất làm xác suất Vì vậy tần suất còn được gọi là xác suất thực nghiệm
Trang 2II MỘT SỐ VÍ DỤ.
Ví dụ 1;
Gieo một đồng tiền xu 3 lần
1/ Xây dựng không gian mẫu
2/ Gọi các biến cố
A “Lần đầu gieo xuất hiện mặt sấp”
B “ Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”
C “ ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”
-Mô tả các tập A. , B , C.?
-Tính P(A), P(B), P(C)?
Giải
Ta ký hiệu S là chỉ đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp và N là chỉ đồng tiền xu xuất hiện mặt ngửa
1/ Không gian mẫu
= SSS,SSN,SNS,SNN, NSN, NNS, NSS, NNN
Và = 8 2/
+/ Với biến cố A; “ lần đầu tiên gieo xuất hiện mặt sấp”
Ta có A = SSS,SSN,SNS,SNN
A
= 4
P(A) = 4
8 = 0,5 +/ Với biến cố B ; “ Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”
Ta có;
B = SSN,SNS, NSS Và = 3B
P(B) = 3
8 +/ Với biến cố C; “ ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”
Ta có;
C = SSN,SNS,SNN, NSN, NNS, NSS, NNN
C = 7 P(C) = 7
8
Ví dụ 2
Điểm bài kiểm tra học kỳ I của hai môn Toán, Văn của 10 học sinh như sau; Môn Toán ; 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10
Môn Văn ; 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10
Trang 3Rút ngẫu nhiên từ tập bài đó mỗi môn một bài Tìm xác suất để trong hai bài rút ra 1/ Có đúng một bài điểm 5
2/ Có đúng một bài điểm 10
3/ có ít nhất một bài đạt điểm 10
Giải
+/ Ta ký hiệu T là phép thử “ Rút ngẫu nhiên từ tập bài thi, mỗi bài có một bài”
Biến cố A; “ Trong hai bài rút ra, có đúng một bài đạt điểm 5”
Biến cố B; “ Trong hai bài rút ra, có đúng một bài đạt điểm 10”
Biến cố C; “ Trong hai bài rút ra, có ít nhất một bài đạt điểm 10”
+/ Do có 10 bài thi môn toán , 10 bài thi môn Văn nên không gian mẫu của phép thử T có;
= 10 10 = 100
1/ Ghép bài điểm 5 môn Toán với mỗi một bài thi môn Văn, ta có 10 cách ghép, tức là
A
= 10
P(A) = 1
10 = 0,1
2/ +/Ghép mỗi bài điểm 10 môn Toán với một trong số 8 bài không đạt điểm 10 môn Văn, ta có 3 8 = 24 cách
+/Ghép mỗi bài điểm 10 môn Văn với một trong số 7 bài không đạt điểm 10 môn Toán, ta có 2 7 = 14 cách
= 24 + 14= 38B
P(B) = 38
100 = 0,38
3/ +/ Có 3 bài đạt điểm 10 môn Toán, 2 bài đạt điểm 10 môn Văn có 3 2 = 6 cách ghép hai bài Toán ,Văn cùng điểm 10
+/ Từ đây và từ câu (2), ta có;
C
= 24 + 14 + 6 = 44
P(B) = 44
100 = 0,44
Ví dụ 3
Trong một hộp có 10 con số; 0, 1, 2….9 Lờy ngẫunhiên 4 con số trong hộp và xếp lại thành dãy
Tìm xác suất đê số xếp được là một số có 4 chữ số khác nhau và chia hét cho 5
Giải
+/ Gọi phép thử T “ Lấy ngẫu nhiên 4 con số trong hộp”
Gọi biến cố A; “ Xếp được số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5”
+/ Khi đó không gian mẫu , có
= A4
10 = 5040
Trang 4+/ Ta đi tìm số các số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5(Thực chất là tìm )A
Số này có dạng abc0 hoặc abc5
+/ Số có dạng abc0 có 9 8 7 = 504 (số)
+/ Số có dạng abc5 có 8 8 7 = 448 (số)
Vậy có 504 + 448 = 952 (số)
Hay = 952A
Từ đây, ta được P(A) = 952
5040 = 17
90
Ví dụ 4
Đội tuyển thi đấu thể thao của một trường THPT gồm 20 em , trong đó có 11
em thi đá cầu, 9 em thi điền kinh Gặp ngẫu nhiên 2 em trong đội Tìm xác suất để 1/ Hai em thi đấu hai môn khác nhau
2/ Hai em đều thi đấu điền kinh
Giải
+/ Gọi phép thử T “Gặp ngẫu nhiên 2 em trong đội tuyển”
= C2
20 = 190
1/
+/ Gọi biến cố A ; “ Hai em thi đấu hai môn khác nhau.”
= CA 1
11 C1
9 = 99
P(A) = 99
190
2/
+/ Gọi biến cố B; “ Hai em đều thi đấu điền kinh”
= CB 2
9 = 36
P(B) = 36
190 = 18
95
III/ BÀI TẬP Bài1;
Gieo 2 đồng tiền đồng chát, cân đối Tìm xác suất để;
1/ Cả 2 dồng xu đều sấp
2/ Chỉ có một đồng xuất hiện mặt sấp
3/ ít nhất 1 đồng xuất hiện mặt sấp
Bài 2
Trong phép thử gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất Tìm xác suất của các biến
cố sau;
1/ AK = “ Tổng số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là k”
với k = 2, 3, 4, …,12
Trang 52/ Bi = “Hiệu số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là i”
Với i = 0, 1, 2,…,5
3/ Cj = “Hiệu số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là j”
Với j = 2, 4, 6, 8, 12
Bài 3
Túi 1 đựng 10 bài thi Toán, túi 2 đựng 10 bài thi Văn Điểm (thang điểm 20) của các bài thi như sau;
Môn Toán ; 8, 9, 12, 15, 15, 17, 18, 19, 19, 19
Môn Văn ; 7, 10, 15, 16, 18, 18, 18, 19, 19, 20
Rút ngẫu nhiên mỗi túi một bài thi Tìm xác suất để
1/ Cả hai bài đều đạt 19 điểm
2/ It nhất một bài đạt 19 điểm
3/ Tổng số điểm thi của hai bài bằng 35
Bài 4
Trong một trận thi đấu bóng đá , tuổi của 11 cầu thủ thi đấu trên sân như sau Đội 1; 17, 17, 18, 19, 19, 19, 22, 23, 24, 24,26
Đội 2; 17, 18, 18, 18, 19, 20, 20, 22, 24, 25, 30
Khai mạc trận đấu , các cầu thủ của hai đội lần lượt bắt tay nhau ( mỗi cầu thủ của đội này lần lượt bắt tay với từng cầu thủ của đội kia)
Tìm xác suất để2 cầu thủ bắt tay cùng tuổi
Bài 5
Cho một khối lập phương mà các mặt của nó đều được sơn Cưa khối lập
phương đó thành 1000 khối lập phương nhỏ như nhau
1/ Lấy ngẫu nhiên 1 khối nhỏ Tìm xác suất để khối đó có hai mặt được sơn
2/ Lấy ngẫu nhiên 2 khối nhỏ Tìm xác suất để 2 khối đó có 1 mặt được sơn
3/ Lấy ngẫu nhiên 3 khối nhỏ Tìm xác suất để cả 3 khối đó không có mặt nào được sơn
Bài 6
Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có kích thước 5 cm 10 cm 15 cm Hai mặt đáy được sơn màu xanh và các mặt xung quanh được sơn màu vàng Cưa khối đó thành 750 khối lập phương nhỏ như nhau Lờy ngẫu nhiên 2 khối nhỏ
Tìm xác suất để;
1/ Một khối không có mặt nào được sơn và một khối kia có 2 mặt được sơn
2/ Cả hai khối đều chỉ có 1 mặt được sơn màu vàng còn 5 mặt kia không được sơn
Bài 7
Trong một hộp khối kín có 9 bi màu xanh và 6 bi màu trắng kích thước như nhau Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp đó
Tìm xác suất để;
1/ Hai viên khác màu
Trang 62/ Hai viên đều màu trắng.
3/ ít nhất một viên màu xanh
Bài 8
Đội văn nghệ của nhà trường gồm 15 học sinh, trong đó 5 học hinh khối 10, 5 học hinh khối 11, và 5 học hinh khối 12 Gặp nhau ngẫu nhien 3 em trong đội Tìm xác suất để;
1/ Ba em học sinh là 3 học sinh khối khác nhau
2/ Trong đó có đúng 2 em học sinhh khối 11
3/ ít nhất có 1 học sinh khối 10
Bài 9
Trong hộp kín có 10 chữ số; 0, 1, 2, 3, ….9
Lấy ngẫu nhiên 5 số từ hộp đó rồi xếp thành hàng Tìm xác suất để số xếp được là; 1/ Số có 5 chữ số
2/ Số có 5 chữ số chia hết cho 5
3/ Số chẵn có 5 chữ số
CHỦ ĐỀ 8: CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC XUẤT
I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Quy tắc cộng xác suất
a Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B Biến cố “ A hoặc B xảy ra”,kí hiệu là A B,được gọi là hợp của 2 biến cố Avà B
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B là WAWB.
b Biến cố xung khắc: cho 2 biến cố A và B Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xay ra
Hai biến cố A và B xung khắc WA WB .
c Quy tắc cộng xác xuất:
+/ Nếu 2 biến cố đối A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B
xảy ra là :
P(AB)P(A)P(B)
+/ Mở rộng : Cho k biến cố A ,A A1 2, k đôi 1 xung khắc
khi đó
P(A A A )P(A )P(A ) P(A )
d Biến cố đối :
+/ Cho A là một biến cố khi đó biến cố không xảy ra A kí hiệu là A,
được gọi là 1 biến cố của A
Ta có tập các kết quả thuận lợi cho Alà :
WA W W\ A .
+/ Định lí :
Cho biến cố A,xac suất của biến cố đối A là :
Trang 7P A 1 P(A)
2.Quy tắc nhân xác suất :
a Biến cố giao:
+/ Cho 2 biến cố Avà B “Biến cố cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là
AB,được gọi là giao của 2 biến cố A và B
+/ Tập hợp các kết quả thuận lợi cho AB:
WAB WA WB.
b Biến cố độc lập :
+/ Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay
không xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất việc xảy ra biến cố kia
+/ Nếu A và B là độc lập thì Avà B; A và B ; Avà B cũng độc lập với
nhau
c Quy tắc nhân xác suất
+/ Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì
P(AB)P(A).P(B) +/ Nếu P(AB)P(A).P(B) thì A và b không độc lập với nhau
II KĨ NĂNG CƠ BẢN:
+/ Diễn đạt được nội dung các biến cố hợp,biến cố giao biến cố đối
+/ Vận dụng các quy tắc cộng,nhân để giải toán
III MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Hai khẩu cao xạ cùng bắn vào 1 chiếc máy bay 1 cách độc lập với
nhau xác suất trúng đích của khẩu thứ nhất là 0.75, khẩu thứ 2 là 0.65
Máy bay bắn rơi nếu đồng thời cả 2 khẩu bắn chúng Tính xác suất
để máy bay bắn rơi
Giải:
+/ Ta kí hiệu biến cố:
T1: “Khẩu thứ nhất bắn trúng máy bay”
T2: “Khẩu thứ hai bắn trúng máy bay”
R: “Máy bay rơi”
+/ Ta có:
P(T1) = 0.75
P(T2) = 0.65
R= T1T2
+/ Vì T1,T2 là hai biến cố độc lập nên xác suất để máy bay bắn rơi
là:
P(R)=P(T1T2)= P(T1).P(T2)=0.750.65=0.4875.
Ví dụ 2: Một nhóm học sinh giỏi gồm 60 học sinh trong đó có 40 học sinh
Trang 8giỏi toán,30 học sinh giỏi lý và 20 học sinh giỏi toán và lý.Chọn ngẫu nhiên 1
học sinh Tính xác suất để :
1/ Học sinh được chọn là học sinh giỏi toán
2/ Học sinh được chọn là học sinh giỏi lí
3/ Học sinh được chọn là học sinh giỏi cả toán và lý
Giải:
Gọi A,B,C,D là các biến cố ứng với 4 câu hỏi trong bài toán
Ta có :
1/ P(A)= 40 2
60 3 2/ P(B)= 30 1
60 2 3/ P(C)=P(A B) 20 1
60 3
4/ Từ
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
Ta có :
P(D) P(A B) P(A B)
5 1
6 6
Ví dụ 3 : Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10,đồng thời các quả từ 1 đến 6 được tô màu xanh.Lấy ra ngẫu nhiên 1 quả
Kí hiệu biến cố A : “Quả lấy ra màu xanh”
B : “Quả lấy ra ghi số chẵn”
Hỏi 2 biến cố A,B độc lập hay không
Giải:
+/ Ta có |W | 10
|W A| 6
P(A) 6 3
10 5
A B
/ MÆt kh¸c | | 5
| | 3
W
W
P(B) 5 1
10 2
10
+/ Nhận thấy P(AB)P(A).P(B)
Vậy hai biến cố A,B độc lập
Trang 9Vớ dụ 4: Trong kỡ thi kiểm tra chất lượng ở 2 lớp thuộc khối 11,mụi lớp cú 25% học sinh trượt mụnVăn ,15%học sinh trượt mụn Sử và 10% học sinh trượt mụn Địa Từ mỗi lớp trọn ngẫu nhiờn một học sinh.Tớnh xỏc suất sao cho :
1 Hai học sinh trượt mụn Văn
2 Hai học sinh đú đều bị trượt một mụn nào đú
3 Hai hoc sinh đú khụng bị trượt mụn nào
4 Cú ớt nhất một học sinh bị trượt ớt nhất một mụn
Giải:
Ta kớ hiệu biến cố:
A1: “Học sinh được chọn từ lớp thứ nhất trượt Văn”
A2:“Học sinh được chọn từ lớp thứ nhất trượt Sử”
A3:“Học sinh được chọn từ lớp thứ nhất trượt Địa”
B1:“Học sinh được chọn từ lớp thứ hai trượt Văn”
B2:“Học sinh được chọn từ lớp thứ hai trượt Sử”
B3:“Học sinh được chọn từ lớp thứ hai trượt Địa”
Khi đú cỏc biến A ,B ,(i,j 1,2,3) là độc lậpi j .
1/ Ta cần tớnh P(A B )1 1 ,P(A B )1 1 P(A )P(B )1 1 1 1 1
4 4 16
2/ Biến cố “Hai học sinh đú đều bị trượt một mụn nào đú”, là
A1A2A3 B1B2B3
Đặt A=A1A2A3,B=B1B2 B3
P(A) 1 , P(B) 1
P(A B) P(A).P(B) 1
4
3/ Biến cố “Hai học sinh đú khụng bị trượt mụn nào”,là AB
+/ Ta cú 1 2 1
P A B P(A).P(B)
4/ +/ Biến cố “Cú ớt nhất một trong hai học sinh bị trượt ớt nhất một
mụn”., là AB
/ Ta có P A B P A P B P AB
III BÀI TẬP
Trang 10Bài 1: Trong một hộp kín có 15 quả cầu kích thước như nhau.Trong đó có 5 viên màu xanh ,10 viên màu đỏ.Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3 quả
Tìm xác suất để
1 Ba quả cầu lấy ra không cùng màu
2 Ba quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu xanh
Bài 2: Trong một phân xưởng có 10 máy hoạt động.Xác suất để trong 1 ca có 1 máy
phải sửa là 0,2 ; xác suất để có 2 máy phải sửa là 0,3 ; vấc suất để có nhiều hơn hai máy phải sửa là 0,07 Tìm xác suất để trong 1 ca phân xưởng đó không có máy phải sửa
Bài 3: Trong 1 phân xưởng có 3 máy làm việc độc lập với nhau.Trong 1 ca sản xuất
xác suất để máy 1 phải sửa là 0,12 ; máy 2 phải sửa là 0,18 ; máy 3 phải sưa là 0,1 Giả sử 3 máy không đồng thời phải sửa
Tính xác suất để trong ca đó phải sửa máy
Bài 4: Trong hộp kín có 7 quả cầu màu xanh và 5 quả cầu màu đỏ.Lờy ngẫu nhiên từ
trong hộp mỗi lần 1 quả(không hoàn lại) cho đến khi được quả màu xanh thì dừng lại
Tính xác suất để người đó dừng lại ở lần thứ 4
Bài 5 :
Một xạ thủ bắn liên tiếp vào 1 mục tiêu cho đến khi trúng đích thì ngừng Tìm
xác suất để bắn đến viên thứ 3 thì ngừng.Biết xác suất bắn trúng đích cho mỗi lần bắn là 0,85
Bài 6 : Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số Tính xác suất để :
1 Số vé không có số 1 hoặc không có số 5
2 Số vé có chữ số 5và chữ số chẵn
Bài 7: Trong một lớp học có 6 bóng đèn , mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25 Lớp học đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng đèn sáng
Tính xác suất để lớp học không đủ sáng
Bài 8: Một bài thi trắc nhiệm gôm 12 câu hỏi mỗi câu hỏi cho 4 câu trẩ lời trong đó
chỉ có 1 câu đúng
Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm và mỗi câu trả ,lời sai không bi trừ
điểm Một học sinh học kém làm bài bằng cách chọn tùy ý câu trả lời Tính xác suất để anh ta được 6 điểm
Trang 11Bài 9: Gieo đồng thời 3 con súc sắc.Người thắng cuộc nếu có xuất hiện ít nhất 2 mặt 6
chân.Tính xác suất để ttrong 5 ván chơi,thắng ít nhất là 3 ván
Bài 10 : Một người bắn 3 viên đạn xác suất để 3 viên trúng vòng 10 là 0,008;
xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15;và xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8
là 0,4
Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất là 28 điểm
Bài 11: Một máy bay có 5 động cơ, trong 2 động cơ ở cánh phải, hai động cơ ở nhánh trái và 1 động cơ ở thân đuôi.Mỗi động cơ ở cánh phải và ở thân đuôi có xác suất bị hỏng là 0,1 ; còn mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất bị hỏng là 0,05 Các động cơ hoạt động độc lập Tính xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn trong các trường hợp
1/ Máy bay chỉ bay được nếu có ít nhất 2 động cơ làm việc
2/ Máy bay chỉ bay được khi trên mỗi cánh của nó có ít nhất một động cơ làm việc
Bài 12 : Một xí nghiệp xản suất bóng đèn có 4 phân xưởng Khi xuất xưởng, tỉ lệ chính phẩm của mỗi phân xưởng như sau:
Phân xưởng I đạt 99,7% ; phân xưởng II đạt 99,85% ; phân xưởng III đạt
99,65% và phân xưởng IV đạt 99,9% Lấy ngẫu nhiên mỗi phân xưởng 1 sản
phẩm.Tìm xác suất để trong số lấy ra
1/ Có 4 sản phẩm đều là phế phẩm
2/ Có đúng 2 chính phẩm
Bài 13: Tỷ lệ thí sinh trúng tuyển vào đại học là 20% Rút ngẫu nhiên một hồ sơ trong
số hồ sơ của thí sinh dự thi cho đến khi được hồ sơ của thí sinh trúng tuyển thì dừng lại Tìm xác suất để phải rút đến lần thứ tư
Bài 14: Hai xạ thủ bắn vào mục tiêu độc lập với nhau
Xác suất trúng đích của xạ thủ thứ nhất là 0,85 ,xạthủ thứ 2 là 0,75
Tìm xác suất để :
1/ Người thứ nhất bắn 3 phát đầu, có 1 phát trúng đích
2/ Người thứ 2 bắn 3 phát đầu, có hai phát trúng đích
3/ Cả 2 người bắn trúng ngay từ phát đầu tiên
4/ Ít nhất một người bắn trúng đích khi mỗi người bắn 1 phát
Bài 15: Kết quả kiểm tra chất lượng học kì I của K11 như sau:
Lớp 11A tỉ lệ khá giỏi 92%
Lớp 11B tỉ lệ khá giỏi 80%
Lớp 11C tỉ lệ khá giỏi 85%
Lớp 11D tỉ lệ khá giỏi 78%
Lớp 11E tỉ lệ khá giỏi 65%
Rút ngẫu nhiên mỗi lớp 1 bài kiểm tra.Tìm xác suất để trong 5 bài đó