10 chuyên đề tổ hợp, xác suất bồi dưỡng học sinh giỏi THPT10 chuyên đề tổ hợp, xác suất bồi dưỡng học sinh giỏi THPT10 chuyên đề tổ hợp, xác suất bồi dưỡng học sinh giỏi THPT10 chuyên đề tổ hợp, xác suất bồi dưỡng học sinh giỏi THPT10 chuyên đề tổ hợp, xác suất bồi dưỡng học sinh giỏi THPT10 chuyên đề tổ hợp, xác suất bồi dưỡng học sinh giỏi THPT
Chuyên đề Tập hợp Error! Bookmark not defined 1.1 C{c kh{i niệm Error! Bookmark not defined 1.1.1 Kh{i niệm tập hợp Error! Bookmark not defined 1.1.2 C{c c{ch x{c định tập hợp Error! Bookmark not defined 1.1.3 Tập Error! Bookmark not defined 1.1.4 Tập hợp Error! Bookmark not defined 1.1.5 Giao hai tập hợp Error! Bookmark not defined 1.1.6 Hợp hai tập hợp Error! Bookmark not defined 1.1.7 Hiệu hai tập hợp Error! Bookmark not defined 1.1.8 Phần bù hai tập hợp Error! Bookmark not defined 1.1.9 Tích Đề - C{c Error! Bookmark not defined 1.1.10.Một số tính chất Error! Bookmark not defined 1.2 B|i tập Error! Bookmark not defined 1.2.1 B|i tập luyện tập Error! Bookmark not defined 1.2.2 B|i tập tự giải Error! Bookmark not defined 1.3 Hướng dẫn giải b|i tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề Phép đếm Error! Bookmark not defined 2.1 C{c nguyên lí Error! Bookmark not defined 2.2 Tổ hợp – chỉnh hợp – ho{n vị Error! Bookmark not defined 2.3 B|i tập Error! Bookmark not defined 2.4 Hướng dẫn giải b|i tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề Nhị thức Newton Error! Bookmark not defined 3.1.1 B|i tập luyện tập Error! Bookmark not defined 3.1.2 B|i tập tự giải Error! Bookmark not defined 3.2 Hướng dẫn giải b|i tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề Nguyên tắc Dirichlet Error! Bookmark not defined 4.1 Nộ dung nguyên tắc Dirichlet Error! Bookmark not defined 4.2 B|i tập Error! Bookmark not defined 4.2.1 B|i tập luyện tập Error! Bookmark not defined 4.2.2 B|i tập tự giải Error! Bookmark not defined 4.3 Hướng dẫn giải b|i tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề Nguyên tắc cực hạn Error! Bookmark not defined 5.1 Nguyên tắc cực hạn Error! Bookmark not defined 5.2 B|i tập Error! Bookmark not defined 5.2.1 B|i tập luyện tập Error! Bookmark not defined 5.2.2 B|i tập tự giải Error! Bookmark not defined 5.3 Hướng dẫn giải b|i tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề Bất biến Error! Bookmark not defined 6.1 Thuật to{n Error! Bookmark not defined 6.1.1 Định nghĩa thuật to{n Error! Bookmark not defined 6.1.2 C{c b|i to{n thuật to{n Error! Bookmark not defined 6.1.3 H|m bất biến Error! Bookmark not defined 6.2 B|i tập Error! Bookmark not defined 6.2.1 B|i tập luyện tập Error! Bookmark not defined Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp 6.2.2 B|i tập tự giải Error! Bookmark not defined 6.3 Hướng dẫn giải b|i tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề Đơn biến toán hội tụ Error! Bookmark not defined 7.1 H|m đơn biến Error! Bookmark not defined 7.2 B|i to{n hội tụ v| b|i to{n ph}n kì Error! Bookmark not defined 7.3 B|i tập Error! Bookmark not defined 7.3.1 B|i tập luyện tập Error! Bookmark not defined 7.3.2 B|i tập tự giải Error! Bookmark not defined 7.4 Hướng dẫn giải b|i tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề Một số phương pháp đếm nâng cao Error! Bookmark not defined 8.1 Phương ph{p truy hồi Error! Bookmark not defined 8.2 Phương ph{p sử dụng song {nh Error! Bookmark not defined 8.3 Phương pháp quỹ đạo Error! Bookmark not defined 8.4 Phương pháp sử dụng đa thức số phức Error! Bookmark not defined 8.5 Bài tập Error! Bookmark not defined 8.5.1 Bài tập luyện tập Error! Bookmark not defined 8.5.2 Bài tập tự giải Error! Bookmark not defined 8.6 Hướng dẫn giải tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề Hàm sinh tổ hợp Error! Bookmark not defined 9.1 Khái niệm hàm sinh Error! Bookmark not defined 9.2 Khai triển Taylor Error! Bookmark not defined 9.3 Hệ số nhị thức mở rộng Error! Bookmark not defined 9.4 Ứng dụng hàm sinh Error! Bookmark not defined 9.5 Bài tập Error! Bookmark not defined 9.5.1 Bài tập luyện tập Error! Bookmark not defined 9.5.2 Bài tập tự giải Error! Bookmark not defined 9.6 Hướng dẫn giải tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề 10 Hình lồi định lí Helly Error! Bookmark not defined 10.1 Hình lồi Error! Bookmark not defined 10.2 Định lí Helly Error! Bookmark not defined 10.3 Bài tập Error! Bookmark not defined 10.3.1 Bài tập luyện tập Error! Bookmark not defined 10.3.2 Bài tập tự giải Error! Bookmark not defined 10.2 Hướng dẫn giải tập Error! Bookmark not defined Bài toán tổng hợp………………………………………………………………………………… Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………………………7 http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp Lời nói đầu To{n học l| môn học quan trọng chương trình phổ thơng nước ta c{c nước kh{c giới Việc giảng dạy v| học tập mơn To{n chương trình phổ thơng khơng trang bị cho học sinh kiến thức cụ thể {p dụng sống v| c{c môn học kh{c m| quan trọng l| rèn luyện cho c{c em phương ph{p tư loogic, c{c kĩ l|m việc hiệu quả, khả độc lập v| lực s{ng tạo Điều giúp ích cho c{c em đời Việc ph{t triển v| bồi dưỡng học sinh khiếu môn To{n l| mối quan hệ lớn quốc gia Ở nước ta, từ năm 60 kỉ XX,c{c lớp to{n đặc biệt th|nh lập nhằm bồi dưỡng học sinh có khiếu to{n học,phục vụ cho đất nước Bộ s{ch Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Trung học phổ thông gồm c{c chuyên đề tự chọn đặc sắc theo chương trình d|nh cho chuyên To{n m| Bộ gi{o dục v| Đ|o tạo ban h|nh Bộ s{ch l| kết tinh từ kinh nghiệm giảng dạy v| bồi dưỡng học sinh khiếu c{c Thầy Cô gi{o trường THPT Chuyên Đại học Sư Phạm H| Nội, Trường THPT Chuyên Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia H| Nội v| Trường THPT Chuyên Bắc Giang,nhằm cung cấp cho c{c em học sinh số kiến thức bổ sung,giúp c{c em hiểu s}u s{ch gi{o khoa, chuẩn bị cho c{c kì thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh v|o đại học v| thi học sinh giỏi THPT Bộ s{ch gồm năm : Một số chuyên đề Hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi THPT ; Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT ; Một số chuyên đề Toán Tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi THPT ; Một số chuyên đề Giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT ; Một số chuyên đề Hình học không gian bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Cuốn s{ch Một số chuyên đề Toán Tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi THPT gồm 10 chuyên đề để giảng dạy v| ph}n B|i tập tổng hợp C{c chuyên đề c{c t{c giả sử dụng để giảng dạy chuyên đề cho học sinh lớp 10 to{n v| bồi dưỡng cho đội tuyển to{n Trường THPT Chuyên Đại học Sư Phạm năm Trong chuyên đề, chúng tơi nhắc lại phần lí thuyết thiết yếu, bổ sung kiến thức khơng có nhắc đến c{ch sơ s|i c{c s{ch gi{o khoa phổ thơng Tiếp theo l| l| c{c ví dụ minh họa cho phần lí thuyết Chúng tơi cố gắng chọn lọc c{c ví dụ điển hình, dễ hiểu v| đặc trưng cho phần lí thuyết Phần b|i tập chia th|nh hai phần : B|i tập luyện tập, có hướng dẫn giải có lời giải chi tiết để c{c bạn so s{nh, đối chiếu, rút kinh nghiệm v| củng cố, đ|o s}u lí thuyết B|i tập tự giải, gồm http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp số b|i to{n tương tự phần ví dụ v| phần b|i tập luyện tập, ngo|i có b|i to{n khó v| khó d|nh cho bạn có khả tìm hiểu s}u v| có điều kiện ph{t triển tốt khả mình; Phần B|i tập tổng hợp gồm b|i to{n hay chọn lọc, đòi hỏi thao t{c tư phức hợp , quan s{t tinh tế, khả ph{n đo{n tốt v| kĩ xử lí vấn đề cao để c{c bạn thử sức Qua đó, chúng tơi hi vọng c{c bạn phần n|o thấy đượ vẻ đẹp To{n học v| thú vị việc chinh phục c{c b|i to{n khó, từ tăng thêm tình u với mơn thể thao trí tuệ bậc n|y Cuốn s{ch l| t|i liệu bổ ích cho c{c bạn học sinh u thích mơn To{n, tự bồi dưỡng kiến thức môn to{n v| cho c{c bạn ôn luyện chuẩn bị cho c{c kì thi tốt nghiệp, tuyển sinh đại học v| c{c kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, th|nh phố, quốc gia v| quốc tế Cuốn s{ch l| t|i liệu bổ ích cho c{c thầy cô gi{o việc định hướng v| bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Chúng mong nhận ý kiến đóng góp độc giả để s{ch ho|n thiện Mọi ý kiến đóng góp xin gửi Ban To{n – Tin Nh| xuất Gi{o dục Việt Nam ,187B Giảng Võ,H| Nội CÁC TÁC GIẢ http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp Các kí hiệu sử dụng sách N: Tập c{c số tự nhiên N* : Tập c{c số tự nhiên kh{c Z: Tập c{c số nguyên Q: Tập c{c số hữu tỉ R: Tập c{c số thực E2 : Tập c{c điểm mặt phẳng : Thuộc : Không thuộc : Chứa : Chứa : Hợp : Giao n a i 1 i : Tổng n phần tử a1 , a2 , , an n i 1 : Tích n phần tử a1 , a2 , , an n i1 Ai : Hợp họ n tập hợp A1 , A2 , .An http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp n Ai i1 : Giao họ n tập hợp A1 , A2 , .An Chuyên đề Tập hợp Tập hợp l| kh{i niệm tảng to{n học v| nhiều ng|nh khoa học kh{c Sử dụng lí thuyết tập hợp ta diễn tả c{c kh{i niệm, c{c b|i to{n, đặc biệt l| c{c b|i to{n rời rạc c{ch s{ng sủa, giúp cho việc tiếp cận c{c b|i to{n trở nên đơn giản Trong phần n|y chúng tơi nhắc lại số kh{i niệm, tính chất v| quy tắc lí thuyết tập hợp,đồng thởi đưa hệ thống b|i tập củng cố c{c kh{i niệm, tính chất v| c{c quy tắc nhằm giúp ta tiếp c}n c{c chuyên đề sau hiệu quả, dễ d|ng 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp l| kh{i niệm to{n học,không định nghĩa Thông thường người ta dùng kh{i niệm tập hợp để nhóm c{c đối tượng chọn ra, hay quy định từ trước Người ta thường kí hiệu tập hợp chữ in hay viết chữ hoa : A,B,C,X,Y,Z, Cho tập A Một đối tượng x nói đến A gọi l| phần tử A Kí hiệu : x A Quy ước : Tập rỗng l| tập hợp khơng có phần tử n|o Tập l| Khi tập A có hữu hạn phần tử số phần tử A kí hiệu l| A hay cardA (cardinal) 1.1.2 Các cách xác định tập hợp a) Liệt kê phần tử tập hợp Ví dụ Tập hợp c{c số tự nhiên nhỏ 10 l| : http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp T= 0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 Quy ước,viết T a1 , a2 , , an a j , i j b) Chỉ tính chất đặc trưng phần tử tập hợp Ví dụ Tập hợp c{c số tự nhiên nhỏ 10 l| : T= x x N , x 10 1.1.3 Tập Cho hai tập hợp A, B Khi : A B x A x B B A Tính chất : A B, B C A C A A,A A,A 1.1.4 Tập hợp Cho hai tập hợp A, B Khi : A B A=B B A Tính chất : A = A, A A = BB = A A = B, B = C A = C Cho A , B l| hai tập hợp có n phần tử Khi đó, A B A = B 1.1.5 Giao hai tập hợp A B x x A v| x B http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp 1.1.6 Hợp hai tập hợp A B x x A x B 1.1.7 Hiệu hai tập hợp A \ B x x A v| x B 1.1.8 Phần bù hai tập hợp Cho A B Phần bù A B l| tập A B \ A hay CBA B \ A 1.1.9 Tích Đề-các Định nghĩa: Cho n tập hợp A1 , A2 , Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp Trên mặt phẳng cho n hình bình h|nh có c{c cạnh song song với hai đường thẳng cắt cho trước n 3 Biết hai hình bình h|nh số n hình bình h|nh cho có điểm chung Chứng minh n hình bình h|nh cho có điểm chung Chứng minh rằng, đa gi{c lồi có diện tích ln đặt hình bình h|nh có diện tích Trong hình vng cạnh vẽ lục gi{c có diện tích S Tìm gi{ trị lớn S ( Đề thi vô địch Hunggari – 1962) Chứng minh rằng, chọn qu{ n đường chéo n gi{c lồi cho hai đoạn chúng có điểm chung 10 ( Định lí Mincopxki) Trong mặt phẳng tọa độ cho hình lồi H có diện tích S v| nhận O 0;0 l|m t}m đối xứng.Chứng minh rằng, ngo|i điểm O, hình H chứa điểm ngun kh{c 11 Trên mặt phẳng cho đa gi{c lồi H Bên H ta vẽ n hình tròn đơi khơng cắt Chứng minh chia đa gi{c cho th|nh c{c đa gi{c lồi nhỏ cho đa gi{c chứa hình tròn số n hình tròn vẽ 12 Trên mặt phẳng cho n hình tròn n 3 Biết với ba hình tròn số n hình tròn cho tồn hình tròn b{n kính r cho trước cắt ba hình tròn Chứng minh tồn hình tròn C b{n kính r cắt hết n hình tròn cho 13 Trong mặt phẳng cho n điểm A1 A2 An khoảng c{ch hai điểm nhỏ bẳng Chứng minh c{c điểm cho nằm đường tròn b{n kính R 10.3.2 Bài tập tự giải Cho hai hình lồi H1 v| H có t}m đối xứng Chứng minh rằng, dùng H1 để phủ H dùng H1 để phủ H cho tam đối xứng chúng trùng Chứng minh từ điểm cho mặt phẳng, khơng có điểm n|o thẳng h|ng, ta ln chọn điểm l| đỉnh ngũ gi{c lồi ( Đề thi vô địch Hungari – 1967) Một đa gi{c lồi chia th|nh c{c tam gi{c c{c đường chéo không cắt Mỗi đỉnh đa gi{c l| đỉnh số lẻ c{c tam gi{c dựng Chứng minh rằng, số cạnh đa gi{c chia hết cho Trên mặt phẳng cho n đường thẳng n 3 , số khơng có hai đường n|o song song v| khơng có ba đường n|o đồng quy Chứng minh rằng, số c{c phần mặt phẳng chia c{c đường thẳng nói khơng n 1 http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! 134 Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp ( Đề thi vô địch Ba LAn – 1967) Chứng minh rằng, đa gi{c có số lẻ cạnh, nội tiếp đường tròn v| tất c{c góc l| đa gi{c Chứng minh rằng, đa gi{c cắt th|nh ngũ gi{c lồi Chứng minh khơng thể ghép c{c hình tam gi{c đôi kh{c lại để hình đa gi{c lồi ( Đề thi vơ địch to|n liên bang Xô Viết – 1975) Trên mặt phẳng cho n đa gi{c ( không thiết phải lồi) cho hai đa gi{c có điểm chung Chứng minh rằng, có đường thẳng cắt tất c{c đa gi{c Cho số hữu hạn c{c đoạn thẳng song song cho ba đoạn có đường thẳng cắt chúng Chứng minh rằng, có đường thẳng cắt tất c{c đoạn thẳng n|y 10 Trên mặt phằng cho n đoạn thẳng v| điểm O không thuộc chúng Biết rằng, với hai đoạn ta ln kẻ đường thẳng qua O v| cắt chúng Chứng minh rằng, ta kẻ đường thẳng qua O v| cắt tất c{c đoạn thẳng cho 11 Trong buổi s{ng, hai người đến thư viện gặp mặt Chứng minh rằng, tồn thời điểm m| thư viện có mặt tất người đến thư viện v|o s{ng hơm 12 Trên mặt phẳng cho số hữu hạn điểm Chứng minh rằng, số ln chọn điểm cho gần với có khơng qu{ điểm số cho 13 Chứng minh rằng, đa gi{c lồi diện tích ln đặt hình chữ nhật có diện tích 14 Chứng minh rằng, đa gi{c lồi diện tích ln đặt tam gi{c đặt tam gi{c có diện tích 15 Cho đa gi{c lồi H có diện tích S v| chu vi P Chứng minh ta vẽ S đường tròn b{n kính R nằm ho|n to|n H P 16 Bên 2n đa gi{c lồi lấy điểm P Qua đỉnh đa gi{c v| điểm P ta kẻ đường thẳng Chứng minh rằng, ln tìm cạnh đa gi{c khơng có điểm chung với c{c đường thẳng vừa kẻ 17 Trên mặt phẳng cho n điểm, khơng có ba điểm n|o thẳng h|ng Chứng minh rằng, ba điểm số ln tìm điểm thứ tư số cho với ba điểmđó tạo th|nh hình bình h|nh n 18 Trên mặt phẳng cho n điểm, đồng thời tất nằm đường thẳng Chứng minh rằng, tồn đường tròn qua số c{c điểm cho v| không chứa điểm n|o số lại http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! 135 Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp 19 Trên mặt phẳng cho 2n điểm, số khơng có điểm n|o thẳng h|ng v| khơng có điểm n|o nằm đường tròn Chứng minh rằng, từ c{c điểm chọn điểm cho có n điểm số lại nằm đường tròn qua điểm chọn n điểm nằm ngo|i 20 ( Định lí Young) Cho X l| hình lồi khơng gian v| có đường kính khơng vượt qu{ Chứng minh rằng, X nằm trọn hình cầu b{n kính R 10.4 Hướng dẫn giải tập Trước tiên ta xét số trường hợp đặc biệt: Trường hợp Đa gi{c cho l| tứ gi{c lồi ABCD A B D C S Do ABCD khơng l| hình bình h|nh nên có hai cạnh đối không song song, giả sử AB v| CD Gọi S l| giao điểm AB v| CD Giả sử B nằm S v| A Khi tam gi{c SAD chứa to|n tứ gi{c ABCD Trường hợp Đa gi{c cho l| ngũ gi{c ABCDE A E B D C S Xét cạnh CD Một hai cạnh đường thẳng chứa hai cạnh AB, AE phải cắt đường thẳng CD Giả sử AB cắt CD S Khi đó, tứ gi{c S.AED chứa ngũ gi{c cho Nếu tứ gi{c S.AED khơng l| hình bình h|nh ta đưa trường hợp Nếu tứ gi{c S.AED l| hình bình h|nh đường thẳng chứa cạnh BC cắt c{c đường thẳng chứa cạnh EA v| ED tạo th|nh tam gi{c EPQ chứa ngũ gi{c cho: http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! 136 Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp P A B S C E D Q B}y ta xét đa gi{c A1 A2 An với n XÉt cạnh A1 An Khi đó, c{c đường thẳng chứa cạnh lại phải cắt A1 An v| ta đưa b|i to{n trường hợp số cạnh nhỏ n Cứ tiếp tục l|m ta đưa hai trường hợp đặc biệt xét a) Giả sử số hình tam gi{c l| s Vì khơng có hai đường chéo n|o cắt n – gi{c nên tổng c{c góc tam gi{c tổng c{c góc n – gi{c Do ta có: k.180 n 180 hay k n b) Giả sử ta phải dùng p đường chéo Ta đếm số cạnh c{c tam gi{c hai c{ch kh{c Do có n tam gi{c nên có n cạnh ( kể lặp) Mỗi cạnh tam gi{c l| đường chéo n – gi{c tính hai lần, cạnh tam gi{c l| cạnh n – gi{c tính lần Do ta có: n p n hay p n Xét tam gi{c c}n T với góc đỉnh A đủ nhỏ: A B C Ta thấy, hai tam gi{c T ta ghép th|nh hình bình h|nh v| ba tam gi{c T ghép hình thang: http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! 137 Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp Do đó, n chẵn ghép n tam gi{c th|nh hình bình h|nh v| ghép thêm hai tam gi{c hình vẽ đ}y để lục gi{c lồi: Nếu n lẻ ghép n tam gi{c th|nh hình thang v| ghép thêm hai tam gi{c hình vẽ đ}y để lục gi{c lồi: Xét đa gi{c nhỏ T Vì T l| đa gi{c lồi nên có khơng qu{ hai cạnh T nằm c{c đường chéo xu{t ph{t từ đỉnh đa gi{c cho Như vậy, qua đỉnh đa gi{c cho có khơng qu{ hai cạnh T Qua đỉnh đa gi{c cho có khơng qu{ 7.2=14 cạnh T Trong số 14 cạnh n|y,mỗi cạnh tính hai lần nên số cạnh T không qu{ B}y ta đa gi{c lồi A1 A2 A7 m| đa gi{c nhỏ nhận có cạnh, chẳng hạn đa gi{c hình vẽ đ}y: A2 A3 A1 A4 A7 A5 A6 Xét đường thẳng song song với n đoạn thẳng cho http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! 138 Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp Chiếu theo phương vng góc với lên ta n đoạn thẳng m| hai đoạn có điểm chung Theo định lí n đoạn thẳng n|y có điểm chung A Đường thẳng d vng góc với A cắt tất n đoạn thẳng cho d Chọn hệ tọa độ Afin Oxy có c{c trục song song với hai đường thẳng cho Chiếu theo phương Oy lên trục Ox, hình bình h|nh biến th|nh đoạn thẳng Ta có n đoạn thẳng, hai đoạn thẳng có điểm chung nên n đoạn thẳng nói có điểm chung A a;0 Tương tự, chiếu theo phương Ox lên Oy, ta nhận n đoạn thẳng có điểm chung B 0; b Dễ thấy điểm M a; b thuộc tất n hình bình h|nh cho Xét đa gi{c lồi M có diện tích Ta vẽ hình bình h|nh ABCD chứa M cho cạnh hình bình h|nh ABCD qua đỉnh M sau: D R C X A Y B P Đầu tiên, chọn lấy cạnh PQ M ( tùy ý) v| vẽ đường thẳng d1 qua P,Q Tiếp theo, chọn đỉnh R nẳm c{ch xa d1 nhất, vẽ đường thẳng d qua R v| song song với d1 Nối P với R Về hai nửa mặt phẳng bờ l| đường thẳng PR, chọn hai đỉnh X v| Y ( có) http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! 139 Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp c{ch xa PR Qua X, Y vẽ c{c đường thẳng d3 , d song song với PR Bốn đường thẳng d1 , d2 , d3 , d4 cắt tạo th|nh hình bình h|nh ABCD Ta có: S ABCD S APRD S PRCB 2S XPR 2S YPR 2S M TRước tiên ta chứng minh rằng, nhờ phép tịnh tiến ta đưa lục gi{c cho lục gi{c có t}m trùng với t}m hình vng v| nằm hình vng cho Thật vậy, gọi O v| O tương ứng l| t}m hình vng v| lục gi{c Xét phép tịnh tiến theo vecto OO Lấy điểm M tùy ý nằm bên lục gi{c ( kể biên) Do tính chất đối xứng ta suy điểm N đối xứng với M qua O thuộc lục gi{c v| thuộc hình vng Gọi P l| điểm đối xứng N qua O P thuộc hình vng Qua phép tịnh tiến TOO điểm M biến th|nh trung điểm E MP thuộc hình vng Vậy phép tịnh tiến TOO biến lục gi{c cho th|nh lục gi{c có t}m O v| nằm hình vng cho Trở lại b|i to{n, ta cần xét lục gi{c có t}m trùng với t}m O hình vng Chia hình vng th|nh bốn phần c{c đường thẳng qua t}m v| song song với c{c cạnh Khi đó, tồn phần chứa hai đỉnh lục gi{c Giả sử hai đỉnh A ,B lục gi{c rơi v|o hình vuông nhỏ OXYZ Giả sử OA cắt XY C v| OB cắt YZ D http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! 140 Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp Đặt XOA ta có 1 1 , S OAB OA2 OC , OD2 2 16 cos cos 30 4 Vì hai góc v| 300 không vượt qu{ 150 nên S OAB max 150 Giả sử chọn m đường chéo thỏa mãn Ta quy ước đỉnh X n gi{c cho gọi l| có bậc k qua X có k đường chéo số m đường Gọi l| số đỉnh bậc i ta có : a1 a2 an n Suy ra, a1 a2 an n Xét đỉnh A bậc k k tủy ý Giả sử c{c đường chéo nối với A l| AA1 , AA2 , , AAk v| AA1 , AAk l| hai đường chéo ngo|i Khi đó, đường chéo qua Ai với i k không cắt AA1 không cắt AAk nên Ai có bậc với i k Như vậy, đỉnh không cắt AAk nên Ai có bậc với i k Như vậy, đỉnh bậc k với k nới với k đỉnh bậc Suy ra, a1 a3 2a4 3a5 n an Mặt kh{c, 2m a1 2a2 3a3 nan a1 a2 a3 an a3 2a4 n 2 an a1 a2 an 2n Suy m n http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! 141 Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp 10 Xét tất c{c ảnh H i , i I H qua c{c phép tịnh tiến với vectơ tịnh tiến có c{c tọa độ chẵn Ta chứng minh số có hai hình giao kh{c rỗng Thật vậy, giả sử c{c H i đôi giao rỗng Bao H hình tròn b{n kính R (R ngun) Với n , hình vng t}m O cạnh a n R có n 1 hình H i Suy : n 1 S 4n R Vì S nên bất đẳng thức với n Vậy phải có hai hình H i n|o có giao kh{c rỗng Giả sử H1 v| H có chung điểm A Gọi O1 O2 l| t}m đối xứng H1 , H v| M l| trung điểm O1 O2 Gọi B l| điểm đối xứng A qua M Ta có B SM A v| SM H1 H nên B H1 H Suy ra, M H1 H Vì M có tọa độ nguyên nên ảnh ngược điểm M phép tịnh tiến theo vectơ OO1 L| điểm N có tọa độ nguyên thuộc H Nhận xét : từ chứng minh ta có điêm N ' l| ảnh ngược điểm M phép tịnh Tiến theo vectơ OO2 thuộc H v| có tọa độ nguyên 11 Giả sử C1 , C2 , , Cn l| n hình tròn vẽ Ta biết tập hợp X X : X / C j Ci L| nửa mặt phẳng Si , bờ l| trục đẳng phương C v| C i j Suy c{c đa gi{c Di x{c định Di X H : X / C j X / C j , j i Thỏa mãn yêu cầu b|i to{n 12 Giả sử n hình tròn cho l| C1 , C2 , , Cn v| giả sử Ci có t}m l| Oi v| b{n kính L| ri Khi đó, để hình tròn C b{n kính r cắt hình tròn Ci hình tròn Si có t}m O i t}m C phải nằm v| b{n kính Ri r ri http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! 142 Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp Xét hình tròn Sm , S p , Sq số n hình tròn Si , i 1; n Do với ba hình tròn C , C , C m p q tồn hình tròn b{n kính r cắt ba hình tròn nên t}m hình tròn n|y thuộc ba hình tròn Sm , S p , Sq Điều có nghĩa k| ba hình tròn số n hình tròn Si , i 1; n có điểm chung Theo định lý Helly n hình tròn Si , i 1; n có điểm chung O Hình tròn C có t}m O , b{n kính r thỏa mãn yêu cầu b|i to{n 13 Trước tiên, ta nghiên cứu số trường hợp đặc biệt n Trường hợp n v| trường hợp n l| hiển nhiên Xét trường hợp n Trong ba điểm cho ta chọn hai điểm có khoảng c{ch lớn giả sử hai điểm l| A1 v| A2 Lấy A1 v| A2 l|m t}m vẽ hai đường tròn b{n kính R A1 A2 Gọi A, B l| giao điểm hai đường tròn vừa vẽ A3 nằm đường tròn ngoại tiếp tam gi{c AA1 A2 nằm đường tròn ngoại tiếp tam gi{c BA1 A2 Cả hai tam gi{c n|y l| tam gi{c có cạnh A1 A2 nên b{n kính đường tròn ngoại tiếp: R A1 A2 3 B}y xét n bất kỳ: Lấy Ai l|m t}m, vẽ đường tròn Ci b{n kính R ba đường tròn C p , Cq , Cr Xét số n đường tròn vừa vẽ Do Ap , Aq , Ar nên t}m đường tròn n|y nằm ba đường tròn C p , Cq , Cr Như vậy, ba đường tròn số n đường nằm đường tròn b{n kính R tròn Ci , i 1; n có điểm chung Theo định lý Helly n đường tròn có http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! 143 Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp điểm chung O Đường tròn t}m O , b{n kính R chứa to|n n điểm A1 , A2 , , An cho Bài tập tổng hợp Xét tập X 1;2; ;10 Tập A X gọi l| có tính chất T với x, y A ta có x y 11 Hỏi a) Số phần tử lớn tập A X có tính chất T l| bao nhiêu? b) Có tập A X có tính chất T Xét tập X 1;2;3; ;2009 Hỏi có c{ch chia tập X th|nh tập hợp kh{c rỗng cho tập khơng có hai phần tử liên tiếp n|o? Chứng minh rằng, với n ngun dương ln tồn số A có n chữ số, chia hết cho 2n v| biểu diễn thập ph}n A khơng có chữ số n|o Cho dãy c{c số a1 , a2 , , a99 0,1, 2, ,9 thỏa mãn: an an1 v| an an1 với n 1,98 chứng minh rằng, tồn k m cho ak am v| ak 1 am1 Xét tập hợp c{c số a0 , a1 , , an n 1 0;1 , i 0, n Hãy c{ch 2n1 theo thứ tự 0 1 2n1 Sao cho i1 kh{c i tọa đọ Tập hợp A gọi l| có tính chất T A có khơng phần tử v| với a, b, c, d ph}n biệt thuộc A ta có ab cd A a) Hãy tập A gồm phần tử v| có tính chất T b) Hỏi có hay khơng tập A 0; gồm phần tử v| có tính chất T Với số nguyên dương n , kí hiệu S n l| dãy số nguyên n1 n2 nk cho 2n1 2n2 2nk n Chứng minh S 2n 2n Cho đa gi{c lồi 12 cạnh A1 A2 A2009 Với điểm X ta S X XA1 XA2 XA2009 Hỏi có hay khơng hai điểm P, Q nằm đa gi{c cho cho PQ v| S P S Q 2007 http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! 144 kí hiệu Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp Trên mặt phẳng cho 2009 điểm, khơng có ba điểm n|o thẳng h|ng v| tổng độ d|i c{c đoạn thẳng nối hai điểm teong c{c điểm cho 2008 Chứng minh a) Tồn đường gấp khúc kín nối 2009 điểm cho v| có độ d|i không vượt qu{ b) Tồn đường tròn có đường kính v| chứa to|n 2009 điểm cho 10 Cho m, n Chứng minh rằng, ta viết bảng m n số phương cho c{c số bảng đôi kh{c v| tổng c{c số h|ng v| cột l| số phương 11 Trong c{c ô bảng ô vuông n n, n * ta viết, số nguyên cho hai có chung cạnh hai số hai khơng qu{ đơn vị chứng minh rằng, có số xuất bảng khơng n lần 12 Cho c{c số a1 , a2 , , a2002 ; b1 , b2 , , b2003 v| c{c số dương p1 , p2 , , p2002 ; q1 , q2 , , q2003 Lập bảng 2002 2003 , ô i, j ta đặt số b j pi q j Chứng minh rằng, tồn số bảng cho số n|y không nhỏ số n|o đứng h|ng với v| khơng lớn số n|o đứng cột với 13 Trong số ô bảng n m, m n ta đặt dấu * cho mooic cột có dấu * Chứng minh rằng, có dấu * m| số dấu * dòng chứa nhiều số dấu * cột chứa 14 Xét bảng vng n n Trong ô giao h|ng thứ i v| cột thứ j ta viết số aij b j cho tích c{c số c{c cột Chứng minh tích c{c số c{c h|ng 15 Cho n Xét bảng n n , ô bảng ta viết số thực cho chọn n số x1 , x2 , , xn m| hai số n|o thuộc h|ng v| hai số n|o thuộc cột tổng x1 x2 xn không đổi Từ h|ng ta lấy số lớn Gọi m l| số nhỏ c{c số Từ cột ta lấy số nhỏ Gọi M l| số lớn c{c số Chứng minh M m 16 Xét góc phần tư thứ hệ trục tọa độ (kể biên) Một ch}u chấu nhảy góc theo nguyên tắc sau: từ điểm M x; y nhảy đén điểm N x 5; y P x 1; y 1 N , P góc phần tư thứ x{c định vùng giới hạn điểm ban đầu M x0 ; y0 cho chấu chấu nhảy xa c{ch gốc tọa độ khoảng lớn 1000 Hãy vẽ miền n|y v| tính diện tích http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! 145 Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp 17 Xét b|n cờ n n với n l| số nguyên dương, n Hỏi mã muốn từ góc tới góc đối diện cần bước? 18 Hai người lu}n phiên viết c{c số v|o c{c ô bảng 1993 1994 Giả sử An v| Bn tương ứng l| c{c gi{ trị lớn tổng ccas số thuộc h|ng v| gi{ trị lớn tổng c{c số thuộc cột người thứ thắng An Bn Hỏi có chiến lược thắng? 19 Hai người chơi trò chơi sau: bảng cho trước số nguyên dương n0 Người thứ phép viết lên bảng số n1 cho n0 n1 n12 , người thứ hai phép viết lên bảng số n2 cho tỉ số v| s * n1 có dạng p s , p l| số nguyên tố n2 Sau thay gi{ trị n0 n2 v| trò chơi lại tiếp tục người thứ thắng viết số 2001 v| người thứ hai thắng viết số Giả thiết hai người chơi giỏi, hỏi l| người chiến thắng? 20 Hai bạn A v| B chơi trò chơi sau với c{c số nguyên dương: Nếu tay bạn n|o có số n bạn chuyển cho bạn lại số n tổng n với ước thực n Bạn n|o chuyển số n 2006 v|o tay đối phương thắng giả sử hai bạn thông minh v| ban đầu ta trao v|o tay A số a , hỏi bạn n|o thắng? 21 Trên mặt phẳng cho 2n điểm hai người lu}n phiên đ{nh dấu c{c điểm n|y Người thắng l| người có tổng tất c{c khoảng c{ch c{c điểm đ{nh dấu lớn Giả thiết c{c tổng nói ph}n biệt, hỏi l| người có chiến lược thắng? 22 Trên bảng cho dãy số 1;2;3; ;2008 Hai người đặt trước số dấu số chưa đặt dấu (số đặt dấu chọn tùy ý) Mục tiêu người thứ l| kết nhận có gi{ trị tuyệt đối nhỏ mục tiêu người thứ hai l| kết nhận có gi{ trị tuyệt đối lớn với c{ch chơi T , kí hiệu S T l| gi{ trị tuyệt đối tổng nhận chứng minh tồn c{ch chơi T0 cho a) Người thứ có chiến lược chơi để S T S T0 b) Người thứ hai có chiến lược chơi để S T S T0 23 Cho n l| số nguyên dương lẻ cho phép đặt v|o ô bảng n n khơng qu{ viên đ{ Tìm số nhỏ c{c viên đ{ m| ta phải đặt cho với ô trống, tổng số viên đ{ h|ng v| cột chứa khơng nhỏ n http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! 146 Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp 24 Trên mặt phẳng cho 21 điểm ph}n biệt A1 , A2 , , A21 , điểm tô m|u: xanh, đỏ, v|ng Biết rằng, m|u có khơng điểm tơ a) Tìm số lớn c{c cặp điểm m|u b) Chứng minh tồn ba điểm kh{c m|u Am , An v| Ap cho m n p 25 Cho n l| số nguyên dương Xét tập S 1; 2;3; ; n Hãy x{c định số tập T S cho khơng có hai phần tử a, b n|o T m| a b 1; n 26 Trên mặt phẳng có người A, B, C, X , Y , Z chuyển động thẳng với vận tốc không đổi Biết A gặp C v| Y lúc; B gặp A v| Z lúc; C gặp B v| X lúc; A gặp X (trung điểm) đoạn đường m| A gặp B v| C lúc; B gặp Y đoạn đường m| B gặp C v| A ; C gặp Z đoạn đường m| C gặp A v| B Chứng minh rằng, X , Y , Z gặp lúc 27 Có toa t|u biển, chuyển động thẳng v| chuyển động với vận tốc kh{c Trời mưa bão, c{c t|u liên lạc T|u nhận tín hiệu từ đ|i huy đất liền t|u đêu gặp nạn, t|u va chạm với t|u kh{c lần Giả sử sau va chạm c{c t|u chuyển động cũ Biết t|u va phải t|u kh{c Chứng minh rằng, t|u va chạm với t|u 28 Trong thi hoa hậu, gi{m khảo đề nghị 10 thí sinh v|o vòng chung kết nhóm thí sinh gọi l| chấp nhận gi{m khảo A nhóm có thí sinh m| gi{m khảo A đề nghị Biết rằng, với gi{m khảo tồn nhóm gồm thí sinh l| nhóm chấp nhận gi{m khảo Chứng minh rằng, tồn nhóm gồm 10 thí sinh l| nhóm chấp nhận th|nh viên ban gi{m kh{o 29 Trong nước có n th|nh phố, c{c th|nh phố đến c{ch tùy ý Biết chuyến c{c th|nh phố có gi{ tiền cụ thể (cho tuyến đường) Người ta lập hai h|nh trình để qua c{c th|nh phố, h|nh trình th|nh phố qua lần lập h|nh trình thứ ta theo quy tắc: điểm xuất ph{t chọn tùy ý, bước tiếp theo, c{c th|nh phố chưa qua ta chọn th|nh phố m| gi{ tiền đến (từ th|nh phố trước đó) l| rẻ (nếu có nhiều ta chọn th|nh phố bất kì) Trong h|nh trình thứ hai, bước tiếp theo, c{c th|nh phố chưa qua ta chọn th|nh phố m| gi{ tiền đến l| đắt Chứng minh rằng, tổng gi{ tiền to|n h|nh trình thứ khơng nhiều tổng gi{ tiền to|n h|nh trình thứ hai 30 Trên mặt phẳng tọa độ cho hình vng với c{c cạnh l| c{c đường lưới chia hình vng th|nh 64 phần c{c đường thẳng song song với c{c trục tọa http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! 147 Tài liệu độc, lạ có http://topdoc.vn => Truy cập http://topdoc.vn để tải file word đầy đủ Chuyên đề Đại số Tổ hợp độ Chứng minh c{c hình vng nhận có hình vng cho hình vng n|y khơng có điểm M x; y n|o m| c{c tọa độ thỏa mãn: x at bt ct d , y At Bt Ct D , Trong a, b, c, d , A, B, C, D l| c{c số thực cho trước v| t http://topdoc.vn - Sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, file word! 148 ... chuyên đề Hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi THPT ; Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT ; Một số chuyên đề Toán Tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi THPT ; Một số chuyên đề Giải... Giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT ; Một số chun đề Hình học khơng gian bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Cuốn s{ch Một số chuyên đề Toán Tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi THPT gồm 10 chuyên đề để giảng... B|i tập tổng hợp C{c chuyên đề c{c t{c giả sử dụng để giảng dạy chuyên đề cho học sinh lớp 10 to{n v| bồi dưỡng cho đội tuyển to{n Trường THPT Chuyên Đại học Sư Phạm năm Trong chuyên đề, nhắc