Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý THCS Phương pháp cộng vận tốc trong các bài toán cực trị chuyển động

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý THCS Phương pháp cộng vận tốc trong các bài toán cực trị chuyển động Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý THCS Phương pháp cộng vận tốc trong các bài toán cực trị chuyển động Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý THCS Phương pháp cộng vận tốc trong các bài toán cực trị chuyển động

PHƯƠNG PHÁP CỘNG VẬN TỐC TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA CHUYỂN ĐỘNG – VẬT LÍ THCS

1.1.Tính tương đối của toạ độ: Đối với các hệ quy chiếu khác nhau thì toạ độ

khác nhau

1.2 Tính tương đối của vận tốc: Vận tốc của cùng một vật trong các hệ quy

chiếu khác nhau thì khác nhau

- Công thức cộng vận tốc

v13 v12 v23





13

v 

: vận tốc vật 1 đối với vật 3( vận tốc tuyệt đối)

12

v 

: vận tốc vật 1 đối với vật 2(vận tốc tương đối)

23

v

: vận tốc vật 2 đối với vật 3(vận tốc kéo theo)

32 23

21 12

31 13

v v

v v

v v

























1.3 Hệ quả:

- Nếu v12, v13

cùng phương ,cùng chiều thì độ lớn: v13  v12  v23

- Nếu v12, v13

cùng phương, ngược chiều thì độ lớn: v13 v12v23

- Nếu v12, v13

vuông góc với nhau thì độ lớn: 232

2 12

- Nếu v 12, v 13

tạo với nhau một góc  thì độ lớn: v13  v122 v232 2v12v23cos

2 Kiến thức toán học:

2.1 Định lí Pitago:

BC AB AC

2.2 Hàm số lượng giác của góc nhọn:

(H-1)

B

C

A

Theo (H-1):

(1)

2.3 Định lý hàm Sin:

Cho ∆ ABC bất kỳ ta có:

in

S ASinB  SinC (2)

2.4 Định lý hàm Cos :

Cho ABCbất kỳ ta có:

2 cos

2 cos

2 cos

  

  

  

(3) 2.5 Công thức cộng góc:

Sin Sin Cos Cos Sin

2.6 Hàm số lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:

Ví dụ: Sin( 900   ) Cos với 0

90



 



II Nội dung bài tập:

1.1 Các bài tập ví dụ:

Bài 1:(Bài tập lí thuyết)

Hai chất điểm chuyển động trên hai đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau, tốc độ lần lượt là v1 và v2( Hình vẽ)

a Vẽ vẽ véc tơ vận tốc của chất điểm 1 so với

chất điểm 2

1

v

2

v

A

B

(H-2)

B

C

A

b Biểu diễn trên cùng một hình vẽ khoảng cách ngắn nhất giữa hai chất điểm trong quá trình chuyển động

Giải:

Xét chuyển động tương đối của vật 1 so với

vật 2, ta có:

2 1 2

1

v         

Đoạn BH vuông góc với đường thẳng

chứa véc tơ vận tốc v12

chính là khoảng cách ngắn nhất giữa hai chất điểm

Bài 2:

Từ hai bến A, B trên cùng 1 bờ sông có

hai ca nô cùng khởi hành Khi nước sông

không chảy do sức đẩy của động cơ chiếc ca

nô từ A chạy song song với bờ theo chiều từ

A B có V1 = 24km/h Còn chiếc ca nô chạy từ B vuông góc với bờ có vận tốc 18km/h Quãng đường AB là 1km Hỏi khoảng cách nhỏ nhất giữa hai ca nô trong quá trình chuyển động là bao nhiêu nếu nước chảy từ A  B với V3 = 6km/h (sức đẩy của các động cơ không đổi) (Trích đề thi chuyên lý vào)

Giải

Do dòng nước chảy từ từ A B với

vận tốc là 6km/h nên khi canô 1 chuyển động H

xuôi dòng vận tốc của nó là : V21 V2 V’2

Vx = V1 + V3 = 24 + 6 = 30km/h

V1

V2

đẩy ta có hướng của vận tốc '

2

V như hình vẽ

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông B '

2

V V3 ta được :

2

'

2

V = 2

3

2

V  = 182 + 62 = 6 10km/h

Ta áp dụng tính tương đối của vận tốc cho bài toán này Canô 1 đi từ AB

với vận tốc Vx nhưng ta tưởng tượng rằng coi như canô 1 đứng yên và điểm B

chuyển động với vận tốc V'

X với V'

X = Vx còn hướng của V'

X ngược chiều với Vx

Do đó canô 2 mặc dù chuyển động theo hướng '

2

V nhưng khi chọn mốc là canô1 thì hướng chuyển động của canô lúc này là V21 hợp với AB góc  Từ đây dễ

dàng suy ra khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 canô có độ lớn bằng độ dài của đoạn

AH V21

Ta sẽ tính AH trong tam giác vuông AHB

Có Sin =

AB

AH

 AH = AB Sin (1) Mặt khác xét trong tam giácvuông BV2V21

Có :V2

21= V22 (V X' V3) 2

= 182 + (30 – 6)2 = 900

 V21 = 30km/h

Và Sin

21

2

V

V



30

18  (2)

Thế (2) vào (1) ta được AH = AB.sin = 1.0,6 = 0,6(km)

Vậy khoảng cách nhỏ nhất của 2 canô trong quá trình chuyển động trên là

0,6km

Nhận xét: Bài này cũng giống bài 1 tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 vật

trong quá trình chuyển động Tuy nhiên cách giải hoàn toàn khác nhau Về bản

chất thì cùng giống nhau về hiện tượng đó khoảng cách của 2 vật bị thay đổi

theo thời gian Đối với bài 1 ta lập biểu thức d (khoảng cách của 2 vật) là 1 hàm

của thời gian t sau đó từ d = f(t) ta tìm được giá trị nhỏ nhất Còn bài 3 ta cũng

có thể giải theo bài 1 nhưng ở đây tôi đưa ra cách giải này để học sinh tham

khảo Cách giải bài này là một sự kết hợp giữa tính tương đối của vận tốc và

hình học Đó là vật 1 chuyển động nhưng ta coi là đứng yên do đó vật 2 sẽ

chuyển động so với vật, 1 còn khoảng cách ngắn nhất giữa hai 2 vật thì dựa vào

hình học phải là đoạn thẳng vuông góc với hướng chuyển động của vật 2

Bài 3:

Hai xe chuyển động trên hai đường vuông góc với nhau, xe A đi về hướng tây với tốc độ 50km/h, xe B đi về hướng Nam với tốc độ 30km/h Vào một thời điểm nào đó xe A và B còn cách giao điểm của hai đường lần lượt 4,4km và 4km và đang tiến về phía giao điểm Tìm khoảng cách ngắn nhất giũa hai xe

Giải

Xét chuyển động tương đối của vật 1 so

với vật 2, ta có:

2 1 2

1

v    











Đoạn BH vuông góc với đường thẳng chứa

véc tơ vận tốc v12

chính là khoảng cách ngắn nhất giữa hai xe  dmin= BH

tan

5

3

1

2 



v

v

31 ,



dmin= BH = BI sin = (BO - OI) sin = (BO - OA.tan).sin = 1,166(km)

Bài 4.( đề thi HSG Nghệ An 2005-2006, bảng B )

Hai vật chuyển động trên hai đường đường thẳng vuông góc với nhau với tốc độ không đổi có giá trị lần lượt v1= 30km/h, v2= 20km/h Tại thời điểm khoàng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật 1 cách giao điểm s1=500m Hỏi lúc đó vật 2 cách giao điểm trên đoạn s2 bằng bao nhiêu

Giải:

Xét chuyển động tương đối của vật 1 so với vật 2, ta có:

2 1 2

1

v    











-Tại A cách O đoạn s1=500m dựng véc tơ

1

v và véc tơ -v2, và v12 Kẻ đường AB

vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ

12

v ( Theo đề bài đây là khoảng cách ngắn

nhất dmin= AB)

tan =

3

2

2

1 

v

v

tan

0

m A





Bài 5:

Hai tàu chuyển động đều với tốc độ như nhau trên hai đường hợp với

60



tiến về phía giao điểm O Xác

định khoảng cách nhỏ nhất giữa

hai tàu Cho biết lúc đầu hai tàu

cách giao điểm O những khoảng

l1=20km, l2=30km

Giải:

Xét chuyển động tương đối của

vật 1 so 2 ta có:

2 1 2

1

v         

dmin= BH, OAK là tam giác đều (vì tốc độ hai tàu như nhau)

 dmin=KB.sin

KB = l2 - l1  dmin= 5 3(km)

Bài 6:

Hai vật chuyển động thẳng đều trên hai đường thẳng tạo với nhau một góc

 =300 với tốc độ

3

1 2

v

v  và đang hướng về phía giao điểm, tại thời điểm khoảng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật 1 cách giao điểm một đoạn d1=

30 3m Hỏi vật 2 cách giao điểm một đoạn bao nhiêu?

Giải:

Xét chuyển động tương đối của vật 1

so 2 ta có

2 1 2

1

v         

BA v12

 , dmin = AB

Vì

3

1

2

v

30



 



AH = AO.sin300 = d1.sin300 =15 3 (m)

HO = d1.cos300 = 45 (m)

30

Bài 7:

Có hai vật M1 và M2 lúc đầu

cách nhau một khoảng l =2m (Hình

vẽ), cùng lúc hai vật chuyển động

thẳng đều M1 chạy về B với tốc độ

v1=10m/s, M2 chạy về C với tốc độ v2=5m/s Tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai vật và thời gian để đạt được khoảng cách này Biết góc tạo bởi hai đường

0

45



Giải:

Xét chuyển động tương đối của vật 1 so vật 2, ta có:

2 1 2

1

v         

dmin= AH = AB.sin

v21= v12 v22  2v1v2cos( 1800   ) 

 cos

2 1 2

2

2

2

v  

- Áp dụng định lí hàm sin, ta có:





 sin( 180 ) sin

BN BN

BM







12

2 12

2

sin sin

v v

v























 cos 2

sin

2 1 2 2 2

1

2 min

v v v v

lv

12

2 min 2

d l v

BH

Bài 8:

Ở một đoạn sông thẳng có dòng nước chãy

với vận tốc vo, một người từ vị trí A ở bờ sông

bên này muốn chèo thuyền tới B ở bờ sông bên

kia Cho AC; CB = a Tính vận tốc nhỏ nhất của

thuyền so với nước mà người này phải chèo để

có thể tới B

Giải:

Ta có v1 vo v12 Ta biểu diễn các véc tơ vận tốc trên hình vẽ

Vì vo không đổi nên v12 nhỏ nhất khi v12 v1

V12= vo.sin =

2 2 0

b a

b v



*/ Nhận xét:

Các bài toán trên hoàn toàn có thể giải theo cách thiết lập phương trình, rồi sau đó lí luận theo hàm bậc hai về mặt toán học, tuy nhiên lời giải khá dài hơn!

Bài 9:

Một ô tô chuyển động thẳng đều với vận

tốc v1 = 54km/h Một hành khách cách ô tô đoạn

a = 400m và cách đường đoạn d = 80m, muốn

đón ô tô Hỏi người ấy phải chạy theo hướng

nào, với vận tốc nhỏ nhất là bao nhiêu để đón

được ô tô?

Giải:

Xét chuyển động tương đối của vật 2 so

vật 1, ta có:

1 2 1

2

v    











Để 2 gặp được 1 thì v21

phải luôn có hướng AB

Véc tơ vận tốc v2

có ngọn luôn nằm trên đường

Xy // AB. v2

khi v2

xy , tức là v2

AB

Tính chất đồng dạng của tam giác: DAB và AHD , ta có:

h km a

d v v

a

v

d

v

/ 8 , 10

1 2

1

* Nhận xét : Ở bài toán này học sinh phải lập được biểu thức tính vận tốc của

người chạy để đón ô tô Sau đó dựa vào biểu thức để tìm giá trị nhỏ nhất của vận tốc

Bài 10:

Hai tàu A và B ban đầu cách nhau một khoảng l

Chúng chuyển động cùng một lúc với các vận tốc có độ lớn

lần lượt là v1, v2 Tàu A chuyển động theo hướng AC tạo

với AB góc  (hình vẽ)

a Hỏi tàu B phải đi theo hướng nào để có thể gặp tàu A

Sau bao lâu kể từ lúc chúng ở các vị trí A và B thì hai tàu

gặp nhau?

b Muốn hai tàu gặp nhau ở H (BH vuông góc với v1) thì các độ lớn vận tốc

v1, v2 phải thỏa mản điều kiện gì?

Giải:

a Tàu B chuyển động với vận tốc v2 hợp với BA góc

- Hai tàu gặp nhau tại M Ta có AM = v1.t, BM = v2.t

- Trong tam giác ABM:

+



 sin

sin

BM



 sin sin

2

1t v t

v 

 sin = sin 

2

1

v

v

(1)

A

C

B

H

1

v







A

M

B

H

1

v

1

v

2

v

21

v

-v 1

- Tàu B phải chạy theo hướng hợp với BA một góc  thỏa mãn (1)

- Cos = cos[1800 – (   )] = - cos(   ) = sin  sin   cos  cos 

- Gọi vận tốc của tàu B đối với tàu A là v21 Tại thời điểm ban đầu v21 cùng phương chiều với BA Theo công thức cộng vận tốc:

1 2 13 23

v    

=> v212 v22 v12 2v2v1cos 

=> v212 v22(sin2  cos2 ) v12(sin2  cos2 )  2v1v2(sin  sin   cos  cos  )

1 2 2 1 2

2

2

sin

sin sin 2

sin v    v v  v )+( 2

1 2 2 1 2

2 2

cos

cos cos 2 cos v   v v  v )

1

2 sin )

.

sin v  v +( 2

1

2 cos )

cos v  v

1

2 cos )

.

cos  v  v ( theo (1) )

=> v 21 = v1 cos  v2cos 

Vậy thời gian để tàu B chuyển động đến gặp tàu A là:

t =



1

l v

AB





b Để 2 tàu gặp nhau ở H thì:













   900   900  sin  sin( 900 )  cos

Theo (1) ta có:

1 2 2

1

tan sin

cos

v

v v



Bài 11:

Hai người bơi xuất phát từ A trên bờ một cón sông và phải đạt tới điểm B

ở bờ bên kia nằm đối diện với điểm A Muốn vậy, người thứ nhất bơi để chuyển động được theo đúng đường thẳng AB, còn người thứ hai luôn bơi theo hướng vuông góc với với dòng chảy, rồi đến bờ bên kia tại C, sau đó chạy ngược tới A

với vận tốc u Tính giá trị u để hai người tới A cùng lúc Biết vận tốc nước chảy

vo=2km/h, vận tốc của mỗi người bơi đối với nước là v’=2,5km/h

Giải:

*Xét người thứ nhất:

-Vận tốc của người đối với bờ:

0

1 v' v

v  



0 2 ' 2 1 0

v     

Thời gian người thứ nhất đến B là:

t1=

2 0 2 1

AB v

AB





*Xét người thứ hai:

Vận tốc của người thứ hai đối với bờ

0

2 v' v

v  



0 2 2 2

v     

Thời gian đến C là t20=

 cos

2

AB v

AC

'

v AB

Thời gian chạy trên bờ: t’20=

u v

AB v u

t v u

BC

'.

.20 0



Theo đề bài t1= t20+t’20

u v

AB v v

AB v

v

AB

'.

' '

0 2

0





h km v

v

v

v v

v

2 5 , 2 5 , 2

2 5 , 2 2 '

'

'

2 2

2 2 2

0 2

2 0 2



















Bài 12:

Một người đứng ở A cách đường quốc lộ h=100m nhìn thấy một xe ô tô vừa đến B cách mình d=500m đang chạy trên đường với vận tốc v1=50km/h

(hình vẽ) Đúng lúc nhìn thấy xe thì người ấy chạy theo hướng AC (BAC ) với vận tốc v2

a Biết

3

20

2 

b  bằng bao nhiêu thì v2 cực tiểu? Tính vận tốc cực tiểu đó

Giải:

Gọi t là thời gian để ô tô và người đi đến C Ta có:

2 ; BC = v t 1

Theo định lý hàm sin có:

Mặt khác: sin h (2)

d

 

2

sin

.

v h

v d

2

1 2

sin sin (1)

v v

A

2

v

C

H

B

h

d

1

v

∝

β

b Từ (3) => 2 1

(*) sin

v h v

1, h, d không đổi nên v2 min khi

0 90 1

sin     

Lúc đó: 2(min) 1

.

10 /

h v

h

1.2 Bài tập vận dụng:

Bài 1:

Một người A đi xe đạp trên đường

thẳng Ox theo chiều từ trái sang phải,

xuất phát từ M cách O là OM=800m, với

vận tốc không đổi V=4,2m/s Một người

B đi bộ trên cánh đồng xuất phát từ điểm H cách O là OH=173,2m( 100 3 )  m

vận tốc không đổi v=1,2m/s theo một đường thẳng HN để gặp được A tại N Hãy xác định vị trí của N nếu 2 người đến cùng một lúc

Đáp số: N cách O là 242,2m

Bài 2:

Một người đứng cách con đường thẳng một khoảng h Trên đường một ô

tô đang chạy với vận tốc v1 Khi người ấy thấy xe cách mình một khoảng a thì bắt đầu chạy ra đường để đón ô tô

a Nếu vận tốc chạy của của người ấy là v2 thì người ấy phải chạy theo hướng nào để gặp được ô tô

b Tính vận tốc tối thiểu và hướng chạy của người để gặp được ô tô

Áp dụng: v 1 =10m/s; h=50m; a=200m; v 2 =3m/s

Đáp số: a Vậy người chạy theo hướng vuông góc với AB

M

H

∝

b v2min h v1 2,5 /m s

a

Bài 3:

Trong hệ trục toạ độ xOy (như hình

vẽ), có hai vật nhỏ A và B chuyển động thẳng

đều Lúc bắt đầu chuyển động, vật A cách vật

B một đoạn L=100m Biết vận tốc của vật A

là v1=10m/s theo hướng Ox, vận tốc của vật B

là v2=15m/s theo hướng Oy

a Sau thời gian bao lâu kể từ lúc bắt đầu

chuyển động, hai vật A và B lại cách nhau 100m

b Xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật A và B

Đáp số: a Sau 9,23 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động

b.Smin 55,47(m) 

Bài 4:

Từ điểm O trên bờ một con sông rộng OA=0,5km,

một người muốn đi tới điểm A đối diện bên kia sông bằng

cách đi thuyền từ O đến B rồi đi bộ từ B về A (Hình 1)

Vận tốc của thuyền đối với nước là v1=3km/h, vận tốc của

nước đối với bờ sông là v2=2km/h, vận tốc đi bộ trên bờ là v=5km/h Tìm độ dài

BA để thời gian chuyển động là ngắn nhất và tính thời gian ngắn nhất đó

Đáp số: min 10( )

15

t  h và min 125 10 132( )

3

Bài 5: ( Kỳ thi chọn HS giỏi NH 06-07, vật lí 9)

x

y

A

O

1

v

B

2

v

O

Hình 1

Một ghe máy có vận tốc khi nước yên lặng là 6km/h đi xuôi dòng từ bến

A đến bến B cách nhau 12km Cùng lúc đó có một thuyền máy ngược dòng từ B đến A, vận tốc thuyền máy khi nước yên lặng là 10km/h, sau khi gặp nhau chúng quay lại và trở về bến xuất phát của mình Hỏi rằng vận tốc của dòng chảy ít nhất là bao nhiêu để cho ghe máy về lại bến A không sớm hơn một giờ sau khi thuyền máy về đến bến B

PHẦN III – KẾT LUẬN

Trong các bài toán mà tôi nêu trên, có thể có nhiều cách giải khác, tuy nhiên khi áp dụng công thức cộng vận tốc để giải thì bài giải khá ngắn gọn, đơn giản hơn Tất nhiên trong một số bài cụ thể thì cần kết hợp các phương pháp khác

Đề tài này tôi đã tiến hành thử nghiệm trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh ở lớp 8,9, đối tượng là học sinh khá, giỏi, kết quả cho thấy tương đối khả quan, hầu như các các em đều biêt vận dụng giải và thu được kết quả nhanh Vì vậy đề tài này theo tôi là có tính khả thi

Trong khi viết chuyên đề không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong các bạn đồng nghiệp đóng góp thêm các ý kiến đê chuyên đề hoàn thiện và có hiệu quả hơn Tôi xin chân thành cám ơn!

Người thực hiện:

Triệu Như Vũ