Lớp các hàm đơn điệu từng khúc và các bài toán cực trị liên quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNÔNG TRUNG HIẾU LỚP CÁC HÀM ĐƠN ĐIỆU TỪNG KHÚC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS... Mở đầuT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NÔNG TRUNG HIẾU

LỚP CÁC HÀM ĐƠN ĐIỆU TỪNG KHÚC

VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NÔNG TRUNG HIẾU

LỚP CÁC HÀM ĐƠN ĐIỆU TỪNG KHÚC

VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Mã số 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

Mục lục

1 Một số kiến thức bổ trợ về hàm số 3

1.1 Lớp hàm đồng biến, nghịch biến 3

1.2 Lớp hàm tựa đồng biến, tựa nghịch biến 11

1.3 Cực trị của hàm số 13

1.4 Ví dụ 17

2 Phép đơn điệu hoá hàm số và bài toán cực trị 23 2.1 Phương pháp xây dựng các hàm đơn điệu từ các hàm đã biết 23

2.2 Một số dạng toán cực trị với bộ điểm biến thiên 30

2.2.1 Các hàm số sơ cấp 31

2.2.2 Một số lớp hàm tuần hoàn 36

2.2.3 Tổ hợp 38

2.3 Bài tập áp dụng 40

3 Một số áp dụng của hàm đơn điệu trong đại số và lượng giác 42 3.1 Chứng minh bất đẳng thức 42

3.2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 48

3.3 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và hệ phương trình 55

3.4 Bài tập áp dụng 60

I(a, b): Tập con của R nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp

(a, b), [a, b), (a, b], [a, b]

max f (x): Giá trị lớn nhất của hàm số f (x)

min f (x): Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x)

∀ : Với mọi

C n k: Tổ hợp chập k củan phần tử với k, n ∈Z, 06k 6n

AM-GM: Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân.HSG: Học sinh giỏi

Mở đầu

Trong chương trình toán học bậc trung học phổ thông, học sinh đã được họckhái niệm hàm số và xét đến các tính chất cơ bản của hàm số như tính đơnđiệu, tính đồng biến nghịch biến, tính liên tục và gián đoạn, tính lồi lõm, tínhtuần hoàn, tính chẵn lẻ,

Phần lớn học sinh bậc phổ thông đã được làm quen với các định nghĩa, cáctính chất đơn giản của hàm số như xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

để chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

số, giải và biện luận phương trình, hệ phương trình mà chưa nghiên cứu sâu vềcác vấn đề trên Trong luận văn này, tác giả được thầy hướng dẫn giao nhiệm

vụ khảo sát lớp hàm đơn điệu từng khúc và các bài toán cực trị liên quan Vớimong muốn của tác giả sẽ đóng góp một phần nhỏ trong việc giảng dạy toán ởbậc trung học phổ thông, đặc biệt là việc bồi dưỡng cho học sinh giỏi toán.Luận văn chia làm ba chương

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ về hàm số

Trong chương 1, luận văn trình bày các khái niệm về hàm đơn điệu, hàm tựađơn điệu, cực trị của hàm số và ví dụ minh họa cho khái niệm hàm đơn điệu.Chương 2 Phép đơn điệu hóa hàm số và bài toán cực trị

Chương 2 trình bày phương pháp xây dựng hàm đơn điệu và bài toán cựctrị với bộ điểm biến thiên của một số nhóm hàm số cụ thể như: Các hàm số sơcấp, hàm tuần hoàn, tổ hợp

Chương 3 Một số áp dụng của hàm đơn điệu trong đại số và lượng giác.Trong chương này, tác giả nêu ra một số ứng dụng quan trọng của hàm đơnđiệu thường dùng trong chương trình toán phổ thông như: Chứng minh bất đẳngthức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, giải phương trình và

hệ phương trình

Trong thời gian thực hiện đề tài này, tác giả đã nhận được sự chỉ dẫn tậntình chu đáo của thầy - GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Thông qua luận văn này,tác giả xin chân thành cảm ơn và trân trọng những công lao mà thầy NguyễnVăn Mậu đã giúp đỡ hoàn thành đề tài này.

Tác giả chân thành biêt ơn các thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng Đàotạo, khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên; Sở Giáodục và Đào tạo Lạng Sơn; Ban giám hiệu và các thầy cô trong tổ Toán TrườngTHPT Việt Bắc đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập

và làm đề tài

Thái Nguyên, ngày 8 tháng 4 năm 2014

Tác giả

thì f (x) là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên I(a, b).

Những hàm số đơn điệu tăng thực sự trên I(a, b) được gọi là hàm đồng biếntrên I(a, b) và hàm số đơn điệu giảm thực sự trên I(a, b) được gọi là hàm nghịchbiến trên tập đó

Trong chương trình giải tích, chúng ta đã biết đến các tiêu chuẩn để nhậnbiết khi nào một hàm số khả vi cho trước trên khoảng (a, b) là một hàm đơnđiệu trên khoảng đó

Định lí 1.1 ([1], [3]) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a, b)

(i) Nếu f ′ (x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì hàm số f (x) đồng biến trên khoảng đó

(ii) Nếu f ′ (x) < 0 với mọi x ∈ (a, b) thì hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng đó

Chứng minh Lấy tùy ý x1, x2 ∈ (a, b) với x1 < x2, theo định lý Lagrange thì

f (x2)− f(x1) = f ′ (c).(x

2− x1 )

(i)Nếu f ′ (x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f ′ (c) > 0 Do x

2− x1 > 0 nên f (x2) > f (x1)

hay f (x) là hàm đồng biến trên (a, b)

(ii) Tương tự, nếu f ′ (x) < 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f (x) nghịch biến trên (a, b).Các định lý sau đây cho ta một số đặc trưng đơn giản khác của hàm đơn điệu

Định lí 1.2 ([1], [3]) Hàm f (x) xác định trênR+ là một hàm số đơn điệu tăngkhi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương a1, a2, , a n và x1, x2, , x n, ta đều có

x k

)

, j = 1, 2, , n. (1.2)

Lấy tổng theo j(j = 1, 2, , n), từ (1.2) ta thu được (1.1)

Ngược lại, với n = 2, từ(1.1), ta có

x k

)

(1.4)hiển nhiên được thỏa mãn ứng với g(x) là một hàm số đơn điệu tăng trên R+

Hệ quả 1.1 ([1, tr 58) Giả sửg(x) := f (x)

x là hàm đơn điệu tăng trong[0, + ∞).

Khi đó, với mọi dãy số dương và giảm x1, x2, , x n, ta đều có

f (x1− x2) + f (x2− x3) + + f (x n−1 − x n)6f (x1− x n ),

điều phải chứng minh

Nhận xét rằng, (1.4) không là điều kiện cần để g(x) là một hàm đồng biến.Thật vậy, chỉ cần chọn hàm g(x) có tính chất

0 < g(x) ∈ C(R+ ) với mọi x ∈R+ và max g(x) 62 min g(x),

ta dễ dàng kiểm chứng rằng (1.4) được thỏa mãn Chẳng hạn, ta lấy hàm số

g(x) = 3 + sin x, x ∈R+,thỏa mãn điều kiện nêu trên và vì vậy nó thỏa mãn điều kiện (1.4) Tuy nhiên,hàm g(x) không là hàm đơn điệu tăng trên R+

Nếu bổ sung thêm điều kiện: g(x) := f (x)

x k

)

.

Tương tự, ta cũng có thể phát biểu các đặc trưng đối với hàm đơn điệu giảm

Định lí 1.4 ([1, tr 58]) Hàm f (x) xác định trên R+ là một hàm số đơn điệugiảm khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương a1, a2, , a n và x1, x2, , x n, ta đềucó

x k

)

được thỏa mãn với mọi bộ số dươngx1, x2, , x n, điều kiện đủ là hàmg(x) := f (x)

x

đơn điệu giảm trên R+

Nhận xét rằng, trong số các hàm số sơ cấp một biến, thì hàm tuyến tính

f (x) = ax đóng vai trò đặc biệt quan trọng, vì nó rất dễ nhận biết về tính đồngbiến (khi a > 0) và nghịch biến (khi a < 0) trong mỗi khoảng tùy ý cho trước.Đặc trưng sau đây sẽ cho ta thấy rõ hơn về đặc trưng (bất đẳng thức hàm) củahàm tuyến tính

Định lí 1.6 ([1, tr 59]) Giả thiết rằng, với mọi cặp bộ số dương

Khi f (x) là hàm nghịch biến thì ta có dấu bất đẳng thức thực sự

Chứng minh Thật vậy, theo giả thiết, f (x) là hàm đơn điệu giảm, nên ta luôncó

Định lí 1.8 ([1, tr 59]) Giả thiết rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên

(0, + ∞) và {a k } là một dãy tăng trong (0, + ∞) Khi đó, ta luôn có

Khi f (x) là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự

Chứng minh Thật vậy, theo giả thiết, f (x) là một hàm đơn điệu giảm, nên taluôn có

Lấy tổng theo k, ta thu được (1.9), chính là điều phải chứng minh

Định lí 1.9 ([1, tr 60]) Giả thiết rằngf (x) là một hàm đồng biến trên [0, + ∞)

và f (0) = 0 Gọi g(x) là hàm ngược của f (x) Khi đó, ta luôn có

Chứng minh Bất đẳng thức được suy trực tiếp bằng các so sánh diện tích

tạo bởi đường cong y = f (x) và x = g(y) với diện tích hình chữ nhật tạo bởi

x = 0, x = a, y = 0, y = b

Hệ quả 1.2 ([1, tr 60) Giả thiết rằngf (x) là một hàm đồng biến trên[0, + ∞)

và f (0) = 0 Gọi g(x) là hàm ngược của f (x) Khi đó, ta luôn có

Chứng minh Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởix = α, x = a, y = 0,

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f (a) = b

Định lí 1.11 ([1, tr 61 - 63]) Cho hàm số f (x) liên tục và nghịch biến trên

[0, b], ∀a ∈ [0, b] Khi đó, ta luôn có

Ta sẽ chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0 hoặc a = b.

Thật vậy, nếu tồn tại c ∈ (0, b) sao cho

Khi đó với mọi bộ trọng (p j):

p j >0, j = 1, 2, , n; p1+ p2+ + p n = 1,

ta đều có

(∑n k=1

p k f (x k)

)(∑n k=1

p k f (x k)

)(∑n k=1

p k f (x k)

)(∑n k=1

Ta nhắc lại tính chất quen biết sau đây:

Giả sử hàm số f (x) xác định và đơn điệu tăng trên I(a, b) Khi đó, với mọi

x1, x2 ∈ I(a, b), ta đều có

f (x1 )6f (x2 )⇔ x1 6x2,

và ngược lại, ta có

f (x1)>f (x2)⇔ x1 6x2; ∀x1, x2 ∈ I(a, b),

khi f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên I(a, b).

Tuy nhiên, trong ứng dụng, có nhiều hàm số chỉ đòi hỏi có tính chất yếu hơn,chẳng hạn như:

f (x1 )6f (x2 )⇔ x16 x2, ∀x1, x2> 0 mà x1+ x2 61,

thì không nhất thiết f (x) phải là một hàm đơn điệu tăng trên (0, 1)

Chẳng hạn, đối với hàm số f (x) = sin πx, ta luôn có khẳng định sau đây

Ví dụ Nếu A, B, C là các góc trong của tam giác ABC thì

Như vậy, mặc dù hàm y = sin πx không đồng biến trong (0, 1), ta vẫn có bấtđẳng thức (suy từ (1.17)), tương tự như đối với hàm số đồng biến trong (0, 1):

sin πx1 6sin πx2 ⇔ x1 6x2, ∀x1, x2 > 0 mà x1+ x2< 1. (1.18)

Ta đi đến các định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.2 ([1, tr 64]) Hàm số f (x) xác định trong (0, b) ⊂ (0, +∞) đượcgọi là hàm tựa đồng biến trong khoảng đó, nếu

f (x1) < f (x2)⇔ x1 < x2, ∀x1, x2 > 0 mà x1+ x2 < b. (1.19)

Định nghĩa 1.3 ([1, tr 64]) Hàm số f (x) xác định trong (0, b) ⊂ (0, +∞) đượcgọi là hàm tựa nghịch biến trong khoảng đó, nếu

f (x1) < f (x2 )⇔ x1 > x2, ∀x1, x2 > 0 mà x1+ x2 < b. (1.20)

Bài toán 1.1 ([1, tr 64 - 65]) Mọi hàmf (x)tựa đồng biến trong(0, b) ⊂ (0, +∞)

đều đồng biến trong khoảng

(

0, b

2

)

Chứng minh Thật vậy, khi x1, x2 ∈ (

0, b

2

)thì hiển nhiên, x1+ x2 < b và tathu được

Bài toán 1.2 ([1, tr 65]) Giả thiết rằng hàm h(x) đồng biến trong khoảng(

2, b

)

,

là hàm số tựa đồng biến trong (0, b).

Định lí 1.13 ([1, tr 65]) Mọi hàm f (x) xác định trong(0, b) ⊂ (0, +∞) và thỏamãn các điều kiện:

(i) f (x) đồng biến trong khoảng

2, b

)đều là hàm số tựa đồng biến trong khoảng đã cho

Chứng minh Khi hàm f (x) tựa đồng biến trong (0, b) thì theo bài toán 1.1,hàm f (x) đồng biến trong khoảng

Ta nhắc lại định nghĩa cực trị của hàm số y = f (x)

Định nghĩa 1.4 ([5]) Cho hàm số f (x) xác định trên miền D ⊆R Cho miền

I ⊆ D Khi đó

Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm f (x) trên miền I, nếu f (x)

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

Số thực m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm f (x) trên miền I, nếu f (x)

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

(ii) Với mọi ε > 0, tồn tại x0 ∈ I sao cho f (x0) > S − ε,

thì S được gọi là cực biên trên (hay cận trên đúng) của hàm số f (x) trong miền

I, kí hiệu là

S = sup

x∈I f (x).

2) Nếu không tồn tại min

x ∈I f (x), nhưng tồn tại số T ∈R sao cho(i) f (x) > T với mọi x ∈ I

(ii) Với mọi ε > 0, tồn tại x0 ∈ I sao cho f (x0) < T + ε,

thì T được gọi là cực biên dưới (hay cận dưới đúng) của hàm sốf (x) trong miền

x∈I f (x); min x∈I f (x); sup x ∈I f (x); inf x∈I f (x)

được gọi chung là các giá trị cực trị (hay giá trị cực biên) của hàm số f (x) trênmiền I

Ta thường gọi min; max là các giá trị cực trị đạt được, còn inf; sup là các giátrị cực trị không đạt được của hàm số f (x) trong miền I

Tương tự, ta có định nghĩa cực trị của hàm nhiều biến như sau

Cho hàm số n biến F = f (x; y; ; z): D ⊆Rn →R Cho miền I ⊆ D Khi đó

Định nghĩa 1.7 ([5]) Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số F

trong miền I, kí hiệu là

M = max F

I

nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau

(i) f (x; y; ; z)6M với mọi (x; y; ; z) ∈ I;

(ii) Tồn tại (x1; y1; ; z1)∈ I sao cho f (x1; y1; ; z1) = M

Định nghĩa 1.8 ([5]) Số thực m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số F

trong miền I, kí hiệu là

M = min F

I

nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau

(i) f (x; y; ; z)>m với mọi (x; y; ; z) ∈ I;

(ii) Tồn tại (x2; y2; ; z2)∈ I sao cho f (x2; y2; ; z2) = m

Định lí 1.14 ([5]) Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a, b] thì tồn tại max

Chú ý Trong luận văn này, các giá trị cực biên của hàm số nêu trong định

nghĩa 1.6 được gọi tắt là giá trị cực trị của hàm f (x), khái niệm này hoàn toànkhác khái niệm cực trị của hàm số trong chương trình toán phổ thông

Định lí 1.15 ([5]) Cho hàm sốy = f (x) có đạo hàm cấp một liên tục trên[a, b],

có đạo hàm cấp hai tại mọi x ∈ (a, b) sao cho f ′′ (x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) Khi

đó, với mọi x, y ∈ [a, b] ta luôn có

f (x) >f (y) + f ′ (y)(x − y).

Nói cách khác f (x) = max

a 6y6b (f (y) + f

′ (y)(x − y))

Định lí 1.16 ([5]) Cho hàm sốy = f (x) có đạo hàm cấp một liên tục trên[a, b],

có đạo hàm cấp hai tại mọi x ∈ (a, b) sao cho f ′′ (x) 6 0 với mọi x ∈ (a, b) Khi

đó, với mọi x, y ∈ [a, b] ta luôn có

f (x) 6f (y) + f ′ (y)(x − y).

Tính chất 1.4 ([5]) Cho miềnI ⊆ D f Giả sử tồn tạimax

x ∈I f (x) và minx ∈I f (x) Khi

Tính chất 1.5 ([5]) (Giá trị cực trị của hàm đơn điệu)

(i) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trong [a, b] ⊆ D f thì

đã được đề cập rất sớm trong chương trình toán phổ thông, chẳng hạn như: tỉ

lệ thuận, tỉ lệ nghịch, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất của hàm số

Ví dụ 1.1 ([1]) Chứng minh rằng với mọi bộ số dương a, b, c, ta đều có

Giải Đây là bài toán quen thuộc trong các giáo trình về bất đẳng thức nhằm

mô tả các ứng dụng của các bất đẳng thức cổ điển như bất đẳng thức Cauchy,bất đẳng thức AM - GM, để giải Tuy nhiên, nếu ta viết lại (1.22) dưới dạng

Ta thu được điều phải chứng minh.

Như vậy, từ ví dụ 1.1, bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số, ta đã giải

quyết được một lớp bài toán được phát biểu dưới dạng:

Ví dụ 1.2 ([1]) Cho a, b, c, α, β là các số thực dương, α > β. Chứng minh rằng

hay f (t) là hàm đồng biến trên (0, + ∞).Như vậy, với mọi α > β > 0 ta có đượcbất đẳng thức (1.25).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ví dụ 1.3 Cho a, b, c, α, β là các số thực dương, α > β. Chứng minh rằng(b + c

hay f (t) là hàm đồng biến trên (0, + ∞).Như vậy, với mọi α > β > 0 ta có đượcbất đẳng thức (1.26).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ví dụ 1.4 ([1]) Chứng minh rằng, với mọix, y ∈R thỏa mãn điều kiện0 < x 6y

Trước hết ta xét một số ví dụ đơn giản với hàm số có hai khoảng đơn điệu.

g(x)>g0(x), ∀x ∈ [0, 1]. (2.2)

Vì trong [0, p] hàm số đã cho nghịch biến nên hiển nhiên g0(x) = f (x) trong

[0, p] Vì trong [p, 1], hàm f (x) đồng biến, nên g0(x) ≡ 0 Vậy ta có hàm số đơnđiệu giảm g0(x) mức thấp nhất thỏa mãn (2.1) được xác định theo công thức

g0(x) =

{

f (x), khi 06x6p

f (p) = 0 khi p6x61.

Mọi hàm đơn điệu giảm khác được xác định theo (2.2)

Tiếp theo, ta xác định hàm số đơn điệu tăng g1(x)mức thấp nhất thỏa mãn(2.1), tức là, ứng với mọi g(x) đơn điệu tăng và thỏa mãn (2.1), ta đều có

g1(x) =

{

p, khi 06x6 2p

f (x) khi 2p6x61.

Đối với trường hợp 1

2 6 p, thì hiển nhiên hàm số đơn điệu tăng g1(x) mứcthấp nhất thỏa mãn (2.1) sẽ là hàm hằng g1(x) ≡ p

Mọi hàm số đơn điệu tăng khác được xác định theo (2.3)

Tương tự, ta xét việc mô tả lớp hàm đơn điệu cho trường hợp hàm số đã cho ởđường mức cao nhất

Trước hết, ta xây dựng hàm số đơn điệu giảm g0(x) mức cao nhất thỏa mãn(2.4), tức là, ứng với mọi g(x) đơn điệu giảm và thỏa mãn (2.4), ta đều có

g(x)6g0(x), ∀x ∈ [0, 1]. (2.5)

Vì trong [0, p] hàm số đã cho nghịch biến nên hiển nhiêng0(x) = f (x) trong [0, p]

Vì trong [p, 1], hàm f (x) đồng biến, nên

g0(x) =

{

f (x), khi 06x6p

f (p) = −p2+ 1, khi p6x61.

Mọi hàm đơn điệu giảm khác được xác định theo (2.5)

Tiếp theo, ta xác định hàm số đơn điệu tăng g1(x)mức cao nhất thỏa mãn (2.4),tức là, ứng với mọi g(x) đơn điệu tăng và thỏa mãn (2.4), ta đều có

g(x)6g1(x), ∀x ∈ [0, 1]. (2.6)

Xét trường hợp 0 6 p 6 1

2 hay 0 6 2p 6 1 Vì trong [0, p] hàm số đã chonghịch biến và đồ thị của hàm số đã cho có trục đối xứng x = p, nên hiểnnhiên g1(x) = f (0) = 1 trong [0, 2p] Vì trong [2p, 1], hàm f (x) đồng biến, nên

g1(x) ≡ f(x) Vậy ta có hàm số đơn điệu tăngg1(x)mức cao nhất thỏa mãn (2.4)được xác định theo công thức

g1(x) =

{

1, khi 06x62p

f (x) khi 2p6x61.

Đối với trường hợp 1

2 6 p, thì hiển nhiên hàm số đơn điệu tăng g1(x) mứcthấp nhất thỏa mãn (2.1) sẽ là hàm hằng g1(x) ≡ 1

Mọi hàm số đơn điệu tăng khác được xác định theo (2.4)

Như vậy, ta đã mô tả được lớp hàm đơn điệu g(x)thỏa mãn yêu cầu đặt ra Sauđây, ta sẽ xét ứng dụng của tính đơn điệu của hàm số vào bài toán cực trị cụthể

Ví dụ 2.3 Cho số p ∈ (0, 1) và cho hàm số f (x) = |x − p| Xét các bộ số

x1, x2, x3, x4 (x1 6x26 x36x4 ) trong [0, 1] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M = |f(x1 )− f(x2 )| + |f(x2 )− f(x3 )| + |f(x3 )− f(x4 )|

Giải Nhận xét rằng, đồ thị hàm số đã cho, trên R, có trục đối xứng x = p.Hàm đã cho nghịch biến trong [0, p] và đồng biến trong [p, 1] Ta bổ sung thêmđiểm x = p vào dãy số x1, x2, x3, x4 và sắp theo thứ tự tăng dần

Vậy max M = 1 khi có x1= 0, x4= 1 và một nút x2 hoặc x3 trùng với p

Từ ví dụ trên, ta có bài toán tổng quát phát biểu như sau

Bài toán 2.1 ([2]) (Bài toán tổng quát) Cho hàm số f (x) liên tục và có hữuhạn khoảng đơn điệu trên [a, b] và 1 < n ∈ N. Xét tất cả các dãy số tăng {x i }

Để giải quyết bài toán này, ta xét từng trường hợp cụ thể sau:

Bài toán 2.2 ([2]) Cho f (x) là hàm số liên tục và đơn điệu trên [a, b], trong

đó −∞ < a < b < +∞ và 1 < n ∈N. Xét tất cả các dãy số tăng {x i } trong [a, b]:

Bài toán 2.3 ([2]) Cho n0 ∈N, −∞ < a < b < +∞ và hàm f (x) liên tục trên

[a, b] và có n0 khoảng đơn điệu, n0 6n ∈N

Xét tất cả các dãy số tăng {x i } trong [a, b]:

)m i=1,(n 6 m 6 n + n0) với x ′

0 = a, x ′

m+1 = b và dãy mới (

x ′ i

)m i=1 cũng được sắp theothứ tự tăng dần

Bài toán 2.4 ([2]) Cho hàm f (x) liên tục trên [a, + ∞), f (x) có m điểm cựctrị a1, a2, , a m ; (a1 < a2< < a m) và m 6n ∈N Giả sử

f (a i)− f(a i+1) + M − f(a m) .

Giải Trước hết, ta có nhận xét rằng f (x)là một hàm đơn điệu trong [a m , + ∞)

và theo bài toán 2.3, ta có trong đoạn [a, a m] thì

Giải Xét [a, b] với a sao cho chứa tất cả các điểm cực trị của f (x) Khi đó, ta

có nhận xét rằng f (x) là một hàm đơn điệu trong (−∞, a] và theo bài toán 2.3,

ta có trong đoạn [a, b] thì

f (a i)− f(a i+1) + ... định giá trị lớn biểu thứckhi dãy số cho dãy số tăng biến thiên khoảng cho trước sau:

- Hàm cho đơn điệu max M = f (a) − f(b)

- Khi số khoảng đơn điệu hàm số... dừng (điểm thay đổi tính đơn điệu hàm số) vàodãy cho ta đánh lại thứ tự để dãy số đoạn có chứa gi? ?trị hàm số điểm dừng áp dụng kết luận

Sau , ta xét số ví dụ nhóm hàm số cụ thể

... j(16j k)hoặc phần nguyên điểmcực trị phần nguyên điểm cực trị cộng thêm 1.

Khi đó, ta xét trường hợp cụ thể sau

Các số a + i j