CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỰ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỰ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐẠI LƯỢNG ĐIỆN XOAY CHIỀU ĐẠT CỰC TRỊ - Dựa vào các công thức có liên quan, lập biểu thức của đại lượng cần tìm cực trị dưới dạng hàm của một biến thích hợp. - Tìm cực trị bằng các phương pháp vận dụng: +Hiện tượng cộng hưởng của mạch nối tiếp. +Tính chất của phân thức đại số. +Tính chất của hàm lượng giác. +Bất đẳng thức Cosi. +Tính chất đạo hàm của hàm số. II. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. A. Bài toán cực trị đối với mạch xoay chiều không phân nhánh. Dạng1: Bài toán cực trị theo C. Bài tập 1: A R C L B Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ: R=170 Ω ; L=1,15H; C biến thiên . Hiệu điện thế giữa 2 đầu AB: u= 170 Sin10 π t (V). Chứng tỏ khi C biến thiên thị số chỉ của vônkế đạt đến 1 giá trị cực đại. Tính giá trị cực đại này và điện dung C tương ứng của tụ điện. Bài làm Cách1: Khảo sát cực trị bằng đạo hàm. Số chỉ của vônkế là: C C U IX= Dòng điện toàn mạch: 2 2 ( ) L C U U I Z R X X = = + − 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1) C C L C UX U U R X X R C LC ω ω ⇒ = = + − + − Đặt: 2 2 2 2 2 ( 1) C y R C LC y ω ω = + − = C U U y ⇒ = Ta có: , 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 ( 1) 2 2 2y R C L LC R C L C L ω ω ω ω ω ω = + − = + − 2 , 2 2 2 4 2 2 2 0 L L y C R L R L ω ω ω ω = → = = + + Như vậy: 2 min 2 2 2 2 2 2 C R L y C R L R L ω ω = ⇔ = + + Khi đó: 2 2 2 Cmax U R L U R ω + = Vậy khi C biến thiên thì số chỉ của vônkế đạt đến một giá trị cực đại. Thay số: 2 2 5 max 170 170 1,15 .10 283( ) 2.170 C U V + = = 6 2 2 5 1,15 7,1.10 ( ) 170 1,15 .10 C F − = = + Cách2: Đưa về phương trình Parabol Ta có: C C U IX= 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 C L C L L C C UX U R X X R X X X X = = + − + − + Đặt: 2 2 2 2 1 L L C C R X X y X X + = − + 2 2 1 ; ; 2 ; 1 L L C x a R X b X c X = = + = − = 2 y ax bx c⇒ = + + Do a> 0 nên đồ thị của y là parabol có bề lõm quay lên phía trên: y min tại x min . y Ta có: min 2 2 2 L L X b x a R X = − = + y min Tức: 2 2 L C L R X X X + = 0 x min x 2 2 2 2 min 2 2 2 2 2 ( ). 2 1 ( ) ( ) L L L L L X X y R X R X R X ⇒ = + − + + + 2 min 2 2 L R y R X = + Như vậy với sự biến thiên của C thì số chỉ của vônkế sẽ đạt giá trị cực đại: 2 2 2 Cmax U R L U R ω + = tại: 2 2 L L C R X = + Thay số: 2 2 5 max 170 170 1,15 .10 283( ) 2.170 C U V + = = Khi 6 2 2 5 1,15 7,1.10 ( ) 170 1,15 .10 C F − = = + Cách3: áp dụng giản đồ vectơ quay. Chọn trục gốc là vectơ 0 I uur , vẽ các vectơ: U oL A oR U uuur cùng pha với 0 I uur . α oC U uuur trễ pha hơn 0 I uur một góc 2 π . 0 β U oR I o oL U uuur sớm pha hơn 0 I uur một góc 2 π . B Có: R=170 ( Ω ); X L = 1,15.100 π =115 π ( Ω ) ; U oC Z RL = 2 2 2 170 115 399,28( ) π + = Ω . Từ giản đồ vectơ ta có: S oR R oRL RL RL U U R in U U Z α = = = Xét ∆ 0AB có: oC o C U U U U Sin Sin Sin Sin β α β α = ⇒ = Hay: C Sin U U Sin β α = Khi C biến thiên thì góc β thay đổi, giá trị Sin β cũng thay đổi. Ta thấy Sin β đạt giá trị max là 1 0 90 β ⇔ = và khi đó U C đạt giá trị max. 2 2 max L RL C U R X UZ U U Sin R R α + = = = Và: 2 2 2 2 L L C L R X X Sin cos X R X γ α + = ⇔ = + ⇔ 2 2 L C L R X X X + = Hay: 2 2 L L C R X = + Thay số ta có: 2 2 5 max 170 170 1,15 .10 283( ) 2.170 C U V + = = Khi: 6 2 2 5 1,15 7,1.10 ( ) 170 1,15 .10 C F − = = + Bài tập 2: A B V A Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ: ~ 300( )R = Ω , 4 ( )L H π = , M R L N C 126 2 100 ( ) AB u Sin t V π = ; Giá trị C của tụ điện được điều chỉnh để số chỉ của vônkế là lớn nhất. a, Tính giá trị của C. b, Xác định số chỉ của vônkế và ampekế. Bỏ qua tổng trở của ampe và dòng điện qua vônkế. Bài làm Số chỉ của vônkế cho biết hiệu điện thế giữa 2 đầu đoạn mạch MN: U 2 2 2 2 2 2 2 ( ) L L C U R X U IZ Z Z R X X + = = = + − Nhận xét: 2 2 2 min ( ) max L C U R X X   ⇔ + −   Do R, X L không đổi 2 2 min ( ) L C L C R X X X X   ⇒ + − ⇔ =   2 1 1 L C C L ω ω ω ⇔ = → = Thay số ta có: 4 2 2 10 ( ) 4 100 4 C F π π π − = = b, Vônkế chỉ giá trị cực đại L C X X⇔ = tức trong mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng. Khi đó: 2 2 ( ) L C Z R X X R= + − = Số chỉ của ampekế là: 126 0, 42( ) 300 U I A R = = = Số chỉ của vônkế là: 2 2 2 2 2 2 4 0,42. 300 ( .100 ) 210( ) max L U IZ I R X V π π = = + = + = * Nhận xét: - Với bài toán biện luận tìm cực trị khi C thay đổi ta xét trường hợp đơn giản nhất đó là trong mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng. Ta chỉ việc xét X L =X C . - Với bài toán biện luận tìm cực trị khi C thay đổi mà không xảy ra hiện tượng cộng hưởng ta có 3 phương pháp sau: 1, Phương pháp khảo sát hàm số. 2, Phương pháp Parabol. 3, Phương pháp giản đồ vectơ. Trong đó có 2 phương pháp là Parabol và giản đồ vectơ cho lời giải ngắn gọn. Đối với bài toán tìm cực trị khi C thay đổi nên áp dụng 2 phương pháp này. Dạng 2: Bài toán cực trị theo L. Bài tập 1: A R C M L B Cho mạch điện như hình vẽ: 3 100 ( ) AB u Sin t V π = điện trở của các vônkế không đáng kể, R, C là hằng số, L biến thiên. Thấy: a, Khi L= L 1 vônkế 1 chỉ giá trị cực đại. Tính L 1 và P 1 trên mạch khi đó. b, Khi L= L 2 vônkế 2 chỉ giá trị cực đại. Tính L 2 và số chỉ của vônkế 2 khi đó. V 1 V 2 Thay số: 4 10 500 2( ); ( )R C F π − = Ω = . Bài làm a, Khi L= L 1 vônkế 1 chỉ giá trị cực đại. Số chỉ của vônkế 1 là: 2 2 2 2 ( ) C AM AM L C U R X U IZ R X X + = = + − Do L, C là hằng số 2 2 max ( ) min AM L C U y R X X⇒ ⇔ = + − y 2 min L C R X X= ⇔ = , tức mạch xảy ra cộng hưởng. Ta có: 1 1 2 1 1 L L C C ω ω ω = ⇒ = Công suất P 1 : 2 2 1 U P I R R = = Thay số: 1 2 2 4 1 ( ) 100 10 L H π π π − = = ; 2 1 3 1 3 ( ) . ( ) 2 500 2 1000 2 P W= = b, Khi L= L 2 vônkế 2 chỉ giá trị cực đại. Số chỉ của vônkế 2 là: 2 2 2 2 1 MB L C L L U U U IX X R X X = = =   + −  ÷   2 2 2 max 2 (1 ) min C L L X R U y X X ⇔ = + − Cách 1: dùng phương pháp khảo sát hàm số. Ta có: 2 2 2 2 2 1 (1 ) R y L LC ω ω = + − 2 , 3 2 2 4 3 2 2 2 2R y L L C L C ω ω ω = − + − 2 2 2 , 2 1 0 R C y L C ω ω + = ⇔ = Bảng biến thiên của y theo L L 0 2 2 2 2 1R C C ω ω + ∞ ' L y + 0 - y L 2 2 2 2 1 R R C ω + Vậy L= L 2 = 2 2 2 2 1R C C ω ω + thì y min = 2 2 2 2 1 R R C ω + ⇒ 2 2 max C L U R X U R + = Thay số: 8 2 2 2 2 2 4 2 2 10 500 .2.100 . . 1 51 ( ) 10 100 . . L H π π π π π − − + = = 2 4 max 3 500 .2 10 3 17 ( ) 10 2 500 2 L V + = =U Cách 2: Đưa về phương trình Parabol. Số chỉ của vônkế 2 là: 2 2 2 2 1 MB L C L L U U U IX X R X X = = =   + −  ÷   Đặt: 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 C C C L L L L X R X X R y X X X X + = + − = − + y Đặt: 2 2 1 ; ; 2 ; 1 C C L x a R X b X c X = = + = − = y min 2 y ax bx c= + + 0 x min x Do a> 0 nên đồ thị của y là parabol có bề lõm quay lên phía trên: y min tại x min 2 2 2 min 2 2 2 2 4 2 C C L C C C X R X R b y x X a a X R X R X + ∆ = − = ⇔ = − = ⇒ = + + Và: 2 2 max C L U R X U R + = Vậy: L= L 2 = 2 2 2 2 1R C C ω ω + 51 ( )H π = 2 2 max C L U R X U R + ⇒ = 3 17 ( ) 10 V= Cách 3: Dùng phương pháp giản đồ vectơ Chọn trục gốc là vectơ 0 I uur , vẽ các vectơ: oR U uuur cùng pha với 0 I uur B U o oC U uuur trễ pha hơn 0 I uur một góc 2 π 0 β U oR I o oL U uuur sớm pha hơn 0 I uur một góc 2 π U oC A 500 2( ); 100( ) C oC oR R X U U= Ω = Ω ⇒ < U AM Từ giản đồ vectơ ta có: 2 2 oR oRC C U R Sin U R X α = = + = const Xét ∆ 0AB có: L o oL Sin Sin USin U U U Sin α β β α = ⇒ = Với U, Sin α là hằng số 0 max 1( 90 ) L U Sin β β ⇒ ⇔ = = Với: 2 2 2 2 1 cos C C L C R X X Sin Sin X R X β α γ + = ⇒ = ⇔ = + 2 2 C L C R X X X + ⇒ = Vậy: L= L 2 = 2 2 2 2 1R C C ω ω + 51 ( )H π = 2 2 max C L U R X U R + ⇒ = 3 17 ( ) 10 V= Bài tập 2: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ: Hiệu điện thế giữa 2 đầu AB: A R L C B 4 200 100 ( ) 10 100( ); ( ) u Sin t V R C H π π − = = Ω = a, Tính L để hệ số công suất của đoạn mạch cực đại.Tính công suất của đoạn mạch khi đó. b, Tính L để công suất tiêu thụ của đoạn mạch cực đại. Vẽ phác họa dạng đồ thị của công suất tiêu thụ P theo L. Bài làm Hệ số công suất của đoạn mạch là: [...]... Với bài toán biện luận tìm cực trị của công suất tiêu thụ khi L thay đổi ta áp dụng phương pháp cộng hưởng dòng Ta chỉ việc xét XL=XC - Với bài toán biện luận tìm cực trị của UL khi L thay đổi có 3 phương pháp sau: 1 Phương pháp khảo sát hàm số 2 Phương pháp Parabol 3 Phương pháp giản đồ vectơ Trong đó có 2 phương pháp là Parabol và giản đồ vectơ cho lời giải ngắn gọn Đối với bài toán tìm cực trị theo... Nhận xét: với bài toán biện luận tìm cực trị trong mạch điện xoay chiều phân nhánh ta kết hợp 2 phương pháp đó là phương pháp giản đồ vectơ quay và phương pháp giải tích Cụ thể: Ta biểu diễn các đại lượng phải tìm trên giản đồ vectơ, áp dụng các định lý Sin hoặc Cosin để thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng đó, sau đó áp dụng phương pháp đại số lập luận và rút ra kết quả C Bài toán cực trị đối với... R1 = 80(Ω) và R1 = 20(Ω) B Bài toán cực trị đối với mạch điện xoay chiều phân nhánh Lập biểu thức của đại lượng cực trị để thực hiện tính toán, vận dụng các phương pháp như đã giới thiệu với mạch điện xoay chiều không phân nhánh: phương pháp giải tích (khảo sát hàm số); phương pháp đồ thị( đưa về phương trình bậc 2 có đồ thị là Parabol); phương pháp giản đồ vectơ quay Bài tập 1: A i i1 R C B Cho mạch... Lω = Thay số: Pmax U2 = ⇔ R = XL 2X L 9 100π = 9(Ω) 100π U2 52 = = = 1,39(W ) 2 X L 2.9 + Nhận xét: Bài toán biện luận cực trị theo R trong mạch điện xoay chiều là bài toán đơn giản nhất, ta chỉ việc áp dụng phương pháp đại số: dùng BĐT Cosi Dạng 4: Bài toán biện luận cực trị theo tần số ω( f ) Bài tập 1: Cho mạch điện xoay chiều có tần số f mạch AB: A L R M C B Dòng qua I = 0, 2 A; U AB = 120V ;U... bài toán tìm cực trị theo L nên áp dụng 2 phương pháp này Dạng 3: bài toán tìm cực trị theo R Bài tập 1: Cho mạch RLC, R thay đổi: 1, Xác định R để công suất của mạch cực đại Tính công suất đó Chứng minh với một công suất mãn: R1R2 = ( X L − X C ) 2 P < Pmax , thì R có 2 giá trị và 2 giá trị đó thỏa 2, Định giá trị lớn nhất của UR khi R thay đổi A R L C B Bài làm 1, Định R để Pmax Ta có: U 2R U 2R... Sin100π t (V ) Bỏ qua điện trở của dây nối và ampekế R = 100(Ω), A L i2 các giá trị L và C được chọn thích hợp sao cho hệ số công suất của toàn mạch luôn luôn bằng 1 Tính giá trị của L và C để số chỉ của ampekế là cực đại Tìm số chỉ cực đại đó Bài làm Ta có: r u uu r r i = i1 + i2 ⇒ I = I1 + I 2 U  I1 =  Z1   u ϕ = arctg X C r I1 :  i1  R Theo đề bài ta có: U  I2 =  XL   uu ϕ = ϕ = − π... thị ta thấy khi P< Pmax, có 2 giá trị của công suất và lúc đó X L ≠ XC 144 ω 0 là ω1 ω1 100π ω2 và ω2 ω cho cùng một U 2R U 2R 2 P= 2 ⇒ (X L − XC ) = − R2 2 P R + ( X L − XC ) Ta có: U 2R ⇒ X L − XC = ± − R2 P 1 U 2R ω1L − = − R2 ω1C P Như vậy: 1 U 2R ω2 L − =− − R2 ω2 C P ⇒ ω1 L − 1 1 = −ω2 L − ω1C ω2 C ⇒ ω1ω2 = 1 2 = ωo LC * Nhận xét: Với bài toán biện luận tìm cực trị theo tần số f hoặc ω ta xét... t (V ) Ra = 0; Rv = ∞ L= 1 M R E L 0,3 1 ( H ); C = ( mF ) π 6π a Với R = 40(Ω) C F A N V2 , tìm số chỉ của các vônkế và ampekế b Đổi R để Pmax Tìm R, Pmax 2 Cho R, L cố định ở giá trị R1, L1 Đổi C ta thấy có 2 giá trị của C là C 1 và C2 đều cho P= 100(W) Tìm R1 biết ZC1 và ZC2 chênh nhau 80 Bài làm X L = Lω = 1 Ta có: 0,3 100π = 30(Ω) π ( Ω) XC = a 1 1 = 6π 103 = 60(Ω) Cω 100π 2 2 2 2 R = 40(Ω) Z... f hoặc ω ta xét trường hợp cộng hưởng dòng xảy ra trong mạch Dạng 5: bài toán cực trị có nhiều thay đổi Bài tập 1: A Cho mạch xoay chiều như hình vẽ: A R L C B 2 (H ) π = 120(V ); f = 50( Hz ) Ra = 0; L = U AB a Cho b Cho R = 100(Ω) , điều chỉnh C để số chỉ của ampekế là lớn nhất Tìm C và IR 10−3 C= (F ) 5π , tìm R để Pmax Tìm Pmax Bài làm Ta có: ω = 2π f = 100π (rad / s ) I= U = Z a Số chỉ của ampekế... 280.2π 9,5 Thay số: Bài tập 2: Cho mạch xoay chiều như hình vẽ: 1 10−4 L = ( H ); R = 100(Ω); C = (F ) π π u AB = 120 2 Sin2π ft (V ) A R C L B Trong đó f thay đổi được a Khi f = fo công suất tiêu thụ trên mạch AB là cực đại Tìm họa đồ thị của P theo ω( f ) Tìm liên hệ giữa và ω2 Phác b Với P< Pmax, chứng tỏ rằng có 2 giá trị của ω1 f o ; Pmax với ωo ω (ω1; ω2 ) cho cùng một công suất Bài làm X L = Lω . CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỰ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐẠI LƯỢNG ĐIỆN XOAY CHIỀU ĐẠT CỰC TRỊ - Dựa vào các công thức có liên. số. II. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. A. Bài toán cực trị đối với mạch xoay chiều không phân nhánh. Dạng1: Bài toán cực trị theo C. Bài tập 1: A R C L