ðăng nhập / ðăng ký Góp ý với Onthi.com Từ điển Anh-Việt Tra từ Gõ tiếng việt: On Off Ôn thi Bài tập ðề tự luyện Thi thử Chuyên ñề Danh bạ Tin tức Thư giãn Diễn ñàn Kết bạn Download Blog Gia sư Chú ý chú ý: Xem tiếp các chuyên ñề khác Bàn về một dạng phương trình MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Một số lưu ý khi giải phương trình lượng giác PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ PHỤ Phương pháp ñặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ (2) Phương pháp ñặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ HÀM SỐ HỮU TỶ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG Tính ñơn ñiệu của hàm số (2) HÀM SỐ BẬC BA Tính ñơn ñiệu của hàm số Ứng dụng ñạo hàm trong các bài toán tham số Sử dụng ñạo hàm ñể tìm giới hạn Bài toán về tiếp tuyến của ñường cong. Sử dụng tính chất ñơn ñiệu giải phương trình chứa căn Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT Tác giả: nguyentatthu ñưa lên lúc: 14:17:15 Ngày 11-05-2008 I.Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số ñể giải PT-BPT-HPT: ðịnh lí 1:Nếu hàm số y=f(x) luôn ñb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D thì số nghiệm của pt trên D : f(x)=k không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y với mọi x,y thuộc D. Chứng minh: Giả sử phương trình f(x)=k có nghiệm x=a, tức là f(a)=k. Do f ñồng biến nên *x>a suy ra f(x)>f(a)=k nên pt f(x)=k vô nghiệm *x<a suy ra f(x)<f(a)=k nên pt f(x)=k vô nghiệm Vậy pt f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm. Chú ý:* Từ ñịnh lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau: Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0. Ta thực hiện các phép biến ñổi tương ñương ñưa phương trình về dạng f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong ñó u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh ñược f(x) là hàm luôn ñồng biến (nghịch biến) Nếu là pt: f(x)=k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh ñó là nghiệm duy nhất. Nếu là pt: f(u)=f(v) ta có ngay u=v giải phương trình này ta tìm ñược nghiệm. * Ta cũng có thể áp dụng ñịnh lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm. ðịnh lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn ñb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc luôn ñb)và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một. Chứng minh: Giả sử x=a là một nghiệm của pt: f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).Ta giả sử f ñồng biến còn g nghịch biến. *Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn ñến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x>a. *Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn ñến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x<a. Vậy pt f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm. Chú ý: Khi gặp pt F(x)=0 và ta có thể biến ñổi về dạng f(x)=g(x), trong ñó f và g khác tính ñơn ñiệu. Khi ñó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh ñó là nghiệm duy nhất. ðịnh lí 3:Cho hàm số y=f(x) có ñạo hàm ñến cấp n và pt có m nghiệm, khi ñó pt có nhiều nhất là m+1 nghiệm. ðịnh lí này là hệ quả của ðịnh lí Roll. ðịnh lí 4: Nếu hàm số y=f(x) luôn ñồng biến ( hoặc luôn nghịch biến)và liên tục trên D thì . Góp sức duy trì onthi.com Máy tính Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT www.onthi.com Một số biểu thức liên hợp thường dùng trong khi giải các bài toán giới hạn Một số dạng cơ bản và cách giải giới hạn dạng vô ñịnh 0/0 Sử dụng hằng ñẳng thức giải phương trình vô tỉ Sử dụng tính chất của hàm số bậc hai giải phương trình chứa căn. Chuyên ñề về tích phân Hệ phương trình ñồng bậc Chuyên ñề hệ thức và bất ñẳng thức lượng giác trong tam giác Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: . . . . Giải: 1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay ñặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các em sẽ thấy ngay VT là một hàm ñồng biến và x=1 là một nghiệm của phương trình nên theo ñịnh lí 1 ta có ñược x=1 là nghiệm duy nhất. Vậy ta có cách giải như sau. ðK: Xét hàm số , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và nên hàm số f(x) luôn ñồng biến. Mặt khác, ta thấy f(1)=4 *Nếu x>1 suy ra f(x)>f(1)=4 nên pt vô nghiệm *Nếu x<1 suy ra f(x)<f(1)=4 nên pt vô nghiệm Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình ñã cho. Chú ý:* vì các hàm số y=ax+b với a>0 là một hàm ñồng biến và nếu f(x) là hàm ñồng biến thì hàm ( với ñiều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm ñồng biến nên ta dẽ dàng nhận ra VT của pt là hàm ñồng biến. * Khi dự ñoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương. 2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến ñổi tương ñương hay ñặt ẩn phụ sẽ gặp khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của pt là một hàm ñồng biến và pt có nghiệm x=1. Do ñó pt này có nghiệm duy nhất x=1 ( Các giải tương tự như bài 1) 3) Với ñường lối như hai bài trên thì ta khó khăn ñể giải quyết ñược bài toán này. Tuy nhiên nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là x+2=(x+1)+1 và 2x^2+1=(2x^2)+1, do vậy nếu ñặt thì phương trình ñã cho trở thành: , trong ñó là một hàm liên tục và có nên f(t) luôn ñồng biến. Do ñó Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=-1/2. 4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy: , do vậy nếu ñặt , khi ñó phương trình trở thành: , trong ñó với t>0 . Ta thấy f(t) là hàm liên tục và ñồng biến, do vậy . Có nhiều phương trình ñể giải nó ta dự ñoán ñược một số nghiệm và sau ñó ta chứng minh ( dựa vào ñịnh lí 3) số nghiệm của phương trình không vượt quá số nghiệm ta vừa dự ñoán. Ta xét ví dụ sau Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: . . Giải: 1) Ta thấy pt có hai nghiệm x=0 và x=1. Ta chứng minh phương trình ñã cho có không quá hai nghiệm. ðể có ñiều này ta cần chứng minh hàm số có g''(x)>0 (vì khi ñó theo ñ/l 3 suy ra g'(x) có nhiều nhất một nghiệm dẫn ñến g(x) có nhiều nhất Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT www.onthi.com hai nghiệm), ñiều này luôn ñúng vì Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm x=0 và x=1. 2) ðk: x>-1/2. , trong ñó là hàm liên tục và ñồng biến. Do ñó Xét hàm số , ta có: , suy ra pt g’(x)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm dẫn ñến pt g(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy x=0 và x=1 là hai nghiệm của pt g(x)=0 nên phương trình ñã cho có hai nghiệm x=0 và x=1. Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất . Giải: ðể chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau * Chứng minh phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm: ðể chứng minh ñiều này, ta cần chứng chứng minh f(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a,b sao cho f(a).f(b)<0 * Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến. Trở lại bài toán: Xét hàm số .Ta có f(x) là hàm liên tục trên R và f(0).f(2)<0, dẫn ñến pt f(x)=0 luôn có nghiệm Giả sử là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi ñó . Từ ñây ta suy ra ñược . Do vậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với x>=1 Ta có nên f(x) là hàm ñồng biến. Vậy phương trình ñã cho luôn có nghiệm duy nhất. Chú ý:* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có ñược f(x) là hàm ñồng biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác ñịnh của x. ðiều này ta có ñược là nhờ vào bản thân của phương trình. *ðể chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có cách khác ñó là khảo sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra ñược ñồ thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại một ñiểm. Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính ñơn ñiệu vào giải một số dạng toán về phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ ñó hi vong các em có thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng ñược những dạng phương trình nào có thể dùng ñồng biến, nghịch biến . Bây giờ ta ñi xét một số bài toán về Bất Phương trình. Ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau: . . Giải: 1) ðK: . Xét hàm số Ta dễ dàng chứng minh ñược f(x) là hàm nghịch biến và f(1)=6. Do ñó Kết hợp với ñiều kiện ta có nghiệm của Bpt là: . 2) ðK: . Xét hàm số , ta có suy ra f(x) là hàm ñồng biến Mặt khác: Do vậy Bpt Kết hợp ñiều kiện ta có nghiệm của Bpt là Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT www.onthi.com Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: Giải: Từ (2) ta suy ra ñược |x|,|y|<=1. , trong ñó với |t|<=1, ta có f(t) là hàm nghịch biến và liên tục trên [-1;1] nên . Thay x=y vào (2) ta có ñược là ngiệm của hệ ñã cho. Ví dụ 6: Giải hệ pt: . Giải: Từ pt(1) gợi cho ta sử dụng phương pháp hàm số Từ (2) và (3) ta có : (vì hàm số f(t)=sint-3t là hàm liên tục và nghịch biến trên .) Thay x=y vào (2) ta ñược nghiệm của hệ là: . Chú ý: *Qua hai ví dụ trên ta thấy cả hai cùng chung một phương pháp, là một phương trình của hệ có dạng f(x)=f(y), dẫn ñến ta khảo sát tính ñơn ñiệu của hàm số f(t) * Một chú ý khi sử dụng tính ñơn ñiệu là chúng ta chỉ có ñược khi f(t) liên tục và ñơn ñiệu Ví dụ 7:Giải hệ phương trình: . Giải: ðặt t=2x-y. Khi ñó (1) trở thành: (*) Ta thấy vế trái (*) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm ñồng biến và t=1 là một nghiệm của (*). Do vậy (*) có nghiệm duy nhất t=1 t=1 hay 2x=y+1, thay vào (2) ta ñược: (Vì hàm là hàm liên tục và ñồng biến, ñồng thời f(-1)=0). Vậy nghiệm của hệ là:(x;y)=(0;-1). Ví dụ 8: Giải hệ: . . Giải: Xét hàm số Khi ñó hệ có dạng : . ta có: nên f(t) là hàm ñồng biến Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ và x=Max{x,y,z} khi ñó, ta suy ra Vậy , thay vào hệ ta ñược phương trình: . Ta dễ dàng chứng minh ñược phương trình này có nghiệm duy nhất x=1 Vậy x=y=1 là nghiệm của hệ ñã cho. Bài tập: Bài 1: Giải các phương trình sau: Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT www.onthi.com Bài 2: Giải các bất phương trình sau Bài 3: Giải các hệ phương trình sau . . . . . . . . . . Bài 4: Giải và biện luận phương trình Nguyễn Tất Thu (các bạn có thể tham khảo thêm tại http://www.toanthpt.net/forums/index.php) Lưu ý tất cả các thành viên khi tham gia diễn ñàn onthi.com: Chỉ ñưa lên diễn ñàn các tài liệu do mình sở hữu hoặc ñược sự cho phép của chủ sở hữu. Các ñơn vị phát hiện thấy nội dung do các thành viên ñưa lên onthi.com là sở hữu của mình mà không ñược phép xin liên hệ với ban quản trị ñể chúng tôi kịp thời gỡ bỏ Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT www.onthi.com Giới thiệu onthi.com © 2008 Sáng lập bởi: Nguyễn Duy Phi và Bùi Minh Mẫn. Phát triển bởi các thành viên (Email:duyphian[at]yahoo.com Mobile:0936132468) Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT www.onthi.com . dạng phương trình MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Một số lưu ý khi giải phương trình lượng giác PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ PHỤ Phương pháp ñặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ (2) Phương. Bài tập: Bài 1: Giải các phương trình sau: Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT www.onthi.com Bài 2: Giải các bất phương trình sau Bài 3: Giải các hệ phương trình sau . . . . tính ñơn ñiệu vào giải một số dạng toán về phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ ñó hi vong các em có thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng ñược