hàm đơn điệu trên trường phi archimedean

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠ HOÀNG ANH HÀM ĐƠN ĐIỆU TRÊN TRƯỜNG PHI ARCHIMEDEAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠ HOÀNG ANH HÀM ĐƠN ĐIỆU TRÊN TRƯỜNG PHI ARCHIMEDEAN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Lời xin gởi đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn, lòng biết ơn chân thành sâu sắc Tôi xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, TS Trần Huyên, PGS.TS Trần Tuấn Nam tất thầy cô khác trực tiếp giảng dạy, trang bị cho kiến thức làm tảng cho trình học tập nghiên cứu Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy cô phòng Sau Đại học trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho học tập hoàn thành luận văn Cuối xin cảm ơn gia đình, người thân, đồng nghiệp bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập hoàn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2011 Tạ Hoàng Anh MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Khái niệm 1.2 Chuẩn phi Archimedean 1.3 Chuẩn  1.4 Xây dựng trường số p-adic  p 10 1.5 Khai triển p-adic phần tử  p 14 Chương 2.HÀM ĐƠN ĐIỆU TRÊN TRƯỜNG PHI ARCHIMEDEAN 18 2.1 Mở đầu 18 2.2 Dấu phần tử  p 19 2.3 Hàm đơn điệu loại α 27 2.4 Hàm đơn điệu kiểu σ 30 2.5 Đơn điệu loại 41 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 BẢNG KÝ HIỆU : Tập hợp số tự nhiên : Tập hợp số nguyên : Tập hợp số hữu tỉ : Tập hợp số thực * : Tập hợp số thực khác + : Tập hợp số thực dương p: Trường số p – adic  p* : Nhóm nhân số p – adic khác  p+ : Tập phần tử dương  p p: Tập phần tử  p có chuẩn bé : Chuẩn p – adic : Chuẩn trường p : Đẳng cấu nhóm Ba (r − ) : Hình cầu mở tâm a, bán kính r Ba (r ) : Hình cầu đóng tâm a, bán kính r MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích phi Archimedean chuyên ngành Toán học phát triển có nhiều ứng dụng, đặc biệt lý thuyết số đại Vào năm 40 kỷ XX, giải tích phi Archimedean phát triển cách mạnh mẽ trở thành chuyên ngành độc lập nhờ vào việc phát mối liên hệ sâu sắc giải tích p – adic với vấn đề lớn số học hình học đại số Trong giải tích phi Archimedean, trường phi Archimedean khác với trường số thực không trường thứ tự nên khái niệm hàm đơn điệu trường phi Archimrdean khó xây dựng tương tự trường số thực Đồng thời có tính chất khác lạ so với hàm đơn điệu trường số thực Chính vậy, định chọn đề tài “ Hàm đơn điệu trường phi Archimedean ” Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu Chúng cố gắng xây dựng định nghĩa, khái niệm hàm đơn điệu trường phi Archimedean Nghiên cứu tính chất hàm đơn điệu phi Archimedean, so sánh với hàm đơn điệu trường số thực Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn xây dựng khái niệm hàm đơn điệu trường phi Archimedean làm sáng tỏ giống khác hàm đơn điệu trường phi Archimedean hàm đơn điệu trường số thực Cấu trúc luận văn Luận văn phân bố hai chương với nội dung cụ thể sau: Chương I: Kiến thức Chương trình bày kiến thức giải tích p – adic Chẳng hạn chuẩn trường, tính chất chung, đặc biệt khái niệm chuẩn phi Archimedean, xây dựng trường phi Archimedean, khai triển p – adic phần tử  p số tính chất cần thiết cho chương sau Chương II: Hàm đơn điệu trường phi Archimedean Trong chương xây dựng khái niệm hàm đơn điệu trường phi Archimedean, khái niệm xem khái niệm tương tự phi Archimedean hàm đơn điệu trường số thực Mặc dù trường phi Archimedean cấu trúc thứ tự Chương nghiên cứu tính chất hàm đơn điệu trường phi Archimedean Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN Chương trình bày kiến thức giải tích p – adic Chẳng hạn chuẩn trường, tính chất chung, đặc biệt khái niệm chuẩn phi Archimedean, xây dựng trường phi Archimedean, khai triển p – adic phần tử  p số tính chất cần thiết cho chương sau 1.1 Khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Cho F trường Ánh xạ • : F →  x x gọi chuẩn trường F thỏa điều kiện sau: i) x ≥ 0, ∀x ∈ F x = ⇔ x = ii) xy = x y , ∀x , y ∈ F iii) x + y ≤ x + y , ∀x , y ∈ F Nếu e đơn vị F ta có: e = e.e = e e ⇔ e ( e − 1) =0 ⇔ e = Nếu x1 , x2 , , xn ∈ F theo ii) ta có: x1.x2 xn = x1 x2 x n Đặt biệt, x= x , ∀x ∈ F n 1.1.2 Ví dụ i) F =  F =  hàm giá trị tuyệt đối thông thường chuẩn F ii) F =  hàm modulo : F →  chuẩn F iii) Nếu F trường Ta định nghĩa ánh xạ: : F →  • :F → 1, x ≠ x x = 0, x = Khi đó, • chuẩn F, gọi chuẩn tầm thường 1.1.3 Nhận xét Nếu F trường hữu hạn (có hữu hạn phần tử) F có chuẩn chuẩn tầm thường Chứng minh Giả sử • : F →  chuẩn, trường F có q phần tử với phần tử đơn vị e + Nếu x = x = + Nếu ∀x ≠ 0, x ∈ F Vì F * nhóm nhân cấp (q – 1) e ⇒ x Khi đó: x q −1 = q −1 = x q −1 = e = Suy ra: x = Vậy • chuẩn tầm thường 1.1.4 Mệnh đề (các tính chất chuẩn) Cho • chuẩn trường F có đơn vị 1, ∀x ∈ F Khi đó: i) = −1 =1 ∈  ii) − x = x iii).= x −1 , x ≠ x 1.1.5 Định nghĩa (chuẩn tương đương) Cho • , • hai chuẩn trường F Ta nói chuẩn • • đương (ký hiệu là: •  • ) {xn} dãy Cauchy theo chuẩn • 2 tương {xn} dãy Cauchy theo chuẩn • m ,n →+∞ {xn} ⊂ F dãy Cauchy theo chuẩn • xm − xn → Tức là: ∀ε > 0, ∃no ∈  : n, m > no ⇒ xm − xn < ε 1.1.6 Định lý (các điều kiện tương đương chuẩn) Cho F trường, • , • hai chuẩn trường F Các điều sau tương đương: i) ∀x ∈ F , x < ⇔ x ii) ∀x ∈ F , x ≤ ⇔ x iii) ∃c > : ∀x ∈ F , x σ (α ) f ( y ) Σ an p n , y = Σ bn p n (là biểu diễn Teichmuller) α = p mθ i với Đặt: x = n n m ∈ , i ∈ {0,1, , p − 2} Ta có: x >α y nên x − y − p mθ i p < x − y p Suy ra: an = bn n < m Từ ta có: ∑ (a n≥ m n − bn ) p n − p mθ i < p ∑ (a n≥ m n − bn ) p n p (am − bm − θ i ) p m p < p − m ⇔ am − bm − θ i p < Do đó: sgn(am − bm ) = θi Mặt khác: f ( x) − f ( y ) =Σ (an − bn )θ s ( n ) p n + c =(am − bm )θ s ( m ) p m + c + r , n≥ m r p < f ( x) − f ( y ) p Suy ra: sgn( f ( x) − f ( y )) = sgn((am − bm )θ s ( m ) p m + c ) m )+i m+c p σ= ( p mθ i ) σ (α ) = θ s (= ⇒ f ( x) − f ( y ) ∈ σ (α ) Vậy: f ( x) >σ (α ) f ( y ) hay f :  p →  p đơn điệu kiểu σ 2.4.11 Bổ đề Cho f :  p →  p đơn điệu kiểu σ : Σ → Σ Khi tồn song ánh tăng nghiêm ngặt ϕ :  p →  p cho f ( x) − f ( y ) p = ϕ ( x − y p ) , ∀x, y ∈  p Chứng minh Vì f đơn điệu kiểu σ nên f đơn ánh Lấy x, y, z , t ∈  p cho x − y p < z − t p Ta cần chứng minh: f ( x) − f ( y ) p < f ( z ) − f (t ) p Vì f đơn ánh nên ta giả sử x ≠ y Khi đó: x >α y, z > β t với α , β ∈ Σ, α < β Ta lại có: f ( x) − f ( y ) p = σ (α ) f ( z ) − f (t ) p = σ (β ) Mà α < β ⇒ σ (α ) < σ ( β ) nên f ( x) − f ( y ) p < f ( z ) − f (t ) p Từ ta có: | f ( x) − f ( y ) | p hàm tăng nghiêm ngặt x − y p , tức ( ) f ( x) − f ( y ) p = ϕ x − y p với ϕ :  p →  p tăng nghiêm ngặt Ta chứng minh: ϕ toàn ánh Xét ánh xạ: ϕ :  p →  p x − y p  f ( x) − f ( y ) p n −n (θ 1) = σ (α ) p= Lấy p ∈  p Khi đó, tồn α ∈ ∑ ' để Ta có: x ∈ α ⇒ x − ∈ α p−n Vì f hàm đơn điệu kiểu σ nên f ( x) − f (0) ∈ σ (α ) = Do đó: f ( x) − f ( y ) p = p − n p =pn ( ) Suy ra: ϕ x − y p = f ( x) − f ( y ) p = p n Vì ϕ toàn ánh Vậy ϕ song ánh 2.4.12 Định lý Cho f :  p →  p đơn điệu kiểu σ : Σ → Σ Khi f có dạng f = a.g , g đẳng cự, a ∈  p* Chứng minh Vì f hàm đơn điệu kiểu σ nên theo bổ để 2.4.11 tồn song ánh tăng nghiêm ngặt ϕ :  p →  p cho ( ) f ( x) − f ( y ) p = ϕ x − y p , ∀x, y ∈  p Do đó: ϕ cảm sinh song ánh tăng: log p ϕ :  →  Theo bổ đề 2.4.10, ta có: log p ϕ : n  n − c, c ∈  ( ) Vì vậy: f ( x) − f ( y ) p = ϕ x − y p = p = p−c p ( log p ϕ x − y p ) = p log p x − y p − c log p x − y p = p − c x − y p= a p x − y p với = a pc ∈  p∗ Suy ra: f ( x) f ( y ) − a a =x− y p p ⇒ g= f đẳng cự a ⇒ f = a.g , g đẳng cự 2.5 Đơn điệu loại Trước hết, ta có nhận xét sau: Một hàm thực f : [a, b] →  , điều kiện sau tương đương: 1) f hàm đơn điệu không nghiêm ngặt ( tức x ≤ y ⇒ f ( x) ≤ f ( y ), ∀x, y ∈ [a, b] x ≤ y ⇒ f ( x) ≥ f ( y ), ∀x, y ∈ [a, b]) 2) Nếu x nằm y z f ( x) nằm f ( Chứng minh * 1) ⇒ 2) : Giả sử f hàm đơn điệu + f hàm đơn điệu tăng Lấy x nằm a b Khi đó: x ∈ [a, b] ⇒ a ≤ x ≤ b Vì f hàm đơn điệu tăng nên f (a ) ≤ f ( x) ≤ f (b) Do đó: f ( x) nằm f (a ) f (b) + f hàm đơn điệu giảm Lấy x nằm a b Khi đó: x ∈ [a, b] ⇒ a ≤ x ≤ b Vì f hàm đơn điệu giảm nên f (a ) ≥ f ( x) ≥ f (b) Do đó: f ( x) nằm f (a ) f (b) * 2) ⇒ 1) : Không tính tổng quát, ta giả sử: y ≤ z Lấy x1, x2 ∈ [ y, z ] x1 ≤ x2 với y, z ∈ [a, b] Vì x1 ≤ x2 nên x1 ∈ [ y, x2 ] ⇒ x1 nằm y x2 Do đó: f ( x1 ) nằm f ( y ) f ( x2 ) Có hai khả sau đây: + Nếu f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) Khi đó: f hàm đơn điệu tăng + Nếu f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) Khi đó: f hàm đơn điệu giảm Vậy f hàm đơn điệu không nghiêm ngặt Như vậy, dựa vào nhận xét trên, ta xây dựng phi Archimedean hàm đơn điệu trường  p sau: 2.5.1 Định nghĩa Một hàm f :  p →  p đơn điệu z ∈ [ x, y ] ⇒ f ( z ) ∈ [ f ( x), f ( y )] , ∀x, y, z ∈  p Nói cách khác, f đơn điệu ∀x, y, z ∈  p z − x p ≤ x − y p ⇒ f ( z ) − f ( x) p ≤ f ( x) − f ( y ) p 2.5.2 Ví dụ i) Hàm đẳng cự hàm đơn điệu Thật vậy: Giả sử f :  p →  p đẳng cự Khi đó, với x, y, z ∈  p x − y p , f ( z ) − f ( x) p = z−x p Ta có: f ( x) − f ( y ) p = Do đó: z − x p =x − y p ⇒ f ( z ) − f ( x) p =f ( x) − f ( y ) p Vậy f hàm đơn điệu ii) Hàm đơn điệu loại α ∈ ∑ , đơn điệu kiểu σ hàm đơn điệu Thật vậy: * Giả sử: f :  p →  p hàm đơn điệu kiểu σ Khi đó, với x, y ∈  p , α ∈ ∑ , ta có: x − y ∈ α ⇒ f ( x) − f ( y ) ∈ σ (α ) Giả sử: z − x p ≤ x − y p Ta chứng minh: f ( z ) − f ( x) p ≤ f ( x) − f ( y ) p + Nếu z − x p =x − y p , z ∈  p Đặt: z − x ∈ β , β ∈ ∑ Khi đó, ta có: β = α Vì f hàm đơn điệu kiểu σ nên f ( z ) − f ( x) ∈ σ ( β ) Theo bổ đề 2.4.7, ta có: β < α ⇔ σ ( β ) < σ (α ) nên β = α ⇔ σ (β ) = σ (α ) Do đó: f ( z ) − f ( x) p =f ( x) − f ( y ) p + Nếu z − x p < x − y p Khi đó: z − x ∈ β , β ∈ ∑ Vì f hàm đơn điệu kiểu σ nên f ( z ) − f ( x) ∈ σ ( β ) Ta có: β < α nên theo bổ đề 2.4.7, suy ra: σ ( β ) < σ (α ) Do đó: f ( z ) − f ( x) p < f ( x) − f ( y ) p Vây: f ( z ) − f ( x) p ≤ f ( x) − f ( y ) p hay f hàm đơn điệu * Vì hàm đơn điệu loại α ∈ ∑ hàm đơn điệu kiểu σ với: σ: ∑ → ∑ β  αβ nên hàm đơn điệu loại α hàm đơn điệu 2.5.3 Ví dụ (Hàm đơn điệu không đơn điệu kiểu σ , với song ánh σ : ∑ → ∑) = Với x ∈  p , x có khai triển p-adic x ∑ an p n ∈  p Ta định nghĩa hàm f :  p →  p ∑ an p n  ∑τ (an ) p n đó, τ : {0,1, , p − 1} → {0,1, , p − 1} song ánh thỏa τ (1) − τ (0) ≠ τ (2) − τ (1), τ (0) = Khi f hàm đơn điệu không đơn điệu kiểu σ Chứng minh + f hàm đơn điệu: ,x Lấy x, y ∈  p= , y ∑ bn p n ∑ an p n= −k ⇒ an= bn , ∀n < k , ak ≠ bk Giả sử: x − y p= p Suy ra: τ (= an ) τ (bn ), ∀n < k τ (ak ) ≠ τ (bk ) Do đó: f ( x) − f ( y ) p = p−k x − y ∑ (τ (an ) − τ (bn ) ) p n == p n Vậy f hàm đẳng cự nên f hàm đơn điệu + f không đơn điệu kiểu σ , với song ánh σ : ∑ → ∑ Giả sử ngược lại f đơn điệu kiểu σ ( ) Chọn α = 1, giả sử: σ (α ) = θ j p n Khi đó: sgn f ( x ) − f ( y ) = sgn( x − y ) Ta có, với x , y ∈  p , sgn( x − y ) =1 ⇒ x − y =1 ⇒ f ( x ) − f ( y ) =1 p p Do đó: σ ( f ( x ) − f ( y ) ) =θ i ⇒ f ( x ) − f ( y ) ≡ θ i (mod p), i ∈ {0,1, , p − 1} i Vậy: sgn( x − y ) = f ( x ) − f ( y ) ≡ θ (mod p) Với ≤ i ≤ p − 2, ta có: i + = (i + 1) + p + nên f (i + 1) = τ (i + 1) sgn ( (i + 1) − i ) = ⇒ f (i + 1) − f (i) ≡ θ i (mod p) ⇒ τ (i + 1) − τ (i) ≡ θ i (mod p) Cho= i 0, p − , ta được: τ (1) − τ (0) ≡ τ (2) − τ (1) ≡ ≡ τ ( p − 1) − τ ( p − 2) ≡ θ i (mod p) Suy ra: τ (1) − τ (0) = τ (2) − τ (1) = = τ ( p − 1) − τ ( p − 2) (mâu thuẫn) Vậy f không đơn điệu kiểu σ Nhận xét: Sóng ánh τ ví dụ 2.5.3 tồn với p ≥ Chẳng hạn: τ :{0,1, , p − 1} → {0,1, , p − 1} = τ (0) 0,= τ (1) 2,= τ (2) 1,= τ (i ) i ôùi i ≠ 0,1, v 2.5.4 Định nghĩa Một tập X  p gọi lồi x, y ∈ X ⇒ [ x, y ] ⊂ X 2.5.5 Mệnh đề ( ) i) Các hình cầu, tập ∅ ,  p tập đơn {a} , a ∈  p tập lồi ii) Nếu C ⊂  p lồi tồn = r p n , n ∈ , r ∈ [0, ∞] để C = Ba ( p n ) Chứng minh i) Hiển nhiên ii) Với a ∈ C , ta đặt: = r sup x − a p Xảy hai khả sau: x∈C * r = ∞ : Lấy x ∈  p Khi tồn b ∈ C để x − a p < x − b p { } Do đó: a − b p =a − x + x − b p =max x − a p , x − b p =x − b p Suy ra: x − a p < a − b p ⇒ x ∈ [a, b] Với a, b ∈ C , C oài l⇒ [a, b] ⊂ C ⇒ x ∈ C ⇒  p ⊂ C Vậy: C =  p n pn r p= max x − a p : Khi tồn b ∈ C để b − a p = *= x∈C n n + Lấy x ∈ Ba ( p ) ⇒ x − a p ≤ p = b − a p ⇒ x ∈ [a, b] Với a, b ∈ C , C oài l⇒ [a, b] ⊂ C ⇒ x ∈ C ⇒ Ba ( p n ) ⊂ C n n n + Ngược lại, lấy x ∈ C ⇒ x − a p ≤ p ⇒ x ∈ Ba ( p ) ⇒ C ⊂ Ba ( p ) Vậy: C = Ba ( p n ) 2.5.6 Mệnh đề f :  p →  P đơn điệu tập lồi C  p , tập f −1 (C ) lồi Chứng minh + Lấy x, y ∈ f −1 (C ) z ∈ [ x, y ] Vì f hàm đơn điệu nên f ( z ) ∈ [ f ( x), f ( y ) ] Mà C tập lồi  p ⇒ [ f ( x), f ( y )] ⊂ C Do đó: f ( z ) ∈ C nên z ∈ f −1 (C ) hay tập f −1 (C ) lồi + Ngươc lại, lấy x, y, z ∈  p z ∈ [ x, y ] Ta có: [ f ( x), f ( y ) ] tập lồi nên f −1 ([ f ( x), f ( y )]) tập lồi  p x, y ∈ f −1 ([ f ( x), f ( y )]) Do đó: z ∈ f −1 ([ f ( x), f ( y )]) ⇒ f ( z ) ∈ [ f ( x), f ( y )] hay f :  p →  P hàm đơn điệu 2.5.7 Bổ đề Cho f :  p →  P hàm đơn điệu Nếu a, b, c ∈  p , a − b p < a − c p f (a ) ≠ f (c) f (a ) − f (b) p < f ( a ) − f (c ) p Chứng minh Đặt: B = [a, c], f đơn điệu nên ta có: { f (a ), f (c)} ⊂ f ( B) ⊂ [ f (a ), f (c)] Ta định nghĩa quan hệ tương đương B sau: x  y f ( x) − f ( y ) p < f (a ) − f (c) p ( x, y ∈ B) Hình cầu [ f (a ), f (c)] có nhiều p phần tử có tính chất, khoảng cách từ phần tử p phần tử đến phần tử lại p phần tử f (a ) − f (c) p Do đó, ta phân tích B thành n lớp tương đương B , B , …, B n n ≤ p Vì a c không tương đương nên n ≥ { } ( f (a) − f (c) )} = f ( B ( f (a) − f (c) )) x B : f ( x ) − f ( y ) p < f ( a ) − f (c ) p Ta có: Bi =∈ { x B : x  y} =∈ { = x : f ( x) ∈ B f ( y ) ( −1 p f ( y) p ) Mà B f ( y ) f (a ) − f (c) p lồi f hàm đơn điệu nên Bi lồi với i = 2, 3, …, n Như vậy, B phủ n hình cầu rời khác rỗng Mà hình cầu Bi nằm  p nên n = p Vì hình cầu B có bán kính a − c p nên hình cầu Bi có bán kính p −1 | a − c | p −1 Ta lại có: a − b p < a − c p nên a − b p ≤ p a − c p Vì tồn i để a b phần tử B i Khi đó: a ~ b ⇒ f (a ) − f (b) p < f (a ) − f (c) p 2.5.8 Định lý Cho f :  p →  p đơn điệu Khi đó: f ∈ Lip1 ( p →  p ) Đặc biệt, hàm đơn điệu liên tục Chứng minh Đặt: M = max{ f (i ) − f ( j ) p : i, j ∈ {0,1, , p − 1}}, lấy a ∈  p Ta chứng minh quy nạp theo n sau: x ∈  p , x − a p = p − n ⇒ f ( x) − f (a) p ≤ p − n M (*) • n = 0: Chọn i, j ∈ {0,1, , p − 1}, i ≠ j : x − i p < 1, a − j p < Ta có: x − a p = Khi đó: { =max { i − a } } =i − a i − a p = (i − x) + ( x − a ) p = max x − a p , i − x p = x − a p i − j p =(i − a) + (a − j ) p p , a− j p p Suy ra: x − a p =i − a p =i − j p Vì f đơn điệu nên ta có: f ( x) − f (a ) p ≤ f (i ) − f (a ) p ≤ f (i ) − f ( j ) p ≤ M • Giả sử (*) với n – p − ( n −1) ⇒ Tức là: x ∈  p , x − a= p f ( x) − f (a) p ≤ p − ( n −1) M p − n Khi đó: x − a p < a + p n −1 − a p • Ta có: x − a p = + Nếu f (a + p n −1 ) ≠ f (a ) theo bổ đề 2.5.3, ta có: f ( x) − f (a ) p < f (a + p n −1 ) − f (a ) p p − ( n −1) nên f (a + p n −1 ) − f (a ) p ≤ p − ( n −1) M Mặt khác: a + p n −1 − a p = Suy ra: f ( x) − f (a ) p < f (a + p n −1 ) − f (a ) p ≤ p − ( n −1) M Do đó: f ( x) − f (a ) p ≤ p −1 p − ( n −1) M = p−nM f (a ) Vì f đơn điệu nên ta có: + Nếu f (a + p n −1 ) = f ( x) − f (a ) p ≤ f (a + p n −1 ) − f (a ) p = −n Do đó: f ( x) − f (a ) p ≤ p M Vậy: f ( x) − f (a ) p ≤ M x − a p hay f ∈ Lip1 ( p →  p ) Ta có: f đơn điệu bị chặn nên f liên tục 2.5.9 Định lý Cho f :  p →  p đơn điệu toàn ánh Khi f phép đẳng cự Chứng minh + Nhận xét: Nếu f :  p →  p hàm đơn điệu f ( x) − f ( y ) p ≤ x − y p ( x, y ∈  p ) Thật vậy: Vì f hàm đơn điệu nên theo chứng minh định lý 2.5.8, ta có: { } f ( x) − f ( y ) p ≤ M x − y p với = M max f (i ) − f ( j ) p : i, j ∈ {0,1, , p − 1} ≤ Do vậy: f ( x) − f ( y ) p ≤ x − y p ( x, y ∈  p ) + Ta chứng minh f đơn ánh: Lấy f (a ) = f (b) với a, b ∈  p Suy ra, tồn dãy x1 , x2 ,  p cho lim f ( xn ) = f (a ) f ( xn ) ≠ f (a ), ∀n n →∞ Vì  p compact nên giả sử dãy x1 , x2 , hội tụ Đặt: c = lim xn , giả sử c ≠ a n →∞ Khi ta có: xn − c p < c − a p , với n đủ lớn Mà f đơn điệu nên f ( xn ) − f (c) p ≤ f (c) − f (a ) p = f (c) lim = f ( xn ) f (a ) Mặt khác: f liên tục nên n →∞ Suy ra: f (c) = f ( xn ) ⇒ f ( xn ) = f (a ) , với n đủ lớn (mâu thuẫn) Do đó: c = a Vì vai trò a b nên ta có: c = b Suy ra: a = b Vậy: f đơn ánh Ta có: f vừa đơn ánh vừa toàn ánh nên f song ánh Suy ra, tồn song ánh f −1 :  p →  p Ta có, f hàm đơn điệu nên theo nhận xét trên, ta có: f ( x) − f ( y ) p ≤ x − y p ( x, y ∈  p ) (*) Vì f đơn ánh nên ta có: z − x p ≤ x − y p ⇔ f ( z ) − f ( x) p ≤ f ( x) − f ( y ) p + Ta chứng minh: f −1 hàm đơn điệu Giả sử: z − x p ≤ x − y p Ta cần chứng minh: f −1 ( z ) − f −1 ( x) ≤ f −1 ( x) − f −1 ( y ) p p Đặt: f −1 ( x) = x ' ⇒ x = f ( x ' ) , f −1 ( y ) = y ' ⇒ y = f ( y ' ) f −1 ( z ) = z ' ⇒ z = f ( z ' ) Khi đó: z − x p ≤ x − y p ⇒ f ( z ' ) − f ( x' ) ≤ f ( x' ) − f ( y ' ) p p Mà f −1 đơn ánh nên ta có: z ' − x ' Do đó: f −1 ( z ) − f −1 ( x) p p ≤ x' − y ' p ≤ f −1 ( x) − f −1 ( y ) p Vậy f −1 :  p →  p hàm đơn điệu, theo nhận xét ta suy ra: f −1 ( x) − f −1 ( y ) p ≤ x − y p ( x, y ∈  p ) ⇒ x − y p ≤ f ( x) − f ( y ) p (**) x − y p Từ (*) (**), ta suy ra: f ( x) − f ( y ) p = Vậy: f phép đẳng cự KẾT LUẬN Trong luận văn này, xây dựng hàm đơn điệu trường phi Archimedean tính chất hàm đơn điệu so sánh với hàm đơn điệu trường số thực Mặc dù trường phi Archimedean cấu trúc thứ tự Dựa vào khái niệm dấu phần tử  p , xây dựng hàm đơn điệu loại α tiếp đến xây dựng hàm đơn điệu kiểu σ Hàm đơn điệu loại α hàm đơn điệu kiểu σ với σ : ∑ → ∑, β  αβ , β ∈ ∑ Không phải song ánh σ : ∑ → ∑ tồn hàm đơn điệu kiểu σ Tuy nhiên, song ánh thỏa σ :∑→∑ σ (−α ) = −σ (α ) σ (α ⊕= β ) σ (α ) ⊕ σ (β ), ∀α , β ∈ ∑, α ≠ − β tồn hàm đơn điệu kiểu σ Cuối cùng, dựa vào khái niệm phần tử nằm để xây dựng hàm đơn điệu Trong đó, hàm đẳng cự, hàm đơn điệu loại α , hàm đơn điệu kiểu σ hàm đơn điệu Tuy nhiên, tồn hàm đơn điệu mà không đơn điệu kiểu σ Hướng nghiên cứu tới đề tài hàm đơn điệu trường K, K trường phi Archimedean đầy đủ với lớp trường thặng dư k Trong luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong quý thầy cô, bạn bảo đóng góp ý kiến để luận văn đạt chất lượng cao Xin chân thành cảm ơn ! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Z.I.Borevich and I.R.Shafarevich (1966), Number theory, Academic press [2] Neal Koblitz (1984), p – adic Numbers, p – adic Analysis and Zeta –Functions, Springer [3] Neal Koblitz (1980), p – adic Analysis: A short course on recent work, Cambridge university press [4] W.H.Schikhof (1984), Ultrametric calculus, An introduction to p-adic analysis, Cambridge university press [5] W.H.Schikhof (1979), Non-Archimedean monotone functions, Mathematisch Instituut Katholieke Universiteit [...]... xây dựng khái niệm hàm đơn điệu trên trường  p , các khái niệm này được xem như là khái niệm tương tự phi Archimedean của hàm đơn điệu trên trường số thực Mặc dù trên trường phi Archimedean không có cấu trúc thứ tự Trước hết, ta thấy rằng hàm đơn điệu trên  gắn liền với cấu trúc thứ tự của trường số thực  Do đó, để xây dựng tương tự phi Archimedean của hàm đơn điệu trên trường  p một cách tự nhiên,... np Vậy f là đẳng cấu nhóm 2.3 Hàm đơn điệu loại α Ta nhớ lại: Hàm f : X → R gọi là đơn điệu tăng nếu x < y ⇔ f ( x) ≤ f ( y ) , − y ) sgn ( f ( x) − f ( y ) ) hay nói cách khác: sgn( x= Hàm f : X → R gọi là đơn điệu giảm nếu x < y ⇔ f ( x) ≥ f ( y ) , hay nói − sgn ( f ( x) − f ( y ) ) cách khác: sgn( x − y ) = Hàm đơn điệu tăng hay đơn điệu giảm gọi chung là hàm đơn điệu Tương tự trong  p ta có... là hàm đơn điệu giảm ⇔ s =−1 ⇔ f ( x) − f ( y ) − 1 < 1 ( do i) ) x− y p f ( x) − f ( y ) + 1 < 1 ( do i) ) x− y p 2.3.3 Mệnh đề i) Nếu f là hàm đơn điệu loại α thì tf là hàm đơn điệu loại sgn t.α Với s bất kỳ nếu sgn s = α thì s −1 f là hàm tăng ii) Nếu f là đơn điệu loại α = sgn s thì f ( x) − f ( y ) p = s p x − y Một hàm tăng là một phép đẳng cự p (x, y ∈ X ) Chứng minh i) + Vì f là hàm đơn điệu. .. Cho α ∈ ∑ và X ⊂  p Hàm f : X →  p là đơn điệu loại α nếu ∀x, y ∈ X , x ≠ y sgn( f ( x) − f ( y )) = α sgn( x − y ) Hàm f được gọi là đơn điệu tăng nếu α = 1 Hàm f được gọi là đơn điệu giảm nếu α = −1 2.3.2 Định lý i) Cho X ⊂  p và f : X →  p f là hàm đơn điệu loại α nếu và chỉ nếu tồn tại s ∈ α để f ( x) − f ( y ) − s < | s | p , ∀x, y ∈ X , x ≠ y x− y p ii) f là hàm đơn điệu tăng nếu và chỉ... phép đẳng cự 2.3.4 Ví dụ i) Hàm f :  p →  p x  x là hàm đơn điệu tăng Thật vậy: Ta có: f ( x) − f ( y ) p =s p x − y p f ( x) − f ( y ) p = x− y p f ( x) − f ( y ) x− y −1 = − 1 =0 < 1 x− y x − y p p với x, y ∈  p , x ≠ y Vậy f là hàm đơn điệu tăng ii) Với p ≠ 2, α ∈ ∑, f : α →  p x  x 2 là hàm đơn điệu loại α ⊕ α Nếu p = 2 thì f không đơn ánh nên hàm f không đơn điệu Thật vậy: + Nếu p ≠ 2... ∈α ⊕ α x− y x− y Lấy s ∈ α ⊕ α , khi đó: f ( x) − f ( y ) −s = x+ y−s p < s p x− y p Vậy f là hàm đơn điệu loại α ⊕ α 2 p < 1 + Nếu p = 2: Lấy −1, 1 ∈ α , ta có: 1 − (−1) = p Mặt khác: f (1) = f (−1) = 1 ⇒ f không đơn ánh Do đó: f không đơn điệu (vì một hàm đơn điệu theo định nghĩa là đơn ánh) 2.4 Hàm đơn điệu kiểu σ 2.4.1 Định nghĩa Cho α ∈ ∑ , quan hệ >α trong  p được định nghĩa: x >α y nếu x −... + β hay x − z ∈ α ⊕ β Vậy: x >α ⊕ β z 2.4.3 Định nghĩa Cho σ : Σ → Σ là song ánh Một hàm f :  p →  p được gọi là đơn điệu kiểu σ nếu x >α y ⇒ f ( x) >σ (α ) f ( y ), ∀x, y ∈  p , α ∈ ∑ 2.4.4 Ví dụ i) Ta dễ thấy rằng, hàm tăng chính là hàm đơn điệu kiểu id (ánh xạ đồng nhất của σ ) ii) Hàm giảm chính là hàm đơn điệu kiểu -id ... { x , y } = Ngược lại: x = ( x + y ) − y ≤ max { x + y , y } = x + y max { x , y } Vậy: x + y = 1.2.2 Ví dụ i) Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Archimedean ii) Mọi chuẩn trên trường hữu hạn F đều là chuẩn phi Archimedean (vì F là trường hữu hạn nên mọi chuẩn trên F đều là chuẩn tầm thường) Cho p là một số nguyên tố cố định x pα n + x ∈  , x viết được:= (n,= p) 1, α ∈  m với m, n, α ∈... − 1 = 1 + 1 + + 1 ≥ 0 (do i) và ii) ) p n −1 soá 1 −1 lim an ≥ 0 (mâu thuẫn) Suy ra:= n →∞ Bởi vậy, ta không thể xây dựng tương tự phi Archimedean của hàm đơn điệu trên trường  p bằng cấu trúc thứ tự Tuy nhiên, ta có thể xây dựng được tính đơn điệu của các hàm số trong  p dựa vào khái 2.2 Dấu của một phần tử trong  p Trước hết, ta có nhận xét: [x, y] trong  chính là hình cầu bé nhất chứa... của trường  p nên nhóm xiclic sinh bởi phần tử θ là: {a , a , , a } 1 2 p −1 = < θ > θ được gọi là căn nguyên thủy bậc (p – 1) của 1 Với x ∈  p* , x có khai triển duy= nhất, x { } ∞ ∑b p , k ∈  n n=k n Teichmuller, bn ∈ 0, a1 , a2 , , a p −1 gọi là đặc trưng Teichmuller gọi là khai triển Chương 2 HÀM ĐƠN ĐIỆU TRÊN TRƯỜNG PHI ARCHIMEDEAN 2.1 Mở đầu Trong chương này chúng tôi sẽ xây dựng khái niệm hàm ... − f ( y ) p hay f hàm đơn điệu * Vì hàm đơn điệu loại α ∈ ∑ hàm đơn điệu kiểu σ với: σ: ∑ → ∑ β  αβ nên hàm đơn điệu loại α hàm đơn điệu 2.5.3 Ví dụ (Hàm đơn điệu khơng đơn điệu kiểu σ , với... Chương HÀM ĐƠN ĐIỆU TRÊN TRƯỜNG PHI ARCHIMEDEAN 2.1 Mở đầu Trong chương chúng tơi xây dựng khái niệm hàm đơn điệu trường  p , khái niệm xem khái niệm tương tự phi Archimedean hàm đơn điệu trường. .. niệm hàm đơn điệu trường phi Archimedean Nghiên cứu tính chất hàm đơn điệu phi Archimedean, so sánh với hàm đơn điệu trường số thực Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn xây dựng khái niệm hàm