phương trình với toán tử d accretive

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Đặng Thị Hồng Dương PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ d ACCRETIVE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Đặng Thị Hồng Dương PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ d ACCRETIVE Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Cho X là không gian Banach thực phản xạ và lồi chặt cùng với không gian đối ngẫu X ∗ của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là .. Ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x ∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X là x ∗ , x. Toán tử A : X → 2 X được gọi là toán tử d-accretive nếu Jx 1 − Jx 2 , y 1 − y 2  ≥ 0 với mọi x 1 , x 2 ∈ D(A), y 1 ∈ Ax 1 , y 2 ∈ Ax 2 , ở đây D(A) là kí hiệu miền xác định của toán tử A. Chúng ta xét phương trình toán tử Ax = f. Phương pháp hiệu chỉnh toán tử được Lavrent’ev [6] đưa ra đầu tiên cho phương trình toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert. Những nghiên cứu sâu sắc cho bài toán này được công bố trong [3]-[5]. Trong không gian Banach X, nhưng không phải không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của X là không tuyến tính. Khi đó, không thể áp dụng phương pháp hiệu chỉnh toán tử trong [3]-[6] cho phương trình toán tử Ax = f trong không gian Banach. Khi đó đòi hỏi những nghiên cứu mới về phương pháp hiệu chỉnh toán tử cho phương trình toán tử phi tuyến. i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu và trình bày một số kết quả cơ bản về phương trình toán tử Ax = f với toán tử d-accretive trong không gian Banach. Các vấn đề đề cập trong luận văn được tập hợp từ tài liệu [2], trong các mục về: Toán tử accretive và toán tử d-accretive; Phương trình toán tử accretive và phương trình toán tử d-accretive; Hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử d-accretive. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu một số kiến thức cơ bản về toán tử accretive và toán tử d-accretive và một số tính chất hình học của không gian. Chương 2 sẽ trình bày phương trình toán tử accretive, phương trình toán tử d-accretive và phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử d- accretive. Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sỹ Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và nhiệt tình của cô trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn. Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ của các giáo sư công tác tại trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin - Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam và Đại học Thái Nguyên. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên tôi vượt qua những khó khăn trong cuộc sống để tôi có điều kiện tốt nhất khi học tập nghiên cứu. Do điều kiện thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi hy vọng được tiếp tục nghiên cứu đề tài trên trong thời gian tới. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, năm 2012 Tác giả Đặng Thị Hồng Dương iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bảng ký hiệu H không gian Hilbert thực X không gian Banach thực X ∗ không gian liên hợp của X R n không gian Euclide n chiều ∅ tập rỗng x := y x được định nghĩa bằng y ∀x với mọi x ∃x tồn tại x inf x∈X F (x) infimum của tập {F (x) : x ∈ X} I ánh xạ đơn vị A T ma trận chuyển vị của ma trận A a ∼ b a tương đương với b A ∗ toán tử liên hợp của toán tử A D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền giá trị của toán tử A x k → x dãy {x k } hội tụ mạnh tới x x k  x dãy {x k } hội tụ yếu tới x iv Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục 1 Toán tử accretive và d-accretive 1 1.1 Toán tử accretive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Toán tử d-accretive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Một số tính chất hình học của không gian . . . . . . . . 14 2 Phương trình với toán tử d-accretive 26 2.1 Phương trình toán tử accretive . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Phương trình toán tử d- accretive . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Hiệu chỉnh phương trình toán tử d-accretive . . . . . . . 34 Tài liệu tham khảo 40 v Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Toán tử accretive và d-accretive Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về toán tử accretive và d-accretive. Các khái niệm và kết quả của chương này được tham khảo trong tài liệu [1], [2]. 1.1 Toán tử accretive Cho X là không gian Banach thực phản xạ và lồi chặt cùng với không gian đối ngẫu X ∗ của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là .. Ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x ∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X là x ∗ , x. Định nghĩa 1.1.1. Toán tử A : X → X ∗ được gọi là i) hemi-liên tục (hemicontinuous) trên X nếu A(x + ty)  Ax, khi t → 0, ∀x, y ∈ X. ii) demi-liên tục (demicontinuous) trên X nếu từ x n → x suy ra Ax n  Ax, n → ∞. iii) liên tục yếu theo dãy (weak-to-weak continuous) nếu với bất kỳ dãy x n ⊂ X, x n  x 0 thì Ax n  Ax 0 . 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive Định nghĩa 1.1.2. Toán tử J : X → 2 X ∗ được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X nếu J(x), x = J(x)x = x 2 , ∀x ∈ X. Mệnh đề 1.1.3. Giả sử X là không gian Banach. Khi đó, i) J(x) là tập lồi, J(λx) = λJ(x) với mọi λ > 0; ii) J là toán tử đơn trị khi và chỉ khi X ∗ là không gian lồi chặt. Trong trường hợp X là không gian Hilbert thì J ≡ I (trong đó I là toán tử đơn vị trong X). Định lý 1.1.4. Nếu X ∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → X ∗ là toán tử đơn điệu, bức và demi-liên tục. Hơn nữa, nếu X là không gian Banach lồi chặt thì J là toán tử đơn điệu chặt. Định nghĩa 1.1.5. Toán tử A : X → 2 X gọi là toán tử accretive nếu J(x 1 − x 2 ), y 1 − y 2  ≥ 0 (1.1) với mọi x 1 , x 2 ∈ D(A), y 1 ∈ Ax 1 , y 2 ∈ Ax 2 , ở đây D(A) là kí hiệu miền xác định của toán tử A. Nếu toán tử A khả vi Gâteaux thì ta có định nghĩa sau đây. Định nghĩa 1.1.6. Toán tử khả vi Gâteaux A : X → X là toán tử accretive nếu Jh, A  (x)h ≥ 0, ∀x, h ∈ X. Sau đây là một định nghĩa khác của toán tử accretive. Định nghĩa 1.1.7. Toán tử A : X → 2 X được gọi là toán tử accretive nếu x 1 − x 2  ≤ x 1 − x 2 + λ(y 1 − y 2 ), λ > 0, (1.2) với mọi x 1 , x 2 ∈ D(A), y 1 ∈ Ax 1 , y 2 ∈ Ax 2 . 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Toán tử accretive và d-accretive Định lý 1.1.8. Định nghĩa 1.1.5 và Định nghĩa 1.1.7 là tương đương. Chứng minh: Thật vậy, giả sử (1.1) thỏa mãn, khi đó bất đẳng thức J(x 1 − x 2 ), x 1 − x 2 + λ(y 1 − y 2 ) ≥ x 1 − x 2  2 , λ > 0, có giá trị và từ đó suy ra (1.2). Hơn nữa, ta biết rằng nếu X ∗ là không gian lồi chặt thì X là không gian trơn và Jx = 2 −1 gradx 2 . Từ tính lồi của hàm x 2 ta có bất đẳng thức x 1 − x 2  2 ≥ x 1 − x 2 + λ(y 1 − y 2 ) 2 −2λJ(x 1 −x 2 +λ(y 1 −y 2 )), y 1 −y 2 . Nếu (1.2) thỏa mãn thì J(x 1 − x 2 + λ(y 1 − y 2 )), y 1 − y 2  ≥ 0. Cho λ → 0 và sử dụng tính chất hemi-liên tục của J ta nhận được (1.1) ✷ Sau đây là một số tính chất của toán tử accretive. Định nghĩa 1.1.9. Toán tử accretive A : X → 2 X là toán tử bức nếu Jx, y ≥ c(x)x, ∀y ∈ Ax, ở đây c(t) → +∞ khi t → +∞. Định nghĩa 1.1.10. Toán tử A : X → 2 X được gọi là bị chặn địa phương tại điểm x ∈ D(A) nếu tồn tại một lân cận M của điểm đó sao cho tập hợp A(M) = {y : y ∈ Ax, x ∈ M ∩ D(A)} là bị chặn trong X. Định lý 1.1.11. Cho A : X → 2 X là toán tử accretive, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → X ∗ và J ∗ : X ∗ → X liên tục trong X và X ∗ tương ứng. Khi đó toán tử A bị chặn địa phương tại mọi điểm x ∈ intD(A). 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... hiệu chỉnh phương trình với toán tử d- accretive Các kết quả của chương này được tham khảo và tập hợp trong các Mục 1.15, 1.16 và 2.7 trong [1] 2.1 Phương trình toán tử accretive Xét phương trình toán tử Ax = f, (2.1) với A là toán tử accretive Định lý 2.1.1 Giả sử X và X ∗ là các không gian Banach lồi chặt, X có tính chất xấp xỉ, A : X → X là toán tử accretive và demi-liên tục với miền xác định D( A) =... Chương 1 Toán tử accretive và d- accretive Định nghĩa 1.2.7 Toán tử A được gọi là d- accretive cực đại nếu đồ thị của nó không thực sự chứa trong đồ thị của bất kỳ một toán tử d- accretive B : X → 2X nào khác Bổ đề 1.2.8 Tập giá trị của toán tử d- accretive cực đại tại điểm bất kỳ của miền xác định của nó là tập lồi và đóng Định lý 1.2.9 Cho A : X → X là toán tử d- accretive, demi-liên tục với D( A) = X... Ví d 1.3.17 Với X = lp hoặc Lp , 1 < p ≤ 2, môđun trơn ρX (τ ) được xác định bởi công thức Lindenstrauss ρX (τ ) = sup τε − δX ∗ (ε), 0 ≤ ε ≤ 2 2 25 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.41) Chương 2 Phương trình với toán tử d- accretive Trong chương này chúng tôi giới thiệu về phương trình toán tử với toán tử accretive và d- accretive, đồng thời trình bày phương. .. m -accretive 1.2 Toán tử d- accretive Cho X là không gian Banach lồi chặt và phản xạ và không gian liên hợp X ∗ cũng lồi chặt Trong mục này chúng tôi nghiên cứu toán tử d- accretive cổ điển 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Toán tử accretive và d- accretive Định nghĩa 1.2.1 Một toán tử A : X → 2X với D( A) ⊆ X được gọi là toán tử d- accretive nếu Jx... nghĩa 1.1.21 Toán tử A : X → 2X được gọi là m -accretive nếu R(A + αI) = X với mọi α > 0, ở đây I là toán tử đơn vị trong X 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Toán tử accretive và d- accretive Bổ đề 1.1.22 Nếu toán tử A là m -accretive thì nó là toán tử accretive cực đại Chứng minh: Theo Định nghĩa 1.1.21, R(A + I) = X Vì A + I là toán tử accretive mạnh,... tục, toán tử A : X → 2X là toán tử accretive và D( A) là tập mở Khi đó A là m -accretive khi và chỉ khi A là accretive cực đại Tiếp theo đây là kết quả quan trọng về tổng của các toán tử maccretive Định lý 1.1.24 Cho X và X ∗ là các không gian Banach lồi đều, A : X → 2X và B : X → 2X là các toán tử m -accretive trong X, D( A) ∩ D( B) = ∅ và một trong chúng bị chặn địa phương Khi đó A + B là toán tử m -accretive. .. học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Toán tử accretive và d- accretive Bổ đề 1.2.12 Nếu toán tử A là m -d- accretive thì nó là d- accretive cực đại Định lý 1.2.13 Cho A : X → 2X là toán tử d- accretive, ánh xạ đối ngẫu J : X → X ∗ và J ∗ : X ∗ → X liên tục Khi đó A bị chặn địa phương tại bất kì x0 ∈ intD(A) Chứng minh: Giả sử ngược lại, x0 ∈ D( A), xn ∈ D( A), n = 1, 2, , xn → x0 nhưng yn →... chất xấp xỉ, ánh xạ đối ngẫu J liên tục yếu theo d y, toán tử A : X → 2X là toán tử accretive với miền xác định D( A) = X và tồn 28 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Phương trình với toán tử d- accretive tại số r > 0 sao cho với mọi x thỏa mãn x = r thì có phần tử y ∈ Ax sao cho Jx, y − f ≥ 0 Khi đó phương trình (2.1) có ít nhất một nghiệm suy rộng x sao... gọi là toán tử d- accretive nếu Jx − Jy, u − v ≥ 0, ∀x, y ∈ D( A), ∀u ∈ Ax, ∀v ∈ Ay (1.5) Sau đây là một vài ví d về toán tử d- accretive Ví d 1.2.2 Nếu F là toán tử đơn điệu từ X ∗ vào X, thì toán tử A = F J với D( A) = {x ∈ X : Jx ∈ D( F )} là toán tử d- accretive từ X vào X Thật vậy, vì F thỏa mãn điều kiện ϕ1 − ϕ2 , ψ1 − ψ2 ≥ 0, ∀ϕ1 , ϕ2 ∈ D( F ) ⊂ X ∗ , ∀ψ1 ∈ F ϕ1 , ∀ψ2 ∈ F ϕ2 , ta có thể viết JJ ∗... liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Phương trình với toán tử d- accretive tục và liên tục yếu theo d y và tồn tại số r > 0 sao cho với mọi x thỏa mãn x = r, thì Jx, Ax − f ≥ 0 Khi đó, phương trình (2.1) có ít nhất một nghiệm cổ điển x với x ≤ r Ta xét bài toán (2.1) trong trường hợp A : X → 2X là một toán tử accretive tùy ý và D( A) = X Trước hết ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề . các mục về: Toán tử accretive và toán tử d- accretive; Phương trình toán tử accretive và phương trình toán tử d- accretive; Hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử d- accretive. Nội dung của luận. 14 2 Phương trình với toán tử d- accretive 26 2.1 Phương trình toán tử accretive . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Phương trình toán tử d- accretive . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Hiệu chỉnh phương. không gian. Chương 2 sẽ trình bày phương trình toán tử accretive, phương trình toán tử d- accretive và phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử d- accretive. Luận văn này được hoàn thành tại trường