Phương trình với toán
2.3Hiệu chỉnh phương trình toán tử d accretive
đó R(A) = X.
Chứng minh: Từ điều kiện của toán tử m-d-accretive của toán tử A suy ra tính duy nhất của nghiệm của phương trình Ax+αx = 0 với mọi α > 0. Do đó tồn tại phần tử xα ∈ X và yα ∈ Axα sao cho
yα+ αxα = θX. (2.10)
Ta có
hJ xα, yαi = −αkxαk2, ∀α > 0.
Vì A là toán tử bức, nên bất đẳng thức này suy ra tính bị chặn của dãy {xα} khi α → 0. Do đó, αxα → θX. Từ (2.10), yα → θX, nghĩa là θX ∈ R(A). Bây giờ chọn một phần tử tùy ý f ∈ X để nhận được θX ∈ R(A)−f, hay f ∈ R(A) với mọi f ∈ X.
2
2.3 Hiệu chỉnh phương trình toán tử d-accretive accretive
Trong mục này chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình toán tử đặt không chỉnh (2.1) với A : X → X là toán tử hemi-liên
tục, d-accretive có miền xác định D(A) = X. Trong đó X là không gian Banach có tính chất xấp xỉ, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → X∗ là liên tục và liên tục yếu theo dãy trên X. Giả thiết rằng X và X∗ là các không gian lồi đều.
Giả sử cả toán tửA và vế phảif của (2.1) đều được cho xấp xỉ bởi Ah và fδ, trong đó Ah : X → X là toán tử d-accretive với D(Ah) = D(A), và fδ ∈ X thỏa mãn
kf −fδk ≤ δ, δ → 0 (2.11)
kAh(x)−A(x)k ≤ hg(kxk), h→ 0, (2.12) trong đó g(t) là một hàm giới nội. Khi đó phương trình hiệu chỉnh cho bài toán (2.1) với toán tử d-accretive có dạng
Ahx+αx= fδ. (2.13)
Ta giả sử rằng Ah là toán tử hemi-liên tục với D(Ah) = X, với mọi h > 0. Ta đã biết tập nghiệm S0 của phương trình (2.1) là tập lồi và đóng trong X.
Bổ đề 2.3.1. Phương trình (2.13) có duy nhất nghiệm.
Chứng minh: Ta có
hJ x, Ahx+αxi = hJ x−J θ, Ahx−Ahθ+Ahθ+ αxi
= hJ x−J θ, Ahx−Ahθi+hJ x−J θ, Ahθi +hJ x−J θ, αxi.
(2.14)
Do Ah là toán tử d-accretive nên ta có
hJ x−J θ, Ahx−Ahθi ≥ 0. (2.15) Mặt khác do J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc nên
Từ (2.14)-(2.16) suy ra
hJ x, Ahx+αxi ≥ αkxk2 − kAhθkkxk = kxk(αkxk − kAhθk) (2.17) Từ (2.17) suy ra toán tử T = Ah + αI là toán tử bức, do đó phương trình (2.13) có nghiệm xγα, γ = (δ, h) với mọi α > 0.
2
Định lý 2.3.2. Nếu δ +h
α → 0 và α → 0 thì nghiệm xγα của phương trình (2.13) hội tụ mạnh đến x¯∗ ∈ S0, ở đây x∗ là nghiệm duy nhất của phương trình (2.1) thỏa mãn:
hJx¯∗ −J x∗,x¯∗i ≤ 0, ∀x∗ ∈ S0. (2.18) Chứng minh: Đầu tiên ta chỉ ra rằng phần tử x¯∗ thỏa mãn (2.18) là duy nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại x¯∗∗ mà x¯∗ 6= ¯x∗∗ và
hJx¯∗∗ −J x∗,x¯∗∗i ≤ 0, ∀x∗ ∈ S0. (2.19) Trong (2.18) cho x∗ = ¯x∗∗ ta được
hJx¯∗ −Jx¯∗∗,x¯∗i ≤ 0. (2.20) Trong (2.19) cho x∗ = ¯x∗ ta được
hJx¯∗∗ −Jx¯∗,x¯∗∗i ≤ 0. (2.21) Cộng (2.20) và (2.21) ta có (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
0≥ hJx¯∗ −Jx¯∗∗,x¯∗ −x¯∗∗i ≥ (2L)−1δX(c2−1k¯x∗ −x¯∗∗k),
ở đây δX(ε) là môđun lồi của X, 1 < L < 1.7 là hằng số Figiel, c2 = 2 max{1, k¯x∗k, k¯x∗∗k}. Do đó sử dụng tính chất của δX(ε) ta suy ra
¯
Lấy tùy ý x∗ ∈ S0, giả sử xγα là nghiệm của (2.13), từ (2.1) và (2.13) ta suy ra
hJ xγα −J x∗, Ahxγα−Ax∗i+ αh(J xγα−J x∗), xγαi = hJ xγα−J x∗, fδ −fi.
(2.22)
Vì Ah là toán tử d-accretive, nên
hJ xγα−J x∗, Ahx∗ −Ax∗i+ αkxγαk2 −αhJ xγα, x∗i ≤(kxγαk+kx∗k)kfδ −fk. Kết hợp với (2.11) và (2.12) ta nhận được αkxγαk2 −αkxγαkkx∗k ≤ (kxγαk+ kx∗k)(δ +hg(kx∗k)). Do đó kxγαk2 −δ +hg(kx ∗k) α +kx∗kkxαγk − kx∗kδ +hg(kx ∗k) α ≤ 0. Từ bất phương trình bậc 2 này, ta thu được
kxγαk ≤ 2δ
α +
2h
α g(kx∗k) +kx∗k, ∀x∗ ∈ S0, (2.23) nghĩa là, dãy{xγα}là bị chặn trongX, haykxαγk ≤ K. Do đóxγα * x¯∈ X khi α → 0. Tiếp theo ta lại sử dụng tính d-accretive của toán tử Ah và (2.13) với xγα là nghiệm ta được
hJ x−J xγα, Ahx−Ahxγαi = hJ x−J xγα, Ahx+αxγα −fδi ≥ 0, ∀x ∈ X. Vì J là liên tục yếu theo dãy nên khi cho α →0 thì
hJ x−Jx, Ax¯ −fi ≥ 0, ∀x ∈ X. (2.24) Vì A là toán tử d-accretive cực đại, nên từ (2.24) suy ra f = Ax, nghĩa¯
Viết lại (2.22) dưới dạng
hJ xγα−J x∗, Ahxγα−Ax∗i+αhJ xγα−J x∗, xγα−x∗i = hJ xγα−J x∗, fδ −fi −αhJ xγα−J x∗, x∗i.
(2.25)
Trong (2.25) thay x∗ = ¯x. Khi đó ta được đánh giá sau
(2L)−1δX(c2−1kxγα−x¯k) ≤ δ
αkJ xγα−Jx¯k
+ h
αg(k¯xk)kJ xγα−Jx¯k − hJ xγα−Jx,¯ x¯i,
(2.26)
trong đó c2 = 2 max{1, K,k¯xk}. Từ tính bị chặn của xγα, tính liên tục yếu theo dãy của J, xγα * x¯ và δ +h
α →0 và α →0 suy ra δ αkJ xγα−Jx¯k∗ + h αg(k¯xk)kJ xγα−Jx¯k − hJ xγα−Jx,¯ x¯i → 0. Do đó từ (2.26) ta nhận được δX(c−21kxγα−x¯k) →0. Suy ra lim α→0kxγα −x¯k = 0, và ta được xγα → x¯ khi α →0. Cuối cùng biến đổi (2.25), ta được
hJ xγα −J x∗, xγαi ≤ δ
α + h
αg(kx∗k)kJ xγα−J x∗k, ∀x∗ ∈ S0. Cho α →0 ta thu được bất đẳng thức
hJx¯−J x∗,x¯i ≤ 0, ∀x∗ ∈ S0.
Từ đây ta suy ra x¯= ¯x∗. Do đó, dãy {xγα} hội tụ mạnh đến x¯∗. Định lý được chứng minh. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày chi tiết khái niệm, và tính chất của toán tử accretive; một số kết quả và ví dụ điển hình về toán tử d-accretive; một số tính chất hình học của không gian-công cụ chủ yếu để chứng minh sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử d-accretive.
Luận văn cũng giới thiệu về phương trình toán tử với toán tử accretive và d-accretive, đồng thời trình bày phương pháp hiệu chỉnh và định lý hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh phương trình với toán tử d- accretive.
[1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2005.
[2] Ya. Alber and I. Ryazantseva, Nonlinear ill-posed problems of mono- tone type, Springer, 2006.
[3] A. B. Bakushinskii, Regularization algorithms for linear equations with unbounded operators, Soviet Mathematics Doklady, 9, pp. 1298–1300, 1968.
[4] A. B. Bakushinskii and A. G. Goncharskii, Ill-Posed Problems, Nu- merical Methods and Applications, Moskow University Publishers, 1989.
[5] V. K. Ivanov, V. V. Vasin, and V. P. Tanana, Theory of Ill-Posed Linear Problems and Its Applications, Nauka, Moskow, 1978.
[6] M. M. Lavrent’ev,Some Ill-Posed Problems of Mathemitical Physics, Nauka, Novosibirsk, 1962.