Phương trình với toán
2.1 Phương trình toán tử accretive Xét phương trình toán tử
Xét phương trình toán tử
Ax= f, (2.1)
với A là toán tử accretive.
Định lý 2.1.1. Giả sử X và X∗ là các không gian Banach lồi chặt, X
có tính chất xấp xỉ, A : X →X là toán tử accretive và demi-liên tục với miền xác định D(A) = X, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → X∗ liên
tục và liên tục yếu theo dãy và tồn tại số r > 0 sao cho với mọi x thỏa mãn kxk = r, thì
hJ x, Ax−fi ≥ 0.
Khi đó, phương trình (2.1) có ít nhất một nghiệm cổ điển x với kxk ≤ r.
Ta xét bài toán (2.1) trong trường hợp A : X → 2X là một toán tử accretive tùy ý và D(A) = X. Trước hết ta chứng minh bổ đề sau. Bổ đề 2.1.2. Giả sử rằng Xn là một không gian Banach n-chiều, Pn :
X → Xn là một toán tử chiếu với chuẩn kPnk = 1 và Pn∗ : X∗ → Xn∗ là toán tử liên hợp của Pn. Khi đó phương trình Pn∗J x = J x thỏa mãn với mọi x ∈ Xn.
Chứng minh: Dễ dàng thấy rằng với mọi x ∈ Xn ta có
hPn∗J x, xi = hJ x, Pnxi = hJ x, xi = kJ xkkxk = kxk2. (2.2) Vì kPn∗k = kPnk = 1, nên
kPn∗J xk ≤ kPn∗kkJ xk = kJ xk = kxk. Mặt khác từ (2.2) suy ra
kxk∗ ≤ kPn∗J xkkxk,
nghĩa là, kxk ≤ kPn∗J xk. Vì vậy, kxk= kPn∗J xk. Kết hợp với (2.2), điều này có nghĩa là Pn∗J là ánh xạ đối ngẫu của X và Pn∗J x = J x bởi vì J là toán tử đơn trị.
2
Định nghĩa 2.1.3. Phần tử x0 ∈ X được gọi là nghiệm suy rộng yếu của phương trình toán tử (2.1) với toán tử accretive nếu θX ∈ R(Ax0 −f).
Nghiệm suy rộng yếu trùng với nghiệm cổ điển nếu J liên tục và A hemi-liên tục tại điểm x0.
Nghiệm suy rộng yếu của (2.1) tồn tại trong không gian hữu hạn chiều Xn.
Bổ đề 2.1.4. Cho A : Xn → 2Xn xác định trên hình cầu B(θXn, r) và bất đẳng thức
hJ x, z −fi ≥ 0
thỏa mãn với mọi x ∈ S(θXn, r) và với mọi z ∈ Ax. Khi đó tồn tại nghiệm suy rộng yếu x0 ∈ B(θXn, r) của phương trình (2.1).
Chứng minh: Xét hình cầu B∗(θX∗
n, r) = J B(θXn, r), ở đây J : Xn →
Xn∗ là ánh xạ đối ngẫu. Với mọi x ∈ B(θXn, r) tồn tại y ∈ B∗(θX∗
n, r) sao cho y = J x. Với điểm y thuộc hình cầu S∗(θX∗
n, r) tồn tại z ∈ AJ∗y sao cho bất đẳng thức hy, z −fi ≥ 0 thỏa mãn vìJ−1 = J∗, (J∗)−1 = J, R(J) =X∗ và R(J∗) = X. Vì vậy ta có thể tìm được một phần tửy0 = B∗(θ∗X n, r) sao choθXn ∈ R(AJ∗y0−f). Vì J∗ : Xn∗ → Xn là toán tử liên tục, nên θXn ∈ R(Ax0 − f), ở đây x0 = J∗y0.
2
Một nghiệm của phương trình (2.1) với toán tử accretive tùy ý có thể được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 2.1.5. Phần tử x0 ∈ X được gọi là nghiệm suy rộng của phương trình (2.1) với toán tử accretive A nếu bất đẳng thức
hJ(x−x0), y −fi ≥ 0, ∀y ∈ Ax thỏa mãn với mọi x∈ D(A).
Định lý 2.1.6. Giả sử toán tử A : X → 2X với D(A) = X là toán tử accretive và ánh xạ đối ngẫu J và J∗ liên tục. Khi đó nghiệm suy rộng và nghiệm suy rộng yếu của phương trình (2.1) trùng nhau.
Định lý 2.1.7. Giả sử X và X∗ là các không gian Banach lồi đều, không gian X có tính chất xấp xỉ, ánh xạ đối ngẫu J liên tục yếu theo dãy, toán tử A : X → 2X là toán tử accretive với miền xác định D(A) =X và tồn
tại số r > 0 sao cho với mọi x thỏa mãn kxk= r thì có phần tử y ∈ Ax
sao cho
hJ x, y −fi ≥ 0.
Khi đó phương trình (2.1) có ít nhất một nghiệm suy rộng x sao cho
kxk ≤ r.
Chứng minh: Giả sử Xn là một không gian con hữu hạn chiều của X. Cố định Xn và xét phương trình
Pn(Ax−f) = 0,
ở đây Pn : X → Xn là toán tử chiếu, kPnk = 1. Theo Bổ đề 2.1.2 ta có
hJ x, Pn(y −f)i = hJ x, y −fi ≥ 0, y ∈ Ax,
với mọi x ∈ Xn thỏa mãn kxk = r. Khi đó theo Bổ đề 2.1.4, tồn tại ít nhất một phần tử xn ∈ X sao cho kxnk ≤ r và θX ∈ R(Pn(Axn −f)). Ta đã biết rằng toán tử PnA˜: Xn → 2Xn là toán tử accretive cực đại và là suy rộng của PnA : Xn → 2Xn. Do đó, tồn tại một phần tử yn ∈ Ax˜ n sao cho
Pn(yn −f) =θX.
Ta sẽ chỉ ra rằng dãy {yn} bị chặn. Vì toán tử A˜bị chặn địa phương, nên tồn tại các số a1 > 0 và a2 > 0 sao cho kvnk ≤ a2 với mọi vn ∈ Aq˜ n nếu kqnk ≤ a1.
Giả sử phần tử qn xác định bởi phương trình J(qn−xn) = wn−J xn,
ở đây wn = a3kynk−1J yn và a3 ≤ r. Vì X∗ là không gian trơn đều, nên ánh xạ đối ngẫu J∗ : X∗ → X liên tục đều trên các tập bị chặn. Mặt khác, tồn tại một hàm liên tục, tăngω∗R(t) với t≥ 0 sao cho ωR(0) = 0
và nếu ϕ1, ϕ2 ∈ X∗, kϕ1k ≤ R, kϕ2k ≤ R thì
Đặt R = 2r. Vì J∗ = J−1, nên
kqnk = kJ∗(wn−J xn) +J∗J xnk ≤ ωR∗(kwn−J xn +J xnk) = ωR∗(kwnk) =ωR∗(a3).
Chọn a3 đủ nhỏ sao cho ωR∗(a3) ≤ a1. Rõ ràng từ định nghĩa của dãy
{wn} cho ta đánh giá kvnk ≤ a2, ở đây vn ∈ Aq˜ n.
Sử dụng tính chất accretive của toán tử A˜ ta có thể viết
hJ(xn −qn), yn −vni = hJ xn −wn, yn −vni ≥ 0, từ đây suy ra hwn, yni ≤ hwn−J xn, vni +hJ xn, yni. (2.3) Từ hJ xn, yni = hJ xn, Pnyni = hJ xn, fi, ta nhận được từ (2.3) bất đẳng thức a3kynk ≤ rkfk+a2(˜a1 +r) = a4. Vì vậy kynk ≤ a−31a4.
Tiếp theo, giả sử z ∈ X và Pnz = zn. Khi đó theo tính chất xấp xỉ của không gian X suy ra kPnz−zk → 0 thỏa mãn khi n → ∞. Rõ ràng
hJ(z−xn), yn −fi = hJ(z−xn)−J(zn−xn), yn −fi +hJ(zn −xn, yn −f)i. Mà hJ(zn−xn), yn−fi = hJ(zn −xn), Pn(yn −f)i = 0. Do đó hJ(z −xn), yn−fi = hJ(z −xn)−J(zn −xn), yn −fi (2.4)
Vì X là không gian trơn đều, nên ánh xạ đối ngẫu J : X → X∗ liên tục đều trên các tập bị chặn, nghĩa là tồn tại một hàm liên tục, tăng ωR(t)
với t≥ 0 sao cho ωR(0) = 0 và nếu x1, x2 ∈ X, kx1k ≤ R, kx2k ≤ R, thì
kJ x1 −J x2k ≤ ωR(kx1 −x2k). Từ đây suy ra kJ(z−xn)−J(zn−xn)k ≤ ωR˜(kz −znk), ở đây R˜ = r +kzk. Vì vậy lim n→∞kJ(z−xn)−J(zn−xn)k = 0.
Ta đã chứng minh ở trên rằng dãy {yn} bị chặn, do đó từ (2.4) ta nhận được
lim
n→∞hJ(z −xn), yn−fi = 0, ∀z ∈ X. (2.5) Hơn nữa, giả sử {xk} ⊆ {xn} và xk * x ∈ X. Khi đó theo tính chất accretive của A˜ cho ta bất đẳng thức
hJ(z −xk), y −yki ≥ 0, ∀y ∈ Az.˜
Từ (2.5) và tính chất liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu J ta nhận được giới hạn
hJ(z−x), y−fi ≥ 0, ∀y ∈ Ax,˜
khi k → ∞, nghĩa là f ∈ Ax. Do đó˜ x là nghiệm của phương trình (2.1) trong Định nghĩa 2.1.5. Vì xn ∈ B(θX, r) với mọi n > 0 và xk * x, ta suy ra từ tính nửa liên tục dưới yếu của chuẩn trong X rằng kxk ≤ r.
2
Chú ý 2.1.8. Tất cả các điều kiện của Định lý 2.1.7 đều thỏa mãn, chẳng hạn trong không gian Banach X = lp, p > 1.
Chú ý 2.1.9. Nếu toán tử A trong Định lý 2.1.7 là toán tử accretive chặt thì phương trình toán tử tương ứng có duy nhất nghiệm.